Núeros reles y sus propieddes. (Nots redctds por A. DIEGO y M. I. PLATZECK pr el curso de Mteátic Geerl) Los úeros turles,,,..., h sido credos por el hore pr cotr los ojetos de cojutos fiitos, el úero turl es u edid de l ctidd de ojetos de u cojuto. Pero es ecesrio edir o coprr tié logitudes, áres, volúees, pesos, ctiddes de clor, de electricidd, etc.. Pr este tipo de ctiddes seos decidir cuádo dos de ells so equivletes o igules, edite experiecis propids. (Dos vrills que se puede hcer coicidir so igules e logitud, dos cuerpos que equilir u lz de pltillos so igules e peso, etc.). Se se deás sur dos ctiddes de u is especie y sudividir u ctidd dd e prtes igules. De hor e delte, cosiderreos el prole de edir ctiddes e el cso de logitudes. El prole de precisr l oció de edid o logitud de u segeto se presetó teprete los geóetrs griegos hce uos 5 siglos. Ddo u segeto OU que se cosiderrá coo uidd de edid y otro segeto PQ, puede ocurrir que PQ se pued prtir e segetos igules OU; e este cso es l edid o logitud del segeto PQ (co respecto l uidd OU ). P Q O U Nturlete, l circustci terior es csul. E geerl, OU o crá u úero excto de veces e PQ. Sudividos hor l uidd OU e prtes igules. Se dice que cd u de ests prtes (suúltiplos de OU) tiee logitud igul. Si se tiee u segeto PQ que puede dividirse e exctete prtes igules de logitud, se dice que l logitud de PQ es. E el ejeplo de l siguiete figur, l logitud de PQ (co respecto l uidd OU ) es 7 5. O U P E l figur siguiete, el segeto AC es el segeto su de los segetos AB y BC. A B C OBSERVACIONES: ) Es clro que si se sudivide l uidd OU e prtes igules y luego cd u de ells e p prtes igules, l uidd OU quedó sudividid e p prtes, de odo que l edid de cd u de ells es. Necesitreos etoces p segetos cosecutivos de p es edid pr oteer uo de los segetos resulttes de l prier sudivisió, es decir que: p =. p
) U cosecueci iportte de l oservció terior es que r r p = p r y que ell os dice que si l edid de u segeto es respecto de l uidd OU, es decir que el iso puede dividirse e r prtes igules de logitud podrá dividirse e r p prtes igules de logitud. p, es clro que tié ) Otr cosecueci iedit es que si e l figur siguiete, l edid de AB es de BC es q etoces l edid de AC es A p + q. B C p y l Coo resultdo de ls oservcioes teriores es fácil verificr que, si respecto de l uidd OU, l edid de AB es y l de BC es r s + r, etoces l de AC es. s s r s r s + r Esto es: + = + =. s s s s Por otro ldo, puede tié verificrse que si l edid de u segeto CD co relció l uidd AB es r s y l edid de AB e relció co l uidd OU es, l edid de CD r r r e relció OU es, (esto es = ). Por ejeplo, ls prtes de u segeto s s s 5 que ide tiee logitud 8 =. 5 5 Históricete, los úeros rcioles h surgido de l ecesidd de edir distitos tipos de ctiddes y ls opercioes etre ellos (su y producto) preciero turlete e l for que se idic e el párrfo terior. Ddo u segeto OU, puede pregutrse si culquier segeto PQ tiee u edid rciol co respecto l uidd OU, e l for idicd tes, es decir, si hy lgú suúltiplo de OU que quep exctete u úero etero de veces e PQ. L respuest es egtiv y fue dd por los teáticos Pitgóricos de l er que vereos cotiució: L hipoteus OP de u triágulo rectágulo isósceles OPU o tiee edid rciol co respecto l uidd OU. P O U
E efecto, supogos por el surdo, que l edid de OP es el úero rciol. Por el teore de Pitágors tedríos que: = + = Esto es u surdo porque: El cudrdo de u úero rciol o puede ser. Veáoslo: Podeos supoer, siplificdo los posile fctores coues del uerdor y del deoidor, que es irreducile. Si fuese =, resultrí que =, es decir que es u úero pr. El etero o puede ser ipr pues su cudrdo serí ipr y que: ( k ) k k ( k k) + = + + = + + E cosecueci: es pr, o se = q, pero etoces = q =, lo que iplic que q =. De quí result, coo tes, que es pr, pues su cudrdo lo es. Cocluios etoces que y so pres, lo que cotrdice l hipótesis de que es irreducile. OBSERVACIÓN : Se puede ecior otr deostrció de este hecho, que se s e el Teore Fudetl de l Aritétic, es decir, e el teore que fir que culquier úero etero positivo puede descopoerse coo u producto de úeros prios, e u úic for, excepto por el orde de los fctores. E efecto, si reeplzos e l fórul =, ls expresioes de y coo productos de fctores prios, todo, por ejeplo otedreos que k k k = 5 L, = r r 5 r L k k k r+ r r 5 L= 5 L lo que es u cotrdicció, pues el prier iero tiee u ctidd pr de fctores, ietrs que el segudo iero tiee u ctidd ipr. Auque ests dos deostrcioes se s e técics uy distits (el hecho de que el cudrdo de u úero pr o ipr tiee el iso tipo de pridd que el úero origil l prier, ietrs que l segud hce uso de ls regls de l divisiilidd) s se s e l prue por reducció l surdo, es decir, e el uso del pricipio de o cotrdicció y so e cosecueci, deostrcioes idirects, que uchs veces terios ceptdo por filiridd, uque co u sesció de icoodidd y descofiz, hst ejr co coveciieto ls regls de l lógic. Not: Est Oservció gregd e itálic h sido gregd ls Nots origiles de lo profesores Diego y Pltzeck. E.N. Güichl.
Después de esto, l situció se plte e los térios siguietes: los úeros rcioles o so suficietes pr sigr cd segeto u edid y l solució turl fue l de plir el siste de los úeros rcioles (positivos) gregádoles otros úeros, de er que todo segeto se pudiese sigr coo edid uo de estos úeros y que cd uo de estos úeros correspodiese l edid de u segeto. Estos úeros dee estr ordedos de odo que úeros (edids) yores correspod segetos ás grdes. U úero x qued crcterizdo por sus proxicioes rcioles por defecto y por exceso. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Recordeos co u ejeplo el sigificdo de l represetció decil de u úero: 98, 7 = 0 + 9 0 + 8 0 + + + 7 +. 0 0 0 Oserveos e este puto que u úero cuy represetció decil es fiit, es u úero rciol. El siste decil de escritur h coducido turlete l dopció del siste étrico decil; e térios geerles, este siste cosiste e edir ctiddes utilizdo suúltiplos igules 0, 0,, etc., de l uidd de edid. 0 Es clro lo que sigific decir que u segeto ide 98,7. Pero l edir u segeto PQ puede ocurrir que su edid x o se u últiplo de, por grde que elijos. 0 E este cso el úero decil fiito (luego rciol) 0, L oteido e el proceso de edició es sólo u edid proxid por defecto del segeto PQ (co u error eor que 0 ). Deeríos escriir etoces x coo u expresió decil ifiit: x = 0, L L Recíprocete, u expresió decil ifiit de este tipo, podeos hcer correspoder u segeto de edid x. L escritur decil os provee sí de u er cóod de desigr u úero rel. A los úeros rcioles correspode expresioes deciles periódics, por ejeplo: = 0, L = 0, 857857L 7 =, 888L 0 = 0, 5 = 0, 500000L
Decios que estos úeros so periódicos porque u secueci de cifrs, lld período, se repite idefiidete prtir de u cierto dígito. Así, e l expresió de se repite 8. 0 E el cso de, se repite 0 idefiidete. Pr evitr igüeddes, se prefiere l otció = 0, = 0, 857 7 =, 8 0 = 050, = 05, E estos ejeplos, l expresió decil se otiee hciedo l divisió e l for hitul. No es difícil covecerse de que relete l edid sigr u segeto de, por ejeplo, logitud, utilizdo el siste étrico decil, es 0,. Deostrreos hor que: ) L represetció decil de u úero rciol es periódic. y recíprocete: ) Si u expresió decil de u úero es periódic, el úero es rciol. ) Otegos e prier lugr l expresió decil de 9. 9 90 60 0,6857 0 0 80 00 0 60 Al llegr este puto, o hce flt proseguir l divisió, pues el que preció e el segudo lugr del cociete precerá hor, y que se otuvo de dividir 60 por y ést es l oper-ció que se dee relizr cotiució. De l is er, seguirá luego, 8, 5, 7,. Veos sí que lo que otiv l periodicidd es l repetició de u resto l dividir, 6 e el cso terior. Se preset l pregut: ocurre est repetició e geerl, l dividir u úero turl por u úero turl? L respuest es sí, pues los posiles restos so 0,,,...,,. (0,,,..., e el cso del ejeplo), luego, después de lo suo psos uo de los restos se repite. ) Coeceos co u ejeplo. Se =, L =, = + 0, 5
0 =, L =, = + 0, Restdo iero iero s expresioes oteeos: 0 =, = 08, o se: ( 0 ) = 99 = 08. Luego: = 08 99. E este ejeplo, el período coiez ieditete después de l co y tiee dos cifrs. Se h ultiplicdo por 0 = 00 co el ojeto de correr dos lugres l co decil. Heos oteido sí el úero,, que tiee l is prte decil que =, L, de odo que l restrle se otiee u úero etero. Es fácil copreder que, si e u úero el período tiee p cifrs siguiedo ieditete l co decil, 0 p será u úero etero y etoces, de 0 p =, result: = p 0. (Nótese quí que 0, 9999L= 0, 9 = ) Heos prodo que si el período sigue ieditete l co decil, el úero correspodiete es rciol. Si el período o sigue ieditete l co decil procedereos coo se ilustr e el ejeplo siguiete: Se =, 87L =, 87. Etoces 0 = 87, L = 87,. Heos ultiplicdo por 0 pr reducir l situció l cso terior, o se, correr l co de odo que el período coiece ieditete después de l co. Aplicdo etoces el procediieto visto, l úero 87, oteeos: 8605 0 = 87, =, 999 luego = 8605 99900. E el cso geerl, si el período coiez r cifrs después de l co, ultiplicdo por 0 r os colocos e el cso terior. L proposició terior tiee por ojeto distiguir los úeros rcioles por su expresió decil. Es coveiete recordr quí que los úeros que o so rcioles se ll irrcioles. Podeos idicr hor fácilete ejeplos de estos úeros: 0,0000000000 0, (dode el desrrollo decil cotiú segú se sugiere e ls cifrs escrits). Por u ví diferete heos ddo teriorete otro ejeplo de úero irrciol, e efecto, l logitud x de l hipoteus de u triágulo rectágulo isósceles cuyos ctetos tiee 6
logitud verific x = y segú proos x o es rciol. Dicho reveete, es irrciol. Hst hor heos hldo de úeros positivos. Históricete, los úeros egtivos preciero recié pricipios del siglo XVII (preteete sugeridos por el desrrollo de ls ctividdes coerciles: u deud podí ser cosiderd coo u ctidd egtiv). E est époc se covio e gregr los úeros positivos los úeros egtivos de u er forl: co cd úero positivo x se cosider su egtivo correspodiete: x, de er que x+ ( x) = 0. Todos estos úeros costituye el cojuto IR de los úeros reles. Este cojuto cotiee l cojuto Q de los úeros rcioles (costituido por los rcioles positivos, sus egtivos y el cero). Se deoi Z l cojuto de los úeros eteros, costituido por los úeros turles,,,,, sus egtivos y el cero. El cojuto de los turles se otrá co IN. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES. Dd u rect y dos putos diferetes O y U e ell, elijos OU coo uidd de logitud; llreos l seirect OU l seirect positiv y l seirect opuest, l seirect egtiv. O Ddo u puto P e l seirect positiv, l edid del segeto OP se deoi l scis de P. Si S es u puto de l seirect egtiv y P, de scis x, es su siétrico respecto de O, l scis de S es: x. - x 0 x S O U P Se tiee sí u correspodeci etre los úeros reles y los putos de l rect que soci cd puto su scis. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES. El propósito de este párrfo es destcr cierts propieddes ásics que goier el cálculo co úeros reles. U vez estlecids ess propieddes deducireos de ells ls regls hitules de cálculo. L su y el producto de los úeros turles verific ls propieddes socitiv y couttiv y l ultiplicció es distriutiv co respecto l su. Si gregos los turles el 0 se tiee tié + 0 =. Ls opercioes de su y producto etre rcioles positivos: r s + r + = s rs y r U s = rs, coserv ests propieddes. Pero deás, ddo u úero rciol distito de 0, el úero s = es tl que = r r =, s. Se puede rzoleete ditir que tods ests 7
propieddes de los úeros rcioles se coserv pr los úeros reles, ddo que éstos se puede proxir tto coo se quier por úeros rcioles. L itroducció de los úeros egtivos perite escriir deás l iguldd + ( ) = 0. Coviee destcr que culquier defiició teáticete riguros de los úeros reles etrñ dificultdes que está fuer del lcce y los propósitos de este curso. Defiicioes de este tipo se h foruldo recié e l segud itd del siglo psdo. (E u Apédice l fil de ests Nots, se greg lguos coetrios relciodos co ests dificultdes) PROPIEDADES BÁSICAS DEL CÁLCULO. Si,, c so úeros reles, se verific ls siguietes propieddes: S- ASOCIATIVIDAD DE LA SUMA: ( + ) + c = + ( + c). S- CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA: + = +. S- 0 ES NEUTRO ADITIVO, o se: + 0 =, pr todo IR.. S- TODO NÚMERO REAL TIENE INVERSO ADITIVO, esto es: ddo IR, existe u úico úero rel, que otreos co, tl que + ( ) = 0. M- ASOCIATIVIDAD DEL PRODUCTO: ( ) c = ( c). M- CONMUTATIVIDAD DEL PRODUCTO: =. M- ES NEUTRO MULTIPLICATIVO, o se: =, pr todo IR.. M- TODO NÚMERO REAL DISTINTO DE 0 TIENE INVERSO MULTIPLI- CATIVO, esto es: ddo IR, 0, existe u úico úero rel, que otreos co, tl que =. D- DISTRIBUTIVIDAD DEL PRODUCTO CON RESPECTO A LA SUMA: ( + c) = + c. Notreos: + ( ) = = (( + ) + c) + d = + + c+ d ( ) c d = c d ( ) L =. veces 8
Núeros reles y sus propieddes. (cot.) (Nots redctds por A. DIEGO y M. I. PLATZECK pr el curso de Mteátic Geerl) ALGUNAS PROPIEDADES USUALES QUE SE DEDUCEN DE LAS ANTERIORES. Adeás de ls propieddes eucids precedeteete, es sido que los úeros reles tiee otrs propieddes. Algus de ésts so t siples que el lector se pregutrá segurete pr qué hce flt u deostrció. Por ejeplo, osotros proreos que 0 = 0, cos ie coocid. Al decir que proreos que 0 = 0, se quiere sigificr que podeos deducir l vlidez de est propiedd utilizdo solete ls propieddes ásics explícitete eciods tes. Nturlete, u ltertiv rzole es icluir 0 = 0 etre ls propieddes ásics y podríos icluir tié etre ésts, uchs otrs propieddes de cuy vlidez está covecido el lector. Otedríos de este odo u list stte ueros de propieddes que ú sí o icluirí uchs propieddes que se puede presetr e los cálculos. L elecció de este pequeño úero de propieddes ásics es guid e defiitiv por l ide de ecooizr esfuerzos: co sólo eorizr ests propieddes uo puede deterir l vlidez de tod otr propiedd lgeric que se ecesite e el cálculo. Osérvese que ls propieddes socitiv y couttiv de l dició so ls que os perite supriir prétesis e itercir el orde de los sudos; sí, puede verificr el lector que: (( d + c) + ( e+ ) ) + = + + c+ d + e. Aálog propiedd vle pr u producto de vrios fctores. REGLAS PARA DESPEJAR.. + x = equivle x =. E efecto, sudo os ieros de l iguldd + x =, se tiee: + x+ ( ) = + ( ), o se 0 + x =, esto es: x =.. Si 0, x = es equivlete x =. Bst ultiplicr e este cso por y se tiee x =, o se: x = x =. De quí oteeos l ley de siplificció: Si 0 y x = y, etoces x = y.. ( ) =. Result de despejr e + ( ) = 0.
. = ( 0 ). Result de despejr e = 5. ( + ) =. Result de despejr e ( + ) + ( ) = 0. Aálogete se ve que ( + + c+ d) = c d.. 6. Aulció de u producto: 0 = 0 y si = 0, etoces = 0 ó = 0. Proeos priero que 0 = 0 : 0 = ( 0+ 0) = 0+ 0. Restdo os ieros 0 se tiee que 0= 0. Supogos hor que = 0. Si 0, 0 0 = =. Luego = 0. E geerl, si el producto de vrios fctores es cero, por lo eos uo de ellos es cero. Est regl es útil e l resolució de ecucioes. Por ejeplo, ls solucioes de l ecució: ( x + ) + x = 0 x so:, y 0. E efecto, es l úic solució de ( x + ) = 0, es l úic solució de + = 0, 0 es l úic solució de x = 0. Por l regl de l ulció del producto, x ésts so ls úics solucioes de l ecució dd. 7. Regls de los sigos: ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) =. Proeos priero que ( ) = ( ) : + ( ) = ( + ( ) ) = 0 = 0 Despejdo ( ) se otiee: ( ) = ( ). ( ) ( ( )) Filete: ( ) ( ) = ( ) =. (E el últio cso utilizos l regl ). 8. Regls reltivs l cociete: c = equivle : d = c. d c d c ± = ± d d c c = d d
c d d = c = = = c + = +. c c A título de ejeplo proreos que: c d c + = +. Multipliqueos os d d ieros por d : c d + = d + d c = d + c; d d Por otr prte: d d + c = d + c; d Luego: c d d d + + = c. d d Siplificdo d se otiee l iguldd desed. (Nótese que d 0 ) 9. Utilizdo l propiedd distriutiv, se prue que: ( + ) ( c+ d) = c+ d + c+ d ( + ) = + + ( ) ( + ) = Si IN, = ( ) + + L + = + + L + = + + L + veces veces veces 0. Regls de l potecició. = ; = ( ) = si, IN ; + ( ) = Recordeos título de ejeplo: = L L = L = veces veces + veces si, IN. Agregreos hor uestr list de propieddes ásics ls que se refiere l orde: O- Ddo u úero rel, u y sólo u de ls siguietes ltertivs es válid: ) = 0, ) es positivo, ) es positivo. O- L su y el producto de úeros positivos es u úero positivo. +
Coviee dvertir que = ( ) = es positivo. puede ser positivo; por ejeplo, cudo =, Nturlete, < (ó > ) sigific que es positivo. E prticulr, 0 < quiere decir que 0 = es positivo. Oserveos que si <, etoces <, pues lo priero sigific que > 0 y < sigific que ( ) = > 0. L otció ( ) sigific que, o ie es <, ó =. Por ejeplo: pues < y pues =. Trsitividd del orde. Si < y < c, etoces < c. E efecto: < quiere decir que > 0, < c quiere decir que c > 0. Sudo y teiedo e cuet O, result que + c > 0, o se: < c. Leyes de ootoí. De l su: Si < etoces + c < + c. Del producto: Si < y c > 0, etoces c < c. Proeos l segud: Coo <, > 0, pero tié c es positivo, luego por O result que ( ) c > 0, es decir que c < c. E cio, si < y c < 0, l desiguldd se ivierte, es decir: c > c. Dejos l verificció crgo del lector. Sigo del producto. De lo terior result que: Si > 0 y > 0, etoces > 0. Si < 0 y > 0, etoces < 0. Si < 0 y < 0, etoces > 0. Result de esto que el producto de vrios fctores o ulos es positivo si hy u úero pr de fctores egtivos y es egtivo e cso cotrrio. E prticulr, el cudrdo de culquier úero o ulo es positivo. Note que de quí result que = > 0 y tié que si > 0, 0 > y etoces > 0 si y so os positivos o ie si y so os egtivos. EJEMPLOS:. Nos iteres ser el sigo de ( x ) ( x + ) (pr cd vlor de x). Será ás secillo estudir priero el sigo de cd fctor por seprdo:
... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + +... (x ): (x + ):... - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -...+ + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +... ( x ) ( x + ): - Decir que x > 0 es decir que x + > 0 +, o se x >, lo que heos represetdo e l prier rect. Así, x + > 0 equivle x >, represetdo e l segud rect. Utilizdo ls regls sore el sigo del producto, result que ( x ) ( x+ ) > 0 si x > ó x < y que ( x ) ( x+ ) < 0 si < x <, lo que heos represetdo e l tercer rect.. Nos iteres hor ver pr qué vlores de x vle que + >. x Sudo os ieros os qued: ( x ) + x 8 + > 0, o se = > 0 x x x... - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +... (x 8): 8/... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +... (x ): x 8 : x... + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + +... 8/ Note que x 8 > 0 equivle x > 8, o se x > 8. Proreos hor que pr u úero positivo se tiee que: si <, etoces < < < < L< < L si >, etoces > > > > L> > L 5
E efecto, si <, ultiplicdo por, que es positivo, result <, ultiplicdo uevete por, <, etc. Si >, se procede e for álog. Se tiee tié que: 0 < < iplic que <, pr todo IN N. E efecto, de < result, ultiplicdo por, que 0< <. Luego, por lo terior: <, o ie <, es decir que: <. Filete, oserveos l siguiete regl de uso frecuete: Si 0 < <, etoces 0 < <, cuy deducció es iedit ultiplicdo por. Notreos: (, ) = {x IR : < x < } [, ] = {x IR : x } [, ) = {x IR : x < } (, ] = {x IR : < x } [, + = {x IR : x } (, + ) = {x IR : x > } (, ] = {x IR : x } (, ) = {x IR : x < } Itervlos. (, + ) = IR Estos cojutos se deoi itervlos. A l derech heos idicdo su represetció gráfic. 6
Núeros reles y sus propieddes. (cot.) (Nots redctds por A. DIEGO y M. I. PLATZECK pr el curso de Mteátic Geerl) Vlor soluto. Defiició: Llos vlor soluto de l úero defiido coo sigue: si > 0 = 0 si = 0 si < 0 Así, de cuerdo co l defiició: =, =. Propieddes.. =, =.. + +... Proeos y. Deostrció de.: y, luego: + +. Aálogete: y, luego: ( + ) +. Pero, por defiició, uo de los dos vlores: +, ( + ) coicide co +, de dode result. Deostrció de.: = + ( ) +, Luego: (i) Itercido co se tiee: =, o se: ( ) (ii) Coo tes, uo de los vlores usdo (i) o (ii) segú se el cso., ( ) es, de dode result., Iterpretció geoétric. Si y so ls sciss de dos putos de u rect o coo se dice pr revir, si y so dos putos de u rect, es l distci etre esos putos o l logitud del
segeto de extreos y (e relció l uidd de edid elegid e l represetció). E efecto, si <, etoces = es l distci etre y. Si <, etoces = es l distci etre y. Noteos que si r > 0: -r +r {x IR : x = r } = { r, r } {x IR : x < r } = ( r, + r ) -r +r -r +r {x IR : x r } = [ r, + r ] Ests desigulddes se otiee teiedo e cuet l iterpretció geoétric. Ells podrí ser deostrds prtir de ls propieddes ásics y sus cosecuecis. Potecició rciol y rel. Se > 0. es el úero positivo cuyo cudrdo es. Quiere decir que es u solució de l ecució x =, l otr es el úero rel. Es erróeo escriir = cudo es egtivo. E geerl, se tiee que =. Pr culquier IN, se defie coo el úero positivo tl que =. Aditios l existeci de tl úero. No puede existir otro úero e tles codicioes, es decir: (*) Si y so úeros positivos y =, etoces =. E efecto, si fuese, etoces se tedrí que: o ie < o <. E el prier cso tedreos que < ; e el segudo <, cotrdiciedo l hipótesis; luego, ecesriete dee ser =. De cuerdo l defiició, si > 0: Oserve que =, =. = y ( ) =. Defiició: Si > 0 y, IN defiios =. Se dee otr que k k k k =, esto es: =. E efecto, lleos = k k y = k, etoces: k k k k k k k = ( ) = ; ( ) ( ) ( ) = = = k k =. (Heos utilizdo propieddes de l expoecició eter vists teriorete). k k De =, por l propiedd (*) result que =.
El lector se que u úero rciol positivo puede escriirse de ifiits fors coo cociete de dos úeros turles y que si es l expresió irreducile de u úero k rciol positivo, tod otr expresió es de l for, co k IN. k k k Por lo que heos visto recié: =. L defiició de depede solete del úero rciol y o de su expresió coo cociete de úeros turles. Osérvese que si el úero rciol es el úero turl, = =. Proeos hor que si α, β Q, α > 0, β > 0 etoces: () α α α = ( ) () α β α+ β = () ( ) = α β αβ y, so úeros reles positivos, Proreos l segud, ls otrs se prue co u técic álog. Podeos supoer, reduciedo ls frccioes coú deoidor, que α=, β=r, de odo que α + β = + r. Se trt de pror que: r = Lleos = r, + = r. Elevdo y l poteci -ési, se tiee: r r ( ) ( ) ( ) + r + r ( ) + r = = = = = = Nuevete, de +r = =, result que =. r +r Teeos sí defiid l potecició pr expoetes rcioles positivos. Coo todo úero rel positivo x se puede proxir tto coo se quier por u úero rciol α>0, se defie x (co > 0) por edio de sus proxicioes α. Éste es u puto delicdo de l teorí del úero rel, que o ordreos quí. Aditireos que ls propieddes (), () y () vle si α y β so úeros reles positivos. A pesr de que o estudireos el prole de dr u defiició precis de expoecició co expoete irrciol idiqueos que pr clculr, por ejeplo, podeos proceder utilizdo l expresió decil de =, L. Los úeros,,,,,,,,, potecis rcioles de, so proxicioes cd vez ejores de x L expoecició se puede exteder úeros reles x ritrrios, de odo que ls propieddes (), () y () sig siedo válids. Pr ello se poe: i) 0 = ( 0 ).
ii) α = α ( α> 0 ). NOTA: L elecció de ests defiicioes o es ritrri. Ells se ipoe si quereos que l propiedd () α β α + = β se válid pr expoetes α y β ritrrios: α 0 α+ 0 Pr β = 0, () se escrie: = = α. Luego, 0 =, ecesriete. α α α+ α Aálogete, pr β = α, () se escrie = ( ) = 0 = y etoces, oligdete, se tiee que α = α. Es teri de verificció, cso por cso, que ls propieddes (), () y () sigue siedo α β α β válids si α, β IR,. A título de ejeplo, deostrreos () = +. Prier cso: α > 0, β > 0. Es coocido. α 0 Segudo cso: α ritrrio, β=0 : α α+ 0 = =. Tercer cso: α > 0, β < 0: Se β = λ ( λ > 0 ). Supogos priero que α λ ; α α β α λ α Etoces: = = λ = λ α λ α β = =. (Note que pusios α λ α λ = α. Esto proviee de α λ λ =, que vle porque α λ 0, λ > 0) Si α < λ, etoces: α α β α λ α = = λ = λ = λ α ( λ α) α λ = = α+ β =. Curto cso: α > 0, β < 0. Pogos α = λ, β = δ, ( λ > 0, δ > 0). Etoces: α β = λ δ = λ+ δ ( λ+ δ) α+ β = =. OBSERVACIONES: ) Se coviee e escriir 0 = 0, si, y que 0 = 0. ) A veces se hl tié de ls ríces de orde ipr de úeros egtivos. Por 5 ejeplo: 8 =, =. E geerl, si es ipr y < 0, poeos: = siepre que =. Noteos que < 0. U defiició álog es iposile e l teorí de úeros reles pr ríces de orde pr de úeros egtivos. (Por qué?)
ESTUDIO DE LA EXPRESIÓN: x + x + c = 0 ( 0 ). Coo x x c x x c + + = + +, coezreos estudido l expresió: x + p x+q. p p p p p x + p x+ q = x + x + q x q + = +. De esto result ieditete que: p ) El eor vlor de x + p x+q se otiee cudo x =. E efecto, pr este vlor: x + p = 0 y pr x p, x + p > 0. ) Si x ) Si p q < 0, x + p x+ q > 0 pr todo x y e prticulr se puede segurr que + p x + q = 0 o tiee ríces reles. p q 0, etoces x + p x + q = ( x α) ( x β) dode: p p p p (*) α= + q, β= q. E prticulr α y β so ls úics ríces de l ecució x + p x+ q = 0. (*) se deduce de: p p p = + p x + p x + q = x + q x = + p p + p + p x q x q. q = EJERCICIO: Oteg {x: x + p x+ q > 0} y represételo gráficete. E el cso geerl, x + x + c = 0 tiee por ríces: si c 0. x c = + ; x = c No tiee ríces reles si c < 0. 5
El úero c se ll el discriite de l ecució. Pr oteer ests fóruls st reeplzr e ls expresioes de α y β, p por y q por c. 6