Rvista d la acultad d Ingniría U..V., Vol. 8, N, pp. 5-, 3 ÓRMULA EIIENTE Y OMPATA PARA UN ELEMENTO DE ONTORNO UADRÁTIO PARA ELASTIIDAD EN D MAIRA VALERA, LIBER VIDELA, MIGUEL ERROLAZA 3, Escula d Matmáticas, acultad d incias, Univrsidad ntral d Vnzula. Email: maira.valra@cins.ucv.v Instituto d Matrials y Modlos Estructurals, acultad d Ingniría, Univrsidad ntral d Vnzula. Email: lir. vidla@ucv.v 3 Instituto Nacional d Bioingniría, Univrsidad ntral d Vnzula. Email: migul.crrolaza@inaio.du.v ntr for Numrical Mtods in Enginring IMNE, Politc. Univ. of Barclona, Spain. Rciido: novimr Rciido n forma final rvisado: octur RESUMEN En st traajo s otinn las fórmulas crradas (xactas) para las matrics d influncia d los lmntos d contorno n lasticidad plana. Las fórmulas son simpls y ficints, gnrando un aorro sustancial d timpo d jcución computacional cuando s comparan con los métodos d intgración numérica. S otuviron las fórmulas mdiant la manipulación simólica d las cuacions intgrals y solucions fundamntals a partir dl uso d Sistmas d Álgra omputacional (SA), sgdo d un post-procsaminto d las xprsions gnradas. Las fórmulas son adcuadas para la valuación d intgrals cuasi-singulars (punto d colocación muy crcano al lmnto d intgración) y la valuación d intgrals singulars (punto d colocación sor l lmnto d intgración). Adicionalmnt, s discut un jmplo dond s aplica lo dsarrollado n st traajo. Palaras clav: Elmntos d contorno, Intgración analítica, Elasticidad plana. EIIENT AND OMPAT LOSED ORMULAE OR D-ELASTIITY QUADRATI BOUNDARY ELEMENTS ABSTRAT losd (xact) formula for t stiffnss matrics of D-lasticity oundary lmnts ar otaind in tis work. T formula ar simpl and fficint, gnrating sustantially savings of PU tim wn comparing wit numrical intgration approacs. T formula wr otaind y symolic manipulation of t intgral quations and fundamntal solutions, y using omputr Algra Systms (AS), followd y a post-procssing of t gnratd xprssions. T formula ar stal to t valuation of narly-singular intgrals (sourc point vry clos to t intgration lmnt) and to t valuation of singular intgrals (sourc point longs to t intgration lmnt). An application xampl is discussd. Kywords: Boundary lmnt, Analytical intgration, Plan lasticity. INTRODUIÓN El Método d Elmntos d ontorno (ME), tamién conocido como Método d Elmntos d rontra o Método d Elmntos d Bord (BEM, por Boundary Elmnt Mtod) s un método numérico para rsolvr cuacions n drivadas parcials linals qu an sido formuladas como cuacions intgrals (n forma d intgral sor la frontra). Pud sr usado n mucas áras d la ingniría y cincias incluyndo mcánica d fldos, acústica, lctromagntismo y mcánica d la fractura. El ME s, n ocasions, más ficint qu otros métodos, incluyndo lmntos finitos, n términos d rcursos computacionals. oncptualmnt, traaja construyndo una malla sor la suprfici modlada. Existn dos tmas d mayor procupación cuando s utiliza l ME: xactitud y vlocidad. Es in saido qu las intgrals singulars o cuasi-singulars qu s prsntan n l ME pudn dar rsultados inxactos, incluso n l caso n qu s utiliza un gran númro d puntos d intgración (grands órdns d cuadratura). Las intgrals son singulars cuando l punto d orign (punto d colocación) prtnc al lmnto d intgración y cuasi-singulars cuando l punto d orign no prtnc al lmnto, pro stá muy crca dl mismo. En los casos dond l punto 5
d orign stá crca dl lmnto, s otinn rsultados inxactos al utilizars intgración numérica. El punto d colocación pud star muy crca d los lmntos d contorno, dido a varias razons: a. uando las varials intrnas dn sr calculadas n las rgions crcanas a la frontra, tanto n prolmas linals como n no linals.. uando s trata d dominios mal condicionados (curpos strcos y dlgados). c. uando s prsntan difrnts dnsidads n la discrtización d la malla muy crca ntr sí. Por otro lado, cuándo s utiliza la intgración numérica, l usuario d dfinir grands órdns d cuadraturas d Gauss para otnr rsultados razonals. Esto implica largos timpos d jcución computacional. En un prolma práctico d ingniría discrtizado con doscintos mil lmntos d contorno, la ncsidad d rducir l timpo d jcución computacional s convirt n algo ncsario. Durant las dos últimas décadas, mucos invstigadors an ddicado timpo y sfurzo para otnr xprsions analíticas o smi-analíticas d las intgrals d ME. Tang & nnr (5) prsntan la intgración analítica d lmntos n dos dimnsions d forma rcta y cuadrática. Katz (985) intgra funcions isoparamétricas d forma analítica para l prolma d toría dl potncial idimnsional, mintras qu Sing & Tanaka ralizan intgración analítica d intgrals déils n toría d potncial (d la cuación d Hlmoltz y las cuacions d advcción-difusión) utilizando lmntos linals y las funcions d Bssl. Rcintmnt, Gadimi t al. prsntan la intgración analítica para lmntos constants y linals con l fin d rsolvr la cuación d Poisson. Salvadori & Tmponi s cntraron n l ME para cuacions intgrals n trs dimnsions, proporcionando intgrals d Lsgu d forma crrada. Admás, Salvadori prsnta las formas crradas d las intgrals n lasticidad idimnsional. Niu t al. (5) utilizan la intgración smi-analítico para intgrals cuasi-singulars otnindo rsultados intrsants. Padi t al. prsntan una mtodología asada n la rprsntación n las sris d las solucions fundamntals para la intgración analítica d lmntos d contorno cuadráticos. Adicionalmnt, Huanlin t al. (8) an studiado prolmas anisotrópicos n prolmas d potncials n ME y dsarrolla las intgrals crradas para tratar l fcto d la capa límit. Los autors dl prsnt artículo, an mplado con éxito las stratgias d intgración d análisis, asadas n la manipulación simólica y SA, para otnr las formas crradas d las matrics d rigidz n l Método d Elmntos initos (Vidla t al.996; 7). Aora, algunos d stas mtodologías s utilizan para intgrar analíticamnt las intgrals singulars y cuasi-singulars qu aparcn n l ME. Por lo tanto, st traajo propon las formas crradas d las intgrals singulars qu surgn n ME. Las fórmulas son astant compactas, simpls y ficints, como s pud osrvar al comparar los timpos d jcución computacional qu s otinn al ralizar intgración numérica contra los timpos d jcución otnidos al intgrar analíticamnt. MÉTODO DE ELEMENTOS DE ONTORNO LÁSIO El Método d Elmntos d ontorno (ME) s una técnica ficaz d análisis numérico para rsolvr prolmas d lasticidad y mucos otros prolmas d la ingniría y cincias aplicadas (Bria & Domínguz, 998; Br t al. 8; Bria t al. 98; Kan, 99). Sólo s discrtiza la frontra, y tanto los dsplazamintos como las tnsions son intrpolados sor los lmntos. A continuación s introduc un rv rsumn d la formulación para l ME, con l fin d comprndr la structura d las fórmulas y la manra cómo pud sr manipulado prvio a la intgración analítica. La formulación d la intgral n lasticidad plana stá dada por la idntidad d Somigliana, la cual rprsnta una intgral d frontra n función d los dsplazamintos n l intrior dl dominio Ω (igura ), (Br t al. 8; Bria & Dominguz, 998), como s mustra n la signt xprsión: c X # # ( p) uj( p) 6 j, ( p, x) tj( x) - t ( p, x) uj( x) @ d( x) + u ( p, x) fj( x) dx dond: c (i,j) (ξ)/ δ (i,j) n los casos mas simpls, cuando l contorno s rgular n ξ, u (i,j) (ξ,x ) y t (i,j) (ξ,x ) son llamadas solucions fundamntals las cuals son funcions d Grn y rprsntan l dsplazaminto y la tnsión, rspctivamnt, n un punto ξ con la aplicación d un sistma d cargas unitarias aplicadas n x, (Br t al. 8; Bria t al. 98). Estas solucions fundamntals stán dadas por: 6
u t - ^p, x 6 ^3- vln^r d, + rr,, @ 8rE^- v ij j 6 ^- vd + r, i@ r, n- ^p, x - ) 3 (3) r^- vr ^-v^r, inj-r, jni La valuación d la intgral no s trivial, por llo xistn varias técnicas qu an sido propustas para calcular stas intgrals las cuals s pudn clasificar n trs grupos: traajo s optimizar stos procsos, rducindo l timpo d jcución computacional y ganando xactitud n los mismos usando SA con manipulación simólica. Por lo tanto, s propon una intgración analítica crrada para otnr los rsultados d las intgrals involucradas d la idntidad d Somigliana, otnindo d sta manra rsultados más prcisos n comparación con la intgración numérica, logrando disminr considralmnt l timpo computacional utilizado para calcular stas xprsions. INTEGRAIÓN ANALÍTIA S considra un dominio Ω con contorno Γ, l cual stá dividido n N lmntos. Aplicando sta discrtización a la idntidad d Somigliana, dond s supon las furzas d masas nulas por simplicidad, s otin: cij, ^puj ^p N 6 j, ^p, xtj^x- ti, j^p, xuj^x@ d^x / # igura. urpo finito y lástico n D (a) Técnica d rgularización, intgración numérica, y (c) intgración analítica (Padi, t al. ; Salvadori ; Vidla t al. 7 y 996). En la técnica d rgularización o smi-analítica, las intgrals con iprsingularidads y s manipulan analíticamnt d manra algraica para convrtirlas, a lo sumo, n intgrals con singularidads déils, qu ntoncs pudn calculars usando difrnts tipos d cuadraturas. La intgración numérica s una rspusta n la actualidad para la valuación dl valor principal d aucy; sindo usual la aplicación d la cuadratura d Gauss, (Bria & Domínguz 998; Bria t al. 98, Kan, 99), a psar d qu la misma pud incurrir n rrors d xactitud inclusiv gnrar grands costos n timpo d jcución computacional, (Vidla t al. 7; 996). En la técnica d intgración analítica, las intgrals pudn sr otnidas analíticamnt d dos manras, mdiant la manipulación analítica dl intgrando acindo uso, por jmplo, d polinomios o sris truncadas, on sin manipular l intgrando, otnindo con sto último una solución crrada d la intgral. Los procsos d análisis por l ME, tradicionalmnt, utilizan rutinas asadas n técnicas d intgración numérica para rsolvr l cálculo d las intgrals involucradas n la matriz gnrada por l método. La finalidad d st Osrv qu la notación xplícita s a mplado n sta cuación, mostrando qu las solucions fundamntals son dos funcions dl punto orign ξ (punto d carga) y dl punto mustra n la frontra,x, (punto d colocación). Implmntando la discrtización d los campos d varials conocidas sor la frontra, n particular, n la intgral dond s ncuntra involucrada la solución fundamntal para las tnsions, s tin: # # t ^p, xuj^xd^x / t 3, x ( n ), u ( n ) ij^p 7 ^f i ^xa d ^x n En stas xprsions, s pud osrvar qu los valors dl punto nodal n la i-ésima componnt dl dsplazaminto no son funcions d la varial d intgración, por lo tanto, éstas pudn salir d la intgral. La valuación d stos términos rqr l uso dl jacoiano dido al camio d coordnadas gloals xprsadas n l sistma cartsiano a coordnadas locals dl sistma gaussiano. La transformación usada s simpl dγ Jdε, dond J s l jacoiano. Por lo tanto, (5) s scri d la signt forma: (5) 7
# t ^p, xuj^xd ^x ( ) ( ) ) # tij, Jdf3 - ( ) ( ) + ) # tij, Jdf3 - # + ) tij, Jdf3 - ( ) ( ) ( ) ( ) ) # tij, 6 @ Jdf3 - Es important notar qu las cuacions antriors continn una mzcla d notación indicial y matricial. El índic i n stas cuacions s un índic rptido qu rqr sr sumado, mintras qu l índic j sparado por comas indica drivación n sa dircción. Est último s un índic lir rprsntando la dircción d la coordnada n l cual la carga unitaria asociada con la solución fundamntal actúa. Esta notación pud omognizars para producir un formato puramnt matricial considrando la signt rlación (Bria & Domínguz, 998): ( ) ( ) tij, 6 t t t t < < 6 @ 6 @" T T u, @ 3 3 3 Z [ \ u u u u u 3 u 3 En la xprsión antrior, [T T s la matriz d solucions fundamntals d tnsión, [ s una matriz d funcions d intrpolación y {u} s l vctor columna d dsplazamintos con sis componnts, dos por nodo para un lmnto n particular. Un procso análogo pud stalcrs para la xprsión rstant, la cual involucra [U T y {t}, dond la matriz transpusta d la matriz d solucions fundamntals para l dsplazaminto s [U T y s un vctor columna d tnsions d sis componnts {t}. _ ` a (6) (7) La discrtización complta d la cuación intgral d frontra pud scriirs d la forma: T N ^, (,) u U d u N d " ^f, / ", + / T " t, (8) dond: y Z U (,) d U T _ [ # 7 A 7Jd A f` (9) - \ Z T (,) d T T _ [ # 7 A 7Jd A f` - \ Osrv qu las matrics U y T son 3, s dcir, cada matriz contin doc intgrals. A continuación, las xprsions matmáticas involucradas n (9) y son prsntadas d manra simólica, por tanto, las intgrals s pudn rsolvr d forma crrada. Exprsions matmáticas manipuladas d forma simólica En la cuación intgral s mustran xprsions matmáticas qu dn sr manipuladas simólicamnt para ralizar la intgración analítica d forma óptima. Est tipo d manipulación s usada n mucos traajos n los cuals s raliza intgración analítica. Un jmplo d cómo aplicar dica técnica s pud osrvar n las rfrncias: Kikuci, 989; Vidla t al. 7 y 996. S d rsaltar qu n st traajo s utilizó lmntos d contorno cuadráticos con intrpolación dl tipo suparamétricos para l modlado d las condicions d contorno y d la gomtría. En dica intrpolación s utiliza las signts xprsions qu linalizan l lmnto d contorno: x x+ x3 y+ y3, y a a dond: (x,y ),(x,y ) y (x 3,y 3 ) son las coordnadas dl nodo, y 3 rspctivamnt. Sa ξ(x(ε),y(ε)) l punto d intgración. Intrpolando cada componnt d st punto sor l lmnto y sustituyndo las xprsions xpustas n, s tin 8
x( f) ^x3 - xf+ ^ x3+ x y^f ^ y3- yf+ ^ y3+ y Lugo, drivando, s otin: dx^f DX d x3 x f ^ - dy^f DY d y3 y f ^ - (3) S sigu rscriindo las xprsions involucradas n (9) y, agrupando n grands constants los factors qu involucran stas coordnadas, optimizando, d sta manra, la formulación xpusta para las solucions fundamntals. Jacoiano El jacoiano s calcula mdiant la signt cuación n la cual s sustituyn las cuacions n : dx dx ^f ^f J^f ; c m df + c m E df D dond: D s d la forma: B x 3 - x - y + y 3 + xx- xx3+ yy- yy3 (8) y x xx xx x x + - - 3+ + 3 + y + y 3 + xx3+ yy3-yy-yy3 Drivadas parcials dl radio (9) Las drivadas parcials dl radio con rspcto a las coordnadas dl punto d intgración son: dr^p, x dx^f DXf + D dr^p, x DYf + D r, dy^f r dond: r stá dado por (6), DX y DY por las xprsions n (3) y tanto D como D, por las igualdads: D ax- ^ x- x3k D ay- ^ y- y3k Para calcular la drivada dl radio rspcto al vctor normal dmos xprsar simólicamnt las xprsions dadas por las coordnadas dl vctor normal. Estas xprsions stán dadas por: D x xx x - 3+ 3 + ^ y- y3 (5) dy^f n d J DY dx^f J, n d ^f f - ^f f J DX J Not qu D dpnd simplmnt d las coordnadas d los nodos dl lmnto d incidncia. El radio onsidérs l punto d colocación x (x,y). El vctor radio r(ξ,x ), s la distancia qu ay ntr ξ y x. Sa r la proycción dl radio sor l j x y r la proycción dl radio sor l j y. Entoncs, s dfin la magnitud dl vctor radio como r y su cuación s: r ^x- x^f + ^y-y^f Af (6) dond s a sustitdo las xprsions prsntadas n y A x + x 3 + y + y 3 + yy3+ xx3 (7) Lugo, la drivada normal dl radio s xprsa mdiant la signt cuación: r^p, x 6 ^DXf+ DDY- ^DYf+ DDX@ n rj Rprsntación d las cuacions intgrals (3) Dado qu st traajo s nfoca n rsolvr las intgrals involucradas n l ME para prolmas n lasticidad plana, dmos sustitr las xprsions manipuladas n las solucions fundamntals para l dsplazaminto y la tnsión dl prolma idimnsional por las cuacions y (3), rspctivamnt. Por consignt, las solucions fundamntals para l dsplazaminto, con i,j,, s rscrin d la signt forma: 9
^ v - 3 ln Af + Bf + + u ^p, x 8rE^-v > DXf+ D H ` A j f ^DXf+ D^DYf+ D u ^p, x 8 E v u, x A ^ r ^ - 7 A p f ^v - 3ln^ Af + Bf + + u ^p, x 8rE^-v > DXf+ D H ` Af j ^ y las solucions fundamntals para las tnsions qudan d la forma: t ^ ^ _ p, x - v + t ^p, x - r^ - v_ Af i D Z 6- ^DXf + DDY - ^DYf + DDX@ _ [ ^DXf + D^DYf + D + ` ^ - v6- DY^DYf + D - DX^DXf + D@ \ a t ^p, x - r^ - v_ Af i D Z 6- ^DXf + DDY - ^DYf + DDX@ _ [ ^- DXf + D^DYf + D + ` ^ - v6dx^dxf + D - DY^DXf + D@ \ a t ^ ^ _ p, x - v + 6^DXf+ DDY- ^DYf+ DDX@ - r^ - v_ Af i D DXf+ D Af 6^DXf+ DDY- ^DYf+ DDX@ - r^ - v_ Af i D DYf+ D Af i i (5) Las matrics d dsplazaminto y tnsions, involucradas n la matriz d influncia dl sistma d cuacions rsultant al implmntar l ME son d la forma (Bria & Domínguz, 998; Kan, 99): ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U U U < ( ) ( ) ( ) ( ) U U U U U U (6) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T < ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T (7) dond los coficints d U y T, stán dados por las signts intgrals: -# # (8) U ( n ) u ( n ) Jd, T ( n) t ( n ) ij ij f ij ij Jdf rspctivamnt, sindo u ij y t ij con i,j,, las solucions fundamntals. Al sustitr las solucions fundamntals y l jacoiano, ya manipulados simólicamnt, admás d las funcions d forma asociadas con l nodo n valuación, otnmos doc intgrals corrspondints a los coficints d la matriz T y sis intgrals corrspondints a los coficints d la matriz U. Esto último s d a la simtría prsnt n la solución fundamntal para l dsplazaminto. IMPLEMENTAIÓN OMPUTAIONAL Al calcular cada coficint d las matrics U y T s d considrar cuatro casos difrnts para la implmntación computacional. Esta clasificación por casos dl prolma s d a las singularidads ocasionadas por la valuación dl punto d colocación n difrnts posicions. A continuación, s dscrin stos cuatro casos: igura. Punto d colocación alinado con un lmnto parallo al j x aso : El punto d colocación s ncuntra alinado a un lmnto orizontal En st caso, la drivada dl radio rspcto al vctor normal s anula, pus l vctor normal s ortogonal al vctor radio. Admás, la drivada parcial dl radio rspcto a y n los nodos y l punto d colocación tamién s anulan pusto qu la coordnada n y d amas coincidn (igura ). r_ p, xi r_ p, xi y^f - y cos i_ rn, i, n y r (9) En conscuncia, las solucions fundamntals dfinidas antriormnt s simplifican, otnindo qu uu y t t. Por lo tanto, sólo srá ncsario calcular doc intgrals, sis para la matriz U y sis para la matriz T.
aso : El punto d colocación s ncuntra alinado a un lmnto vrtical Análogamnt, al caso antrior, l vctor normal s ortogonal al vctor radio, por lo qu, (9) nuvamnt s cumpl, pro aora s anula la drivada parcial dl radio rspcto a x n lugar d la drivada rspcto a y. Por lo tanto, al igual qu l caso antrior u u y t t, y sólo srá ncsario calcular doc intgrals (igura 3). Osrvación: Al sr analizados los casos, y 3, cuando s intgran los coficints, s otinn funcions racionals y n l dnominador d stas funcions aparcn algunos términos particulars los cuals llamarmos: PRUE, RAIZ5 y RAIZ, qu dpndn d las coordnadas d los nodos y dl punto d colocación. En l caso 3, aparcn dos términos adicionals n l dnominador los cuals s anulan. Estos términos s dfinirán como: OTT y ONT, qu d igual manra dpndn d las coordnadas dl punto d colocación y dl punto d intgración. uando nos ncontramos n alguno d stos casos y valuamos los nodos y l punto d colocación, los coficints d las su-matrics U y T no stán dfinidas. Sin margo, al calcular l límit cuando W d cada una d stas xprsions, (con WPRUE, RAIZ5 ó RAIZ), s dcir:,, lim ^p x x 3 W " W L (3) Estudiando l comportaminto d st límit, d manra xaustiva, s osrva qu l mismo tin una tndncia asintótica y como conscuncia, s adopta W.. igura 3. Punto d colocación alinado con un lmnto parallo al j y aso : El punto d colocación s ncuntra n una posición cualqra, difrnt a los casos antriors, rspcto al lmnto En st caso las solucions fundamntals no prsntan ningún tipo d singularidad, por nd, los coficints otnidos al intgrar s valúan sin ninguna considración prvia. EXATITUD DE LOS ÁLULOS Y TIEMPO DE EJEUIÓN OMPUTAIONAL Exactitud d los cálculos igura. Punto d colocación sor l lmnto Para stas pruas d xactitud, s calculó l rror porcntual mdiant la signt fórmula: aso 3: El punto d colocación s ncuntra sor l lmnto d intgración ERROR / / ^A n ij - A A n ij a ij # (3) En st caso, al igual qu n los casos antriors, sin importar n qu nodo dl lmnto s ncuntr l punto d colocación, la drivada dl radio rspcto al vctor normal s cro. Por lo tanto, las solucions fundamntals dfinidas antriormnt s simplifican, otnindo qu u u y t t (igura ). dond A ij rprsnta l coficint (i,j) d la matriz A, la cual pud sr tanto la matriz d dsplazamintos como la matriz d tnsions, y los supr-índics n y a indican las matrics otnida d forma numérica y analítica, rspctivamnt. La intgración numérica fu ralizada con cuadratura d Gauss.
Distancia Npg8 Npg Npg5 L... L/... L/.67.5. L/ 3.893.783. L/ 7.983.87.87 L/5 38.596 8.678 7.7535 L/ 5.5 36.5 8.685 L/ 5.3 5.73 9.98 Timpo d jcución computacional igura 5. Elmnto d contorno d longitud L.6963 n un dominio Ω La igura 5 mustra un lmnto d contorno n l qu l punto d colocación x s acrca al mismo signdo una lína invisil prpndicular al lmnto, indicado por las figuras n forma d diamant. El primr punto s ncuntra a una distancia r3l, y cada punto s acrca al lmnto asta llgar a una distancia rl/. Los rrors qu toman los coficints d la matriz d tnsions s mustran n la Tala. S utilizan distintos órdns d cuadratura numérica (NPG 8,, 5). a sñalar qu rrors dl 3% aparcn cuando s utiliza un ordn infrior d Gauss (NPG 8) y l punto d colocación stá rlativamnt crca dl lmnto rl/. Al aumntar l ordn d la cuadratura d Gauss a cincunta puntos (NPG 5), l rror s rduc considralmnt, aun cuando l punto d colocación s ncuntra crca dl lmnto. Sin margo, los órdns d alta cuadratura implican altos timpos d jcución computacional y, n un prolma práctico d ingniría (análisis dinámico) con, por jmplo, doscintos mil lmntos d contorno, l timpo d jcución qu s rqr s un poco proiitivo. La situación mpora considralmnt cuando l punto d orign stá muy crca dl lmnto (L/,L/5,L/,L/). En stos casos, la cuadratura numérica s prácticamnt incapaz d llgar a un valor razonal, ya qu l gradint d la intgral cuasi-singular s muy alto y afcta n gran mdida la valuación numérica. Tala. Error (%) n valuación numérica d la matriz d tnsions Distancia Npg8 Npg Npg5 3L... L... La comparación d timpos d jcución computacional otnidas ntr intgracions numéricas y analíticas s mustra n la Tala. Los valors n ésta rprsntan la rlación dl timpo d jcución otnidos para la intgración numérica sor l timpo d jcución d análisis otnidos para la intgración analítica Tn NPG / Ta (Tn timpo d intgración numérica, NGP númro d puntos d Gauss, Ta timpo d intgración d análisis, mdidos n sgundos). Nuvamnt, s considran trs órdns difrnts d la cuadratura (8, y 5). El lctor pud osrvar l norm aorro d timpo d jcución computacional cuando s utiliza la intgración analítica n comparación a la intgración numérica. Est aorro s muy rlvant n prolmas rlacionados con dinámica no linal, ya qu los coficints d las matrics s dn calcular mucas vcs. Tala. Rlacions ntr los timpos d PU d las solucions analítica y numérica (s mustra tamién los timpos d análisis dl PU) Elmntos T n8 /T a T n /T a T n 5/T a T a. 9. 6. 5..6.. 37.9 9.9 7.3... 6. 58. 388.9.6 EJEMPLO DE APLIAIÓN En la igura 6 s mustra una placa n L, somtida a tracción sor un lado vrtical. La gomtría, las condicions d contorno y las cargas s mustran n la figura. Est prolma fu analizado utilizando doc lmntos d contorno (dos por cada lado d la placa como s numra n la igura 6). El análisis numérico s ralizó con cuadratura d Gauss d ordn. La Tala 3 contin los rrors ntr las solucions numérica y analítica, para sólo dos valors n l nodo d control (nodo 5) d la malla: u x 5 y σ x5.
En cuanto a la rutina, s pud dcir qu ran muy xtnsas. Sin margo, con la mtodología utilizada n st traajo para optimizar stas rutinas s otuvo una rducción important n l númro d jcucions. Por lo tanto, s gnró un código muy ficint y rápido. igura 6. Placa n L. Gomtría, condicions d contorno y placa dformada Tala 3. omparación d los dsplazamintos y tnsions n l nodo control: cálculo analítico vs numérico Valor Solución analítica Solución Numérica Error (%) u x 5.5.3 7.7 σ x 5 -.83 -.36 6.5 En dicas talas s mustra qu l rror porcntual para l dsplazaminto n la dircción x s d 7.7%, mintras qu para las tnsions, los rsultados ntr los valors d la solución numérica y analítica n la misma dircción s 6.5%. Est rror tndría a cro si s considra un mayor númro d puntos d Gauss n la intgración numérica, lo cual tndría como conscuncia un aumnto sustancial dl timpo d jcución computacional. ONLUSIONES En st traajo s logró dsarrollar la intgración analítica d lmntos d contorno cuadrática d lasticidad plana. El ojtivo principal dl traajo fu rducir l timpo d jcución computacional para intgrar l lmnto. S otuviron timpos d jcución computacional muy atractivos, n comparación con la intgración numérica utilizando cuadraturas d Gauss. En gnral, para aplicacions d ME, qu implica un análisis dinámico o análisis no-linal, s prtinnt considrar stos rsultados, pusto qu l coficint d la matriz d sr valuado n numrosas ocasions. Adicionalmnt, l sgundo ojtivo dl traajo tamién fu alcanzado al dsarrollar fórmulas analíticas qu prmitan vitar los rrors numéricos otnidos n alguna posición rlativa ntr l punto d colocación y l lmnto d contorno. on la intgración analítica, l usuario pud otnr intgrals prcisas, incluso n l caso n qu los puntos d colocación stén muy crca dl lmnto o qu prtncn al mismo. Al comparar l timpo d jcución computacional d intgración analítica con otnida con la intgración numérica s otin qu la intgración analítica s 388% más rápida, al considrar 5 puntos d Gauss para mjorar a la xactitud n l cálculo por intgración numérica. En conscuncia, mintras mayor sa la cantidad d puntos d Gauss para mjorar la xactitud dl cálculo por intgración numérica, la difrncia n vlocidad srá aún mayor. AGRADEIMIENTOS Los autors dsan agradcr l apoyo financiro dl onsjo d Dsarrollo intífico y Humanístico (DH) d la Univrsidad ntral d Vnzula para la ralización d st traajo. No mnos important s agradcr a la Escula d Matmáticas d la acultad d incias y al ntro d Invstigación Métodos Numéricos n Mcánica Estructural dl Instituto d Matrials y Modlos Estructurals (IMNEME-IMME) amos d la misma institución por l apoyo rciido. REERENIAS Br, G., Smit, I., Dunsr,. (8). T oundary lmnt mtod wit progrmming. Nw York: Spring. Bria,.A. & Domínguz, J. (998). Boundary Elmnts: A Introductory ours. Soutampton, England : WIT Prss. Bria,.A., Tlls, J.., Wrol, L.. (98). Boundary lmnt tcniqus: Tory and applications in nginring. Brlin : Spring. Gadimi, P., Dastiman, A., Hossinzad, H.. Solution of Poisson s quation y analytical oundary lmnt intgration. s.l. : Applid Matmatics and omputation, Vol.7, Issu, 5-63. Huanlin, Z., Zongrong, N., angzng,., Zongwi, G. (8). Analytical intgral algoritm applid to oundary layr ffct and tin ody ffct in ME for anisotropic potntial prolms. s.l. : omputrs & Structurs, Vol. 86, Issus 5-6, 656-67. 3
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