MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS 5..- Dstrbucoes -dmesoales. Aálss margal y codcoado 5..- Varables aleatoras depedetes. Propedades 5.3.-Agregacó de varables aleatoras 5.4.-Teorema Cetral del Límte y sus aplcacoes TEMA 5. COMPETENCIAS Saber calcular e terpretar la covaraza y el coefcete de correlacó leal. Coocer las prcpales propedades dervadas de la depedeca de varables aleatoras. Saber aplcar e terpretar el Teorema Cetral del Límte.
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS 5..- Dstrbucoes -dmesoales. Aálss margal y codcoado Dstrbucó cojuta de dos varables aleatoras COCHES Se ha aalzado cojutamete las varables úmero de hjos de cada famla ( y úmero de coches por famla ( 3 0,9 0,6 0,09 0,06 0,9 0,3 Valores (x, y j Probabldades cojutas p j P(=,==0,6
Varable aleatora bdmesoal dscreta Observacó cojuta de dos varables aleatoras udmesoales dscretas e (, v. a. DISCRETA {(x,y j /,j =,,...} P:(x,y R P(x,y = P(=x, =y [0,] \ x... x... x k y p p p k Probabldad cojuta p j =P(=x,=y j... y j p j p j p kj... y l p l p l p kl P( = x, = y = j p p j 0 j = j p j Dstrbucoes margales \ x... x... x k y p p p k... y j p j p j p kj... Dstrbucó margal de : (y j, p.j p = p.j j y l p l p l p kl p = p. j j Dstrbucó margal de : (x, p. 3
Dstrbucoes margales Las dstrbucoes margales so dstrbucoes de v.a. udmesoales, sobre las que: Se puede calcular probabldades y Se puede obteer las correspodetes característcas margales de e : E( Var ( E( Var( Varables bdmesoales cotuas Observacó cojuta de dos varables aleatoras udmesoales cotuas e (, v. a. CONTINUA Fucó de desdad cojuta f:(x,y R f(x,y R f(x, y 0 + + f ( x,y dxdy = Fucoes de desdad margales f (y= + - f(x,ydx f + (x = f(x, ydy 4
Fucó de dstrbucó cojuta Dada ua v.a. bdmesoal (, defmos la fucó de dstrbucó cojuta asocada a esta varable como: Fucó de dstrbucó cojuta F:(x,y R F(x,y = P( x, y [0,] Relacó leal etre varables aleatoras Covaraza ( ( ( σ =Cov, =E -µ -µ, σ, ( ( ( =E -E E Coefcete de correlacó leal σ ρ,, = ρ σ σ, El sgo de ρ, dca el tpo de depedeca leal El valor absoluto de ρ, dca el grado de relacó leal 5
Udmesoal Vectores aleatoros. Característcas Vector aleatoro Esperaza Varazas- Covarazas µ = E( σ = Var( Bdmesoal (, -dmesoal (,,..., µ = ( E(,E( µ = ( E(,..., E( σ σ σ σ σ σ... σ σ σ... σ............ σ σ... σ MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS 5..- Varables aleatoras depedetes. Propedades 6
Varables aleatoras depedetes Dos v.a. e so depedetes s y sólo s: F(x,y = F (x F (y (x,y R f. de dstrbucó de (, f. de dstrbucó margal de f. de dstrbucó margal de CONDICIÓN DE INDEPENDENCIA (, DISCRETA (, CONTINUA P(x,y j =P(x P(y j (x,y j R f(x,y=f (xf (y (x,y R Propedades Dadas e, v.a. depedetes se cumple: E( = E(E( Cov(, = 0 y ρ =0 Var(+ = Var( + Var( Var(a+b = a Var( + b Var( a,b R Var(- = Var( + Var( e v.a. ormales e correladas (ρ =0 e depedetes 7
Reproductvdad Dada ua famla de varables aleatoras ψ, se dce que ésta es reproductva s y sólo s para todo par de v.a. depedetes, ψ se cumple + ψ V.a. depedetes Suma Reproductvdad B( B(,,p p + B( +,p Modelo Bomal reproductvo respecto a (p costate N(µ N(µ,σ,σ + N(µ + µ, σ + σ Modelo Normal reproductvo respecto a meda y varaza P(λ P(λ + P(λ + λ Modelo de Posso reproductvo respecto al parámetro λ MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS 5.3.- Agregacó de varables aleatoras 8
Agregacó de varables aleatoras (Beefco de la empresa (Beefco de la empresa... (Beefco de la empresa Suma S = = Beefco total de las empresas = Meda = Beefco medo de las empresas Característcas de las agregados Dada la v.a. -dmesoal (,,, co esperazas y varazas ftas:... ( ( ( ( ( ( E =µ E =µ... E =µ Var =σ Var =σ... Var =σ Esperaz a Varaza ( E S = µ ( = = E = Var(S Var σ σ = = + j = = j,,..., depedetes µ Var(S = σ = Var( = σ = 9
Desgualdad de Chebyshev Sea (,,, v.a. -dmesoal co esperazas y varazas ftas Acotacó de Chebyshev para la suma: ( ε P S -E(S Var(S Acotacó de Chebyshev para la meda: ( ε Var( P -E( ε ε Varables aleatoras..d. Dadas,,..., v.a. depedetes e détcamete dstrbudas co: ( ( σ E =µ Var = =,..., MAGNITUD ESPERANZA VARIANZA ACOTACIÓN DE CHEBSHEV Suma(S E(S =µ Var(S =σ Meda ( E( = µ Var( = σ P P S σ µ ε ε σ µ ε ε 0
MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA 5: ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIÓN DE AGREGADOS 5.4.-Teorema Cetral del Límte y sus aplcacoes Teorema Cetral del Límte Eucado de Levy-Ldeberg: Dadas,,..., v.a. depedetes e détcamete dstrbudas co ( ( σ E =µ Var = ftas =,..., = ( S = N µ,σ S-µ N(0, σ Aproxmacó >30
Teorema Cetral del Límte... CAUSAS INDIVIDUALES EFECTO GLOBAL AGREGADO S = = = = EFECTO MEDIO N ( µ, σ σ N µ, Teorema Cetral del Límte Eucado de De Movre:,,..., v.a. de Beroull, de parámetro p, e Idepedetes: = p N(0, pq Cosecueca: = B(p B(,p N p, ( pq Correccó de cotudad
Aproxmacó BINOMIAL NORMAL =5 =0 =40 3