FLOW AND TRANSPORT IN LEACHING HEAPS: APPLICATION OF THE THEORY OF MULTIPHASE FLOW THROUGH POROUS MEDIA

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1 FLOW AND TRANSPORT IN LEACHING HEAPS: APPLICATION OF THE THEORY OF MULTIPHASE FLOW THROUGH POROUS MEDIA Emilio Cig. Ctholi Uivesity of Temuo, CHILE Fedo Coh d Muiio Seúlved. Uivesity of Coeio, CHILE. ABSTRACT I this e e eset litio of the mosoi theoy of to-hse flos-multiomoets i oous medi, to the mthemtil d umeil modelig of the he lehig oess fo oe oes. We ssume isotheml oditios. Ou offe llos to modelig i tul y elevt sets iheet to the metioed oess, suh s the itetio betee liquid d gseous hses, togethe ith the simulteous tsot of seies i oe o both hses, ith itehge betee these. I this eset, this otibutio is omlemet of othe ublitios of the uthos, emhtilly i the oetul modelig. We eset some omuttiol exeimets i 2D elized fom metes te of the miig idusty i Chile. FLUJO Y TRANSPORTE EN PILAS DE LIXIVIACION: APLICACIÓN DE LA TEORIA DE FLUJO MULTIFASICO EN MEDIOS POROSOS RESUMEN E este tbjo se efetú u liió de l teoí mosói de flujos bifásios / multiomoetes e medios oosos, l modelió mtemáti y uméi del oeso de lixiviió e ils l oduió del obe. Se oside odiioes isotémis. Nuest ouest emite otextuliz de me tul setos feomeológios elevtes iheetes l oeso meiodo, tles omo l iteió ete ls fses líquid y gseos, juto o el tsote simultáeo de eseies e u o mbs fses, o itembio ete ésts. E este setido, est otibuió es u omlemeto de ots ubliioes de los utoes, o éfsis e l modelió oetul. Se eset exeimetos omutioles 2D elizdos ti de ámetos tomdos de l mieí del obe e Chile.

2 INTRODUCCION El oeso de biolixiviió e ils es u estió eseil del iuito hido-metlúgio l oduió de átodos de obe Domić 2001, Css Esto h motivdo desde temo l ostuió de hemiets de simulió que emit otimiz los eusos e ls ets elimies de diseño de ls oeioes idustiles. Esto equiee l elboió de modelos mtemátios e 1D, 2D y D, que emit model los feómeos de flujo de ls fses fluids y tsote de omoetes, l iteio de l il, l ul h sido osided omo u medio ooso estátio e idefomble Mejí E este tbjo se efetú u liió de l teoí mosói de medios oosos los feómeos de flujo y tsote Be 1988, Helmig P el imeo esto es, el flujo, se suoe dos fses fluids: l soluió de lixiviió y l fse gseos. P el segudo esto es, el tsote, se oside omo omoetes e fse líquid: el áido sulfúio y los ioes de obe, y el obe e fse sólid. E este setido uesto tbjo es u extesió de Css 1996, Mejí 2000, Muñoz et l.1997, Sidbo et l.200 y Suzo 200, o meio lguos de los tbjos más elevtes desolldos e est áe. E efeto, éstos y otos tbjos h suuesto u fse gseos estáti Mejí 2000, Suzo 200, esto es, esió ostte lo ul oesode odiioes de flujo o studo Be 1988 o u fse líquid e estdo estioio Css 1996, Sidbo et l.200 o odiioes de flujo omletmete studo Muñoz et l E este setido est otibuió viee omlemet ubliioes evis, tles omo, Cig et l. 2005, Cig et l. 2005b y Li El objetivo de este tbjo es oe e el otexto de l teoí de flujo bifásio y tsote multiomoete, los iiles oesos de flujo y tsote e ils de lixiviió l oduió de obe, geedo, de este modo, u mo teóio, lo sufiietemete mlio, que emit tt de me uifid el feómeo de flujo e ils de lixiviió y de bio-lixiviió, juto o el tsote de omoetes e ils de mieles oxiddos de obe. METODOLOGIA Elemetos Básios de l Teoí Mosói de Medios Poosos U il de lixiviió uede se osided u medio ooso, esto es, u oió del esio oud si totlmete o mteil sólido Be 1988, lo ul motiv el uso del mo teóio y oetul ovisto o l Teoí de Medios Poosos. E dih teoí es osible distigui los iveles: moleul, miosóio, mesosóio y mosóio Helmig E este tbjo se osideá l il ivel mosóio. P tl efeto, se u volume tio REV eesettive elemety volume l iteio de l il, e dode oexiste l fse sólid estáti e idefomble y ls fses fluids líquid soluió de lixiviió y gseos, ls ules se suodá que ou ítegmete el esio vío o de oos. L oosidd es uo de los ámetos lves de todo medio ooso que se defie omo volume si mteil sólido e el REV φ. volume totl del REV Po oto ldo, utifi l fió del esio de oos oud o d u de ls fses fluids, líquid y gseos, se defie l stuió de l fse fluid α omo

3 s volume del esio de oos o fseα α volume totl del esio de oos, o α deot l soluió de lixiviió y α l fse gseos. Note que se veifi s s 1. + Tmbié se defie el oteido de fse fluid α, omo α φsα, el ul φ. + Cd fse sólid, líquid y gseos está fomd o omoetes. Eseífimete, e el otexto de mieles oxiddos de obe, l fse sólid uede est fomd o obe y ots eseies mieles. L fse líquid uede est fomd o gu, áido sulfúio, ioes de obe y otos elemetos. Filmete, l fse gseos uede est fomd o oxígeo, vo de gu, ie, et. Además, lgus omoetes uede exeimet tsfomioes ete ls fses y est esetes e dos o más fses simultáemete, lo ul qued ilustdo e l Figu 1 este digm oesode u vesió más omlet del esetdo e Li 2005, ues ioo el feómeo de eió quími de tsiió ete ls fses: El digm teio es u vesió simlifid, ues es eesio eseifi o myo detlle uáles so ls omoetes e l fse sólid que itetú o el áido sulfúio. Además, es ftible ñdi el oxígeo omo omoete de ls fses líquid y gseos E este tbjo se

4 lteá euioes de tsote el áido sulfúio osumo desde l fse líquid sólid y el obe extió desde l fse sólid líquid, juto o dsoió-desoió ete mbs. E el otexto de Cso et l. 2006, lo que e el digm es deotdo o OTROS, e fse sólid, ellos lo deot omo MiGg, lo que eeset, los utoes y meiodos, u eseie que eio o el áido disolve hieo, lumiio y mgesio, que oesode tes de ls iiles imuezs esetes e los iuitos de lixiviió de mieles oxiddos. U fom de omlet uesto álisis seí ioo euioes de tsote los tes elemetos meiodos. 2 E l fomulió de ls euioes que sigue se oside omo domiio mtemátio: Ω R, u ote tsvesl de l il e 2D. L fote de diho domiio se desomoe segú i o T i o Ω Γ Γ Γ, e dode Γ, oesode l zo de iigió, Γ, deot l bse de l T il, y Γ, eeset los tludes. Flujo Dos Fses E lo que sigue se oside u il de lixiviió de mieles oxiddos obe o u il de biolixiviió. El sistem de euioes difeeiles iles que model el flujo de dos fses fluids imisibles está ddo o ραφsα + divραuα ρα α t α uα α ρα g µ s + s 1 e dode, α, deot l fse fluid líquid y/o mojte, α, deot l fse fluid gseos, φ, es l oosidd, s α, es l stuió de l fse, u α, es l veloidd de Dy, α, es l emebilidd eltiv de l fse, µ α, es l visosidd de l fse,, es el teso de emebilidd bsolut, α, es l esió de l fse, ρ α, es l desidd de l fse, α, es u témio fuete soido l fse,, es l esió de ilidd, y g 0, g, es el veto eleió de gvedd, o el setido ositivo del eje vetil ti-gvedd. L ime euió oesode l euió de otiuidd de l fse α, l ul se obtiee elizdo u ble de ms l iteio de u volume de otol. L segud euió es l ley de Dy geelizd l so e que exist dos o más fses fluids l iteio del esio de oos. L tee iguldd estblee l estiió que mbs fses fluids lle omletmete el esio de oos. Filmete, l ut iguldd estblee l estiió que l esió de ilidd oesode l difeei de esió ete mbs fses. α

5 L esoluió del sistem emite obtee u oximió uméi ote que el sistem es ltmete o liel y fuetemete oldo o lo ul u soluió de tio líti es osible sólo e sos muy tiules de ls stuioes s y s, juto o ls esioes y. Si embgo, dds ls dos estiioes ls iógits se edue dos, esto es, u esió y u stuió. El sistem, tl omo está uesto, es bstte geel. Note que dmite u oosidd o ostte, esto es, φ φ x, t. Po oto ldo, ls desiddes de mbs fses o eesimete so osttes, esto es, iluye el so de dos fses fluids iomesibles, o se, ρ α te., α,, y el so e que u de ls fses es omesible, o se, ρ ρ. Tmbié dmite u teso de emebilidd bsolut, que e geel odí tee sus etds digoles distits. El témio fuete α, oside l osibilidd de geeió utul de ms de mbs fses fluids l iteio de l il de lixiviió. L iil us de ls o lieliddes está e ls elioes fuioles α α s y s, oesodietes ls emebiliddes eltivs y l esió de ilidd, esetivmete, ls ules se disoe de dos fmilis fuioles: Boos-Coey y v Geuhte. P el álisis uméio del sistem esetdo evimete e el otexto del oeso de lixiviió y esultdos de exeimetos omutioles ve Cig et l. 2005b, Cig et l y Li Flujo o studo Codiioes de flujo o studo oesode u so tiul de flujo dos fses. E efeto, el flujo o studo se obtiee si se sume que l fse o mojte, que e este so oesode l fse gseos, es tl que, su esió es ostte, o equivletemete, 0, es dei, está estd stgt y/o itiv. Note que l hiótesis 0, imli que u es ostte, lo ul es oseuei diet de l ley de Dy. Asumiedo u medio isotóio, esto es, I, >0, e dode, I es el teso idetidd, se obtiee ls siguietes exesioes equivletes el flujo volumétio u :

6 ˆ, ˆ ˆ ˆ D d d z g u ψ ψ γ ϕ γ µ ρ µ + e dode, s φ, es el oteido de líquido,, es l fuió emebilidd, gρ γ, es el eso eseífio de l fse fluid mojte o líquid, µ γ, es l odutividd hidáuli efetiv o odutividd de ilidd, z + γ ϕ, es l bez hed iezométi o hidáuli, 0 > γ γ ψ, es el egtivo de l bez de esió essue hed, ψ ψ d d d d D /, es el oefiiete de difusividd o difusividd de ilidd y ˆ 0,0,1. Desde el uto de vist del flujo o studo el sistem de flujo qued totlmete teizdo eseifido ls uvs de odutividd hidáuli, y de esió il. Filmete, se obtiee l siguiete vesió de l euió de Rihd: 0, ˆ + D div t e dode se h omitido el subídie y se h suuesto que o hy témio fuete. Aliioes de l euió teio l oblem de flujo e ils de lixiviió, uede se eotdo e Mejí 2000 y Cso et. l Tsote de Comoetes E lo que sigue se oside u il de mieles oxiddos de obe. Nuest esetió sigue ls ides iiles, e uto l desiió del oeso, de Muñoz et. l.1997.

7 Aido sulfúio e soluió El áido sulfúio dute su migió, tvés del medio ooso, eio o difeetes mieles oteidos, iluyedo l obe. Est eió es u oeso ievesible que d oige l osumo o eutlizió del áido esete e l soluió líquid. Si se sume que el osumo de áido es dietmete ooiol su oetió se obtiee l siguiete euió de tsote: + div u D u µ, t e dode, µ [1/s], es u fto de osumo de ime ode. Est últim euió debe se omletd o ls siguietes odiioes iiiles y de otoo: u D u D u D o x, t, o x Ω, t 0 i i u ˆ u ˆ, sobe Γ, t 0 o u ˆ u ˆ, sobe Γ l u ˆ 0, sobe Γ Γ, t 0, o, t 0 e dode, o [g/m ], es l tidd de áido sulfúio esete e l il, e fse líquid, l i mometo de iii l iigió, [g/m ], es l oetió de áido sulfúio e l soluió de iigió, ˆ, es u veto uitio oml l oió foteiz esetiv, > 0, es u ostte de ooiolidd, y D es el teso de difusió-disesió f. Helmig L 1. iguldd suoe u oetió iiil de áido sulfúio e l il, oduto del oeso de glomeió. L 2d. es u lási odiió de tio iflo e l suefiie de iigió de l il que d uet del áido sulfúio ñdido l il, tvés del iego. L. estblee que e l bse de l il l tidd de soluto que sle es dietmete ooiol l difeei ete l oetió tul y l que hbí oigilmete. Reseto de est odiió hemos ot que ot osibilidd es suoe u gdiete ulo, esto es, ˆ 0, e l bse de l il. Filmete, l 4t. iguldd estblee que o hy tsote de soluto, tvés de los tludes de l il. Cobe e soluió El tsote de obe tvés de l il ivolu iilmete dos oesos básios. El imeo de éstos osiste e l extió del obe, oimete tl, ví u eió quími ete el gete lixivite y ls tíuls de miel, oduto de lo ul el obe e fse sólid se he soluble omo sulfto de obe este oeso de extió qued eesetdo e el témio del ldo deeho de l siguiete euió, el que idi que el obe extído es dietmete ooiol l oetió de áido sulfúio y de obe e fse sólid S. El oto feómeo elevte es el de dsoió/desoió eesetdo tvés de u isotem de equilibio ϕ, que oue miets l soluió fluye tvés del medio ooso. L iéti ivolud es de ime ode y desibe l iteió que oue ete el gete lixivite y l tíul de miel. De este modo se obtiee l siguiete euió de tsote el obe e fse líquid:

8 sρsϕ + + div u D u eρs S, t t e dode, e [m /g.s], es u ostte iéti de ime ode que iluye ifomió de l tíul y su eió, S [g/g], es l oetió de obe e fse sólid, s 1φ, esto es, l fió de sólidos e el medio ooso, ρ s, es l desidd gel del mteil sólido, y ϕ, oesode u isotem de equilibio o ejemlo, ϕ d, es u isotem liel tio Feudlih, e dode, d [ m / g], es l te. de distibuió usul. Est últim euió debe se omletd o ls siguietes odiioes iiiles y de otoo: o x, t, o x Ω, t 0 i i ˆ u D u u ˆ, sobe Γ, t 0 o o u D u ˆ u ˆ, sobe Γ, t 0 u D u ˆ 0, sobe l Γ Γ, t 0, o e dode, [g/m ], es l tidd iiil de obe esete e l il, e fse líquid, l mometo i de iii l iigió, [g/m ], es l oetió de obe e l soluió de iigió, ˆ, es u veto uitio oml l oió foteiz esetiv y > 0, es u ostte de ooiolidd. Reseto de ls odiioes teioes se li ls misms exliioes dds l euió del áido sulfúio, e l seió teio. Cobe e fse sólid El mbio e l ley del miel, esto es, el mbio e l oetió del obe e fse sólid, se obtiee tvés del siguiete ble de ms: S sϕ + e S. t t o Est últim euió debe se omletd o l odiió iiil S S x, t 0 λg, e dode, λ ]0,1 [, eeset l fió lixivible del totl de obe oteido e fse sólid, miets que G [g/g], oesode l ley del miel, esto es, [g de obe / g de mteil sólido]. RESULTADOS Y DISCUSION Reotmos ls oetioes del áido sulfúio y del obe e ls fses líquid y sólid. Cosidemos odiioes de flujo estiois, o flujo de Dy ostte ddo o 5 18/ 6 10 [ m / s] y u ivel de stuió l soluió de lixiviió ddo o u s 0.7[ ]. Se oside u il de [m] de ltu y 15[m] de ho bsl tsvesl. Se li u ts de iigió de R18[L/h/m 2 ]. Los vloes uméios de los ámetos utilizdos e l

9 simulió so: φ 0.[ ], s 0.7[ ], φs[],, 10 5 µ [1/ s], i 40[ g / m ], o 10[ g / m ], s 1φ[ ], ρ s 1800[ g / m ], o 0[ g / m ], [ m / g], [ m / g s], S o λg[ g / g], o λ 62 /100[ ] y d e G [ g / g]. Reseto de ls euioes de flujo bifásio los ámetos de efeei l teizió hidodiámi de l il so: [ m 2 ], stuió esidul dd o s 0[ ], 10 5 µ [ g / m s], µ [ g / m s], ámetos de v Geuhte 4 ddos o 1.411[ ] y α [1/ P], y desiddes de ls fses líquid y gseos, dds o ρ 1011[ g / m ] y ρ 1.16[ g / m ], esetivmete. Ls Figus 2, y 4, muest l evoluió de ls oetioes de áido sulfúio, obe e fse líquid y obe e fse sólid, esetivmete. Los utos deotdos omo P1, P2 y P, está ubidos e l zo de iigió, e el eto y e l bse de l il, esetivmete. Figu 2 Coetió de Aido Sulfúio.

10 Figu Coetió de Cobe e Fse Líquid. Figu 4 Coetió de Cobe e Fse Sólid. E Cig 2007 seá eotdos exeimetos omutioles diioles, juto o el oesodiete álisis de sesibilidd.

11 CONCLUSIONES El oblem de model los feómeos de flujo y tsote l iteio de ils de lixiviió se h esuelto e el otexto de l teoí de medios oosos bifásio y multi-omoete. Se h ouesto u lse de modelos mtemátios que emite model el flujo de ls fses líquid y gseos e ils de lixiviió y de bio-lixiviió. Se h ouesto u lse de modelos mtemátios que emite model el tsote del áido sulfúio, omo gete lixivite, y del obe e fses líquid y sólid, mieles oxiddos de obe. Se h eotdo exeimetos omutioles que muest l oteilidd de este mo teóio simul vids odiioes de oeió bjo suuestos bstte geeles. Como tbjo futuo se vislumb l modelió de los feómeos de flujo bjo odiioes de iigió itemitete y/o ieió fozd, o ejemlo y tsote e ils de bio-lixiviió que iooe, o ejemlo, l omoete oxígeo, efiles de temetu, y l tividd bteil Css 1996, Ogbo AGRADECIMIENTOS Filmete, desemos exes uesto sieo gdeimieto losls evisoess de uesto tíulo, ues sus obsevioes y oeioes, h emitido mejo sigifitivmete su lidd. REFERENCIAS Be J Dymis of Fluids i Poous Medi, Dove Publitios, I., Ne Yo. Cig E Mthemtil Modellig of He Lehig Poess, Tesis e oeso de Dotodo e Cieis Alids, meió Igeieí Mtemáti, Detmeto de Igeieí Mtemáti, Uivesidd de Coeió, Coeió, Chile. Cig E., F. Coh d M. Seúlved, Flo Though Poous Medi ith Alitios to He Lehig of Coe Oes, Chemil Egieeig Joul, 1112-, Cig E., F. Coh y M. Seúlved, Modelió Simultáe de ls Fses Líquid y Gseos e Pils de Lixiviió l Poduió del Cobe, Poeedigs of the III Itetiol Coe Hydometllugy Wosho, J. Meho y J. Css eds., Novembe 2 to 25, Stigo, Chile, Cig E., F. Coh d M. Seúlved Covegee of MFE-FV Method fo To Phse Flo ith Alitios to He Lehig of Coe Oes, Comute Methods i Alied Mehis d Egieeig, Aeted fo Publitio. Cso M., F. Lgo, P. Ruiz y M. Nehgme Modelo de Lixiviió e Pils e 2 Dimesioes: Efeto de l Codutividd Hidáuli e l Reueió del Cobe, I Tlle

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