TRATAMIENTO DE DATO EXPERIMENTALE.- INTRODUCCIÓN Los resltados de las meddas se epresa mércamete, asocado alores cocretos a las magtdes meddas drecta o drectamete: masa, olme cocetracó, temperatra, etc. Al asgar determado alor a a magtd medate proceso de medcó, drecta o drecta, hemos de cotar co el hecho de qe sempre a a r acompañado de certa mprecsó. Dado qe todas las lees epermetales srge de la sstematzacó de los resltados de meddas de laboratoro, es totalmete mprescdble teer e ceta las lmtacoes e la eacttd precsó de dchos resltados para teer a dea clara de s aldez, e defta, de las propas lees de ss coclsoes..- TIPO DE ERRORE EXPERIMENTALE La clasfcacó de los tpos de error sele hacerse co base e la fete de procedeca. Así se sele hablar de los sgetes errores:.. stemátcos: o errores qe se orga sempre e la msma dreccó e cada medda dsme la eacttd de la msma. Es el caso de los strmetos de medda mal calbrados, por ejemplo a balaza qe os hace qe calqer masa qe se mda reslte sempre desplazada os gramos más (o meos) de s alor real... Persoales: A esta categoría perteece los errores cometdos co más frececa cado se tee poca epereca e el laboratoro: lectra adecada de aparato, eqocacó e el reacto tlzado, etc. Estos dos tpo de errores, sstemátcos persoales, o es posble o es m dfícl catfcarlos, por ello cado detectemos error de este tpo es ecesaro comezar el epermeto de eo..3. De escala: Es el error debdo a la lmtacó e el poder resolto del aparato. Es error costate qe depederá del aparato e cocreto qe estemos tlzado para medr..4. Accdetales: o debdos a las flctacoes e las dsttas arables qe fle e el sstema. o mpresbles e etables a qe o se pede ejercer cotrol sobre estas flctacoes, clso ormalmete o se cooce todas las arables qe fle. Dado s carácter aleatoro pede ser tratados estadístcamete.
Estos dos últmos tpos de errores, se dfereca de los aterores porqe sí se pede catfcar, posterormete eremos de qe maera se llea esto a la práctca para el tratameto de datos epermetales. 3.- ERRORE ABOLUTO Y RELATIVO El error absolto os dca la eacttd de a medda. Decmos qe a medda es tato mas eacta cato meor sea el teralo fjado por el error absolto. Dada a medda epermetal de a magtd, a, error absolto, el alor erdadero de la magtd A debe estar compreddo etre a + a A a - a () Cato maor segrdad qeramos teer de qe la ecacó ateror se cmple, maor deberá ser el alor de a. El error absolto, a, tee las dades de a se epresa sempre como alor posto. Para comprobar la bodad de las meddas, o es sfcete cosderar el alor de error absolto. pogamos por ejemplo qe medmos dos logtdes dferetes obteedo como resltado l (.±0.)m. l (50.3±0.)m. Las dos meddas, como pede aprecarse, tee el msmo error absolto s embargo la segda medda es claramete mejor qe la prmera. Por eso se hace ecesaro trodcr el cocepto de error relato, qe se defe como: abs ε () A medo se sele epresar el error relato e %. El error relato o tee dades sempre es posto. ε(%) abs *00 ε*00 Coocedo el error relato tedremos a dea clara de la bodad de estra medda, depedetemete del alor de la msma. E el ejemplo ateror: ε (%) 0./.*00 8% ε (%) 0./50.3*00 0.06% Es edete qe l es a medda mejor qe l.
4.- PROPAGACIÓN DE ERRORE E la maoría de las ocasoes a ez medda a o arías magtdes co ss errores, se trata de obteer los errores de otra otras magtdes relacoadas co las aterores. Así por ejemplo podemos medr el lado de cbo co s error a partr de este obteer el alor del olme co el so. 4. Fcoes de a sola arable ea dos magtdes e relacoadas por f() (3) Cado aramos e, obteemos e a aracó de así: +f(+) (4) Desarrollamos f(+) por Talor obteemos df () d f () +f()+. + +... (5) d d restamos, e ambos térmos de la ecacó os qeda d f () f '(). + d +... (6) spoemos qe es peqeño, mcho mas peqeño será, 3... Por tato e prmera apromacó teemos f '(). (7) tomamos alores absoltos para qe e sea postos f '(). (8) dode e so los errores absoltos de e respectamete. El error relato podríamos obteerlo a partr de ε (9) embargo el error relato també podríamos obteerlo ddedo la ecacó (8) por e ambos térmos. f '(). f () (0) qe podemos trasformarla e d l f() ε. () d 3
Así qe el error relato podemos obteerlo també tomado logartmo eperao de la fcó f(); derado esta ea fcó (l f()) co respecto a mltplcado por el error absolto de. Ejemplo. ea la fcó l, coocemos e, qeremos coocer los errores absolto relato de. Error absolto: f '() f '(). Error relato. ε ε f () l l o be aplcado la ecacó () os qeda l f() l [l()] d l (f()) d / l l ε l. A partr de este error relato també podemos obteer el absolto. 4.. Fcoes de aras arables Pede ocrrr qe la magtd de la qe qeremos obteer ss errores depeda de aras arables. f (,,... ) () E este caso spoedo razoameto smlar al caso de fcoes de a arable llegamos a: 4
)... f ( (3) o be ε )..., l f( (4) Es habtal tlzar a de las dos ecacoes para calclar el error absolto o relato tlzar la ecacó para obteer el otro error. Ejemplos: Dfereca de dos úmeros - f f. ( f ) + f f.. + + + ε Dsó de úmeros Tomado logartmos eperaos de os qeda: l - l l l f. l f. ) l f( + ε f l f.. ε + ε + ε + + ε ε 5.- DETERMINACIÓN DE LO ERRORE Como mos e la seccó, so dos los tpos de errores qe debemos teer e ceta e estro tratameto de errores, los de escala (.3) los accdetales (.4). 5
5. Errores de escala Como se mecoó aterormete este error depede del strmeto qe estemos tlzado para medr. E todo strmeto de calbrado (balazas, bretas, ppetas, etc) sólo es posble asocar úmero de cfras lmtado al resltado de la medda. E strmetos dgtales es el propo strmeto el qe lmta las cfras qe asoca a la medda las mprme e patalla (ej. la balaza dgtal). Por tato la últma cfra de las qe aparece e patalla es la qe se ecetra afectada de error, s la balaza marca.05 gr, dremos qe el resltado de la pesada es de.05±0.0 gr. E strmetos aalógcos (o dgtales) se pede asocar úmero de cfras segú la escala del aparato. La regla geeral es leer el strmeto dado tatas cfras como permta s gradacó estmar apromadamete a cfra más allá de la gradacó meor. Por ejemplo, teemos a ppeta qe mde hasta las décmas de mlltro marca poco más de.3 ml. se pede hacer a estmacó apromada de la cetésma decr qe se ha meddo.34ml (por ejemplo), edetemete esta últma cfra es apromada, se está cometedo error qe sele tomarse como meda dad de la escala del aparato, es decr, se debería epresar el resltado de esa medda como.34±0.05ml. Este certos strmetos de medda o gradados, como es el caso de los matraces aforados, para los cales el fabrcate establece el error qe habría qe cosderar e caso de qerer tomarlo e ceta. Por lo geeral estos strmetos so los sfcetemete precsos como para desprecar el error qe se comete al medr co ellos s se tlza adecadamete. 5. Errores accdetales Para catfcar estadístcamete el error accdetal debemos cosderar dos tpos de epermetos: aqellos qe cosste e determar certa magtd a traés de cojto de meddas aqellos e los qe dcha magtd se obtee a traés de a represetacó qe poga de mafesto la relacó etre dos arables. E el prmero de los casos dspodremos de cojto amplo de alores co los qe hallaremos la meda la desacó cadrátca meda (este últmo parámetro es el qe determa el error accdetal). E el segdo de los casos realzaremos a represetacó gráfca eremos qe parámetros so los qe os serrá para hallar el error. 6
5.. Aálss de error de cojto de meddas. pogamos qe se desea medr el alor de a determada propedad catfcables,, para ello se realza a sere de meddas qe da como alores de esa propedad el cojto:,, 3,.... El alor medo de la propedad e el cojto de meddas es la catdad: se cooce el alor eacto de la propedad, X, la desacó estádar o típca respecto al alor eacto ee dada por: σ ( X) Coee teer e ceta qe ca sele coocerse el alor absoltamete eacto de a propedad. Por tato, el térmo alor eacto debe tomarse e setdo o estrcto. Así, por ejemplo, se pede llamar alor eacto al qe se haa determado por algú otro procedmeto más precso qe el empleado e el epermeto e crso, o be el alor coocdo por la preparacó e el caso de patró, como scede e las eperecas de calbrado de aparato. o se cooce el alor eacto de la propedad se estma por la meda, la desacó estádar respecto de la medda ee dada por: s ( ) El cadrado de la desacó estádar recbe el ombre de araza (σ ó s ). Cado el alor de a propedad se estma por la medda de a sere de meddas, s se spoe qe las desacoes de las meddas ddales respecto al alor eacto sge a dstrbcó ormal, se pede estmar el error del alor meddo respecto al eacto (error accdetal co a fabldad α ó 00α %), como acc t α ( )s dode t -α (-) es el alor de la fcó t de tdet correspodete a - grados de lbertad para el alor de la arable gal a -α. 7
Así por ejemplo, el error accdetal estmado co α0.95 (95% de fabldad) para cojto de 6 meddas co desacó estádar s edría dado(apédce ): t 0. 05 (5)s 6 acc Como error absolto de la medda tomaremos acc + el resltado de la medda lo epresamos como.5706s med ± 5... Ajste por mímos cadrados a a recta pogamos qe cojto de datos, (, ),,... correspode a alores epermetales de dos magtdes qe sge a le de tpo leal: 6 ŷ β + ˆ 0 β E la práctca, los alores obtedos e epermeto se apartará del comportameto deal spestamete leal (be por qe el comportameto real o sea eactamete leal, por mprecsoes o errores e las meddas, etc). Es decr, para los datos epermetales: β 0 +β dode δ represeta desacoes de los alores obtedos respecto al comportameto deal spesto (resdos). E el ajste de los datos por el método de mímos cadrados se cosdera como estmacoes óptmas de los parámetros β 0 β los alores b 0 b qe reslta al hacer míma la sma de los cadrados de las desacoes: + δ δ ( b0 b ) es decr, los qe reslta de resoler el sstema de ecacoes: b 0 ( b0 b ) 0 ( b0 b ) 0 b Al resoler el sstema se obtee: b 8
co b0 b ( )( ) ( ) Σ Σ Ealacó de la caldad del ajste Ua dea acerca de la caldad del ajste ee dada por el llamado coefcete de regresó leal o coefcete de correlacó, R, defdo por: dode 0 R Σ (ŷ ) Σ ( ) ŷ b + b, metras qe es el correspodete alor meddo epermetalmete. Cato más prómo a la dad se ecetre R (e alor absolto), mejor cabe esperar qe se ajste los ptos a a recta. Desacó típca e teralo de cofaza para la pedete b Bajo certas sposcoes acerca de la dstrbcó probablístca de los resdos, ε, la desacó típca de la pedete pede estmarse por co s (b ) s s Σ ( ŷ dode es el úmero de meddas. El alor eacto de la pedete, β, se ecotrará compreddo e el teralo ) 9
b s.t ± α ( ) co a probabldad (fabldad o el de cofaza) de 00α%. Desacó típca e teralo de cofaza para la ordeada e el orge b 0 La desacó típca de la ordeada e el orge pede estmarse por σ(b 0 ) s. Σ los límtes correspodetes a a fabldad del 00α% edrá dados por: Σ 0 ± s..t α ( ) b Es decr, el resltado se presetará como: co a fabldad del 00α%. Σ β0 b0 ± s..t α ( ) Desacó típca e teralo de cofaza para alor terpolado ŷ. La desacó típca de alor terpolado 3, ŷ 0 e certo pto 0 pede estmarse por: s. ( 0 ) + Los límtes correspodetes a el de cofaza de 00α% edrá dados por: el resltado se presetará como: ( 0 ) 0 ± s. +.t α ( ) ŷ ( 0 ) 0 ŷ0 ± s. +.t α ( ) co a fabldad de 00α%, dode ŷ 0 b0 + b 0. Regresó ersa para alor de la ordeada, 0, se desea estmar certo teralo de cofaza de la arable e toro al pto ˆ 0 tal qe 0 b0 + bˆ 0, para el
de cofaza de 00α% dcho teralo edrá dado por [ I, ], dode I so raíces meor maor de la ecacó: dode P + Q + R 0 P b t s / Q t s / b ˆ 0 R b 0 t s / t s / ˆ co t t -α (-). Para qe la estmacó sea aceptable, el alor ˆ 0 debe caer detro del teralo [ I, ]. El resltado se presetará etoces como: co a fabldad del 00α%. 0 + I ± I 6.- PREENTACION DE REULTADO 6.- Cfras sgfcatas (C). Las cfras sgfcatas so aqellas cfras de a certa catdad qe coocemos co a certa segrdad. La últma C de dato es la prmera qe ee afectada de error. Por ejemplo, e a balaza dgtal qe mde hasta las cetésmas de gramo cosderamos qe coocemos eactamete las dades las décmas, pero la catdad correspodete a la cetésma es apromada, mprecsa, es la prmera cfra qe ee afectada por el error por lo tato la últma C. empre qe aamos a epresar a catdad obteda epermetalmete, lo haremos co ss cfras sgfcatas omtedo aqellas qe a detrás de la prmera qe se e afectada de error. Vamos a er ahora qé cfras de úmero so sgfcatas. Veremos e partclar cado so sgfcatos los ceros (los dígtos del al 9 so sempre sgfcatos):.- Los ceros colocados a la zqerda de dígtos -9 o so sgfcatos. El dato 0.086 tee sólamete 3 C..- Los ceros colocados detrás de dígtos -9 además a la derecha del pto decmal sí so sgfcatos. El dato 0.0860 tee 4 C; 4.00 tee 4 C.
3.- Los ceros colocados etre dígtos -9 so sgfcatos. 0.4 (4 C), 4.00 (7 C). 4.- E caso de úmeros eteros, los ceros colocados a la derecha o so sgfcatos a meos qe se escrba el pto decmal eplíctamete, e co caso, sí lo so. Ej. 600 tee C, pero 600. tee 4 C. No obstate e estos casos es más cómodo epresar el etero e potecas de 0 dejado claro cátas cáles so las C, por tato, dóde está la mprecsó míma: Dato C mprecsó 6. 0 4 ±000 6.0 0 4 3 ±00 6.00 0 4 4 ±0 6.000 0 4 5 ± 6. Presetacó de resltados mércos A la hora de dar como alor de a propedad el resltado de epermeto, es ecesaro teer e ceta o sólo el alor estmado de la propedad (por lo geeral, el alor medo de las meddas efectadas e el epermeto) so el error estmado e dcho alor. El resltado se dará etoces e la forma: ± se dcará la fabldad α co qe se estmó el error. Este resltado debe terpretarse como qe ha a probabldad α de qe el alor eacto de la propedad se ecetre (, + ) compreddo e el teralo. El alor de se dará co a cfra sgfcata (e caso e qe la prmera cfra sgfcata sea la dad, pede darse dos), el alor medo,, se dará co tatas cfras como sea ecesaro hasta llegar a la prmera afectada por el error (la segda s el error se da co dos cfras). Tato e el alor como e el error estmado, se redodeará la últma cfra sgfcata. Además, se debe dcar las dades e qe se da el alor e caso de qe las haa.
Así, por ejemplo, s e epermeto de medda de a ressteca eléctrca, R, se obtee alor promedo de la propedad R de.376ω el error estmado es de 0.057Ω, el resltado se presetará como: R.38 ± 0.0 Ω o be R.376 ± 0.06 Ω 6.3 Presetacó de resltados gráfcos Las represetacoes gráfcas s lstratos útles para a) Coocer la forma aalítca qe establece la depedeca etre dos propedades, paralela...etc. b) Teer a mage qe faclte la terpretacó de a tabla de datos. La forma de represetar los gráfcos de dos arables debe ser: Partes de la gráfca..- Títlo: També llamado pe de fgra. Debe dar a descrpcó bree, objeta o sperfla del cotedo propósto de la gráfca. Debe redactase de modo qe /a lector/a teresado/a peda compreder dcha formacó..- Rótlo de los ejes: Cada eje debe rotlarse claramete co el ombre de la magtd qe se represeta las dades e qe se epresa, separadas por a barra de dsó; de esta forma los datos especfcados e los ejes se etederá qe esta dddos por esa dad. Ej. rótlos para masa: Masa/g, Masa/Kg, etc. 3.- Escalas: Debe elegrse cdadosamete de modo qe el cojto de ptos a represetar ocpe toda la gráfca o aparezca todos apelmazados e a zoa de la msma. Para hacer cómoda la terpretacó de la gráfca debe procrarse sar dsoes como,,3... ó 5,0,5... ó 0,0,30... etc. Esto faclta estmar alores termedos a los represetados. També tees qe teer e ceta qe o es ecesaro qe los ejes empece e 0, so qe pede empezar e calqer alor coeete al cojto de datos a represetar; por ejemplo, s represetamos eje de temperatras prómas al ambete sas grados Kel, la gráfca sería desastre s empezaras e 0K: apelmazarías todos los alores e toro a 300K.
4.- Ptos: Los ptos correspodetes a a pareja de datos debe marcarse claramete, tlzado, clso círclos. Asmsmo, dado qe los ptos de a gráfca de orge epermetal tee a mprecsó estmada o coocda., ésta pede señalarse medate barras qe lstre el error correspodete a esa medda. 5.- La Cra: Debes trazar a recta (o a cra) qe se aprome lo más posble a los ptos qe compoe la gráfca. Para el caso de a recta, la recta trazada debe ser la obteda por el aporte de mímos cadrados (seccó 5..) U ejemplo de gráfca pede erse e la Fgra, dode se represeta la presó de apor del aga frete a la temperatra e C.