Cálculo Integral. Efraín Soto Apolinar

Transcripción

1 Cálculo Integral Efraín Soto Apolinar

2 Índice de contenidos Diferenciales e integral indefinida. La Diferencial Reglas de diferenciación La diferencial como aproimación al incremento La integral indefinida Constante de integración Integral indefinida de funciones algebraicas Integración por sustitución trigonométrica La integral definida y los métodos de integración 45. La Integral Definida Notación de sumatoria Área bajo una curva Diferencial de área Integral definida Técnicas de integración Cambio de variable Integración por partes Integración de funciones trigonométricas Integración por fracciones parciales Denominadores con factores lineales Denominadores con factores cuadráticos Teorema fundamental del Cálculo y las aplicaciones de la integral definida 9 3. El teorema fundamental y sus aplicaciones Integración aproimada: Regla del trapecio Integración aproimada: Regla de Simpson Área entre dos funciones Aplicaciones de la integral definida Efraín Soto A.

3 ii ÍNDICE DE CONTENIDOS Efraín Soto A.

4 Capítulo Diferenciales e integral indefinida Por aprender..... La diferencial... Interpretación gráfica... Reglas de la diferenciación..3. La diferencial como aproimación del incremento..4. Errores pequeños.. La integral indefinida... Antiderivadas... Constante de integración..3. Significado de la constante de integración..4. La integral indefinida..5. Integración por sustitución trigonométrica..6. Aplicaciones en administración y economía Por qué es importante... La integración es el proceso inverso de la derivación. En este capítulo estudiaremos cómo se relacionan ambos procesos. Efraín Soto A.

5 Diferenciales e integral indefinida Efraín Soto A.

6 . La Diferencial 3. LA DIFERENCIAL En el curso de cálculo diferencial aprendimos a calcular la derivada de una función. La diferencial es el concepto que nos ayudará a justificar el procedimiento que utilizaremos para el cálculo integral. DIFERENCIAL Sea y f () una función con su primera derivada contínua y un incremento en la variable. La diferencial de y se denota por d y y se define como: d y f () Definición En palabras, la diferencial de y es igual al producto de la derivada de la función multiplicada por el incremento en. Calcula la diferencial para la función: Ejemplo y + + Por definición, d y f () + + Calcula la diferencial para la función: y cos(sin). Ejemplo Primero calculamos la primera derivada de la función: d y d sin(sin) cos Para calcular la diferencial multiplicamos esta derivada por el incremento en : d y sin(sin) cos() Como puedes ver, el cálculo de la diferencial de una función es muy sencillo: solamente multiplicamos su derivada por. Ahora vamos a dar una interpretación geométrica de este concepto.. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Ya sabemos que la derivada de una función es la mejor aproimación lineal a la función en un punto. En particular, la derivada evaluada en un punto de la función es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Al multiplicar f ( ) (la pendiente de la recta tangente a la función en el punto ) por (el incremento en ) obtenemos el incremento en y al movernos sobre la recta tangente. Efraín Soto A.

7 4 Diferenciales e integral indefinida y y f () f ( + ) f ( ) y ε d y f ( ) + Observa que ε + d y y. Es decir, d y y ε. En palabras, d y es una aproimación a y. Cuando el valor de ε se hace muy pequeño, la aproimación se hace cada vez mejor. ε se hará cada vez más pequeño cuando la segunda derivada sea casi cero. Esto es así porque la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica de la función se mantienen casi constantes en la cercanía de. En realidad estamos calculando una aproimación a y (el incremento de y ), suponiendo que la función es lineal en el intervalo (, + ). Este argumento se hace evidente al suponer que la función y f ( ) es una línea recta, pues su primer derivada es igual a la pendiente de la recta y su segunda derivada es cero. La segunda derivada nos está diciendo que la pendiente de la recta nunca cambia, por lo que la concavidad de la función no está definida, dado que la segunda derivada es cero en todos sus puntos. La diferencia f ( + ) d y es el error que cometemos al hacer la aproimación de f ( + ) suponiendo que se comporta la función eactamente igual que una recta... REGLAS DE DIFERENCIACIÓN Todo el semestre pasado nos la pasamos calculando las derivadas de funciones. Para calcular la derivada de una función, siempre identificábamos el tipo de función, y aplicábamos la(s) regla(s) correspondiente(s). Las reglas de diferenciación generalmente se dan en un formulario que se muestra enseguida: i. d c d vi. d (v n ) d nv n d v d ii. iii. iv. v. d d d (u + v ) d d (c v ) d d (u v ) d d u d + d v d c d v d u d v d + v d u d vii. viii. i. d d u v v d u d u d v d d y d d y d v d v d d y d d d y v Efraín Soto A.

8 . La Diferencial 5 Las siguientes son las reglas de derivación de funciones trascendentes. i. ii. iii. iv. v. vi. vii. d (sinv ) d d (cosv ) d d (tanv ) d d (cotv ) d d (secv ) d d (cscv ) d cosv d v d sinv d v d sec v d v d csc v d v d secv tanv d v d cscv cotv d v d d (arcsinv ) d v d v d. i. ii. iii. iv. v. d (arccot v ) d d (arcsec v ) d v d (arccsc v ) d v d (lnv ) d v d v d d (log a v ) d d (a v ) d + v d v d log a e v a v lna d v d v v d v d d v d d v d viii. d (arccosv ) d v d v d vi. d (e v ) d e v d v d i. d (arctanv ) d + v d v d vii. d (u v ) d v u v + lnu u v d v d Este mismo formulario, junto con otros más básicos se encuentra en los apéndices (capítulo final) de este libro... LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACIÓN AL INCREMENTO Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproimaciones. Esta aproimación está basada en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial. Aproime con diferenciales el valor de 4. Ejemplo Consideremos la función: y /. Sabemos que la raíz cuadrada de 4 es. Podemos utilizar este valor para aproimar el valor de la raíz cuadrada de 4. Primero encontramos la diferencial de la función: Para este caso hacemos, y 4. Esto es así porque d y Entonces, sustituyendo los valores en la diferencial obtenemos: d y 4.5 Efraín Soto A.

9 6 Diferenciales e integral indefinida Ahora, y + d y El valor eacto a 7 decimales es: Nos resultó una buena aproimación. Ejemplo Aproime con diferenciales el valor de 5.. De nuevo, consideramos la función y /. Ya sabemos que la diferencial correspondiente es: d y Al sustituir., y 5 en esta fórmula, obtenemos: d y. 5.. De manera que d y El valor arrojado por la calculadora científica es de: Ejemplo 3 Aproime con diferenciales la raíz cúbica de 8. Ahora consideramos la función: y 3 /3 Sabemos de antemano que la raíz cúbica de 7 es 3. Esto sugiere que utilicemos y 7. Ahora encontramos la diferencial de la función: d y 3 /3 Sustituyendo los valores de las incógnitas encontramos el valor buscado: d y 3 /3 3(7) /3 3(3) 3(9) 7 Entonces, de acuerdo a lo sugerido, tenemos que: Podemos verificar la eactitud del resultado elevándolo al cubo: Efraín Soto A.

10 . La Diferencial 7 Buena aproimación. Aproime la raíz cúbica de.9 Ejemplo 4 Consideramos la función raiz cúbica: y 3 Ahora hacemos.8 (porque la raíz cúbica de.8 es.) y. Ya sabemos que la diferencial de la función es: Utilizando los valores conocidos obtenemos: Entonces, d y d y 3 /3 3.. /3 3(.8) /3 3(.). 3(.4) Elevando al cubo este resultado, encontramos que: Aproime con diferenciales la raíz cuarta de 5. Ejemplo 5 Considere la función: y 4. Encontramos la diferencial correspondiente: d y 4 3/4 Sabemos que 4 es igual a 6. Esto sugiere que hagamos y. Sustituyendo estos valores en la diferencial obtenemos: d y Por tanto, la aproimación buscada es: 4 3/4 4(6) 3/4 4() Efraín Soto A.

11 8 Diferenciales e integral indefinida Elevando a la cuarta potencia, tenemos: Ejemplo 6 Use diferenciales para estimar (.98) 4. Sea y 4. Es claro que d y 4 3. Podemos hacer y.. Sustituyendo estos valores encontramos: d y 4() 3 (.).8 entonces, (.98) 4 es aproimadamente igual a El valor arrojado por una calculadora científica es: Use diferenciales para aproimar: Ejemplo 7 N (.) 4 3(.) 3 + 4(.) 5(.) + 7. Sea M Fácilmente podemos encontrar: d M ( ) Ahora hacemos, y. y sustituimos estos valores en d M. d M (4() 3 9() + 8() 5)(.) (4(8) 9(4) + 8() 5)(.) ( )(.) (7)(.).7 Entonces, M ( + ) M (.) es aproimadamente igual a M () + d M. M () ()4 3()3 + 4() 5() Luego, M (.) M () + d M Para comparar este resultado con el valor eacto, evalúa M (.). El concepto de diferencial se puede utilizar para aproimar el valor de una cantidad relacionada a otras en diferentes situaciones. La arista de un cubo variable crece a razón de 3 cm/s. Con qué rapidez está creciendo el volumen cuando la arista tiene cm de longitud? Ejemplo 8 Sabemos que el volumen de un cubo se calcula por medio de la fórmula: V L 3. De aquí podemos encontrar d V 3L d L. Efraín Soto A.

12 . La Diferencial 9 Nosotros conocemos la rapidez con la que crece la arista, d L/d t, y queremos encontrar la rapidez con la que crece el volumen, esto es, d V /d t. Entonces, requerimos encontrar d V /d t, conocidos d L/d t y L. Sustituyendo los valores conocidos obtenemos: d V d t 3 d L L d t 3() (3) 9cm 3 /seg. Si se mide el radio de una esfera, se encuentra que es cm., con un error máimo de.5 cm. Aproime el error máimo que puede cometerse al calcular el área de la esfera con estos datos. Ejemplo 9 Sabemos que la superficie de una esfera se calcula por medio de la fórmula: A 4πr. Para encontrar el error máimo cometido al calcular la superficie de la esfera podemos utilizar diferenciales. Encontramos la diferencial del área como función del radio de la esfera: d A 8πr (d r ) Ahora sustituimos los valores conocidos: d A 8π()(.5) 8π cm cm Las 6 caras de una caja cúbica metálica tienen.5 cm de espesor, y el volumen interior de la caja es de 4 cm 3. Encuentre una aproimación del volumen del metal usado al hacer la caja. Ejemplo Sabemos que la caja es cúbica, luego, el volumen está dado por: V L 3. La diferencial de volumen se encuentra por medio de la fórmula: d V 3 L (d L) El teto indica que el volumen de la caja es 4 cm 3, luego, el lado debe ser igual a la raíz cúbica de 4, esto es: L 3 4, y d L.5 cm. Pero cuando consideramos un incremento del volumen de la caja, suponemos que crece en una sola dirección, por lo que estaríamos considerando tres de las 6 caras de la caja metálica utilizadas en su construcción. Así que realmente queremos calcular d V 6 L (d L) Sustituyendo los valores de las incógnitas en la fórmula obtenemos: d V (.5) ( 4) 5 /3 3 5 / Efraín Soto A.

13 Diferenciales e integral indefinida Ejemplo Encontrar el crecimiento aproimado de la superficie de una burbuja de jabón, si su radio crece de 3 a 3.5 cm. Sabemos que el área de una esfera está dado por: A 4πr. Para este caso tenemos r 3 cm y d r.5 cm. La diferencial del área es: d A 8πr d A 8πr (d r ) d r Sustituimos los valores de las variables: d A 8πr (d r ) 8π(3)(.5).6 cm Esto también puede epresarse de la siguiente manera: 5 d A 8πr (d r ) 8π(3) 4π 4 6π cm Ejemplo Aceptando que una burbuja de jabón conserva su forma esférica cuando se epande, con qué rapidez está creciendo su radio cuando éste mide plg., si el aire que penetra la infla a rapidez de 4 plg 3 /s? Conocemos la fórmula para encontrar el volumen V de una esfera: V 4 3 πr 3 Como necesitamos encontrar la rapidez con la que crece el radio, derivamos la fórmula respecto del tiempo de manera implícita: d V d t 4πr d r d t Ahora despejamos d r /d t, que es nuestra incógnita: d V d r d t d t 4πr Sustituyendo los valores conocidos obtenemos: d V d r d t d t 4 4πr 4π() 4π plg/s Ejemplo 3 Se estima que el radio de un balón de soccer es de plg., con un máimo error en la medición de.5 plg. Haga una estimación del máimo error que se puede cometer al calcular el volumen del balón en estas condiciones. Efraín Soto A.

14 . La Diferencial Sabemos que el volumen V de una esfera está dado por: V 4 3 πr 3 La diferencial que le corresponde a esta función es: d V 4πr (d r ) Para este problema, conocemos que r y d r.5. Entonces esto es igual a: d V 44π 5 plg 3. d V 4π() (.5) Suponga que a lo largo del ecuador y por todo alrededor de la tierra se coloca una cerca que tiene una altura de m. Suponga que la tierra es esférica y que su radio es de 4, Km. Cuánto debe medir el área de la cerca? Ejemplo 4 Sabemos que el área de una circunferencia se encuentra por medio de la fórmula: A πr. De aquí que la diferencial de área sea: d A πr (d r ) Sustituyendo los valores conocidos encontramos que: d A π(4 )() 8 π 8 7 π m El diámetro eterior de una concha esférica delgada es de m. Si el espesor de la concha es de 3 cm., aproime el volumen requerido de material para fabricar esa concha esférica. Ejemplo 5 El volumen de una esfera está dado por: V 4 3 πr 3 Podemos imaginar el espesor de la concha como una pequeña variación de volumen de una esfera infinitamente delgada de radio m. Entonces tendremos: r y d r.3. Ahora encontramos la diferencial de volumen como función del radio: d V 4πr (d r ) Al sustituir los valores podemos encontrar la aproimación del volumen del material utilizado al fabricar la esfera: 3 d V 4π() (.3) 4π(.3) 4π 3π 5 Se mide el diámetro de una esfera y con el resultado se calcula el valor de su volumen. Si el máimo error posible al medir el diámetro es. cm y el error máimo aceptable al medir el volumen es de 3 cm 3, cuál es el diámetro aproimado de la esfera en estas condiciones? Ejemplo 6 Efraín Soto A.

15 Diferenciales e integral indefinida Sabemos que el volumen de la esfera se encuentra por medio de la fórmula: V 4 3 πr 3 De aquí podemos fácilmente obtener la diferencial del volumen como una función del radio: d V 4πr (d r ) Esta igualdad es equivalente a la siguiente: r (d V ) 4π(d r ) Sabemos que el error máimo permisible en el volumen es de 3 cm 3, esto corresponde a d V, mientras que el error máimo en la medición del radio es de. cm, que corresponde al valor de d r. Sustituimos estos valores, y encontramos r. r (d V ) 4π(d r ) 3 4π(.) 3 8π 75 π Esto implica que: r 75 π El diámetro es el doble del radio, entonces: D 75 5 π π Ejemplo 7 La altura de un cilindro circular recto es de cm. Si el radio de la base cambia de a.6 cm, calcule el cambio de volumen aproimado del cilindro. El volumen del cilindro está dado por: V πr h donde V es el volumen (en cm 3 ), r es el radio del cilindro (en cm) y h es la altura (en cm) del mismo. Como haremos una pequeña variación en el radio, debemos encontrar la diferencial del volumen como una función del radio, esto resulta en: d V πr h (d r ) Ahora sustituimos los valores de las variables: de acuerdo al teto h cm, r cm, d r.6 cm. d V πr h (d r ) π()()(.6).4π cm 3 Ejemplo 8 De un contenedor cae arena formando un cono circular cuya altura es siempre igual al radio. Si en cierto instante, el radio es cm., utilice diferenciales para encontrar qué cambio en el radio ocasionará un aumento en el volumen de arena en cm 3. Efraín Soto A.

16 . La Diferencial 3 El volumen del cono de radio r y altura h está dado por: V πr h 3 Pero para este caso particular, la altura siempre es igual al radio, entonces el volumen de este cono debe ser: V 3 πr 3 La diferencial del volumen como función del radio es: d V πr (d r ) Sabemos que r cm., y que d V cm 3. Nuestro problema consiste en encontrar el incremento en el radio que hará que el volumen crezca en d V cm 3. Primero despejamos d r de la epresión que nos da la diferencial del volumen, y después sustituimos estos valores en la nueva epresión, con lo que obtenemos: d r (d V ) πr π() 5π cm. Un niño está elevando un papalote (una cometa). Si el papalote está a 9 metros de altura y el viento está soplando a razón de 5 m/s., con qué rapidez está soltando el niño la cuerda en el momento que ha soltado 5 metros? Ejemplo 9 Para resolver este problema supondremos que la cometa es arrastrada por el viento a la velocidad del mismo (5 m/s). Entonces, la cometa viaja de manera horizontal a razón de 5 m/s, a una altura constante de 9 metros. Sea r la longitud de la cuerda que el niño ha soltado, la distancia medida desde el pie del niño hasta el punto donde toca el suelo la proyección vertical de la cometa. r 5 m 9 m De acuerdo al teorema de Pitágoras: + (9) r + 8 r. Encontramos la derivada implícita de esta epresión respecto al tiempo: d d t r d r d t Efraín Soto A.

17 4 Diferenciales e integral indefinida Ahora despejamos la incógnita: d d r d t d t r Para encontrar el valor de la incógnita, debemos conocer primero r (5 m), d /d t (5 m/s) y el valor de. Para esto utilizamos el teorema de Pitágoras: Ahora, lo que falta es sustituir los valores conocidos para encontrar el valor de la incógnita: d d r d t d t r 49 (5) metros por segundo. 5 3 Ejercicios. Resuelve completa y correctamente cada uno de los siguientes ejercicios. ) Aproime con diferenciales el valor de 9 ) Aproime con diferenciales el valor de 7 3) Aproime con diferenciales el valor de 9 4) Aproime con diferenciales el valor de 73 5) Aproime con diferenciales el valor de 58 6) Aproime con diferenciales el valor de 3 5 7) Aproime con diferenciales el valor de ) Aproime con diferenciales el valor de ) Aproime con diferenciales el valor de 3 67 ) Aproime con diferenciales el valor de 3 5 ) Aproime con diferenciales el valor de 4 67 ) Aproime con diferenciales el valor de ) Aproime con diferenciales el valor de ) Aproime con diferenciales el valor de ) Aproime con diferenciales el valor de ) Aproime con diferenciales el valor de (8.4) 3 (8.4) ) Aproime con diferenciales el valor de (7.) 3 (7.) ) Aproime con diferenciales el valor de (.3) 3 (.3) ) Aproime con diferenciales el valor de (5.4) 3 (5.4) 3 8. ) Aproime con diferenciales el valor de (7.5) 3 (7.5) Efraín Soto A.

18 . La Diferencial 5 ) Aproime con diferenciales el valor de (.4) 3 (.4) 3. ) Aproime con diferenciales el valor de (3.3) 3 (3.3) 3. 3) Aproime con diferenciales el valor de (5.5) 4 (5.5) ) Aproime con diferenciales el valor de (.3) 4 (.3) 4. 5) Aproime con diferenciales el valor de (5.6) 4 (5.6) ) Aproime con diferenciales el valor de (4.5) 4 (4.5) ) Aproime con diferenciales el valor de (9.4) 4 (9.4) ) Aproime con diferenciales el valor de (.) 4 (.) ) Aproime con diferenciales el valor de (.) 4 (.) ) Aproime con diferenciales el valor de (5.4) 4 (5.4) ) La arista de un cubo variable crece a razón de.5 cm/s. Con qué rapidez está creciendo el volumen cuando la arista tiene 5 cm de longitud? d L/d t cm/s. 3) Si el radio de una esfera se mide, se encuentra que es cm., con un error máimo de. cm. Aproime el error máimo que puede cometerse al calcular el área de la esfera con estos datos. d A.96π 33) Las 6 caras de una caja cúbica metálica tienen.5 cm de espesor, y el volumen interior de la caja es de cm 3. Encuentre una aproimación del volumen del metal usado al hacer la caja. d V 5 cm 3 34) Encontrar el crecimiento aproimado de la superficie de un globo de plástico, si su radio crece de a.5 cm. d A π cm 35) Aceptando que una burbuja de jabón conserva su forma esférica cuando se epande, con qué rapidez está creciendo su radio cuando éste mide cm., si el aire que penetra la infla a rapidez de 7 cm 3 /s? d r /d t 7/8π cm/s 36) Si la utilidad r que tiene una empresa está dado por: r 35q + 5q.5q 3, donde q es el número de unidades producidas, aproimadamente, qué cambio en su utilidad le acarrea aumentar su producción de q a q unidades? d r 9 75 Efraín Soto A.

19 6 Diferenciales e integral indefinida Efraín Soto A.

20 . La integral indefinida 7. LA INTEGRAL INDEFINIDA El semestre pasado estudiamos el proceso de derivación, que consiste en calcular la derivada de una función. Ahora nos vamos a ocupar del proceso inverso. Pensé una función... Calculé su derivada y obtuve: d y d e Ejemplo Qué función pensé? Aquí tenemos que encontrar la función que al derivar da como resultado e. Pero la derivada de e es ella misma. Entonces, debió pensar la función: y e Observa que conocemos f () y queremos encontrar o calcular f (). inverso de la derivación. Este proceso es eactamente el ANTIDERIVADA Sea y F () una función derivable, y su derivada y F () f (). Entonces, decimos que F () es una antiderivada de f (). A la antiderivada también se le conoce como función primitiva. Definición En palabras, la antiderivada de una función f () es otra función F (), con la propiedad: F () f (). Al procedimiento de calcular la antiderivada de una función se le llama integración indefinida. Calcula la antiderivada de f () +. Ejemplo La antiderivada de esta función es otra función tal que al derivarla, obtenemos: +. Una función que cumple ese requisito es: F () + Pero no es la única. La función: y + + también es una antiderivada. Al igual que la función: y +. Y en general, la familia de funciones: y + + k, siendo k cualquier número real, es una antiderivada de la función: f () +. Observa que la antiderivada de una función no es solamente una función, sino una familia de funciones. Efraín Soto A.

21 8 Diferenciales e integral indefinida.. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN Cuando impongamos una condición que deba satisfacer la antiderivada de la función dada, por ejemplo, que pase por un punto dado, tendremos la posibilidad de reducir toda una familia de funciones a una sola función. Calcula la antiderivada de la función: Ejemplo f ( ) + que pasa por el punto A(, ). Primero calculamos la antiderivada y después nos preocuparemos por que pase por el punto dado. la antiderivada de la función es: F () + Puedes verificar que esta es la antiderivada viendo que: F () f (). Si la antiderivada debe pasar por el punto A(, ), entonces ésta debe satisfacer las coordenadas de ese punto. Matemáticamente, tenemos: F () F () () + C Entonces, la constante de integración es C, y la antiderivada particular que satisface la condición de pasar por el punto A(, ) es: F () + + Ahora el resultado no fue una familia de funciones, dado que debían satisfacer la condición de pasar por el punto dado. El hecho de satisfacer la condición ocasionó que la constante de integración se convirtiera en una constante particular (en este caso, C ). Cuando no imponemos la condición de que pase por un punto, nos quedamos con una familia de funciones, debido a que la constante ocasiona una traslación vertical a la gráfica de la antiderivada y F (). Efraín Soto A.

22 . La integral indefinida 9 y y F () Al obligar a y F () que pase por un punto particular A(,y ), estamos reduciendo la familia de funciones a una sola. Nosotros calculamos el valor de la constante C a partir de la condición: F ( ) y. Al imponer esta condición sobre la antiderivada obtenemos: C y F ( ) Y la función que pertenece a la familia de funciones y F () que cumple con esa condición es: y F () + y F ( ) Entonces, desde el punto de vista geométrico, la constante C es la que genera toda la familia de funciones, pues para cada valor de C distinto, obtenemos una nueva función. Calcula la antiderivada de la función: f () e Ejemplo que pasa por el punto A(, ). La antiderivada de la función es: F () e que puedes verificar fácilmente. Para que pase por el punto A(, 3), se requiere que: F (). Entonces, F () e C e Efraín Soto A.

23 Diferenciales e integral indefinida La función que cumple con la condición es: y e e Fácilmente se verifica que esta función pasa por el origen: F () e () e e e También podemos dar una interpretación física de la constante de integración. Ejemplo 3 Una piedra se dejó caer desde una altura h metros y su velocidad (en metros por segundo) está dada por: v (t ) 9.8t donde t está medido en segundos. Calcula la altura de la partícula (en metros) para cada valor de t. La derivada de la posición es la velocidad de la partícula. Entonces, la antiderivada de la velocidad nos da la posición de la partícula. Esto quiere decir que necesitamos calcular la antiderivada de la función: v (t ) 9.8t Qué función, cuando la derivamos, nos da una función lineal? La respuesta a esta pregunta es: «una función cuadrática.» Si y a + b + c d y d a + b Debes observar que la antiderivada de una lineal es una cuadrática con el coeficiente principal igual a la mitad de la pendiente de la lineal. Esto nos sugiere que hagamos: s (t ) 9.8 t 4.95t Ahora nos falta determinar el valor de la constante. Del teto del problema sabemos que la piedra se dejó caer desde una altura h. Esto nos está diciendo que en t la posición de la partícula es: s () h. Vamos a utilizar esta información para calcular el valor de la constante: s () 4.95() h C h Luego, la función que nos da la posición de la piedra para cada t es: s (t ) 4.95t + h donde h es la posición desde la cual se dejó caer la piedra. Efraín Soto A.

24 . La integral indefinida Observa que si derivamos la función respecto del tiempo, obtenemos la función que nos dieron para la velocidad: d s ()(4.95)t 9.8t v (t ) d t La constante C de la familia de funciones y F ()+C (desde el punto de vista físico) representa la condición inicial a la que se realiza el eperimento que está modelado por el integrando. En el ejemplo anterior, inicialmente la posición de la piedra era de h metros sobre el suelo, por eso la condición inicial impuesta para calcular la función que modela el fenómeno fue que pasara por el punto P(,h). Por eso dijimos que s () h. Es decir, cuando t (el reloj está en el punto de arranque), la posición de la piedra es h metros sobre el nivel del suelo. A este proceso de calcular la antiderivada se le llama integrar la función, y al resultado se le llama la integral indefinida. INTEGRAL INDEFINIDA Sean y F (), y f () funciones tales que F () f (). Entonces, la integral indefinida de f () respecto de es F ( ), y esto se denota por: f ()d F () Definición El símbolo se conoce como el signo de integración, f () como el integrando y la constante C como la constante de integración. Dado que calcular la derivada y la antiderivada de funciones son procesos inversos uno del otro, el cálculo de las antiderivadas se puede hacer fácilmente cambiando el formulario de las reglas de derivación como reglas de integración indefinida. El siguiente formulario incluye las reglas de integración indefinida inmediata que podemos obtener intercambiando los argumentos en las reglas de derivación: i. (d v + d w ) d v + d w vii. e v d v e v ii. a d v a d v viii. sinv d v cosv iii. d i. cosv d v sinv iv. v n d v v n+ n + d v. sec v d v tanv v. vi. v ln v a v d v a v lna i. ii. csc v d v cotv secv tanv d v secv Calcula la constante de integración para que cada una de las antiderivadas pasen por el punto P dado. Ejercicios.. Efraín Soto A.

25 Diferenciales e integral indefinida ) ) 6 d, P(, 5) C d, P(, ) C / 3) 4) 4 3 d, P(, 3) C 3 ( ) d, P(, ). C 5) d, P(, /6). C 6) 3 + cos( ) d, P(,π). C π 7) + sin() d, P(, ) C.. INTEGRAL INDEFINIDA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS En esta sección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones. Funciones algebraicas Ejemplo Calcula la integral indefinida: ( )d Empezamos aplicando la regla (i) para separar el integrando y así formar dos integrales: ( )d d d Ahora aplicamos las reglas (iii) y (iv) para calcular las integrales. Para la primera integral, tenemos n, con lo que n + 3: d d 3 3 Observa que en el ejemplo anterior teníamos que sumar dos constantes. Pero el resultado de sumar dos constantes es igual a otra constante, por eso solamente se incluye una al final. Ejemplo Calcula la siguiente integral indefinida: d Efraín Soto A.

26 . La integral indefinida 3 Empezamos aplicando la regla (i) de integración: d d + d d Ahora aplicamos la regla (ii) en cada integral: d + d d d + Aplicamos la regla de integración (iv) y después simplificamos: d d d + d d Entonces, d Calcula la integral indefinida: 4 + d Ejemplo 3 Para calcular esta integral indefinida empezamos aplicando la regla (i): 4 Al simlificar los integrandos obtenemos: Ahora podemos aplicar la regla (iv): 3 d + d + 3 d + d d d d d d ln Entonces, 4 + d ln Calcula la integral indefinida: + + d 3 Ejemplo 4 Efraín Soto A.

27 4 Diferenciales e integral indefinida Empezamos aplicando la regla (i): + + d d + 3 d + d d 3 Ahora vamos a epresar cada integral con un eponente negativo, salvo la segunda, que ya sabemos cómo integrar: d d + d + d d d d 3 d Ahora podemos aplicar las reglas de integración (iii), (iv) y (v): d d + + d 3 d + ln + + ln + Entonces, + + d + ln 3 + Ejemplo 5 Calcula la siguiente integral indefinida: ( 7) d No es una buena idea empezar este problema desarrollando el binomio a la potencia. Mejor observa que si definimos: v 7, entonces, d v d. Entonces, hace falta completar la diferencial para poder integrar. Para eso multiplicamos por / y factorizamos fuera de la integral al del denominador: ( 7) d ( 7) (d ) Ahora podemos aplicar la regla (iv): ( 7) d ( 7) (d ) ( 7) ( 7) 44 Ejemplo 6 Calcula la integral indefinida: 3 4 d Efraín Soto A.

28 . La integral indefinida 5 El integrando no aparece en alguna de las reglas conocidas por nosotros aún. Pero podemos hacer la siguiente transformación: Definimos: v 4. Entonces, d v 4 3 d 3 d d v 4. Esto nos permite reescribir la integral indefinida como: 3 4 d 4 3 d v d v v d v v / d v Ahora podemos aplicar la regla (iv): v / d v v 3/ 4 4 3/ 4 Regresando todo en términos de, obtenemos: v 3/ 3 v 3/ 3 4 3/ 4 d 6 6 Calcula la integral indefinida: 8 3 d Ejemplo 7 Aplicando la regla (i) y las leyes de los eponentes, podemos transformar la integral a la siguiente forma: 8 3 d 8 3 d () / d Ahora podemos integrar cada una de las integrales que quedaron indicadas aplicando la regla (iv): 8 3 d () / 4 d 8 / 4 / 4 Entonces, 8 3 d 4 Calcula la integral indefinida: + d Ejemplo 8 Podemos transformar la integral a la siguiente forma: + d d + d d d + / 3/ Efraín Soto A.

29 6 Diferenciales e integral indefinida Cada una de estas integrales es inmediata: d d + / 3/ / d + / / + / / 4 3/ d Entonces, + d 4 Ejemplo 9 Calcula la integral indefinida: 3 4 d Para calcular esta integral observa que si definimos: v 4 d v 4 3 d 3 d d v 4 Entonces, haciendo la sustitución v 4, transformamos la integral a: 3 d d v 4 4v d v 4 v 4 lnv 4 ln 4 Para el cálculo de las integrales de funciones algebraicas, el truco consiste en transformar el integrando para obtener integrales inmediatas. Es decir, escribirla en forma que se puedan integrar utilizando las fórmulas conocidas. Algunas veces una manipulación algebraica bastará. En otros casos se va a requerir una sustitución. Ejercicios.. Calcula cada una de las siguientes integrales indefinidas. ) ) 3) 4) 5) 3 + d d d d ln() d 3 ln() Efraín Soto A.

30 . La integral indefinida 7 6) 7) 8) 9) d d d d ) ) ) 3) 4) 5) 6) 7) d + 5 (3 + ) (3 + )3 d 39 d d d d 5 d ( + ) 5 3 d 3 (5 9) 8) (7 5) d 3/ 9) + 3 d 3 ln() + ) ) ) 3) / d 5 7 ln() d 3 4 5/ /4 /4 + 4 ln 3 d 5 ln 5/4 3 d ln /4 + Efraín Soto A.

31 8 Diferenciales e integral indefinida 4) 5) 3 4/3 + d 3 4 ln 4/3 + 3/7 7 + k d 7 ln 7 + k Int. indefinida de funciones eponenciales Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones eponenciales de la forma: y e v y y a v Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de integración (vi) y (vii). Ejemplo Calcula la integral indefinida: e d Debemos usar la regla de integración (vii). Para eso definimos: v. Entonces, la diferencial d v d Pero en el integrando falta un para que esté completa la diferencial y podamos aplicar la regla. Para completarla vamos a aplicar el siguiente truco: Dado que la regla (ii) nos permite sacar de la integral una constante, vamos a multiplicar en el integrando por /, vamos a dejar dentro del integrando al del numerador y vamos a sacar de la integral al del denominador: e d e d e (d ) e Ejemplo Calcula la integral indefinida: e d Primero aplicamos la regla (i) de integración: e d d e d Ahora aplicamos las reglas (iii) y (vii) para terminar. Observa que si en la segunda integral definimos v, entonces, d v d, por lo que tenemos que completar la diferencial: d e d + e Efraín Soto A.

32 . La integral indefinida 9 Calcula la siguiente integral indefinida: 4 3 e 4 d Ejemplo Tenemos el producto de dos funciones, pero posiblemente una de ellas sea la diferencial del argumento de la otra. Si definimos v 4, tenemos que: d v 8 3. Entonces, podemos reescribir la integral como: 4 3 e 4 d 3 e d 3 e v (d v ) Ahora la integral es inmediata: 3 e d 3e 4 Observa que ahora la integral estaba completa, multiplicada, además por 3. Calcula la integral indefinida: e d Ejemplo 3 Si hacemos v, vemos que d v d. Entonces, la integral realmente es: e d e ( d ) e v (d v ) Ahora integramos aplicando al regla (vii): e d e ( d ) e Calcula la integral indefinida: d Ejemplo 4 Aplicamos directamente la regla (vi) de integración: d ln Efraín Soto A.

33 3 Diferenciales e integral indefinida Ejemplo 5 Calcula la integral indefinida: e d Primero verificamos que la diferencial esté completa. Para eso vamos a utilizar la regla de derivación (v). Si v, entonces d v ln d Observa que la diferencial está incompleta. Falta multiplicarla por la constante ln. Ahora reescribimos la integral de la forma: ln d e e ( ln d ) e v d v e v ln ln ln ln e ln Ejemplo 6 Calcula la integral indefinida: e (e + 7) 9 d No es buena idea desarrollar el binomio a la potencia 9. Mejor definimos: v e + 7 y vemos que d v e d. Esto significa que la diferencial está completa. Entonces, e (e + 7) 9 d (e + 7) 9 (e d ) (e + 7) Ejemplo 7 Calcula la integral indefinida: d e + Empezamos observando que no hay alguna regla de integración inmediata que nos permita calcular esta integral. Así que tendremos que transformarla algebraicamente hasta obtener una integral inmediata. Empezamos factorizando e en el denominador: d e + d e e ( + e ) d + e Ahora podemos definir: v + e, y tenemos que d v e. Efraín Soto A.

34 . La integral indefinida 3 Completamos la diferencial multiplicando por tanto dentro como fuera de la integral: e d e + e d d v + e v ln + e Todavía podemos simplificar este resultado utilizando las propiedades de los logaritmos: d e + ln + e ln + e + e ln e ln( + e ) + ln(e ) ln( + e ) Y terminamos. En caso de que la diferencial requiera de multiplicarse por una variable para completarla, será imposible, dado que en la regla (ii) de integración se supone que a es una constante. Por ejemplo, en la integral: e d Si definimos v, tenemos que d v d. Así que la diferencial está incompleta. Pero en este caso debemos multiplicar por, que no es constante. Así que no podemos completar la diferencial. De hecho, esta integral no se puede calcular con los métodos que hemos visto hasta aquí. Pero sí hay métodos para calcularla de manera aproimada. Calcula cada una de las siguientes integrales indefinidas. Ejercicios.. ) ( + )e + d e + ) e 3 d 3 e 3 3) 4) 5) e e d e 4 d 5 8 e 4 ( + e ) e +e d e +e 6) 3 e 3 d e 3 Efraín Soto A.

35 3 Diferenciales e integral indefinida 7) 8) 9) ) 5 3 d ln(5) d 4 ln(3) e d e + e + d e Ejemplo 8 Int. indefinida de funciones trigonométricas Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones trigonométricas aplicando las reglas (viii), (i), (), (i) y (ii) del formulario de integrales indefinidas inmediatas. Siempre es importante verificar que la diferencial está completa para poder integrar de manera inmediata. Calcula la integral indefinida: cos()d Para calcular esta integral vamos a aplicar la regla (i). Definimos v, entonces: d v d. Así que tenemos que completar la diferencial multiplicando por : cos()d cos( )(d ) sin() Verifica que la integral indefinida es correcta derivando el resultado. Algunas veces podremos utilizar el resultado de una integral para calcular más fácilmente otra integral. Por ejemplo, cos(a)d a sin(a) es una regla que se deduce del ejemplo anterior y que podemos usar para integrales indefinidas que tengan esa forma. De manera semejante se puede mostrar que: sin(a)d a cos(a) Ejemplo 9 Calcula la integral indefinida ( sin + cos())d Efraín Soto A.

36 . La integral indefinida 33 Aplicamos la regla (i) primero: ( sin + cos())d d sin d + cos( )d Ahora aplicamos las reglas (iv), (viii) y (i). d sin d + cos( )d + cos + sin() Calcula la integral indefinida: csc (3)d Ejemplo Definiendo v 3, vemos que d v 3d. Esto nos está indicando que la diferencial está incompleta. Aplicamos la regla () para integrar: csc (3)d 3 csc (3 )(3d ) cot(3) 3 Para algunas de las integrales trigonométricas vamos a requerir del uso de las identidades trigonométricas que puedes encontrar en el capítulo final del libro. Calcula la integral indefinida: sin d Ejemplo Como no tenemos una regla que nos permita calcular la integral, tenemos que transformar el integrando para poderlo integrar. Utilizamos la identidad trigonométrica: α cosα sin la cual transformaremos sustituyendo: α/ y elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad: sin () cos() Entonces la integral indefinida se puede reescribir como: sin d ( cos( )) d Efraín Soto A.

37 34 Diferenciales e integral indefinida Aplicando las reglas (i), (iii) y (i) de integración indeterminada inmediata: sin d ( cos()) d d cos()d 4 sin( ) Y terminamos. Ejemplo Calcula la integral indefinida: cos (5 )d La identidad trigonométrica que nos auiliará a calcular esta integral es: que vamos a transformar para obtener: α + cosα cos cos (ξ) + cos(ξ) Y la integral será: cos (5)d ( + cos())d Integramos aplicando las mismas reglas que en el ejemplo anterior: cos (5 )d ( + cos())d d + cos()d + sin() Más adelante vamos a estudiar cómo integrar potencias de funciones trigonométricas. En la siguiente sección estudiaremos un método que nos ayuda a integrar funciones irracionales que contienen en sus argumentos formas como: a v, v + a, v a, etc. Ejercicios.. Calcula cada una de las siguientes integrales indefinidas. ) cos d 4 sin ) sec d ln sec + tan Efraín Soto A.

38 . La integral indefinida 35 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) e tan(e )d ( ) sin d [sin(3) cos( + 5)] d sin(cos()) sin()d cos(sin()) cos()d tan 3 d sec(sin()) cos( ) d [tan() sec(7)] d ln[cos(e )] cos cos(3) sin( + 5) 3 cos(cos( )) sin(sin( )) 3 ln cos 3 ln[sec(sin()) + tan(sin( ))] 4 ln + tan ( ) ln(sec(7) + tan(7 )) 7 ) ) tan[ln()] d sec( + ) d ln[cos(ln( ))] ln[sec( + ) + tan( + )]..3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA En esta sección vamos a estudiar el primer método para integrar funciones que no son inmediatamente integrables a partir de la tabla de integrales que tenemos. Las siguientes sustituciones sirven para simplificar el integrando a una forma inmediatamente integrable: Para: Sustituir: para obtener: a b u u a b sinz a sin z a cosz a + b u u a b tanz a + tan z a secz b u a u a b secz a sec z a tanz Debes recordar siempre sustituir d a partir del cálculo correspondiente para que la diferencial quede en términos de d z. En el apéndice del libro se encuentran las definiciones básicas de las funciones trigonométricas y las identidades más frecuentemente usadas. Efraín Soto A.

39 36 Diferenciales e integral indefinida Ejemplo Calcula la siguiente integral: 9 4 d Empezamos observando que a 9, lo cual implica que a 3, y b 4, es decir, b. Entonces hacemos: (a /b) sinz : 3 sinz d 3 cosz d z Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos: 9 4 d sinz 3 sinz 3 cosz d z Ahora podemos simplificar dentro del signo de raíz: sinz 3 sinz 3 cosz d z 9 9 sin z sinz 3 sin z sinz cosz d z cosz d z Pero sin z cos z,luego, 3 sin z sinz cosz cosz d z 3 sinz cosz d z cos z 3 sinz d z sin z 3 d z sinz 3 sinz sinz d z Ahora podemos integrar: 9 4 d 3 3 sinz d z 3 sinz d z cscz d z + 3 cosz 3 ln cscz cotz + 3 cosz Hasta aquí hemos obtenido un resultado parcial. Efraín Soto A.

40 . La integral indefinida 37 Recuerda que inicialmente la integral estaba dada en términos de, no de z. Por lo que nosotros debemos dar el resultado en términos de. Para lograr eso, vamos a representar geométricamente la sustitución inicial: 3 sinz sinz 3 Cateto opuesto Hipotenusa En el triángulo rectángulo tenemos : 3 z 9 4 Por la forma como se definen las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo tenemos: cscz 3, cosz y cotz 3 Entonces, podemos reescribir la solución como: 9 4 d 3 ln cscz cotz + 3 cosz 3 3 ln ln Observa que hemos utilizado un artificio: como la integral no se puede integrar de manera inmediata debido a la forma que tiene, sabiendo que puede transformarse a una forma inmediatamente integrable usando una sustitución trigonométrica, vamos a utilizar la transformación sugerida en la tabla dada en la página 35. Después de hacer la sustitución obtenemos una integral en términos de funciones trigonométricas que se puede integrar usando la variable z. Para regresar este resultado a términos de, utilizamos la sustitución que tomamos de la tabla para representarla geométricamente usando un triángulo rectángulo y las definiciones de las funciones trigonométricas en él. La integral d 9 4 se puede resolver a través de la regla de integración (iv). Utiliza sustitución trigonométrica para calcularla y después la regla (iv) para verificar el resultado. Para calcular el cateto adyancente al ángulo z hemos utilizado el teorema de Pitágoras. Ejemplo Efraín Soto A.

41 38 Diferenciales e integral indefinida De acuerdo a la tabla de sustituciones para este tipo de integrales, haremos: 3 secz d secz tanz d z 3 Ahora sustituimos estos valores en la integral para transformarla: d 3 secz 3 secz tanz d z secz 4 4 sec z tanz d z 9 4 sec z 4 4 sec z tanz d z 9 sec z Pero, sec z tan z tanz, luego d sec z tanz d z sec z d z tanz 9 9 tanz Ahora vamos a reescribir el resultado en términos de. El triángulo rectángulo que representa la sustitución que hicimos al principio del problema es el siguiente: z Entonces, de acuerdo a este triángulo, tenemos: tanz 9 4 Y al sustituir este valor en el resultado de la integral obtenemos: d Ahora vamos a verificar el resultado usando la regla (iv): Para este fin, definimos: v 9 4. Entonces, d v 8 d. Luego d d v 8. d d v v v / d v 8 8 v / / / Efraín Soto A.

42 . La integral indefinida 39 Y terminamos. Calcula la integral: d Ejemplo 3 Usaremos la sustitución: 5 4 tanz d 5 4 sec z d z Esto transforma la integral a: d sec z d z tanz sec z d z 4 5 tanz sec z d z 4 5 tanz + sec z d z 4 tanz + Pero tanz + sec z secz, luego, d sec z d z secz secz ln secz + tanz 4 4 Para hacer el cambio a la variable usamos el siguiente triángulo rectángulo: z 5 Entonces, haciendo las sustituciones de acuerdo a la definición de las funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo obtenemos: d ln Efraín Soto A.

43 4 Diferenciales e integral indefinida Ejemplo 4 Calcula la siguiente integral: 5 d Usaremos la sustitución: 5 sinz d 5 cosz d z Al sustituir estos valores en la integral obtenemos: 5 d 5 5 sinz 5 sinz 5 cosz d z 5 sin z sin (cosz d z ) z cosz 5 sin z cosz d z cos z 5 sin z d z 5 cot z d z Ahora utilizaremos la identidad: cot z csc z : 5 d 5 cot z d z 5 csc z d z 5 csc z 5 5 cotz 5z d z Ahora calculamos los valores de z y cotz en términos de a partir del triángulo rectángulo correspondiente: 5 z 5 Efraín Soto A.

44 . La integral indefinida 4 sinz 5 5 z arcsin(5) cotz 5 5 Ahora sustitumos estos valores en el valor de la integral: 5 d 5 cotz 5z arcsin(5 ) 5 5 arcsin(5) Es importante recordate que la integral inicial estaba dada en términos de la variable. Si entregas un resultado en términos de z, en realidad tu resultado no es incorrecto, pero tampoco es correcto. Simplemente está incompleto. Debes epresar el resultado en términos de la variable que aparezca la integral inicial. Por eso se requiere hacer el cambio de variable dos veces: La primera para poder hacer la integral, la segunda para entender el resultado. Calcula la siguiente integral: d d 4 Ejemplo 5 Hacemos: secz d secz tanz d z Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos: d secz tanz d z d 4 4 sec z 4 sec z 4 secz tanz d z sec z sec z tanz d z 4 secz tanz d z 4 secz 4 cosz 4 sinz Dado que secz, se sigue: secz. El triángulo que corresponde para hacer el cambio de variable de z a es: Efraín Soto A.

45 4 Diferenciales e integral indefinida 4 z 4 Entonces, sin z, y la integral queda: d d Ejercicios..3 Calcula cada una de las siguientes integrales utilizando el método de integración por sustitución trigonométrica. ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) d 9 3 ln 3 9 d ln d 5 5 ln d 9 3 arctan d arctan d d d 3 3 arcsin d d ( )( + ) ln + 5 arcsin + Efraín Soto A.

46 . La integral indefinida 43 ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) 3) 4) 5) 4 d 5 6 d arcsin arcsin 5 d ln d ln d ln d d ln arcsin d 6 3/ 3 d 8 arcsin() 4 + d 4 d 6 5 d arcsin ln + 4 ln d 4 arcsin() d d ln ln Efraín Soto A.

47 44 Diferenciales e integral indefinida Efraín Soto A.

48 Capítulo La integral definida y los métodos de integración Por aprender..... Integral definida... Notación de sumatoria... Área bajo una curva..3. Integral Definida y Sumatoria de Riemann.. Técnicas de integración... Cambio de variable... Integración por partes..3. Integración de potencias de funciones trigonométricas..4. Fracciones parciales Denominadores con factores lineales Denominadores con factores cuadráticos Por qué es importante... La integral definida puede representar alguna magnitud física, fuerza, presión, distancia, etc., así como cualquier otra cantidad que se obtiene como el producto de otras dos. Las técnicas de integración son métodos que usaremos para calcular antiderivadas de funciones que encontraremos frecuentemente. Efraín Soto A.

49 46 La integral definida y los métodos de integración Efraín Soto A.

50 . La Integral Definida 47. LA INTEGRAL DEFINIDA Ya vimos que la integral indefinida nos da como resultado una familia de funciones. Para calcular una función de toda esa familia, debemos definir el valor de la constante de integración, generalmente imponiendo una condición, por ejemplo, que pase por un punto. La integral definida no nos devuelve como resultado una función, sino un número real. Estas integrales tienen gran importancia para resolver problemas de diversis tipos... NOTACIÓN DE SUMATORIA Dado que la integral definida se interpreta generalmente como un área, vamos a necesitar conocer la notación de sumatoria. SUMATORIA La sumatoria de los primeros n términos de una sucesión { i } se define como: n i n i Definición En palabras, la sumatoria es igual a la suma de los términos que vamos a considerar. Calcula la sumatoria: i i Ejemplo En palabras, esta notación nos dice que debemos sumar los números del al : n n (n + ) i i Teorema SUMA DE GAUSS La suma de Gauss se refiere a la suma de los primeros n números naturales, y se puede calcular con la siguiente fórmula: n n (n + ) i i Definición Calcula: 5 (i + ) i Ejemplo Efraín Soto A.