Eseñaza de Modelos Discretos e Diámica Poblacioal Saleme Noelia (*) - Berrodo Luis A (*) Navarro Silvia I. (**) Juarez Gustavo A. (**) Resume Partiedo del estudio realizado sobre la teoría de las ecuacioes e diferecias y de sus aplicacioes iterdiscipliarias, hemos implemetado coteidos e asigaturas tales como modelos matemáticos, matemática aplicada e las carreras de profesorado y liceciatura e Matemáticas, resultado de utilidad e asigaturas de carreras como Física y e Ciecias de la Salud, tato e ivestigació como e la trasferecia e el aula. Aquí pretedemos mostrar esa iiciativa desarrollada e propuestas de ejemplos correspodietes a la modelizació e diámica poblacioal, redactado los mismos e térmios de la modelizació diámica discreta utilizado ecuacioes e diferecias y sistemas de ecuacioes e diferecias que aporta a la eseñaza aplicada de la matemática, e icorporado el software desarrollado para resolver problemas co valores iiciales discretos. Itroducció La eseñaza de las progresioes aritméticas y geométricas e el ivel medio suele teer como úica aplicació la matemática fiaciera, co coteidos de iterés simple, iterés compuesto, periodos, descuetos, amortizacioes, etc. Para ello propoemos ampliar las aplicacioes co la presetació de problemas de diámica poblacioal, permitiedo expresar iformació sobre el crecimieto de poblacioes a partir de ciertos factores, logrado realizar ua geeralizació a las ecuacioes e diferecia. E el marco del proyecto de ivestigació Tratamieto Discreto de la Modelizació Diámica Poblacioal mediate Ecuacioes e Diferecias, ejecutado e la Facultad 21
de Ciecias Exactas y Naturales, se propicia la eseñaza e ivestigació de las Ecuacioes e Diferecias desde u efoque aplicado, cotado como pricipal herramieta a los modelos matemáticos, e dode las ecuacioes e diferecias lieales co coeficietes costate de orde uo o dos y los sistemas de ecuacioes e diferecias co dos y tres sucesioes icógitas se utiliza e biología y e ciecias de la salud. Co ello, modelar el crecimieto poblacioal de u determiado lugar, de ua especie aimal o bie de algua bacteria o vegetal, teiedo e cueta diversos factores que afecta la misma a lo largo de u determiado periodo, se puede simular mediate ecuacioes e diferecias y sistema de ecuacioes e diferecias co valores iiciales. La aplicació de tales ecuacioes permite dar la idea de simulació diámica a u problema de la vida cotidiaa, permitiedo al alumo acceder a tales coocimietos. METODOLOGIA Se procedió a seleccioar problemas de Diámica Poblacioal que ivolucre ecuacioes e diferecias (EED), es decir, que se represeta mediate modelos diámicos discretos. Estos problemas se asocia co EED lieales co coeficietes costates de primer y segudo orde y co sistemas de ecuacioes e diferecias (SEED) co dos icógitas y tres icógitas. Ua vez plateado el modelo matemático se procede a la simulació del problema co valor iicial discreto (PVID) asistido co el software realizado por itegrates del proyecto ates mecioado. Mostraremos ejemplos elaborados co aplicacioes y e cada caso distiguiremos la forma recursiva de cada problema así como el uso del software. Problema 1 Cosideremos ua població que iicialmete tiee 2000 habitates, y que por crecimieto Natural (acimieto defució) crece a ua tasa del 5% aual. Además cosideramos otra variació de la misma, dada por el movimieto migratorio que 22
produce u crecimieto de 100 idividuos al año. Expresemos la població que habrá detro de 10 años. Modele el problema y calcule cuáto crece la població teiedo e cueta el movimieto migratorio. Solució: Llamamos a la població para u tiempo t como P t y a la població iicial P 0, sabemos que: P 0 2000. Cosideremos primero la variació dada por el crecimieto atural. Si deseamos calcular la població al primer año, tedríamos: P P P 0,05 1 0 0 P1 1, 05 P Así e forma recurrete podemos expresar la població para u determiado año e térmios de la població del año aterior. E particular si este crecimieto se estima durate diez años tedríamos que: 0 P 1, P 10 05 Tal resultado represeta ua Progresió Geométrica. Expresado e térmios de P 0 resulta: P 9 10 10 P0 (1,05) Recordemos que utilizado ecuacioes e diferecia podemos escribir: x 1 co 1,2,3,...; a 0 ax E tal caso la solució es ua progresió geométrica, y para expresarlo e fució del primer térmio: x a x0 Por otro lado, la població iicial de 2000 habitates, que crece a ua tasa atural de crecimieto de 5% aual, tiee la otra variació dada por el movimieto migratorio, llamemos M a este, tal que: M = I E (I: imigrate, E: emigrate) y para uestro caso es M>0. 23
Como M es u valor fijo durate estos 10 años, dado por M = 100 persoas, determiemos el modelo matemático a partir de lo expresado ates. Como ahora, queremos calcular cuáto crece la població e 10 años cosiderado el movimieto migratorio: P1 P0 (1,05) M Para P 2 : Por lo tato P2 P1(1,05) M P 10 P9 (1,05) M Esto es ua EED de primer orde completo o ua progresió geométrica modificada. Recordemos que ua EED lieal de primer orde tiee la forma: x 1 ax R( ) co Y ua sucesió geométrica modificada está defiida por: 24 a 0 x1 ax b co a 0; 0,1,2,3,... E cosecuecia el modelo matemático que represeta el problema dado es Pi 1, 05P M Que juto al valor iicial dado determia el PVID. 1 i Pi 1 1,05P P 0 i 100 2000 Para platear problemas co ecuacioes e diferecia y buscar ua solució hemos utilizado el software EED, el cual os permite ecotrar la solució de la ecuació e diferecias, estimar los posibles valores de la sucesió para los valores estipulados segú ciertas codicioes iiciales, como así tambié observar gráficamete el comportamieto de esta població. La siguiete image os muestra el uso del software, e el cual ecotraremos la solució geeral de la EED plateada. Acompaña a la misma los posibles valores poblacioales simulados para los primeros diez años. Para ello procedemos de la siguiete maera.
Se elige como actividad iicial las ecuacioes e diferecias lieales de primer orde e la primera solapa de las herramietas de la patalla iicial, es decir e cálculos. Luego se carga la ecuació e diferecias del PVID. Y se busca la solució geeral e el icoo del eésimo térmio de ua sucesió, esto es X. Así el software etrega la solució del problema y el valor de equilibrio. Para completar el PVID se iserta el valor iicial y se idica la catidad de térmios que se desea coocer de la sucesió solució. Figura 1: patalla del software co el desarrollo del problema 1. Co u icoo de la derecha se tiee la posibilidad de coocer esa catidad de térmios de la sucesió. Allí se tiee la primera idea del comportamieto de la sucesió dada por esta lista de térmios. (Ver figura 1). Para obteer ua represetació gráfica se procede a idicar la catidad de térmios que se desea represetar y e ua patalla distita se tiee la gráfica. Cotiuado co el uso de este software se obtuvo la gráfica correspodiete, (ver figura 2). 25
Figura 2: Gráfica de la sucesió solució del PVID que modela el problema 1. Este software o solamete permite obteer solucioes y gráficas para EED de primer orde sio tambié es posible hallar solucioes de EED de segudo orde y de sistemas de EED. Problema 2 La població de u país e u determiado año es de 60 milloes y la de su capital 8 milloes. Supógase que a partir de allí, hasta u cierto año, u 3% de la població de la capital se marcha de la ciudad y u 0,4% de la població del resto del país se istala e la Capital. Estudie el comportamieto demográfico de tal població segú el movimieto migratorio dado. E este problema iterviee dos poblacioes, la de la Capital que deotamos co x, y la del resto del país expresada como y, e el año -ésimo. Para determiar la població del +1-ésimo año debe teerse e cueta los siguietes aspectos: La catidad de la població que sale de la Capital es 0,03x. 26
La catidad de població que permaece e la Capital es ( 1 0,03)x. La catidad de població que etra a la capital es 0,004y La catidad de població que permaece fuera de la Capital es 1 0,004 y. Co estos datos podemos escribir el siguiete sistema de ecuacioes: x y 1 1 (1 0,03) x 0,03x 0,004 y (1 0,004) y Este problema represeta u sistema de ecuacioes e diferecias lieales de primer orde homogéeo. Pero además los coeficietes tiee particularidades, si observamos todos los coeficietes so úmeros etre cero y uo, y la suma de los coeficietes que está ecolumados suma uo.. Figura 3. Simulació umérica de las poblacioes del problema 2. Usado el software mecioado, los posibles resultados de crecimietos co estas codicioes e los primeros 20 años se muestra e la tabla. Ver fig. 3. La gráfica correspodiete al problema para los 18 primeros años se observa e la figura 4. 27
Figura 4. Comportamieto del modelo para los primeros diez años. Más aú si observamos que el programa calculó los valores de equilibrio, os podemos iteresar para saber cuádo alcaza estos valores, para ello solicitamos la gráfica para más años. Esto es cosiderado 20, 50, 100, 150 años. E cada caso podemos solicitar ver los valores de equilibrio y su aproximació de los tamaños poblacioales a tales valores de equilibrio. Esto se ve e la figura 5. La propuesta del ejemplo 2 se puede complemetar co poblacioes más geerales dode la catidad o se coserva ialterable uméricamete, esto es por mortalidad o acimietos, o movimietos migratorios. Por ello se puede presetar la forma discreta de los clásicos modelos de presa depredador, mutualismo o simbiosis, que la ecología lo mecioa siempre e forma cotiua, recurriedo a ecuacioes difereciales que requiere del cálculo o aálisis matemático, los coceptos de derivada e itegrales. Más au, detro del software se prevé modelos cuadráticos y de dos o tres ecuacioes. 28
Figura 5. Para 150 años se observa que ya se logró el equilibrio Problema 3 La població de ua determiada especie crece durate u cierto tiempo a u ritmo acelerado debido a codicioes favorables dada por dispoibilidad de cierto recurso, sea esto espacio o alimeto. Posteriormete el crecimieto tiee u ritmo más leto cosecuecia de la adaptació al recurso que determia tal crecimieto, logrado alcazar u valor que se matiee costate por el periodo restate de uestra observació, coocido como valor de equilibrio. Este modelo se cooce como logístico. Supógase ua especie que cueta iicialmete co seis ejemplares y crece a ua tasa a de 0,3% proporcioal a la catidad de població existete y a la que resta para alcazar el valor de equilibrio K de cicueta ejemplares. De tal maera que N N ) an t 1 Nt ( K O bie e forma recurrete como N t 29 t 2 t 1 ( 1 Ka) N t an t. E la figura 6 se muestra la págia de carga de iformació para lograr defiir el modelo logístico discreto aterior.
Fig 6: Simulació umérica del modelo logístico discreto del problema 3 E los diez valores uméricos se ve que todavía o se logra el valor de equilibrio por lo que gráficamete se simula hasta 60, y se muestra e la figura 7. Fig 7: Simulació del modelo logístico mostrado el alcace del valor de equilibrio 30
CONCLUSIÓN Los diferetes resultados alcazados e la eseñaza de las ecuacioes e diferecias se ve complemetados por las aplicacioes e diámica poblacioal y por el recurso de la simulació de modelos matemáticos diámicos discretos que permite aalizar comportamietos de tales problemas, para su más imediata iterpretació de resultados. Esto e procura de aportar a la eseñaza aplicada y difudiedo la eseñaza de las ecuacioes e diferecias e la formació de profesores y e el ivel medio y superior, detro de los modelos diámicos aticipado a los modelos cotiuos dados mediate ecuacioes difereciales, cosiderado la ecesidad del cálculo ifiitesimal que estos últimos requiere. REFERENCIAS [1] Bassaezi Carlos Rodey (2002): Esio-apredizagem com modelagem matematica. Editora Cotexto. Brasil. [2] Haberma Richard. (1998).Mathematical Models: Mechaical Vibratios, Populatio Dyamics, ad Traffic Flow. SIAM. [3] Juarez G.A., Navarro S.I. (2005). Ecuacioes e diferecias. Editorial Sarquis. Catamarca. [4] Juarez G.A., Navarro S.I. (2012). Progresioes Geométricas de Oro. Revista Aportes Cietíficos e Phymath. Número 2. Facultad de Ciecias Exactas y Naturales. Uiversidad Nacioal de Catamarca. [5] Juarez G. A., Navarro S. I. (2011). Problemas Discretos co Valores Iiciales. Revista e Educació Matemática. Uió Matemática Argetia. Número 26. Volume 2. pp: 3-13. [6] Valdez L. E., Juarez G.A., Navarro S. I., Barros L.E. (2014) Implemetació de software para la eseñaza de Ecuacioes e Diferecias co valores iiciales. Revista e Educació Matemática. Uió Matemática Argetia. Número 29. Volume 1. Año 2014. (*) Facultad de Ciecias de la Salud Uiversidad Nacioal de Catamarca (**) Facultad de Ciecias Exactas y Naturales Uiversidad Nacioal de Catamarca juarez.catamarca@gmail.com 31