Clases 9-10: El proceso de Wieer y los paseos al azar: el teorema de Dosker * 6 de oviembre de 2017 Ídice 1. Itroducció 1 2. Paseos al azar 1 3. Paseo al azar co variables gaussiaas 2 4. Paseo al azar de Beroulli simétrico 3 A. Sobre los mometos de T 1 8 1. Itroducció El teorema de Dosker establece la covergecia débil de u paseo al azar coveietemete ormalizado al proceso de Wieer. Es ua geeralizació del teorema cetral del límite al caso de procesos estocásticos, por lo que se lo llama teorema cetral del límite fucioal Es etoces el susteto teórico de la simulació. E estas clases itroducimos los paseos al azar y demostramos el teorema de Dosker e dos casos particulares: para el paseo al azar co variables gaussiaas y para el paso al azar co variables simétricas de Beroulli. 2. Paseos al azar U paso al azar es u proceso estocástico de tiempo discreto costruido a partir de ua sucesió de variables aleatorias idepedietes y co distribució comú X 1, X 2,... 2017. * Notas preparadas por E. Mordecki para el curso de Simulació e procesos estocásticos 1
de la siguiete forma: S 0 = 0, S = X 1 + + X ( 1). Para obteer u límite e primer lugar supoemos que las variables está cetradas y tiee variaza uo, es decir EX 1 = 0, varx 1 = 1. De aquí resulta que ES = 0, mietras que vars =. E segudo lugar escalamos el proceso. La idea es que queremos ver a este paseo al azar co ua catidad creciete de sumados e u itervalo fijo, y parametrizado como el moviemieto Browiao, digamos t [0, 1]. Esto se obtiee de cosiderar S, dode es la parte etera de t. Para t = 1 obteemos vars [1] = vars =. Para obteer u límite teemos que teer ua variaza costate. Por eso cosideramos X (t) = 1 S, t [0, 1]. (1) El teorema de Dosker establece que X coverge a W e u setido que o vamos a precisar 1, pero vamos a demostrarlo e dos casos particulares. 3. Paseo al azar co variables gaussiaas Supogamos ahora que X 1, X 2,... so variables aleatorias idepedietes gaussiaas estádar, y costruyamos como ates X (t) = 1 S, t [0, 1]. Cosideremos u proceso de Wieer W = {W (t): 0 t 1}, y la fució escalera x : [0, 1] [0, 1], defiida como x (t) =, (2) Si x(t) = t, observemos que x x, dode la covergecia es uiforme e [0, 1]. Recordemos el siguiete resultado. Proposició 1. Sea f : [0, 1] R ua fució cotiua, y ua sucesió de fucioes (que actúa como cambios de tiempo) x x, dode la covergecia es uiforme. Etoces f(x (t)) coverge uiformemete a f(x(t)), es decir f x f x, t [0, 1], dode represeta la composició de fucioes. 1 El lector iteresado puede cosultar el libro Covergece of Probability Measures, 2d Editio, por P. Billigsley 2
Demostració. Sea ε > 0. La fució f es uiformemete cotia, luego existe δ > 0 tal que f(x) f(y) < ε siempre que x y < δ. Para ese δ existe 0 tal que x (t) x(t) < δ si 0. Etoces, para esos mismos, teemos f(x (t)) f(x(t)) < ε, que es la tesis. Cosideremos ahora el proceso estocástico Y (t) = W (x (t)), dode x es la fució escalera defiida e (2). No es difícil verificar que las leyes (fiito-dimesioales) de los procesos X defiido como e (1) co variables gaussiaas estádar e Y coicide. Además, como las trayectorias de W so cotiuas teemos, casi seguramete Y W. E coclusió, el teorema de Dosker toma la siguiete forma e este caso. Teorema 1. Dada ua sucesió de variables aleatorias idepedietes ormales estádar {X k }, el proceso estocástico {X (t): 0 t 1} e (1) tiee ua copia Y (es decir, otro proceso co la misma distribució) tal que P(Y (t) W (t), t [0, 1]) = 1. 4. Paseo al azar de Beroulli simétrico La seguda versió del teorema de Dosker es más iteresate, y o es ta directa como la aterior. Comezamos euciado el siguiete resultado sobre las trasformacioes del proceso de Wieer. Proposició 2. Sea {W (t): t 0} u proceso de Wieer. Etoces, so procesos de Wieer los siguietes procesos: (1) El proceso simétrico: {W 1 (t) = W (t): t 0}. (2) El proceso trasladado: {W 2 (t) = W (t + a) W (a): t 0}, cualquiera sea a > 0. (3) El proceso escalado: {W 3 (t) = cw (t/c): t 0}, cualquiera sea c > 0. Demostració. La demostració de esta proposició se obtiee aplicado la defiició de proceso de Wieer e cada uo de los casos. Las variables aleatorias idepedietes {X k } ahora tiee distribució comú de Beroulli simétrica, es decir P(X k = 1) = P(X k = 1) = 1 2. De aquí EX k = 0 y varx k = 1, y costruímos X como e (1). La técica de demostració de la aproximació es la misma: dado u proceso de Wieer 3
W = {W (t): 0 t 1} costruiremos u paseo al azar simétrico Y co igual ley que X, que coverge a W (e u setido a precisar). Para eso itroducimos ua ueva variable aleatoria (deomiada tiempos de parada) que idica el primer arribo al del proceso a los iveles ±1: T 1 = íf{t 0: W (t) = 1}. (3) Veamos que T 1 es casi seguramete fiito. E efecto ( ) P(T 1 t) = P máx W (s) 1 P( W (t) 1) 0 s t = 2 1/ t 0 ϕ(x)dx 1 2πt 0 (t ). Aquí ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 es la desidad ormal estádar. De la propiedad (1) (proceso simétrico) obteemos que el proceso deteido al llegar a ±1, es decir, W (T 1 ) es ua variable aleatoria simétrica, es decir P(W (T 1 ) = 1) = P(W (T 1 ) = 1) = 1 2. Así costruímos Y 1 = W (T 1 ), la primera variable de Beroulli simétrica. La costrucció de las siguietes requiere alguos resultados auxiliares (que tiee importacia por sí mismos). Teorema 2. Dados u proceso de Wieer {W (t): t 0} y la variable aleatoria T 1 costruída como e (3), el proceso W 2 dado por W 2 (t) = W (t + T 1 ) W (T 1 ), t 0, es u uevo proceso de Wieer, y es idepediete del proceso {W (t T 1 ): t 0}. Demostració. Como W 2 (0) = 0 y {W 2 (t): t 0} es cotiuo casi seguramete, os resta demostrar las dos últimas codicioes de la defiició de movimieto Browiao y la idepedecia. Esto es equivalete a verificar que, dados 1, 0 = t 0 < t 1 < t l, la distribució del vector (W 2 (t 1 ) W 2 (t 0 ),..., W 2 (t l ) W 2 (t l 1 )) N (0, diag(t j t j 1 ) 1 j l ), (dode diag(x) es la matriz co las etradas de x e la diagoal) y que este vector es idepediete de sucesos que depeda de las coordeadas de W 2 (t T 1 ). Si B uo de estos sucesos, teemos que demostrar que E 1 B exp i λ j (W 2 (t j ) W 2 (t j 1 )) = P(B) exp 1 λ 2 2 j(t j t j 1 ). 4
Para demostrar esta afirmació, aproximamos uestro tiempo de parada T 1 mediate T = [2 T 1 ] + 1 2 = k + 1 2, cuado k 2 T 1 < k + 1 2. Teemos que T T 1 c.s. Como el itegrado es acotado, E 1 B exp i E E key λ j (W 2 (t j ) W 2 (t j 1 )) = E 1 B exp i E λ j (W (T 1 + t j ) W (T 1 + t j 1 )) 1 B exp i λ j (W (T + t j ) W (T + t j 1 )) 1 B {T=k2 } exp i 1 B {T=k2 } exp i λ j (W (T + t j ) W (T + t j 1 )) λ j (W (k2 + t j ) W (k2 + t j 1 )) P(B {T = k2 })E exp i λ j (W (k2 + t j ) W (k2 + t j 1 )) P(B {T = k2 }) exp 1 λ 2 2 j(t j t j 1 ) = P(B) exp 1 λ 2 2 j(t j t j 1 ). La igualdad clave ( key = ) se basa e la idepedecia de los icremetos futuros a k2 y el suceso B y la variable T 1, que depede de tiempos ateriores a k2. Esto cocluye la demostració. Cotiuamos co la costrucció etoces. Defiimos T 2 = íf{t 0: W 2 (t) = 1}. La repetició del argumeto aterior, os lleva a obteer que Y 2 = W 2 (T 2 ) es ua variable de Beroulli simétrica, idepediete de W (T 1 ). Observemos que Y 1 + Y 2 = W 2 (T 2 ) + W (T 1 ) = W (T 1 + T 2 ). Es claro que este proceso se 5
puede repetir, y e cada paso el esquema es el mismo. Obteemos etoces ua sucesió de variables aleatorias simétricas de Beroulli {Y k } tales que Y k = W. (4) T k Veamos ahora que, para cualquier δ > 0, P sup 1 T k t 0 t 1 δ 0, ( ), o, e otros térmios x (t) = 1 T k t, e probabilidad. (5) Veamos que probar (5) es equivalete a probar que Esto es porque 1 (T k 1) 0, e probabilidad. (6) 1 1 = t. Para ver (6) utilizamos el siguiete resultado. Teorema 3 (Desigualdad de Kolmogorov). Sea X 1,..., X variables idepedietes y cetradas, co segudo mometo fiito, y sea S k = X 1 + +X k (k = 1,..., ). Etoces, para ε > 0, se verifica ( ) P máx S k ε 1 1 k ε 2 E(S2 ). Demostració. Cosideremos el cojut A = {máx 1 k S k ε}, y los cojutos disjutos A k = { S 1 < ε,..., S k 1 < ε, S k ε}. 6
que verifica A = A k. Teemos E(S 2 ) E(S 2 1 A ) = = = = = E(S1 2 Ak ) = E((S S k + S k ) 2 1 Ak ) E([(S S k ) 2 + (S k ) 2 + 2S k (S S k )]1 Ak ) E([(S S k ) 2 + (S k ) 2 + 2S k (S S k )]1 Ak ) E([(S S k ) 2 + (S k ) 2 ]1 Ak ) E((S k ) 2 1 Ak ) ε 2 E(1 Ak ) = ε 2 P(A), lo que prueba el resultado. Aquí os basamos e la idepedecia etre por u lado A k y S k y por otro S S k, de la que resulta E([S k (S S k )]1 Ak ) = E(S S k )E(S k 1 Ak ) = 0 Para demostrar (6), precisamos saber que E T 1 = 1 y que E(T1 2 ) <. Co esos datos las variables aleatorias X k = T k 1 so idepedietes, cetradas y co variaza fiita. Etoces ( ) P máx (T k 1) 1 k ε 1 ε 2 E(T 1 1) 2 0, obteiedo (6). Ahora aplicamos la trasformació del cambio de escala (3) de la proposició 2, dode defiimos Ŵ (t) = W (t/) que es u Movimieto Browiao. Escribamos la igualdad (4) e térmios de Ŵ. Teemos 1 Y k = Ŵ 1 T k Ŵ (t), e probabilidad. (7) Hemos demostrado el siguiete resultado. Teorema 4 (Teorema de Dosker para el paseo al azar simétrico). Existe ua sucesió de variables aleatorias de Beroulli simétricas e idepedietes {Y k } y u movimieto Browiao Ŵ tales que vale (7). 7
A. Sobre los mometos de T 1 Para completar la demostració aterior, precisamos establecer que E T 1 = 1, E(T 2 1 ) <. (8) Esto se puede hacer utilizado el siguiete hecho: Si H (x) es el poliomio de Hermite de orde y {W (t)} es u movimieto Browiao, etoces M (t) = t /2 H (W (t)/ t), es ua martigala. Los primeros poliomios de Hermite so H 1 (x) = 1, H 2 (x) = x 2 1, H 3 (x) = x 3 3x, H 4 (x) = x 4 6x + 3. Utilizaremos esta idetidad para = 2 para la esperaza y = 4 para el segudo mometo, aplicado el teorema opcioal de Doob para martigalas. Lo haremos directamete, la prueba formal exige cosiderar los tiempos de parada T 1 y tomar límite cuado. Como M 2 (t) = W (t) 2 t es ua martigala, la aplicació del Teorema de Doob os da 0 = EW (T 2 1 ) E T 1. Como W (T 1 ) 2 = 1, obteemos E T 1 = 1, la primer afirmació de (8). Para la seguda utilizamos M 4 (t) = W (t) 4 6W 2 (t)t + 3t 2. Aquí uevamete W (T 1 ) 4 = W (T 1 ) 2 = 1, por lo que la aplicació del teorema de Doob os da 0 = 1 6E T 1 + 3E(T 2 1 ), de dode completado (8). E(T 2 1 ) = 5/3, 8