Programa del curso de matemática

Transcripción

1 Universidad de San Carlos de Guatemala Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media (EFPEM) Programa Académico Preparatorio (PAP) Guatemala, febrero a octubre de 2012 Parte informativa Programa del curso de matemática Coordinador jornada matutina: Lic. Percy Méndez Catedrático del curso: Lic. Fredy Augusto Sandoval de León Descripción: La enseñanza de la matemática es fundamental en los sistemas educativos modernos, en los cuales se exige que el estudiante aprenda a construir modelos lógicos, a formular las leyes que rigen los fenómenos naturales y sociales, y a resolver problemas de diversa índole para la adecuada transformación de su entorno y de la sociedad en general. Las naciones más avanzadas ponen mucho énfasis en esta materia, pues la tecnología moderna solo puede ser desarrollada y comprendida por una población con un grado alto de razonamiento inductivo y deductivo. En todas las universidades serias del mundo están siendo formados profesionales de diversas áreas que cada día aplican con mayor frecuencia los modelos matemáticos a sus diversas disciplinas. En carreras tan variadas como medicina, arquitectura, ingenierías, economía, astronomía, y muchas otras, se ve la importancia que las formulaciones matemáticas tienen. Por esa razón la Universidad de San Carlos de Guatemala ha implementado un programa de reforzamiento en el área de matemática para todos aquellos aspirantes a ingresar, con la finalidad que cuando inicien sus carreras específicas, posean una fuerte formación en esta ciencia tan importa. Competencias generales: a. Desarrolla el pensamiento inductivo y deductivo en los aspirantes a ingresar a las diversas carreras de la Universidad. b. Obtiene las reglas, leyes, postulados y teoremas que gobiernan el mundo de las matemáticas elementales. c. Aplica los procedimientos matemáticos y su respectiva simbología en forma clara, ordenada y adecuada. d. Resuelve problemas diversos donde se aplican los principios matemáticos de forma consistente, sistemática y metódica.

2 Competencias específicas: a. Compara diversos sistemas de numeración: posicionales y no posicionales, así como los cambios de base respectivos y las operaciones esenciales de los sistemas más importantes. b. Utiliza los elementos de la lógica matemática en la resolución de situaciones cotidianas incluyendo el uso de los operadores lógicos y las tablas de verdad. c. Resuelve operaciones y problemas que impliquen el manejo de los diversos conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, irracionales e irracionales. d. Resuelve problemas que impliquen la variación proporcional: razones, proporciones, regla de tres, porcentajes, intereses, descuentos, etc. e. Maneja las distintas expresiones algebraicas, sus operaciones, ecuaciones e inecuaciones, usando los procedimientos adecuados y una sintaxis clara, exacta y ordenada. f. Reconoce algunos patrones numéricos por medio de las sucesiones aritméticas y geométricas. g. Resuelve problemas que impliquen el uso de los elementos geométricos y trigonométricos: punto, recta, plano, figuras planas y tridimensionales, cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, entre otros. h. Representa e interpretar modelos matemáticos a través de las funciones y sus respectivas gráficas en situaciones de diversa índole. i. Obtiene los elementos de las secciones cónicas: la recta, la parábola, el círculo, la elipse y la hipérbola. j. Aplica las técnicas estadísticas en la recolección de datos, la elaboración de gráficas, así como el cálculo de medidas de tendencia central y de dispersión. Contenido: 1. Nociones sobre conjuntos: 1.1. Conceptos fundamentales: conjunto, elemento y relación de pertenencia Formas de representar conjuntos: Diagrama de Venn-Euler Enumerativa Descriptiva Diagrama de Carol Clases de conjuntos: Finito Infinito Unitario Vacío Operaciones entre conjuntos: Unión Intersección Diferencia

3 Diferencia simétrica Relaciones entre conjuntos: Relaciones de contención: conjunto universo y subconjuntos Relaciones de equivalencia: conjuntos equivalentes y no equivalentes, y relaciones biunívocas. 2. Sistemas de numeración: 2.1. Sistemas no posicionales: Sistema romano Sistemas posicionales: Sistema maya: conversión del sistema maya al decimal, conversión del sistema decimal al maya, calendario maya Sistema hindú-arábigo: cifras o guarismos, valor absoluto y relativo de una cifra Sistema binario: conversión del sistema binario al decimal, conversión del sistema decimal al binario, operaciones de suma y resta Sistemas de diversas bases: ternario, cuaternario, quinario, etc.: conversión de un sistema cualquiera al decimal, conversión del sistema decimal a uno cualquiera, conversión de un sistema a otro, operaciones de suma y resta. 3. Lógica matemática: 3.1. Conceptos fundamentales: lógica, lógica-matemática, enunciado, tipos de enunciados, proposición, valor de verdad, proposición simple Proposiciones compuestas: Conectivos lógicos Tablas de verdad: conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional simple y condicional doble Negación de una proposición Cálculo proposicional: tautología, contingencia y contradicción Cuantificadores: universal y existencial. 4. Números naturales: 4.1. Definición del conjunto de los números naturales como clase de equivalencia Nociones geométricas fundamentales: punto, recta, semi recta o rayo y segmento Localización de los números naturales en la recta numérica Tricotomía de los números naturales: igual que, mayor que y menor que Operaciones con números naturales y sus propiedades:

4 Adición o suma Sustracción o resta Multiplicación División Potenciación: multiplicación de potencias de igual base, división de potencias de igual base, exponente 0, potencia de una potencia Radicación: raíz de una potencia Jerarquía operacional: Sin signos de agrupación Con signos de agrupación Múltiplos de un número natural Divisores de un número natural Descomposición en factores: árbol de factores Clasificación de los números naturales en primos y compuestos Criterios de divisibilidad: entre 2, entre 3, entre 5, entre 7, entre 11, entre 13, etc Máximo común divisor de números naturales Mínimo común múltiplo de números naturales Problemas de aplicación. 5. Números enteros: 5.1. Origen y necesidad del uso de los números negativos Los números negativos como simétricos aditivos de los números naturales Definición del conjunto de los números enteros Localización de los números enteros en la recta numérica Valor absoluto de números enteros Valor relativo de los números enteros Relaciones de tricotomía con números enteros Operaciones con números enteros y sus propiedades: Adición: el manejo de los signos + y Sustracción y el manejo de la supresión de signos de agrupación Multiplicación y sus leyes de signos División y sus leyes de signos Potenciación Radicación Jerarquía operacional Problemas de aplicación.

5 6. Números racionales: 6.1. Origen del número racional como cociente de dos cantidades enteras Definición del conjunto de los números racionales Formas de representar números racionales: fracciones comunes, decimales, conversión de fracción común a decimal Clases de números racionales según sus decimales y su conversión a fracción común: enteros, finitos, periódicos puros, periódicos mixtos Clases de fracciones: propias, impropias y unitarias Números mixtos: conversión de fracción impropia a mixto, y conversión de mixto a fracción impropia Equivalencia de fracciones: Simplificación de fracciones Ampliación de fracciones: ampliación al mínimo común denominador Localización de números racionales en la recta numérica Relaciones de tricotomía entre los números racionales Operaciones con fracciones y mixtos: Adición: De igual denominador De diferente denominador De números mixtos Sustracción: De igual denominador De diferente denominador De números mixtos Combinaciones de sumas y restas Multiplicación: De fracciones De mixtos División: De fracciones De mixtos Potenciación: De fracciones De mixtos Los exponentes negativos Radicación: De fracciones De mixtos Jerarquía operacional Fracciones complejas Fracciones continuas.

6 6.14. Problemas de aplicación. 7. Números irracionales: 7.1. Origen y necesidad del uso de los números irracionales: π, raíces cuadradas no racionales, etc Localización aproximada de números irracionales en la recta Relaciones de tricotomía de los números irracionales Operaciones indicadas con números irracionales: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Los exponentes fraccionarios Racionalización: del numerador y del denominador Problemas de aplicación. 8. Números reales: 8.1. Definición del conjunto de los números reales Localización de números reales en la recta Relaciones de tricotomía de los reales Operaciones con números reales y sus propiedades: Adición Sustracción Multiplicación División Potenciación: leyes de los exponentes Radicación: leyes de los radicales Jerarquía operacional Problemas de aplicación. 9. Expresiones algebraicas elementales: 9.1. Conceptos fundamentales: álgebra, símbolos, constantes, incógnitas y valor de una expresión algebraica Clasificación de las expresiones algebraicas Término: Componentes de un término: signo, coeficiente numérico, coeficiente(s) literal(es) y exponente(s) Términos independientes Términos semejantes Monomio Grado de un monomio: grado relativo a una literal y grado absoluto.

7 Polinomios: Clasificación de polinomios por su número de términos: binomio, trinomio, tetranomio, etc Grado de un polinomio: relativo a una literal, absoluto Orden de los términos en un polinomio: ascendente y descendente, alfabético, etc Reducción de los términos semejantes en un polinomio Operaciones con polinomios: Adición o suma Sustracción o resta Multiplicación División Productos notables: producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, producto de la forma (a+b)(a+c), cuadrado de un binomio, cubo de un binomio Teorema del binomio y potencias de orden superior de un binomio Cocientes notables. 10. Factorización de polinomios: Factorización de monomios Factorización de polinomios Factor común: Factor común monomio Factor común polinomio Factor común por agrupación de términos Trinomio cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados Combinaciones de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Trinomio de la forma x bx c Trinomio de la forma ax bx c Cubo perfecto de binomios Diferencia de cubos perfectos Suma de cubos perfectos Diferencias de potencias de iguales exponentes Sumas de potencias de iguales exponentes Casos combinados.

8 11. Fracciones algebraicas: Simplificación de fracciones algebraicas por factorización Expresiones algebraicas mixtas: conversión de fracción a mixta y de mixta a fracción Operaciones con fracciones algebraicas y expresiones mixtas Adición: de fracciones y de mixtas Sustracción: de fracciones y de mixtas Combinaciones de adiciones y sustracciones: de fracciones y de mixtas Multiplicación: de fracciones y de mixtas División: de fracciones y de mixtas Jerarquía operacional y signos de agrupación Fracciones complejas Fracciones continuadas. 12. Ecuaciones con una incógnita: Ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita: Propiedades de las ecuaciones Resolución por transposición de términos Ecuaciones racionales que se reducen a lineales Ecuaciones con radicales que se reducen a lineales Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado con una incógnita: Resolución por factorización Resolución por completación al cuadrado Resolución por la fórmula de Vieta Ecuaciones racionales que se reducen a cuadráticas Ecuaciones con radicales que se reducen a cuadráticas, y soluciones extrañas. 13. Geometría euclidiana: El plano El ángulo y sus medidas: Sistemas de medición angular: Sistema sexagesimal Radianes Clases de ángulos: rectos, agudos, obtusos, llanos, etc Relaciones entre los ángulos: complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice, internos-externos Paralelas

9 13.4. Perpendiculares Los postulados de Euclides Polígonos: Definición de polígono Perímetro de un polígono Clasificación de polígonos en regulares e irregulares Clasificación de polígonos en cóncavos y convexos Triángulos Clases de triángulos: equilátero, isósceles y escaleno Líneas, rayos y segmentos notables en el triángulo: bisectriz, mediatriz, mediana, teorema de Tales El área de un triángulo Cuadriláteros y sus áreas: cuadrado, rectángulo, paralelogramo, trapecio, trapezoide, rombo, romboide Polígonos con más de cuatro lados y cálculo de sus áreas El círculo Elementos del círculo: circunferencia, radio, diámetro, arco, cuerda, flecha, secante, sector, tangente El área del círculo Círculos concéntricos Polígonos inscritos y circunscritos Cálculo de áreas y perímetros de figuras compuestas Figuras tridimensionales y cálculo de volúmenes: cubo, paralelepípedo, prismas, pirámide, cilindro, cono y esfera. 14. Relaciones y funciones: Producto cartesiano Definición de relación Clases de relaciones: inyectiva o subyectiva, sobreyectiva y biyectiva Definición de función Variables dependientes e independientes Algunas clases de funciones y su representación gráfica: Función constante Función identidad Función lineal Función cuadrática Función polinomial y la división sintética Operaciones con funciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación Composición de funciones. 15. Sucesiones y funciones trascendentales: Definición de sucesión Tipos de sucesiones: aritméticas y geométricas.

10 15.3. Función exponencial Función logarítmica Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Problemas de aplicación. 16. Trigonometría: Resolución de triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras Razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante Resolución de triángulos oblicuángulos: Ley de senos Ley de cosenos Funciones trigonométricas Identidades trigonométricas. 17. Variación proporcional: Razones Proporciones Aplicaciones de la proporcionalidad Regla de tres Regla de tres simple directa Regla de tres simple inversa Regla de tres compuesta Repartimiento proporcional Porcentajes Descuentos Interés simple 18. Inecuaciones: Propiedades de las desigualdades Intervalos: abiertos, cerrados, semiabiertos, semiinfinitos Inecuaciones de primer grado Inecuaciones de segundo grado Inecuaciones con valor absoluto Representación en el plano de inecuaciones. 19. Estadística descriptiva: Recolección de datos Clasificación de datos Pictogramas.

11 19.4. Diagrama de barras Gráfica de sectores Datos no agrupados en intervalos: Elaboración de tablas Medidas de tendencia central: media, moda y mediana Medidas de dispersión: varianza y desviación estándar Datos agrupados en intervalos: Elaboración de tablas Medidas de tendencia central: media, moda y mediana Medidas de dispersión: varianza y desviación estándar Histograma de Pearson Polígono de frecuencias Ojiva de frecuencias acumuladas Metodología La clase se desarrollará principalmente a través de explicaciones en las que el catedrático explicará los temas y resolverá operaciones y problemas, y dudas de los estudiantes. Se alternarán con dinámicas grupales y ejercicios individuales. Los estudiantes deberán ampliar en su casa los temas y realizar tareas para reforzar el aprendizaje. Recursos Pizarrón Carteles Libros de texto Hojas de trabajo Hojas de papel milimetrado Equipo de geometría Cañonera Evaluación: 3 unidades: 1ra. Unidad.23 puntos 2da. Unidad 23 puntos 3ra. Unidad.24 puntos. Zona = 70 puntos Examen final = 30 puntos Total = 100 puntos El curso se aprueba con 61 puntos y es obligatorio contar con un 80% de asistencia.

12 Bibliografía 1. Baldor, Aurelio Aritmética Teórico-Práctica, Editorial Cultural S.A. México 2. Baldor, Aurelio Álgebra, Editorial Códice, S.A. España 3. Matheu, E. Procesos de Matemática, Ediciones Superación, Guatemala 4. Milián, J., Ochoa C., y López V., Matemática en Construcción 7 y 8, Harla, Colombia, Palencia, I., López C., y López V. Matemática 8 y 9. Editorial Santillana, 3ra., edición, Guatemala. 6. Sánchez, J., y Sáenz J. Matemática: Teoría, ejercicios resueltos y propuestos 1 y 2. Editorial Futura Impresos, Guatemala, 2002.