El teorema del biomio. El teorema del biomio.. Producto El producto de úmeros aparece e todas las situacioes e que queremos cotar cosas u opcioes. Imagiaquequeremoscotarel úmerode camiosdistitosque podemostomarparairde AaD pasado por B y C si teemos las opcioes que ilustra el gráfico: A B C D Por cada ua de las 4 opcioes AB podemos elegir opcioes BC y 3 opcioes CD. Llegamos fácilmete a la coclusió de que la solució a uestro problema es 4 3 Es siempre el producto el que resuelve este tipo de cuestioes. Auque a veces, como ilustra el siguiete ejercicio la suma etra e juego: Ejercicio:.. Cuátos posibles camios P Q hay e este caso? P Q.. De cuátas formas se pudiero repartir las medallas e la fial de los 00 m lisos de Lodres?.3. De cuátas formas se puede colocar 5 persoas e la mesa que preside u baquete?.4. A cuátos grupos distitos de 3 alumos puedo elegir de mi clase de 0 para que me acompañe a u viaje? E problemas como los ateriores surge productos como 8 7 6, o como 5 4 3.Por la frecuecia co que aparece estos úmeros e uestros cálculos matemáticos se creó ua otació especial para ellos:.. Números factoriales Llamamos 6 factorial, o factorial de 6, al úmero 6! = 6 5 4 3
c rafaseleccioes E geeral, defiimos el factorial de como el producto! = 3 3 para cualquier etero positivo. Y se defie de modo especial 0! = Propiedad elemetal:! =! Productos parciales del tipo 9 8 7 so muy frecuetes e problemas de coteo y se puede epresar usado factoriales: 7 6 5 = 7 6 5 4 3 = 7! 0 9 8 7 = 0 9 8 7 6 5 4 3 = 0! 4 3 4! 6 5 4 3 6! basta multiplicar arriba y abajo coveietemete. Ejercicios:.5. Calcula, si calculadora: a 6! 5! b 6! 4! c 6! 8! d 00! 98! e 7! 5!!.6. Simplifica, si calculadora: a!! b +!! c +!! d!! e +! +!.7. Epresa usado úmeros factoriales: a 0 9 8 7 b 0 9 8 7 4 3 c 0 9 d 3 3 e 6 5 4 Nota: Las sumas de factoriales podemos covertirlas e producto fácilmete: 8!+6! = 8 7 6!+6! = 8 7+ 6! = 57 6!.8. Covierte e producto las siguietes epresioes: a 5!+4! b! 0! c 7! 6!+8! d!! e 3 9!+5 8!.9. Simplifica, si calculadora: a!! b 0! 8! 89 c 6!+5! 4! 4! d 0! 9! 9! e 7! 6! 6 f!+!! g!!! h +!++! +3.3. Permutacioes P Ua permutació de u grupo de elemetos es cualquiera de las distitas ordeacioes que podemos hacer de esos elemetos. Por ejemplo, BAC es ua permutació de {A,B,C}. Usamos los tres elemetos.
El teorema del biomio 3 Las permutacioes completas de {A, B, C} so: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, y CBA Para el cálculo de las permutacioes de 3 elemetos podemos cosiderar tres vetaas Para la primera teemos tres opcioes, fijada ua, para la seguda vetaa teemos ; y para cada pareja fijada os queda sólo ua opció para la tercera vetaa. Así, para su cálculo aparece el producto, y las permutacioes de 3 será P 3 = 3 = 3! Y e geeral, las permutacioes de elemetos será P = 3 =!.4. Variacioes V m, Cuado cosideramos meos elemetos del total dispoible a las permutacioes les llamamos variacioes. Las variacioes de {A, B, C, D} tomadas e grupos de será: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD y DC Sale variacioes, como es lógico si pesamos e las vetaas 4 3 V 4, = 4 3 = opcioes. E geeral V m, = mm m m usamos factores. Por ejemplo V 8,3 = 8 7 6 so los medalleros de la fial de 00 m Propiedad elemetal: V, = P.5. Variacioes co repetició. VR m, Cuado e las variacioes cada elemeto puede repetirse las veces que se quiera, las llamamos variacioes co repetició. Su cálculo es elemetal, pues e cada vetaa siempre puede aparecer se permite la repetició el total de los elemetos. Teemos pues VR m, = m Ejercicio:.0. Co las cifras {,, 3, 4, 5}, cuátos úmeros distitos de tres cifras podemos formar? cuátos de ellos o repite igua cifra? cuátos de estos últimos termia e 5?.6. Combiacioes. C m, Ua combiació es cada ua de las seleccioes que podemos realizar si teer e cueta el orde. Si cosideramos los elemetos {A, B, C, D, E} y seleccioamos grupos de 3 elemetos: ABC y ACB so distita variació, pero so la misma combiació. Las combiacioes de los 5 elemetos tomados e grupos de 3 será: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BDE, BDE, CDE 0 combiacioes diferetes.
4 c rafaseleccioes Escribimos C 5,3 = 0, pero... cómo lo calculamos? Lógicamete cada combiació C 5,3 da lugar a P 3 = 3! variacioes, por lo tato: C 5,3 P 3 = V 5,3 C 5,3 = V 5,3 P 3 = 5 4 3 3 = 5! 3!! E geeral C m, = V m, = mm m m y multiplicado arriba y abajo coveietemete: P 3 C m, = mm m m m m 3 m! = 3 m 3! m! Ejercicio:.. E mi clase hay 8 chicos y chicas de cuátas formas puedo seleccioar 5 estudiates para represetar a la clase e u cocurso televisivo? y si e la selecció quiero que haya eactamete 3 chicas?.. U comité de 5 es elegido etre 6 médicos, 3 efermeros y 7 auiliares. Determia el úmero de eleccioes que podemos hacer si debemos teer garatizada e el comité la presecia de: médicos y u efermero. médico, efermero y 3 auiliares. Propiedad: Observa como C 5,3 = C 5, e el problema aterior. Elegir 3 chicas o chicos es equivalete, y calculado C 5,3 = 5! 3! = 5!! 3! = C 5,.7. Potecia de u biomio Vamos a cosiderar las potecias de u biomio: a+b a+b = a+b a+b 3 = a+ba+b a+b = a +ab+b = a+ba +ab+b = a 3 +a b+ab +a b+ab +b 3 = a 3 +3a b+3ab +b 3 a+b 4 = a+ba+b 3 = a+ba 3 +3a b+3ab +b 3 = a 4 +3a 3 b+3a b +ab 3 +a 3 b+3a b +3ab 3 +b 4 = a 4 +4a 3 b+6a b +4ab 3 +b 4 Actividad: Busca tú ua epresió para a+b 5 Si observas los coeficietes de los desarrollos que hemos obteido y podemos ir obteiedo, mira lo que teemos:
El teorema del biomio 5 = 0 = = = 3 3 3 = 4 4 6 4 = 5 5 0 0 5 = 6 6 5 0 5 6 Este triágulo ilimitado recibe el ombre de triágulo de Pascal e hoor del ilustre filósofo y matemático fracés. Observa como cada úmero puede obteerse por la suma de los dos que tiee ecima. Refleioado sobre uestros ateriores cálculos y etediedo y usado el triágulo de Pascal teemos: a+b 6 = a 6 +6a 5 b+5a 4 b +0a 3 b 3 +5a b 4 +6ab 5 +a 6 a+b 7 = a 7 +7a 6 b+a 5 b +35a 4 b 3 +35a 3 b 4 +a b 5 +7a 6 b+a 7 a+b 8 = a 8 +8a 7 b+8a 6 b +56a 5 b 3 +70a 4 b 4 +56a 3 b 5 +8a b 6 +8ab 7 +a 8 Ejercicios:.3. Calcula y simplifica al máimo las potecias: a + 3 c + 3 e + 6 g + b + 3 d 3 4 f 5 5 4 h 5.4. Calcula +3+ 4.8. Número combiatorio m Al úmero de las combiacioes C m, tambié se le llama úmero combiatorio m sobre m m! = C m, =!m! Por ejemplo: 5 = 5 4 = 5!! 3! 7 = 7 6 5 3 3 = 7! 3! 4! 3 = 3 4 0 9 = 3! 5 5 4 3 5! 8! Propiedades elemetales: m 0 = m = m m m = Es verdaderamete curioso que el triágulo de Pascal es e realidad u triágulo formado por los úmeros combiatorios como puedes ir comprobado:
6 c rafaseleccioes 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 Más propiedades: 0 0 0 0 3 3 3 0 4 4 4 4 0 3 5 5 5 5 5 0 3 4 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 0 3 4 5 m = m m m + m + = m+ Observa estas propiedades e el triágulo de Pascal. Prueba primero o multipliques que = Ahora comprueba que 7 3 + 7 4 = 8 4 7 7 y fialmete demuestra las propiedades e el caso geeral. +.9. El teorema del biomio De todo lo aterior deducimos la fórmula para la potecia de u biomio: a+b = a + 0 a b+ y observamos que el térmio que ocupa el lugar r+ es a b + + ab + a r b r r b Ejercicios:.5. Escribe, dejado las operacioes idicadas, los primeros y últimos térmios de cada desarrollo: a + b 3+ 5 c.6. Ecuetra el séptimo térmio del desarrollo de 3 4 4 3 0 d +y 00
El teorema del biomio 7.7. Ecuetra el seto térmio del desarrollo de +5 5.8. Ecuetra el cuarto térmio del desarrollo de + 5 9.9. Ecuetra el décimo térmio del desarrollo de 7.0. Ecuetra el oveo térmio del desarrollo de.. Da el coeficiete de 6 y el térmio idepediete del poliomio.. Da el coeficiete de 0 e 3+ 0.3. Da el coeficiete de 3 e.4. Prueba, e dos segudos, que 3 0 + 0 +.5. Ecuetra el coeficiete de 5 e +3 6.6. Ecuetra el coeficiete de 5 e + + 8.7. Ecuetra el coeficiete de 6 e 3+ 9 + + +.8. Si el tercer térmio de + es 36, ecuetra el cuarto térmio..9. Si +k = +60, halla los valores de k y..30. Halla a si el coeficiete de e + 0 es 5. a + 4 =.0. Refleió y prueba Observa el producto a+b = a+ba+ba+b a+ba+b y piesa que al multiplicar todos cotra todos: a sólo aparece ua vez. Ua úica b aparece = veces. b aparece veces, pues viee de las eleccioes que podemos hacer de elemetos de los letras b de lugares posibles, además aparece e la forma a b b 3 lo hará 3 veces, ya que correspode a las combiacioes de 3 elemetos de los, lo hace e la forma a 3 b 3 E geeral b k sale k veces, de modo a k b k Fialmete, b sólo hay = Sumado luego los térmiossemejates a+b = 0 a + a b+ a b + + ab + b Actividad: Demuestra el teorema del biomio usado el método de iducció.
8 c rafaseleccioes.. Selecció de problemas del Bachillerato iteracioal.3. Ecuetra el coeficiete de 7 e el desarrollo de 3 0 BI-000.3. El coeficiete de e el desarrollo de + 7 a es 3 7.Ecuetralosposiblesvaloresdea.BI-000.33. Halla el coeficiete de 3 e el desarrollo biomial de 8 BI-00.34. a Halla el desarrollo de +5 5, epresado la respuesta e orde ascedete de potecias de b Tomado = 0,0 o de cualquier otro modo, halla el valor eacto de,0 5. BI-004.35. Epresa 3 3 e la forma a 3+b, dode a, b Z BI-006.36. Ecuetra el coeficiete de 3 e 3 6 BI-007.37. Determia los primeros tres térmios del desarrollo de 5 + 7 e orde creciete de potecias de. BI-008.38. U sólido de volume V se ha obteido a partir de u cubo de arista a > al que le quitamos de ua esquia u cubo de arista a. Si = a a a Epresa V e fució de. b Prueba que el úico valor de a para el que V = 4 se da para a = + 5 BI-009.39. Cuado hacemos el desarrollo de + obteemos 70 como coeficiete de 3. Halla y el coeficiete de BI-009* 3.40. Simplifica la diferecia todo 3 BI-00*.4. Desarrolla y simplifica, dode 3. Resuelve la iecuació 4 BI-00 3 > 3, para