UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE EDUCACIÓN Departamento de Didáctica y Organización Escolar DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: DEL SÍMBOLO A LA FORMALIZACIÓN ALGEBRAICA: APLICACIÓN A LA PRÁCTICA DOCENTE MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Ana María Esquinas Sancho Bajo la dirección del doctor Félix E. González Jiménez Madrid, 2009 ISBN: Ana María Esquinas Sancho, 2008

2 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA Y ORGANIZACIÓN ESCOLAR DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DEL LENGUAJE ALGEBRAICO: DEL SÍMBOLO A LA FORMALIZACIÓN ALGEBRAICA. APLICACIÓN A LA PRÁCTICA DOCENTE. MEMORIA DE TESIS DOCTORAL Director: Félix E. González Jiménez Ana Mª Esquinas Sancho Junio de 2008

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4 El presente trabajo de investigación ha sido el fruto de la labor de varios años de práctica docente y de la observación de los comportamientos de los alumnos ante ciertas situaciones educativas. Pero sobre todo es el resultado de una antigua necesidad de reflexión profunda acerca del álgebra y su didáctica. Por ello no puedo más que agradecer: Al profesor Félix E. González, por su sabiduría y su enorme paciencia, sin cuyos consejos este trabajo no habría siquiera comenzado y mucho menos llegado a buen término. A todos aquellos que con sus ideas y aportaciones han contribuido a la elaboración de esta tesis, especialmente a Demetrio Esquinas, Sergio Fernández, Rafael Ropero, Mª Ángeles Díez, Belén Delabat y Mercedes Fernández, su ayuda ha sido crucial tanto en los inicios de la investigación como en la corrección de la misma. A mis compañeros y alumnos del Colegio Pureza de María, donde realizo mi labor educativa. Ellos han proporcionado la inspiración necesaria para este trabajo, así como el material para la investigación. Gracias a las religiosas, que me dieron todas las facilidades para que el trabajo de campo se llevase a cabo. A mi familia y amigos, por sus continuos ánimos y su apoyo incondicional a lo largo del tiempo que se ha extendido este trabajo. A Sergio, que ha padecido mi ausencia en tantos momentos. Finalmente, a todos mis profesores de matemáticas, especialmente a mi padre, que hicieron de mí una apasionada de la didáctica de esta ciencia.

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6 A Sergio, por su paciencia y su enorme cariño. A mis padres y a Jav, mi familia.

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8 Índice general I. Dificultades de aprendizaje del lenguaje algebraico 1 1. Justificación 3 2. La comunicación en la educación matemática Una aproximación al concepto de conocimiento La didáctica como proceso de comunicación Importancia de la matemática Evolución del pensamiento matemático a lo largo de la historia La matemática en la sociedad La didáctica de las matemáticas Situación general Investigaciones recientes a) Evaluación de la Educación Secundaria Obligatoria (2000) b) Evaluación de la Educación Primaria (2003) c) Estudio PISA Didáctica en educación matemática: Las dificultades del conocimiento matemático La comunicación entre el profesor y el alumno en la educación matemática Aprendizaje del lenguaje algebraico Qué es el álgebra? Evolución histórica del álgebra Pensamiento aritmético y algebraico Abstracción y generalización I

9 Anexos 446

10 Anexo 5: Pruebas estadísticas Prueba de independencia del tipo de respuesta con la corrección en la pregunta 1ª 6º EP 0,2539 0,0624 0,0039 0,6143 1º ESO 1,8836 1,1597 0,0262 0,1699 2º ESO 0,3299 0,0680 0,0046 0,5657 TOTAL 1,5708 0,0866 0,0076 0,2101 Prueba de independencia de la corrección y la formalización 6º EP 5,3881 (Y)* 0,2857(Y) 0,0816(Y) 0,0072 1º ESO 17,8797 (Y) 0,4698(Y) 0,2207(Y) 7, º ESO 34,7977(Y) 0,6434(Y) 0,4143(Y) 6, TOTAL 61,0931(Y) 0,5143(Y) 0,2645(Y) 6, *El símbolo (Y), en adelante, significará que los cálculos están hechos con la corrección de Yates. Ver en la página 317. Prueba de independencia de la corrección y el curso académico 6º EP - 1º ESO 2,5375 0,1314 0,0173 0,1112 1º ESO - 2º ESO 1,0717 0,0806 0,0065 0,3006 6º EP - 2º ESO 6,6790 0,2110 0,0445 0,0098 TOTAL 6,8177 0,1718 0,0295 0,

11 Anexos Prueba de independencia de la formalización y el curso académico 6º EP - 1º ESO 19,6972 0,3661 0,1340 9, º ESO - 2º ESO 8,3433 0,2249 0,0506 0,0039 6º EP - 2º ESO 47,7806 0,5644 0,3185 4, TOTAL 47,7899 0,4548 0,2069 1, Prueba de homogeneidad de las variables corrección y formalización en cada curso 6º EP 29,4643 0,4725 0,2232 5, º ESO 9,2755 0,2493 0,0573 0,0023 2º ESO 1,5315 0,0955 0,0091 0,2159 TOTAL 27,9481 0,2460 0,0605 1, Prueba de homogeneidad de los buenos resultados en las variables corrección y formalización con los cursos 6º EP - 2º ESO 11,7669 0,2608 0,0680 6, º EP - 1º ESO 6,6753 0,2146 0,0460 0,0098 1º ESO - 2º ESO 1,0835 0,0699 0,0049 0,2979 TOTAL 13,6370 0,2478 0,0614 0,0011 Prueba de independencia de la corrección y la calificación 6º EP 0,3563(Y) 0,0735(Y) 0,0054(Y) 0,3362 1º ESO 15,0300(Y) 0,4308(Y) 0,1856(Y) 1, º ESO 11,4403 0,3690 0,1362 7, TOTAL 22,6694 0,3133 0,0981 1,

12 Prueba de independencia de la formalización y la calificación 6º EP 0,5778(Y) 0,0936(Y) 8, (Y) 0,1996 1º ESO 7,3573(Y) 0,3014(Y) 0,0908(Y) 0,0022 2º ESO 16,4469(Y) 0,4425(Y) 0,1958Y) 1, TOTAL 18,7031(Y) 0,2845(Y) 0,0810(Y) 6, Prueba de homogeneidad de las variables corrección y calificación en cada curso 6º EP 12,3750 0,3062 0,0938 4, º ESO 7,6327 0,2171 0,0471 0,0057 2º ESO 0,6176 0,0606 3, ,4319 TOTAL 16,5401 0,1892 0,0358 4, Prueba de homogeneidad de las variables formalización y calificación en cada curso 6º EP 69,8182 0,7273 0,5289 6, º ESO 31,1638 0,4386 0,1924 2, º ESO 4,0405 0,1551 0,0241 0,0444 TOTAL 81,9165 0,4211 0,1773 8, Prueba de homogeneidad de los buenos resultados en las variables corrección y calificación con los cursos 6º EP - 1º ESO 0,3589 0,0399 0,0016 0,5491 1º ESO - 2º ESO 0,4092 0,0392 0,0015 0,5224 6º EP - 2º ESO 1, ,0782 0,0061 0,2335 TOTAL 4,4069 0,1287 0,0166 0,

13 Anexos Prueba de homogeneidad de los buenos resultados en las variables formalización y calificación con los cursos 6º EP - 1º ESO 22,9820 0,3094 0,0958 1, º ESO - 2º ESO 9,6791 0,2338 0,0547 1, º EP - 2º ESO 2,7754 0,1075 0,0116 0,0957 TOTAL 19,8092 0,3187 0,1016 8, Prueba de independencia de la corrección y el tipo de enunciado 6º EP 1,5560 0,0880 0,0077 0,4593 1º ESO 5,7108 0,1519 0,0231 0,0575 2º ESO 6,5713(Y) 0,1600(Y) 0,0256(Y) 0,0195 TOTAL 4,5363 0,0802 0,0064 0,1035 Prueba de independencia de la formalización y el tipo de enunciado 6º EP 15,3610 0,3051 0,0931 0,0005 1º ESO 3,4541 0,1231 0,0151 0,1778 2º ESO 9,5002(Y) 0,2016(Y) 0,0406(Y) 0,0039 TOTAL 21,4595 0,1850 0,0342 2, Prueba de homogeneidad de los buenos resultados en las variables corrección y tipo de enunciado con los cursos 6º EP - 1º ESO 1,2293 0,0592 0,0035 0,5408 1º ESO - 2º ESO 0,0121 0,0053 2, ,9940 6º EP - 2º ESO 1,3180 0,0600 3, ,5174 TOTAL 1,5927 0,0374 0,0028 0,

14 Prueba de homogeneidad de los buenos resultados en las variables formalización y tipo de enunciado con los cursos 6º EP - 1º ESO 6,5317 0,1581 0,0250 0,0382 1º ESO - 2º ESO 2,6202 0,0846 0,0072 0,2698 6º EP - 2º ESO 7,4006 0,1585 0,0251 0,0247 TOTAL 7,2447 0,1224 0,0152 0,

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