Logritmos y eponenciles de otrs ses L función Leer con cuiddo el [S, 8] o ien [S, 4] y = Pr >, ln = e Definición: (Tp474) Pr R y > se define ln = e d AL- Deducir l fórmul de ( ) d d v AL- Si u y v son funciones diferenciles en y u >, deducir l fórmul de ( u ) AL- Si Tipo I: Si u es un función diferencile positiv de y n R entonces d n n du u = nu d d Tipo II: Si u es un función diferencile de y > entonces d u u du = ln d d Tipo III: Si u y v son funciones diferenciles en y u >, d v d v ln u u = e d d Indicr cuál es l diferenci entre ls funciones de los tres "tipos" presentdos y proporcionr un ejemplo de cd uno AL4- En cd inciso indicr de qué tipo es y derivr y con respecto l otr vrile que prece en l definición ) (T4) e y = ) y = t ln c) (T8) S d π y = (lnθ ) d) (T4) y = + e) (T4) y = f) (T) y = t 5 cos g) (S8,) F( α ) positivs α α N K = c α N + K α ν / α donde, c, N, K y v son constntes L función y = Def (Tp478) (Logritmos se ) Pr tod >,, = invers de AL5- Por qué hy restricciones diferentes pr en ls propieddes: =, pr > ;, pr tod en R? = AL6- Simplificr: (T) ) ) π 7 π c) d) e) 9 6
AL7- Leer con cuiddo l demostrción de l fórmul pr clculr = ln = ln ( )(ln ) = ln ln = ln AL8- (T87) Plnter como un cociente de ritmos nturles o de ritmos comunes y usr l clculdor pr determinr: ) 8 ) 7 5 c) 5 7 AL9- (T87) En cd cso determinr ln si se se que: ) = ) = 5 AL- (T6) Epresr como cocientes de ritmo nturl y simplificr: ) 9 ) c) AL- Simplificr: (T4) ) 5 5 ( ) sin ) e ( e ) c) 4 ( ) e AL- (T88) Fctores de conversión Demostrr que l ecución pr convertir ln ritmos se ritmos se es: = ln AL- Resolver ls siguientes ecuciones: ) (T8) Derivds 8 e = ) (T) ln e + 4 4 = 8 ln 5 7 () 7 AL4- Demostrr que d d u du = u ln d AL5- Encontrr l derivd de y respecto l vrile independiente dd: ) (T6) y = 5 e 5 ) (T8) y = ( r)(9 r) (sin (ln ) c) (T) (T6) y = ( ) d) (T8) y = t ( e ) 8 t TAREA De l tre de Cálculo I Eponenciles y ritmos en otrs ses hcer los prolems 6 Del S Sec 8 hcer del l 5 y de Sec 8 del 8 l (En S está l teorí pero no los ejercicios) 7
APLICACIONES DE EXPONENCIALES Y LOGARITMOS MODELOS EXPONENCIALES Leer con cuiddo el [S, 5], [S, 84] y [S, 85] o ien [S, 5], [S, 84] y [S, 85] I Interés compuesto continuo Al invertir l cntidd A un ts de interés r (epresd como decimles) y se sumn los intereses l cuent k veces l ño, el monto totl l finl de los t ños es: kt r At = A + rt Pr un interés compuesto continuo l fórmul es A( = Ae k APL- (P757) Si se ponen hoy $75 en el nco cuánto se tendrá l co de ños si el interés es de 95% y si se cpitliz en l form específic que se indic: ) l ño ) mensul c) dirio d) continuo APL-(P759 ) Cuánto trdrá el dinero en duplicr su vlor con los intereses especificdos? ) % cpitlizle cd mes, ) % cpitlizle continumente APL- Qué ts de interés compuesto cpitlizle mensulmente duplic el vlor de l inversión en ños? APL4- El pln de inversión A de un nco d un interés del % nul con cpitlizción continu, el pln B d el % con cpitlizción mensul y el pln B d el 7% con cpitlizción trimestrl ) Qué pln inversión es el más conveniente? Justifique su respuest ) A qué ts de interés nul compuesto nulmente corresponde cd uno de ellos? 8
II- Crecimiento eponencil Q ( = Q e kt Donde k es un constnte positiv y Q un vlor inicil Ls cntiddes que crecen en form eponencil se crcterizn porque su crecimiento es proporcionl su tmño y su rzón porcentul de cmio es constnte, dq = kq dt APL6- (T7) Un coloni de cteris del cóler empiez con cteri y se duplic cd medi hor Cuánts cteris hrá en 4 hors? APL7- (T8) Al co de hors hy, cteris, l co de 5 hors hy 4, Cuánts cteris hí inicilmente? III- Decrecimiento eponencil = Q e Donde k es un constnte positiv y Q un vlor inicil Ls cntiddes que decrecen en form eponencil se crcterizn porque su decrecimiento es proporcionl su tmño APL8- (H4) Un determind máquin industril se depreci de modo que su vlor 4t después de t ños está ddo por un función de l form = Qe Después de ños, l máquin tiene un vlor de $8,98658 Cuál fue su vlor originl? IV- Curvs de prendizje = B Ae Con A, B y k constntes positivs y Q un vlor inicil Descrien l eficienci con l que un individuo reliz un tre y l cntidd de cpcitción o eperienci que éste h tenido APL9- Clculr el lím t Qué represent? APL- (H4) El ritmo l que un empledo postl puede clsificr el correo es un función de su eperienci Supong que el director de correos de un grn ciudd estim que después de t meses de trjo, el empledo promedio puede 5t clsificr = 7 4e crts por hor ) Cuánts crts por hor puede clsificr un empledo nuevo? ) Cuánts crts por hor puede clsificr un empledo con seis meses de eperienci? c) Aproimdmente cuánts crts por hor podrá llegr clsificr el empledo medio? 9
V- Curvs ístics = + B Ae Bkt Con A, B y k constntes positivs y Q un vlor inicil Descrien crecimiento cundo hy fctores que imponen un límite superior Descrien tmién propgción de epidemis y rumores L crcterístic fundmentl es que pr vlores pequeños de t se comport en form semejnte l función eponencil, mientrs que l crecer t se estiliz proimándose sintóticmente un vlor APL- Clculr el lím t Qué represent? Clculr el lím t Qué represent? APL- El porcentje de persons que conoce cierto rumor difundido en un comunidd sigue lo que se denomin un modelo ístico ddo por l ecución =, donde A y k son constntes y t es el tiempo En octure de + Ae 987 l tiempo t = el % de los corredores de ols hín oído cerc del inminente colpso de l ols Dos hors más trde, el 5% de ellos lo hín oído, cuánto tiempo trnscurrió ntes de que el 75% se enterr? TAREA: De l tre de Cálculo I 9 Funciones eponenciles y rítmics hcer los prolems 6 8 De l tre de Cálculo I Eponenciles y ritmos en otrs ses hcer los prolems 7 9 Hcer del S Sec 5 lgunos de los ejercicios l 4, 7, 9, 4; de l Sec 85 el y de l Sec 84 lgunos de los ejercicios, 6, o ien del S Sec 49 del l y el 6; de l Sec el prolem T- (S, 49, 5) Usr l clculdor pr clculr función y = e (función de π densidd norml) pr los vlores de,,, y y después osquejr l gráfic de l función, que es un de ls funciones más importntes en estdístic (Por supuesto, sólo 5 puntos no son un se muy confile pr diujr l gráfic) T- (S, 49, 9) Si l ts de inflción de un pís es 9% por ño, l ecución P( = P ( 9) t proporcion el precio P ( dentro de t ños de un rtículo que ctulmente cuest P Cuál será el precio de: ) un ols de Kg de míz que ctulmente cuest $6 después de 5 ños? ) un tz de cfé de $44 después de ños? c) un cs de 5, dólres después de 4 ños? k T- (S, 85, 9) Si el precio de un ien dentro de ños está ddo por f ( ) = Ae, ' donde A y k son constntes Encontrr A y k cundo f ( ) = 4 y f () = En ese cso cuál es el precio dentro de 5 ños? 4