Facultad de Cencas Exactas, Ingenería y Agrmensura Unversdad Naconal de Rosaro Identfcacón de Sstemas rabajo Práctco Nro. Identfcacón de una Planta de Neutralzacón de ph Mayo 202
rabajo Práctco Nro. Identfcacón de una Planta de Neutralzacón de ph. Descrpcón del Proceso El control de ph de una solucón es crítco en una varedad de procesos. Los procesos de neutralzacón de ph son extremadamente dfícles de controlar debdo a que exhben un comportamento fuertemente no lneal debdo a la curva estátca de ttulacón (ttraton curve) (que es la característca de salda del proceso), que puede tener varacones de varos órdenes de magntud en un rango pequeño de valores de ph ([],[2]). El proceso de neutralzacón de ph consste de un flujo de solucón ácda (acd stream HNO ) cuyo ph se quere neutralzar adconando una solucón base (base stream NaOH), y una solucón buffer que se adcona para facltar la reaccón (buffer stream NaHCO ). Estos flujos entran a un tanque agtado (Strred ank Reactor) donde se mezclan. Un dagrama esquemátco del proceso de neutralzacón de ph se muestra en la Fgura. buffer (u 2 ) ácdo (u ) base (u ) h solucón de salda (ph) Fgura : Dagrama Esquemátco de un Proceso de Neutralzacón de ph. El objetvo de control es regular el ph (ph) de la solucón de salda a través de la manpulacón del flujo de la solucón base (u ), compensando los posbles cambos en el flujo del buffer (u 2 ) que se consdera como una perturbacon no medble. El flujo de la solucón ácda (u ), y el volumen del tanque () se asumen constantes. El equlbro químco puede modelarse ntroducendo dos nvarantes de reaccón por cada flujo entrante ([2]). Estas nvarantes de reaccón están defndas como a b = [ H = [ H + 2 ] [ OH CO ] + [ HCO ] [ HCO ] + [ CO ] 2[ CO = ] = ] () donde = ndca la solucón ácda, = 2 ndca el buffer, e = ndca la solucón base. Combnando los balances de masa en cada una de las especes óncas del sstema, se obtene la sguente ecuacón dferencal que descrbe el comportamento de las nvarantes de reaccón de la solucón de salda: ISIS rabajo Práctco Nro. - 202 2
da = ( ) u + ( ) u + ( dt ) u db = ( ) u + ( ) u + ( dt ) u a a a a a2 a 2 b b b b b2 b 2 (2) donde u, u2 y u son respectvamente los flujos volumétrcos de la solucón ácda, del buffer, y de la solucón base, y donde =Ah es el volumen del tanque, sendo h la altura de líqudo en el msmo y A el área de su seccón transversal. El ph de la solucón de salda (ph) se determna a partr de las nvarantes de reaccón a y b usando la sguente relacón mplícta: 4 + 2 0 + 0 0 + = 0 + 0 + 0 ph pk2 ph ph a b pk ph ph pk2, () donde pk y pk 2 son las constantes de dsocacón de H 2CO y HCO respectvamente, que se asumen conocdas. Defnendo [ ] [ ] x= x x = d = u u = u 2 2 a b y = ph varable de salda el modelo (2)-() puede escrbrse como: vector de estado perturbacón (no medble) varable manpulada (entrada de control) = f ( x) + g( x) u + p( x) c( x, y) = 0 x d (4) donde u u f x x x ( ) = ( ) ( ) a b 2 g x x x ( ) = ( ) ( ) a b 2 p x x x ( ) = ( ) ( ) a2 b2 2 ( ) h x, y = x + 0 0 + x y 4 y 2 + 2 0 + 0 + 0 y pk2 pk y y pk2 2. La Planta real La planta que se consderará en este rabajo Práctco es una Planta de Neutralzacón de ph exstente en la Unversty of Calforna, Santa Barbara (ver []). Los valores correspondentes a las condcones de operacón nomnal de la planta son los sguentes: ISIS rabajo Práctco Nro. - 202
= 0 M = 0 M a b 2 2 a2 = b2 = 5 a = b = 4 4 a = b = 0 M 0 M.05 0 M 5 0 M 4.2 0 M 5.28 0 M u = 6.60 ml/s u = 0.55 ml/s u = 5.55 ml/s 2 = 2900 ml pk =.5 pk y = 7.0 6 2 = 0.25. Modelo Computaconal Desde el punto de vsta de la smulacón dgtal, el modelo (4) tene el nconvenente de que la salda no h x, y = 0, que está dada como una funcón explícta del estado sno a través de la funcón mplícta ( ) representa la denomnada curva de ttulacón (ttraton curve). Este problema se puede subsanar h x, y = 0, resultando tomando la dervada temporal en la relacón mplícta ( ) de donde (, ) h( x, y) h x y x x+ y = 0 y h x y y = y (, ) h( x, y) x (, ) h( x, y) x h x y = f ( x) + g( x) u+ p( x) d y x (5) que es una relacón explícta para la dervada de la salda, y que por lo tanto puede mplementarse en Smulnk, para luego obtener la salda y, ntegrando esta ecuacón. El modelo (4) ha sdo mplementado en Smulnk en el archvo planta_ph.mdl, en tanto que los parámetros nomnales de la planta se encuentran en el archvo planta_ph_parametros.m. 4. Smulacón de la planta en lazo aberto Analce el comportamento del sstema en lazo aberto, para valores constantes del flujo del buffer ( u2 = d ) de 0 y 0.55 ml/s, producendo cambos en escalón de +/- 0 % en la varable de control ( u = u), a partr del valor nomnal. El objetvo de esta seccón es poner en evdenca la característca no lneal del modelo. 5. Identfcacón de un modelo lneal alrededor del punto de operacón nomnal En esta seccón se propone dentfcar un modelo lneal de la planta alrededor del punto de operacón nomnal de la msma, a partr de datos de entrada-salda del sstema. Esta seccón es aberta, y usted podrá utlzar cualquer técnca de dentfcacón lneal que conozca. Por supuesto que los datos de entrada-salda deberán generarse por smulacón del modelo mplementado en la Seccón. ISIS rabajo Práctco Nro. - 202 4
La dea es analzar el rango de valdez del modelo lneal, y comparar su performance con la de los modelos no lneales que se dentfcarán en las seccones sguentes. 6. Identfcacón de un modelo no lneal del tpo ener Los procesos de neutralzacón de ph han sdo frecuentemente modelados en la lteratura con un modelo no lneal del tpo ener, consstente en un sstema lneal estaconaro en cascada con una no lnealdad estátca que representa la curva de ttulacón de salda [2],[4]. El objetvo de esta seccón es dentfcar un modelo del tpo ener del proceso. Se propone utlzar el método propuesto en [5] usando los msmos datos de estmacón y valdacón que en la Seccón 5., de manera de poder comparar los dstntos modelos dentfcados. 7. Dseño de un Observador No Lneal para la Estmacón del Flujo del buffer (d) Desde el punto de vsta del dseño de controladores, el modelo (4) presenta el nconvenente de que el flujo del buffer d es en general no medble y además no es constante, sno que tene fluctuacones alrededor del valor correspondente a las condcones de operacón nomnal de la planta. Surge entonces la necesdad de estmar on-lne la magntud d. Una posbldad para realzar esto es a través del uso de un observador no lneal. En esta seccón, se propone un observador no lneal para la estmacón de d (ver [6]). La ecuacón de estado (4) puede escrbrse como x = F, ( x) d + G( x u) (6) donde F G ( x) = p( x) ( x, u) = f ( x) + g( x)u Para un sstema descrpto por una ecuacón de la forma (6), Fredland (en []) propone el sguente observador no lneal para la estma d dˆ = φ z = Φ ( x) + z ( x) F( x) dˆ + G( x, u) [ ] donde φ ( x) es una funcón no lneal elegda adecuadamente, y ( x) φ ( x) debe elegrse de forma tal que el error de estmacón tenda a cero asntótcamente cuando t. e d ( t) d dˆ (7) Φ es su matrz Jacobana. La funcón = (8) Problema : Para el observador propuesto en (7), halle la ecuacón dferencal que descrbe la dnámca del error e d () t. Problema 2: Basándose en un análss de Lyapunov, verfque que una condcón sufcente que debe cumplr la funcón Φ ( x) para asegurar la convergenca asntótca del error de estmacón a cero, es que la matrz ISIS rabajo Práctco Nro. - 202 5
sea sem-defnda postva y acotada. () t = Φ( x( t) ) F( x( t) u( t) ) L, Problema : Note que una posble forma de elegr la funcón ( x) condcón establecda en el Problema 2, es tomando ( x) = F ( x)q Φ, Φ de manera que se satsfaga la donde Q es cualquer matrz defnda postva. erfque este hecho. Adoptando Q = kest I, donde I es la matrz dentdad de dmensones apropadas y k est > 0, halle las expresones resultantes para las funcones φ ( x) y Φ ( x), y la expresón del observador no lneal (7), para este caso. Problema 4: Implemente en Smulnk el observador no lneal descrpto en esta seccón, y realce ensayos de smulacón para analzar la performance del msmo (su convergenca). Referencas [] Henson, M. and Seborg, D.. "Nonlnear Adaptve Control of a ph Neutralzaton Process". In Proceedngs of ACC, pp 2586-2590, 992. [2] Henson, M. and Seborg, D. (edt.). Nonlnear Process Control, Prentce Hall, Upper Saddle Rver, NJ, 997. [] Fredland, B.. "A Nonlnear Observer for estmatng Parameters n Dynamc Systems". Automatca, ol, No. 8, pp.525-50, 997. [4] Kalafats, A.; Arfn, N.; ang, L. and Cluett,.R.. "A new approach to the dentfcaton of ph processes based on the ener model". Chemcal Engneerng Scence, ol. 50, No. 2, pp. 69-70, 995. [5] Gómez, J.C. and Baeyens, E. (2004). Identfcaton of Block-orented Nonlnear Systems usng Orthonormal Bases. Journal of Process Control, ol. 4, No. 6, pp. 685-697, 2004. [6] Gómez, J.C., Jutan, A. and Baeyens, E. (2004). ener Model Identfcaton and Predctve Control of a ph Neutralzaton Process. IEE Proceedngs on Control heory and Applcatons, ol. 5, No., pp. 29-8, May 2004. ISIS rabajo Práctco Nro. - 202 6