ÁLGEBRA LINEAL Igeierías ÁLGEBRA II LM - PM Uidad Nº 4 Espacios Vectoriales co Prodcto Iterior FCEyT - UNSE
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Uidad Nº 4: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR.- ESPACIO VECTORIAL REAL Defiició U espacio vectorial real es espacio vectorial defiido sobre el cerpo R de los úmeros reales. PRODUCTO INTERIOR Defiició Sea V espacio vectorial real y sea la fció qe a cada par ordeado de vectores de V le hace correspoder úico escalar real, esto es : V V R (, v) i v La fció es prodcto iterior si y sólo si se verifica los sigietes axiomas: Ax.., v V ; i v= vi Ax..,, ; i ( ) v V v+ = i v+ i Ax.3. a R,, v V ; ( a) v= a( v) Ax.4. V ; 0 = 0 = 0 V Defiició 3 Se llama espacio eclídeo a todo espacio vectorial real de dimesió fiita dotado de prodcto iterior. Ejemplos E el espacio vectorial real R cosidérese la sigiete fció : R R R / ( x, x ) ( y, y) def = x y+ x y La fció así defiida es prodcto iterior e el espacio vectorial R ya qe se satisface todos los axiomas de la Defiició. Lego R es espacio vectorial eclídeo. E el espacio vectorial real R ( N), es prodcto iterior la fció : R R R defiida por def ( a, a,..., a ) ( b, b,..., b ) = a b+ a b +... + a b = a b i i i= lego R es espacio vectorial eclídeo. Uidad 4
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Nota Calqiera sea N, el prodcto iterior defiido precedetemete se sele deomiar Prodcto escalar o Prodcto pto. Propiedades del prodcto iterior Proposició Sea V espacio vectorial eclídeo. Etoces ( ) ( ) a R,, v V ; av = a v Demostració Sea a R;, v V, etoces se tiee qe ( ) = ( ) = = ( ) av av a( v ) a v () () (3) Referecias: () Por Ax. de prodcto iterior. () Por Ax. 3 de prodcto iterior. (3) Por Ax. de prodcto iterior Proposició Sea V espacio vectorial eclídeo. Etoces V ; 0 = 0 = 0 V Demostració Sea V, etoces V 0 = (0 + 0 ) V V V () Q.E.D. 0 + (0 ) = 0 + 0 V V V ( ) 0 = 0 (3) V Referecias: () 0 V es el etro para la sma e V. () 0 es el etro para la sma e R y por Ax.. (3) Porqe e el grpo (R, +) vale la ley cacelativa. Proposició 3 Sea V espacio vectorial eclídeo. Etoces Q.E.D., v V; v v v. Uidad 4
Coocida como la Desigaldad de Cachy-Scharz. Demostració Si Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE v = 0V, se tiee qe v= 0 y v v= 0 de modo qe se satisface la igaldad v= v v. Spogamos qe v 0V. Calesqiera sea los escalares a, b R, es a + bv V, y por defiició de prodcto iterior Desarrollado el segdo miembro 0 ( a+ bv) ( a+ bv). 0 a ( ) ab( v) b ( v v) + + (α) como la desigaldad (α) vale calesqiera sea los escalares a, b R, e particlar sige valiedo si se toma a= v v b= ( v) Sstityedo estos valores de a y b e (α) y efectado las operacioes idicadas se obtiee: lego 0 ( v v) ( ) ( v v)( v) + ( v) ( v v) 0 ( ) ( ) ( )( ) v v v v v (β) mltiplicado e ambos miembros de la desigaldad ( β) por 0 ( )( ) ( ) v v v. ahora, smado e ambos miembros de la desigaldad viv ( v ), se obtiee ya qe v es o lo, reslta ( v) ( v v)( ) aplicado raíz cadrada e ambos miembros de la desigaldad reslta, ( v) ( v v)( ). Por propiedad de valor absolto y como los radicados del segdo miembro so o egativos se tiee, o bie v v v v v v Q.E.D. Uidad 4 3
NORMA Defiició 4 Sea V espacio vectorial eclídeo, y sea la fció doble barra : V R Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE La fció es a orma si y sólo si verifica los sigietes axiomas: Ax.. V ; 0 = 0 = 0 v Ax.. a R, V; a = a Ax.3., v V; + v + v. Coocida como desigaldad triaglar. ESPACIO VECTORIAL NORMADO Defiició 5 U espacio vectorial ormado es espacio vectorial e el qe se ecetra defiida a orma. Nota Todo espacio vectorial eclídeo es espacio vectorial ormado, ya qe la orma es idcida por el prodcto iterior defiido e V como veremos ahora. NORMA INDUCIDA POR UN PRODUCTO INTERIOR Proposició 4 Sea V espacio vectorial eclídeo, la fció defiida por : V R es a orma. def = Demostració E efecto, i) V ; 0 = 0 = 0 V Calqiera qe sea V, se satisface qe 0, e cosececia 0 y como =, reslta qe 0. Uidad 4 4
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE = 0 V = 0 = 0 = 0. ii) a R, V ; a = a ( ) ( ) a a a a a a a a Referecias: = = = = = () () (3) (4) (5) () Por defiició de orma de vector ( ). () Por Ax. 3 de prodcto iterior. (3) Por proposició. (4) Por distribtividad de la radicació respecto al prodcto de úmeros reales o egativos. (5) Por propiedad de valor absolto de úmeros reales y por defiició de orma de vector. iii), v V ; + v + v E efecto, + v = ( + v) ( + v) = + ( v) + v v= () () = + ( v) + v + v+ v (3) (4) (5) (6) ( ) + v + v = + v tomado el primer miembro y el último miembro de la desigaldad se tiee, ( ) + v + v aplicado raíz cadrada e ambos miembros, y como ambos radicados so potecias de bases o egativas, reslta Referecias: + v + v. () Por defiició de orma de vector. () Por la distribtividad del prodcto iterior (i ) respecto de la sma de vectores (+). (3) Por defiició de orma de vector. (4) Por propiedad de valor absolto (todo úmero real es meor o igal qe s valor absolto). (5) Por la desigaldad de Cachy-Scharz. (6) Por defiició de triomio cadrado perfecto. Q.E.D. Uidad 4 5
Ejemplos E el espacio vectorial eclídeo si (,,, ) x x x R Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE R, co N y dode el prodcto iterior es el prodcto escalar, =, etoces la orma de está dada por : i i= = = x + x + + x = x INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA NORMA DE UN VECTOR EN EL ESPACIO EUCLÍDEO R Ejemplo E el espacio vectorial eclídeo R dode el prodcto iterior cosiderado es el prodcto escalar. Si = ( a, b) R, etoces la orma de idcida por el prodcto escalar viee dada por = = a + b Geométricamete, es evidete qe la orma del vector es la logitd del vector. Nota: La logitd del vector sele ombrarse como el módlo del vector PARALELISMO Defiició 6 Sea V espacio vectorial sobre cerpo F y sea, v VF co 0V, v 0V. El vector es paralelo al vector v si y sólo si existe escalar o lo c tal qe =cv. E símbolos, def v c F c 0 : = cv Uidad 4 6
Ejemplo Sea el espacio vectorial real R y sea = (, ) y (,4) paralelo al vector v pes, c= R { 0 }: (, ) = (, 4) Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE v= vectores de R. Es claro qe es Notas.- El paralelismo de vectores es a relació de eqivalecia, es decir qe es: Reflexiva: todo vector es paralelo a sí mismo Simétrica: si vector es paralelo a otro vector v etoces el vector v es paralelo al vector Trasitiva: si vector es paralelo a vector v y éste es paralelo a vector, etoces el vector es paralelo al vector..- Cado vector sea paralelo a vector v, diremos simplemete qe y v so paralelos, esto se debe a qe el paralelismo de vectores es a relació simétrica. 3.- Decir qe dos vectores so paralelos eqivale a decir qe o calqiera de ellos es combiació lieal del otro o bie qe o calqiera de ellos es múltiplo escalar del otro ORTOGONALIDAD Defiició 7 Sea V espacio vectorial eclídeo y sea, v vectores o los de V. Diremos qe es ortogoal a v si y sólo si el prodcto iterior de y v es igal a cero. E símbolos: def v v= 0 Coveció Como V ; 0V = 0 V = 0, coveimos e qe el vector lo 0 V es ortogoal a todo vector de V. Ejemplo Sea el espacio vectorial eclídeo R, dode el prodcto iterior es el prodcto escalar. Sea los =,, v=,. Es claro qe y v so ortogoales, pes vectores ( ) ( ) v = (, ) (, ) = + = 0 E la sigiete figra se observa qe y v so ortogoales, es decir qe la medida del áglo qe forma es π Uidad 4 7
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Nota La ortogoalidad de vectores es a relació simétrica. Por lo tato cado vector sea ortogoal a vector v, diremos simplemete qe y v so ortogoales. Defiició 8 Sea V espacio vectorial ormado. U vector V es itario si y sólo si la orma de es igal a. VERSOR DE UN VECTOR Defiició 9 Sea V espacio vectorial ormado y sea vector o lo de V. Se llama versor del vector al vector. PROPIEDADES DEL VERSOR DE UN VECTOR Sea V espacio vectorial ormado y sea vector o lo de V. El versor del vector o lo tiee las sigietes propiedades: i) Es itario. E efecto, = = = ii) Es paralelo al vector, pesto qe es a combiació lieal de éste, es decir es múltiplo escalar del vector. Uidad 4 8
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Ejemplo Sea el espacio vectorial eclídeo R 3, dode el prodcto iterior es el prodcto escalar. 3 4 El vector,, 0 5 5 es el versor del vector = (3, 4, 0 ) R3. El vector,, 3 3 3 es el versor del vector = (,, ) R3. Ejemplo Sea el espacio vectorial eclídeo R, co el prodcto escalar. Y sea B = E, E,, del espacio vectorial R, dode { } E E E E = (, 0,..., 0), = (0,,..., 0),, = (0, 0,..., ). Es fácil probar qe, calqiera sea N, la base B goza de las sigietes propiedades i) los vectores de B so itarios, es decir i =,,, ; E i = ii) los vectores distitos de B so ortogoales etre sí, es decir E i E j = 0, si i j Nota A los vectores de la base caóica de R se les llama versores fdametales. la base caóica Ejemplo E el espacio vectorial eclídeo R 3 los versores fdametales so (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ) y se los sele desigar co i, j y k respectivamete, esto es, i = (, 0, 0), j = (0,, 0) y k = (0, 0, ) Los vectores i, j y k costitye sistema my importate de vectores itarios, qe tiee por direccioes las correspodietes a los ejes (e s direcció positiva) del sistema de coordeadas cartesiaas ortogoales e el espacio tridimesioal R 3. z y x Uidad 4 9
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Todo vector ( x, y, z) ( ) 3 R se pede expresar como x, y, z = x (,0,0) + y (0,,0) + z (0,0,) = x i+ y j+ z k MÉTRICA Defiició 0 Sea E cojto o vacío. Y sea la fció: d : E E R ( x, y) d( x, y) La fció d es a métrica si y sólo si verifica los sigietes axiomas: I. x y E d( x y), ;, 0 x, y E; d x, y = 0 x= y II. ( ) III. x, y E; d( x, y) = d( y, x) IV. x, y, z E; d( x, y) d( x, z) + d( y, z) Defiició Todo cojto o vacío E, dode está defiida a métrica d se deomia Espacio Métrico y se deota co el par (E, d) y el símbolo d(x, y) se lee distacia de x a y. Notas.- Todo espacio vectorial ormado es espacio vectorial métrico..- La fció distacia es a relació simétrica por el Axioma III. Es por eso qe, e vez de decir d(x, y) es la distacia de x a y diremos simplemete qe d(x, y) es la distacia etre x e y. MÉTRICA INDUCIDA POR LA NORMA Sea V espacio vectorial ormado. Si se defie: d : V V R (, ) (, ) def v d v = v Es fácil ver qe la fció d cmple todos los axiomas de métrica, lego d es la métrica idcida por la orma, y d(,v) es la distacia etre los vectores y v. Uidad 4 0
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Ejemplo E el espacio vectorial eclídeo R, e dode el prodcto iterior es el prodcto escalar y la orma es la idcida por el prodcto escalar. La métrica idcida por la orma es la fció d: R R R defiida por d(, v) = v = ( y i x i ) dode (,,, ), (,,, ) x x x v y y y R = =. i= REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DISTANCIA EN EL ESPACIO EUCLÍDEO R Y v v X La distacia etre y v es la logitd del vector v. Ejemplos a) Sea el espacio vectorial eclídeo R, dode el prodcto iterior es el prodcto escalar. Sea = ( 3, ) y v = (, 4) vectores de R. Etoces la distacia del vector al vector v se calcla como sige: ( ) ( ) d, v = v =, 3 = 4+ 9= 3. b) Sea el espacio vectorial eclídeo R 3, dode el prodcto iterior es el prodcto escalar. Sea = (, -, ) y v = (4,, ) vectores de R 3. Etoces la distacia del vector al vector v es, ( ) ( ) d, v = v = 3, 4, 0 = 9+ 6= 5= 5 ÁNGULO ENTRE VECTORES Proposició 4 Sea V espacio vectorial eclídeo y sea, v vectores o los de V. Etoces existe y es úico α 0,π tal qe: [ ] cosα= Demostració Por la desigaldad de Cachy-Scharz v v Uidad 4
, v V; v v Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE e particlar, { }, v V 0 ; v v V () { }, v V 0 ; v v v V () v v v, v V { 0 V} ; v v v (3) v, v V { 0 V} ; v llamado k= v v se tiee k. Se observa etoces qe, calesqiera sea 0 v 0, el úmero e base a estos vectores es úmero real perteeciete al itervalo [-, ]. Por lo tato, dado k [-, ], existe úmero α R tal qe k= cosα. V V v k = v cosegido Y como la fció coseo e el itervalo [ 0,π ] es iyectiva, como podemos ver e la gráfica Uidad 4
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Se pede asegrar qe, dado k [-, ], existe úico α [ 0, π] tal qe cosα= k. Co esto, se ha probado qe { }, v V 0 ;! α [0, π] : cos α= V v v Referecias: () Por propiedad de valor absolto. () Mltiplicado e cada miembro por v 0 V. (3) Simplificado e ambos miembros v. Esto se pede hacer porqe v 0, pes 0 V Q.E.D. Defiició Se deomia el áglo etre los vectores y v al úico úmero real α [0, π v ] : cos α= v. y x DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN VECTORES ORTOGONALES Sea el espacio vectorial eclídeo R. Sea la base caóica B { E, E,, } R, dode E E E = (, 0,..., 0), = (0,,..., 0),, = (0, 0,..., ). = del espacio vectorial Si = ( a, a,, a ) R etoces el vector se pede expresar como a úica combiació lieal de vectores de la base caóica B, e la qe las coordeadas de so ss respectivas compoetes, esto es = a E + a E + + a E E E el caso e qe Uidad 4 3
i {,,, }; a i 0, se verifica etoces i j; (a i E i ) ( a j E j ) = 0 Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE de aqí se pede decir qe todo vector = ( a, a,, a ) R, (co a i 0, i) se pede descompoer como sma de vectores ortogoales etre sí Ejemplo E el espacio vectorial eclídeo R 3 B = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} cosideremos la base caóica Sea vector o lo = (a, a, a 3 ) R 3. Expresamos a e térmios de la base caóica del sigiete modo = (a, a, a 3 ) = a (, 0, 0) + a (0,, 0) + a 3 (0, 0, ) recordado qe los versores fdametales de la base caóica so desigados por i = (, 0, 0), j = (0,, 0), y k = (0, 0, ) por lo qe tambié es sal expresar al vector de esta otra maera = (a, a, a 3 ) = a i + a j+ a 3 k a 3 k z a j y a i x Uidad 4 4
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES Defiició 3 Sea el espacio vectorial eclídeo R. Sea la base caóica B { E, E,, } R, dode E E E = del espacio vectorial = (, 0,..., 0), = (0,,..., 0),, = (0, 0,..., ). Sea vector o lo = ( a, a,, a ) R. Llamaremos áglos directores del vector a los áglos α, α,, α etre y cada o de los versores fdametales E, E,, E respectivamete. Además a los úmeros reales cos α, cos α,, cos α les llamaremos coseos directores del vector. Bscaremos a expresió qe os permita calclar los coseos directores de vector o lo de R e forma imediata. Spogamos qe ( a, a,, ) = es vector o lo de R. Llamemos a α al áglo etre y E α al áglo etre y E α al áglo etre y E E De acerdo co la defiició de áglo etre dos vectores, se satisface E a cos α = = a= cosα E E a cos α = = a= cosα E E a cos α = = a = cosα E Lego = ( a, a,..., a ) = (cos α,cos α,...,cos α ). Uidad 4 5
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Observació Todo vector itario de R tiee como compoetes a ss coseos directores. E efecto, = R es itario, es decir = etoces si el vector ( a, a,, ) a es decir qe = (,,..., ) = (cos α,cos α,...,cos α ) a a a = α = α = α, a cos, a cos,..., a cos Ejemplo E 3 R se tiee ( a, b, c) =, ss áglos directores so α, α, α 3. z c v b y a x Ejercicio Determie los áglos directores del vector = (, 0, -) perteeciete al espacio eclídeo R 3 Proposició 5 Sea el espacio vectorial vector o lo ( a, a,, ) Demostració Si ( a, a,, ) R co el prodcto escalar y sea =. Etoces se verifica qe a = a, y i= cos α = i α, α,, α ss áglos directores, etoces α, α,, α áglos directores de Uidad 4 6
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE por el resltado aterior cos α i= cos α + cos α +... + cos α i= a cosα = a cosα = a cosα =. Se tiee etoces a a a a + a +... + a cos... i= α i= + + + = Por defiició de orma cos α = i= i lego cos α i= i=. Q.E.D. La relació Pitagórica como caso particlar de la proposició 5 E R, sea ( ) v = a, a. Y sea α,α ss áglos directores, etoces segú la proposició 5: cos α + cos α =. Uidad 4 7
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE y x pero calqiera sea se verifica y remplazado e, se tiee v R, si los áglos directores so complemetarios, es decir si α + α = π cosα = seα cosα = seα se α + cos α = se α + cos α = Comprobamos co esto, qe de la propiedad cos α =, se pede dedcir la coocida Idetidad i Pitagórica i= se α + cos α =. PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO VECTOR Defiició 4 Sea V espacio vectorial eclídeo, y sea y v dos vectores de V co v o lo. La proyecció de sobre v se defie como el vector Propiedades I. proy v v. def v proyv= v v II. III. proy v tiee el mismo setido de v si v> 0. proy v tiee setido cotario de v si v< 0. Uidad 4 8
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE IV. proy v es el vector lo si v= 0, es decir si v. V. = proy es ortogoal a v. v Ejercicio demestre la Propiedad V precedete. Vizalizació del cocepto Sea el espacio vectorial eclídeo R y sea y v dos vectores o los de R y x Ejercicio Determie la proyecció del vector = (, 3) sobre el vector v = (, ) de R y grafiqe. CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES Defiició 5 Sea V espacio vectorial eclídeo y sea S V S. Diremos qe S es cojto ortogoal de vectores si y sólo si ss vectores so mtamete ortogoales. E símbolos, S es ortogoal i j = 0 i j, Ejercicio Verifiqe qe el cojto S = {(-,), (, )} es cojto ortogoal de R co el prodcto escalar. Uidad 4 9
CONJUNTO ORTONORMAL DE VECTORES Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Defiició 6 Sea V espacio vectorial eclídeo y sea S V S. Diremos qe S es cojto ortoormal de vectores si y sólo si ss vectores so mtamete ortogoales y itarios. E símbolos Ejemplo S es ortoormal La base caóica del espacio vectorial eclídeo i j i j= 0 i =,,, : i = 3 ( R, ), es cojto ortoormal. COMPLEMENTO ORTOGONAL Defiició 7 Sea V espacio vectorial eclídeo y sea S sbespacio vectorial de V. Llamaremos complemeto ortogoal de S al cojto: { / = 0, } S = v V v S Propiedades El complemeto ortogoal es sbespacio vectorial de V. E símbolos S V Es decir. I. S V II. S v, v S v + v S III. IV. a F, v S a v S La demostració qeda para el estdiate. NORMALIZACIÓN DE UN CONJUNTO ORTOGONAL = cojto ortogoal de vectores o los. Etoces el cojto Sea S {,,, },,, Uidad 4 0
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Es cojto ortogoal y ss vectores so itarios por ser versores de los vectores de S; lego es cojto ortoormal. Proposició 6 Todo cojto ortogoal de vectores o los es liealmete idepediete. Demostració Sea S V S, y S es cojto ortogoal de vectores o los. Spogamos es decir i= a = 0 i i V (co a a a a F S) + + + = 0V Operado co el prodcto iterior e ambos miembros co Referecias: () ( a + a + + a ) = 0 V ( a ) + ( a ) + + ( a ) = 0 a ( ) + a( ) + + a( ) = 0 () a ( ) = 0 a= 0 (3) 0V 0 () Por Ax. de prodcto iterior. () Por Ax.3 de prodcto iterior. (3) Por Ax.4 de prodcto iterior. = 0 = 0 i i Operado co el prodcto iterior e ambos miembros co ( a + a + + a ) = 0 V ( a ) + ( a ) + + ( a ) = 0 () a ( ) + a( ) + + a ( ) = 0 () = 0 = 0 a( ) = 0 a= 0 (3) 0V 0 Uidad 4
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Referecias: () Por Ax. de prodcto iterior. () Por Ax.3 de prodcto iterior. (3) Por Ax.4 de prodcto iterior. Se procede de maera aáloga hasta llegar al último vector Operado co el prodcto iterior e ambos miembros co ( a + a + + a ) = 0 V ( a ) + ( a) + + ( a ) 0 = () a ( ) + a ( ) ( ) 0 () + + a = = 0 = 0 a ( ) 0 0 (3) = a= 0V 0 Por lo tato el cojto S es liealmete idepediete. Referecias: () Por Ax. de prodcto iterior. () Por Ax.3 de prodcto iterior. (3) Por Ax.4 de prodcto iterior. Q.E.D. Otra forma de realizar la demostració es la sigiete Sea + + + i i+... + = 0V a a a a E forma geeral operado co el prodcto iterior e ambos miembros co i, i=,..., ; teemos i=,..., ; ( a + a + + a +... + a ) = 0 i i i V i i=,..., ; ( a ) + ( a ) + + ( a ) +... + ( a ) = 0 () i i i i i i i=,..., ; a ( ) + a ( ) + + a ( ) +... + a ( ) = 0 () i i i i i i i=,..., ; ai ( (3) i i ) = 0 0 V 0 lego Uidad 4
a = 0; i=,...,. i e cosececia el cojto S es liealmete idepediete. Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Referecias: () Por Ax. de prodcto iterior. () Por Ax.3 de prodcto iterior. (3) Por Ax.4 de prodcto iterior. ORTONORMALIZACIÓN DE UNA BASE Q.E.D. Teorema 0 V Todo espacio vectorial real V { } admite a base ortoormal. Demostració Sabemos qe todo espacio vectorial V { } tomar a base calqiera de V. co prodcto iterior y de dimesió fiita (co ), admite al meos a base, por lo tato podemos 0 V Sea B = {v, v,..., v } a base de V. A partir de esta base costriremos vectores,,..., empleado el coocido Proceso de Ortogoalizació de Gram-Schmidt, del sigiete modo: = v v i = v v i 3 v3 3 = v3... v v v = v... Es decir i =,,..., ; i- vi j i= vi j (α) j= j Sea C el cojto formado por esos vectores, esto es C = {,,..., }. Uidad 4 3
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE Probaremos qe el cojto C es cojto ortogoal de vectores o los. E efecto, todos los vectores de C so o los, es decir i=,,..., ; i 0 v. (β) Esto es así ya qe por el cotrario, si existe i {,,..., } tal qe i = 0 v, etoces reemplazado e (α) y lego despejado v i se tiee v i = v i i- i j j= j es decir, v i es combiació lieal de los ateriores vectores v, v,..., v i- de la base dada B, y esto es a cotradicció, ya qe igú vector de B pede ser combiació lieal de los restates, pesto qe B es liealmete idepediete. Lego la proposició (β) reslta es verdadera. Ahora, probaremos qe cada vector de C es ortogoal a los ateriores vectores. Es decir, probaremos qe es verdadera la sigiete proposició: j m N m ; m es ortogoal a j co j =,,, m- (δ) Para ello emplearemos el Pricipio de Idcció Matemática. i) Si m =, etoces v i = i v i = ( ) v i v i ( i ) = 0 es decir la proposició (δ) es verdadera para m = ii) Demostraremos ahora qe: si la proposició (δ) es verdadera para m = k, etoces la proposició (δ) es verdadera para m = k +. Spogamos qe k es ortogoal a j, co j =,,, k-, esto es lo mismo qe decir k j = 0, j =,,, k- Teemos qe probar qe k+ es ortogoal a j co j =,,, k Uidad 4 4
Álgebra II (LM-PM) - Álgebra Lieal (Igs.) - F.C.E. y T.- UNSE k vk + h k+ j = vk + () h j h = i h v i ( v ) ( ) () k k+ h k+ j = k+ i j h j h = h vk+ j k+ j = ( vk+ j ) ( ) (3) j j j = ( v ) ( v ) ( 4) k+ j k+ j k+ j k+ j = 0 Referecias () Teiedo e cata la costrcció de los vectores dada e (α) () Por la distribtividad del prodcto iterior respecto a la resta de vectores Por la distribtividad del prodcto iterior respecto a la sma fiita de vectores Por axioma de prodcto iterior (3) Como j y h so tales qe j k h k, etoces por hipótesis idctiva se tiee qe ( ) = 0 si h j. Además ( ) 0 si h = j h j ya qe todos los vectores los vectores so o los. (4) Por defiició de orma de vector h j Por lo tato, hemos probado qe C o los. = {,,..., } es cojto ortogoal de vectores Ahora bie, teiedo e ceta qe Todo cojto ortogoal de vectores o los es liealmete idepediete reslta qe C es liealmete idepediete, además C tiee vectores del espacio V (co dim V = ) por lo tato C es a base ortogoal de V. Fialmete, si se ormaliza la base ortogoal C, es decir si se toma el versor de cada vector de C se obtiee el cojto,,..., el cál es a base ortoormal de V. Uidad 4 5