Práctica 7. Integración de funciones de dos variables

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1 Práctica 7. Integración de funciones de dos variables Integración con Mathematica Recuerda que Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión, variable] Calcula la integral indefinida de la expresión dada con respecto a la variable indicada Integrate[expresión,{variable,a,b}] Calcula la integral definida de la expresión dada con respecto a la variable indicada en el intervalo [a,b]. Ambas instrucciones pueden también indicarse directamente mediante los símbolos: Ÿ Ñ Ñ (integral indefinida) Ÿ Ñ Ñ Ñ Ñ (integral definida) In[]:= Out[]= 6 48 Ix y + x + 7 y M x y In[]:= IntegrateAIntegrateAx y + x + 7 y, 8x,, 6<E, 8y,, <E Out[]= 48 La opción FilledPlot será de gran utilidad porque nos permite representar gráficamente la región comprendida entre dos funciones. Para poder utilizar esta instrucción es necesario cargar el paquege gráfico << Graphics`FilledPlot`

2 Practica7_Integrales_dobles.nb In[]:= << Graphics`FilledPlot` FilledPlotA9x, x + =, 8x,, <E General::obspkg : Graphics`FilledPlot` is now obsolete. The legacy version being loaded may conflict with current Mathematica functionality. See the Compatibility Guide for updating information. à Out[4]= Ejemplo Calcular el valor de las siguientes integrales iteradas: ü (a) Ÿ-Ÿ-x - y y x Dibujamos el dominio de integración (en este caso es un rectángulo). In[5]:= <, 8x,, <D Out[6]= Integramos primero respecto a y In[7]:= Out[7]= x Hx ^ y ^ L y y el resultado que hemos obtenido lo integramos con respecto a x

3 Practica7_Integrales_dobles.nb In[8]:= Out[8]= x x También podemos calcular la integral doble directamente: In[9]:= Out[9]= 8 Hx ^ y ^ L y x ü (b) Ÿ 4 Ÿ x ye -x y x Dibujamos el dominio de integración In[]:= PlotB:, x >, 8x,, 4<, Filling 8 8<<F Out[]= Integramos primero respecto a y In[]:= Out[]= x H y x L y x H + xl y el resultado que hemos obtenido lo integramos con respecto a x 4 In[]:= H x H + xll x Out[]= In[4]:= 4 NB H x H + xll xf Out[4]=.9467

4 4 Practica7_Integrales_dobles.nb Ejemplo Dibujar la región D cuya área está dada por la 4-x integral iterada Ÿ -Ÿ- y x. Después cambiar el orden 4-x de integración y comprobar que ambas integrales coinciden. Dibujamos el dominio de integración In[5]:= FilledPlotB: 4 x, 4 x >, 8x,, <, AspectRatio AutomaticF Out[6]= Estamos calculando el área del círculo x + y 4. Evaluamos la integral iterada 4-x In[7]:= y x x Out[7]= 4 π Si intercambiamos el orden de integración - y y para cada valor fijo de y necesitamos calcular los límites de integración para x In[8]:= ^ + y ^ 4, xd Out[8]= ::x 4 y >, :x 4 y >> Evaluamos la integral iterada intercambiando el orden de integración.

5 Practica7_Integrales_dobles.nb 5 4-y In[9]:= x y y Out[9]= 4 π Ejemplo. Evaluar Ÿ Ÿx -y y x cambiando el orden de integración. Dibujamos el dominio de integración In[]:= <, 8x,, <, AspectRatio AutomaticD..5 Out[]= Si intercambiamos el orden de integración y y para cada valor fijo de y se tiene que x y. Evaluamos la integral iterada intercambiando el orden de integración. In[]:= y -y x y Out[]= 4 In[]:= y -y x y Out[]= 4 Ejemplo 4. Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral doble ŸŸ D fhx, yl A siendo

6 6 Practica7_Integrales_dobles.nb fhx, yl = x + y, D =9Hx, yl : x + y 4, x, y =. Se trata de un cuarto de círculo de radio, que en coordenadas polares se expresa como < r, q pê. Dibujamos el dominio de integración en coordenadas polares In[4]:= RegionPlotA9x + y 4, x, y =, 8x,, <, 8y,, <E Out[5]= πê In[6]:= Hr + r r r θ Out[6]= 6 Comparamos con el valor de la integral en coordenadas rectangulares In[7]:= 4 x^ Hx + yl y x Out[7]= 6 Ejercicios propuestos Ejercicio. Calcular ŸŸ D + x + y A siendo D={(x,y)ŒR : x, x y x}.

7 Practica7_Integrales_dobles.nb 7 Ejercicio. Calcular ŸŸ D x y A siendo D la región acotada por las curvas y=5x e y=x. Ejercicio. Siendo D={(x,y) Œ R : -x + 5 y, x- y} se pide: a) Representar gráficamente el recinto D. b) Calcular el área del recinto mediante integración doble. c) Invertir el orden de integración. Ejercicio 4. Calcular la integral ŸŸ D x + y A haciendo el cambio a coordenadas polares, siendo D={(x,y)ŒR : x + y 9, y }.

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