IES Fernndo de Herrer Curso 01 / 1 Primer trimestre º ESO 16 de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles NOMBRE: 1) ) Representr en un mism rect rel: 1 9 1/ 0 1 Decir qué números representn b: 0 1 b ) ) Escribir en form de intervlo: {R / 1 < } (0, puntos) Ídem pr el conjunto de números comprendidos entre 0, ecluidos mbos. (0, puntos) c) Ídem pr es [, 0) (, ] (0, puntos) d) Ídem pr es [, 0) (, ] (0, puntos) ) Epresr en notción científic: ),7 10 1 (0, puntos) 0,09 10 1 (0, puntos) c) 917 (0, puntos) d) 0,00000006 (0, puntos) ) Simplificr, plicndo propieddes de potencis: ) 8 ( ) 7 7 6 6 6 ( 1) 7 6 ) Simplificr, plicndo propieddes de rdicles potencis: ) 6 8 Rcionlir: 1
Primer trimestre º ESO 16 de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles SOLUCIONES 1) ) Representr en un mism rect rel: 1 9 1/ 1/ 1,9 1 0 1 Decir qué números representn b: 0 1 11/; b 7/ El intervlo [, ] h sido dividido en tres prtes igules (medinte dos mrcs intermedis), lo que quiere decir que cd prte es un tercio de l unidd. Si empemos contr tercios desde 0 hci el ldo negtivo de l rect rel (hci l iquierd), llegdos llevmos 9/, por lo que dos tercios más hci l iquierd son 11/. De form similr, entre 1 estmos hblndo de curtos de l unidd. 1 /, por lo que tres mrcs más son 7/. ) ) Escribir en form de intervlo: {R / 1 < } (0, puntos) [ 1, ) Son todos los números reles comprendidos entre 1, incluendo 1 pero no. Ídem pr el conjunto de números comprendidos entre 0, ecluidos mbos. (, 0) (0, puntos) c) Ídem pr [, 0) (, ] (0, puntos) 1 0 1 [, 0) está dibujdo en rojo, mientrs que (, ] lo está en ul. L unión de mbos intervlos está formd por todos los elementos que pertenecn lguno de los dos intervlos (lo que inclue los que están en mbos l ve). Por ello: [, 0) (, ] [, ] d) Ídem pr [, 0) (, ] (0, puntos) Ronndo sobre el gráfico nterior, l intersección result ser l on común mbos intervlos. Es decir: [, 0) (, ] (, 0) Porque h que hcer notr que (, ] que 0 [, 0). ) Epresr en notción científic: ),7 10 1,7 10 10 1,7 10 11 (0, puntos) 0,09 10 1,9 10 10 1,9 10 11 (0, puntos) c) 917 9,17 10 (0, puntos) d) 0,00000006 6, 10 8 (0, puntos) b IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de http://www.e-mtemtics.es
Primer trimestre º ESO 16 de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles ) Simplificr, plicndo propieddes de potencis: ) 8 ( ) 8 ( ) 7 7 7 7 6 6 6 7 6 ( ) ( ) 6 6 7 6 6 18 6 181 1 17 6 6 ( 1) 7 6 6 6 ( 1) 7 6 6 ( ) ( ) 1 6 7 6 7 7 1 7 1 76 6 6 7 ( ) ( ) 1 7 6 6 ) Simplificr, plicndo propieddes de rdicles potencis: ) 6 8 6 8 7 7 7 7 7 6 7 6 7 1 Rcionlir: 1 1 ( ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 01 / 1 Primer trimestre º ESO de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles NOMBRE: 1) ) Escribir en form de intervlo: {R / < 1} (1 punto todo el ejercicio) Ídem pr el conjunto de números comprendidos entre 1 0, ecluidos mbos. c) Ídem pr [, 1) [, ) d) Ídem pr [, 1) (, ) ) Epresr en notción científic: ( puntos) ) 97,6 10 910 0,08 10 10 c) Epresr en form ordinri el siguiente número escrito en notción científic:,1 10 1 d) Epresr en form ordinri el siguiente número escrito en notción científic:,1 10 1 ) Simplificr, plicndo propieddes de potencis: ( puntos) 6 ( 1) ) 6 ( ) ( ) ) Simplificr, plicndo propieddes de rdicles potencis, dejndo rcionlido el denomindor, en su cso: ) c) d) 9 18 (0, puntos) e) 7 18 6 (0, puntos) ) Clculr sin utilir l clculdor, con el resultdo simplificdo: 81 18 6 6 6
Primer trimestre º ESO de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles SOLUCIONES 1) ) Escribir en form de intervlo: {R / < 1} (1 punto todo el ejercicio) (, 1] Son todos los números reles comprendidos entre 1, ecluendo e incluendo 1. Ídem pr el conjunto de números comprendidos entre 1 0, ecluidos mbos. ( 1, 0). c) Ídem pr [, 1) [, ) 1 0 1 [, 1) está dibujdo en rojo, mientrs que [, ) lo está en ul. L unión de mbos intervlos está formd por todos los elementos que pertenecn lguno de los dos intervlos (lo que inclue los que están en mbos l ve). Por ello: [, 1) [, ) [, ) d) Ídem pr [, 1) (, ) Ronndo sobre el gráfico nterior, pero teniendo presente est ve que no pertenece l segundo de los intervlos, l intersección result ser l on común mbos intervlos. Es decir: [, 1) (, ) (, 1) Porque h que hcer notr que ni ni 1 pertenecen mbos intervlos. ) Epresr en notción científic: ( puntos) ) 97,6 10 910,976 10 10 910,976 10 910,976 10 907 0,08 10 10 8, 10 10 10 8, 10 18 c) Epresr en form ordinri el siguiente número escrito en notción científic:,1 10 1 0,000000000000001 d) Epresr en form ordinri el siguiente número escrito en notción científic:,1 10 1 10.000.000.000.000 ) Simplificr, plicndo propieddes de potencis: ( puntos) 6 ( 1) ) 6 6 ( 1) ( ) (1) ( ) 6 6 10 10 ( ) 6 6 87 ( ) ( ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de http://www.e-mtemtics.es
Primer trimestre º ESO de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 6 ( + ) 1 ( 6) ( + ) 1 ) Simplificr, plicndo propieddes de rdicles potencis, dejndo rcionlido el denomindor, en su cso: ) c) d) 9 9 6 ( ( 9 6 ) ) 1 6 10 6 9 10 9 9 6 9 ( ) 9 6 9 18 (0, puntos) 18 6 e) 7 18 6 (0, puntos) 7 18 6 7 6 7 6 1 18 19 17 ) Clculr sin utilir l clculdor, con el resultdo simplificdo: 81 18 6 6 6 7 81 18 1 1 1 6 8 6 6 6 6 6 6 1 6 7 1 7 6 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 NOMBRE 1) Simplificr ls siguientes epresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: ( 1) ( ) ) ( puntos) 19 0 ( ) ( 9) 8 c) d) ) Cuánto sumn los 1000 primeros números pres ( + + 6 +...)? ) Cuánto sumn ls 0 primers potencis de (es decir: 1 + +... + 0 )? Pr este ejercicio, no se puede usr l clculdor, menos que se encuentre un fórmul que simplifique el proceso. ) Relir: ( puntos) ) Epresr log en función de ln. Aplicndo l definición de logritmo, clculr log. c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l epresión resultnte, en: 10 A d) Quitr logritmos en: log A log log + log + 1 ) ) Pr P() + m + 1, hllr el vlor de m que hce que teng un rí en 1. Escribir como qued P() l sustituir el m obtenido. Indicr, como consecuenci de lo nterior, plicndo el Teorem del Resto, un polinomio Q() de grdo 1 entre el que se divisible P(). c) Efectur dich división, e indicr dividendo, divisor, cociente resto. d) Por último, relir l prueb correspondiente l división efectud. ( puntos) 6) Fctorir P() 8 18 + 7 + ( puntos)
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 SOLUCIONES 1) Simplificr ls siguientes epresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: ( 1) ( ) ) ( puntos) 19 0 ( ) ( 9) Pr todos estos ejercicios, simplemente plicmos propieddes de potencis de ríces, recogids en ls fórmuls fundmentles publicds en nuestr web, ls operciones con rdicles, que tmbién están en l web. ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) 19 0 19 0 19 0 19 0 8 60 ( ) ( 9) 9 9 ( ) ( ) c) d) 8 8 6 8 60 1 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de http://www.e-mtemtics.es 0 6 6 1 ( ( ) ) 1 9 6 6 6 9 ( ) 6 7 9 6 9 9 6 9 6 9 8 En este problem h que dvertir de vris circunstncis. En primer lugr, el método estándr pr conseguir rcionlir un denomindor en el que precen dos sumndos con ríces cudrds en ellos consiste en multiplicr numerdor denomindor por el conjugdo de dicho denomindor. En segundo lugr, en el resultdo finl, similr lgunos intermedios, no podemos efectur 9 + 6, porque el segundo sumndo no es 6, sino 6. En tercer lugr, no podrímos simplificr los del enuncido, otros similres de los distintos psos, porque en un división no se pueden simplificr sumndos ni prte de sumndos, sino sólo fctores. ) Cuánto sumn los 1000 primeros números pres ( + + 6 +...)? Tenemos que efectur + + 6 + 8 +... Se trt de l sum de 1000 términos es progresión ritmétic, donde el primer término es 1 l diferenci, d. Así, el último término es: 1000 1 + (1000 1)d + 999 000 L sum solicitd es, entonces: 1 s 1000 1000 1000 000 1000 00 1000 1001 1000 1.001.000
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 ) Cuánto sumn ls 0 primers potencis de (es decir: 1 + +... + 0)? Pr este ejercicio, no se puede usr l clculdor, menos que se encuentre un fórmul que simplifique el proceso. Aquí nos encontrmos frente un sum de 0 términos en progresión geométric, con 1, r. Por tnto: ( 0 1 r 1) ( 0 1) s 0.17.8.66 r 1 1 ) Relir: ) Epresr log en función de ln. Simplemente, plicmos l fórmul de cmbio de bse en logritmos: ln log ln ( puntos) Aplicndo l definición de logritmo, clculr log. log c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l epresión resultnte, en: 10 A 10 10 A log A log log 10 log log 10 + log + log 1 log 1 + log + 1 log log d) Quitr logritmos en: log A log log + log + 1 log A log + 1 log + log 10 log log 10 + log + 1 log log log 10 + log log log 10 A 10 ) ) Pr P() + m + 1, hllr el vlor de m que hce que teng un rí en 1. Escribir como qued P() l sustituir el m obtenido. ( puntos) Tener un rí en 1 signific, por definición, que P() 0 en 1: P( 1) ( 1) + m ( 1) + 1 1 m + 1 m + 0 m Consecuentemente, P() + + 1 Indicr, como consecuenci de lo nterior, plicndo el Teorem del Resto, un polinomio Q() de grdo 1 entre el que se divisible P(). Por el Teorem del Resto, si P( 1) 0, entonces P() es divisible entre ( 1) + 1. Por tnto, Q() + 1. c) Efectur dich división, e indicr dividendo, divisor, cociente resto. Efectumos l división por Ruffini: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 Dividendo: P() + + 1 divisor: Q() + 1 Cociente: C() + + 1 Resto: R 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 d) Por último, relir l prueb correspondiente l división efectud. Q() C() + R ( + 1)( + + 1) + 0 + + + + + 1 + + 1 6) Fctorir P() 8 18 + 7 + ( puntos) Comenmos probndo divisores positivos negtivos del término independiente : 8 18 7 1 8 10 8 10 0 No encontrmos fácilmente un divisor ecto, por lo que probmos encontrr ls ríces del polinomio 8 10 igulándolo 0 resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: 10 1 1 8 10 100 96 10 1 10 0 16 16 16 16 10 1 16 16 Conocemos ls dos ríces de este polinomio de segundo grdo. Por el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: 8 10 8( + 1/)( /). L fctorición del polinomio de prtid es, pues: 8 18 + 7 + 8( 1)( + 1/)( /) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de 01 NOMBRE 1) Simplificr ls siguientes epresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: 9 ( 1) ( ) ) ( puntos) 1 0 ( ) ( 9) 7 c) d) ) Los primeros términos de un sucesión son: 1 0.71; 0.0071; 0.000071; sí sucesivmente, multiplicndo el término nterior por 0.01 pr obtener el que le sigue. Se pide: ) Qué tipo de sucesión es? (0, puntos) Cuánto sumn los infinitos términos de est sucesión? (0, puntos) c) Podrí decir un consecuenci reltiv l resultdo? (0, puntos) ) En un progresión ritmétic se tiene: 1 00 90. Hllr d. (1, puntos) ) Relir: ( puntos) ) Relcionr log con ln. Aplicndo l definición de logritmo, clculr sbiendo que log 1. c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l epresión resultnte, en: 100 A d) Quitr logritmos en: log A log log + + 1 log ) Pr P() + m +, hllr, sin efectur l división, el vlor de m que hce que l división entre + se ect. Escribir como qued P() l sustituir el m obtenido. 6) Clculr. A continución, fctorir, sin usr clculdor, el polinomio siguiente: P() 7 + 1 11 ( puntos)
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de 01 SOLUCIONES 1) Simplificr ls siguientes epresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: 9 ( 1) ( ) ) ( puntos) 1 0 ( ) ( 9) 9 ( 1) ( ) 1 ( ) ( 9) 0 1 9 9 1 0 1 9 9 1 0 8 ( ( ) 60 9 7 1 0 16 9 ) ( ) ( ) 9 9 60 7 7 6 6 6 6 c) 1 d) ( ( ) ) 8 16 ( ) 8 16 ( ) ) Los primeros términos de un sucesión son: 1 0.71; 0.0071; 0.000071; sí sucesivmente, multiplicndo el término nterior por 0.01 pr obtener el que le sigue. Se pide: ) Qué tipo de sucesión es? (0, puntos) Es un progresión geométric con 1 0.71 rón r 0.01 Cuánto sumn los infinitos términos de est sucesión? (0, puntos) L sum de infinitos términos de un progresión geométric de rón positiv menor que 1 es: s 1 1 r 0.71 1 0.01 0.71 0.99 71 99 c) Podrí decir un consecuenci reltiv l resultdo? (0, puntos) Tenemos l frcción genertri de 0.717171... 71/99 ) En un progresión ritmétic se tiene: 1 00 90. Hllr d. (1, puntos) n 1 + (n 1)d 1 + ( 1)d 90 00 + d d (90 00)/ 1 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de 01 ) Relir: ) Relcionr log con ln. log b Como log log b ln log ln ( puntos) Aplicndo l definición de logritmo, clculr sbiendo que log 1. log 1 1 c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l epresión resultnte, en: 100 A 100 log A log log( 100 ) log log 100 + log 1 + log log 1 + log + log log d) Quitr logritmos en: log A log log + + 1 log log A log log + + 1 log log + + 1 log log log ( 100 log + log 100 + log ) log log 100 log A 100 ) Pr P() + m +, hllr, sin efectur l división, el vlor de m que hce que l división entre + se ect. Escribir como qued P() l sustituir el m obtenido. Según el Teorem del Resto, el resto de dividir P() entre + es P( ). Como este resto debe vler 0 pr que l división se ect: P( ) 0 ( 8) m + 0 16 + m 1 m m 7 Por lo que P() 7 + 6) Clculr. A continución, fctorir, sin usr clculdor, el polinomio siguiente: P() 7 + 1 11 ( puntos) 76. Probndo, por Ruffini: 7 1 11 1 7 6 7 6 0 No encontrmos cómo seguir, pero l tener un polinomio de segundo grdo, pr encontrr sus ríces podemos optr por igulrlo 0 resolver l ecución de segundo grdo resultnte: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es
IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de 01 18 1 7 6 6 0 6 76 6 6 0 0 9 Como consecuenci, plicndo el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: P() 7 + 1 11 7( + 1)( + 1 )( 9 ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de http://www.e-mtemtics.es