LA DERIVADA. Normalmente se piensa que una de las variables es función de la otra. Esto es y = f (x)

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1 LA DERIVADA Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras cantidades cambien. Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya no será la misma, probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada cambiará. Si se aumenta la temperatura de un as contenido en un recipiente ermético la presión del as sobre las paredes del recipiente aumenta. Si aumentamos nuestro consumo diario de azucares probablemente aumente la insulina en sanre. El cálculo dierencial trata del estudio del cambio de una cantidad cuando otra cantidad que está relacionada con la primera varía. CONCEPTO TASA DE CAMBIO PROMEDIO En una relación lineal entre dos variables: y m b, sabemos que la pendiente m es la razón de cambio entre las variables y y. La razón de cambio es constante si la relación entre las variables es lineal. El problema empieza a complicarse cuando pensamos en relaciones entre las variables que no son lineales. Normalmente se piensa que una de las variables es unción de la otra. Esto es y. Normalmente abrá puntos de la ráica de la unción donde suben más que en otros puntos y otros incluso bajan. Una manera de medir la relación entre los cambios de dos variables relacionadas es a través de la tasa o razón de cambio promedio. Deinición.- Sea deinida en un intervalo conteniendo los puntos y. Se deine la tasa de cambio promedio de la unción y desde a como Observe que esta tasa de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta que une los puntos, y, llamada la recta secante a la ráica de que pasa por los puntos, y,. Si denotamos y como el cambio en y y el cambio en, y entonces la tasa de cambio puede ser escrita como

2 Observaciones: Cuando el cambio en y, y, es positivo se abla del incremento de y La tasa de cambio promedio es un cociente de cambios ó un cociente de dierencia. La tasa de cambio promedio es conocida también como la razón de cambio promedio. La tasa de cambio puede ser positiva y esto corresponde cuando el cambio en y es positivo al pasar de un punto a un punto < o puede ser neativo y esto corresponde al caso en que y disminuye o decrece. Ejemplo.- El tamaño de una población está modelada por P t t t donde t es el número de años después del. Calcule la razón de cambio promedio de a t a t. b t a t y c t a t. Solución: a La razón de cambio promedio de t a t viene dada por P P 6 b La razón de cambio promedio de t a t viene dada por P P 9 c La razón de cambio promedio de t a t viene dada por ab/año ab/año P P,., 7.. Observe que entre el lapso de tiempo de t a t el crecimiento promedio de la población ue de ab/año. Este es un crecimiento promedio porque eectivamente en la primera parte de este periodo el crecimiento promedio de la población ue mayor: de abitantes por año, con lo cual deducimos que en la seunda parte el crecimiento debió de ser menor a. En el primer semestre del año t el crecimiento era de 7 abitantes por año. Así que todo parece indicar que en el lapso de t a t, la población aumentaba más rápidamente al comienzo que al inal. En este ejemplo estamos ablando en alún sentido de la velocidad. El concepto ísico de velocidad está estrecamente liado con el concepto de tasa de cambio promedio y de derivada. 7

3 VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTANEA Desarrollaremos estos dos conceptos para entender mejor los conceptos de razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo. Supona que un objeto parte de un punto siuiendo un movimiento rectilíneo. Sea y dt la unción desplazamiento asta el momento t, esta unción es conocida también como la unción posición. El incremento: d t d t es la distancia recorrida por el objeto desde el tiempo t asta el tiempo t y la razón de cambio promedio desde t asta el tiempo t está dada por Esta es la velocidad promedio en el lapso de tiempo desde t asta el tiempo t. Ejemplo.- Supona que el desplazamiento de un móvil asta el tiempo t está dado por la ecuación d t 6 t metros, donde t está medido en seundos. Determinar la velocidad promedio durante los tiempos de a t a t. b t a t y c t a t. Solución: a La velocidad promedio durante el tiempo de t a t viene dada por d d m/se b La velocidad promedio durante el tiempo de t a t viene dada por d d m./se. c La velocidad promedio durante el tiempo de t a t viene dada por d d 6. 6, 8 m./se. De nuevo observamos que en el lapso de tiempo de a la velocidad promedio es de m./se. Sin embaro en la primera parte de este tiempo iba en promedio más despacio: m./se. Esto nos indica que la velocidad no se mantiene constante como eectivamente ocurre cuando vamos en un automóvil. Se quisiera tener una mejor idea de lo que está ocurriendo cerca de, por eso nos aproimamos más a tomando la velocidad promedio de t a t. Deberíamos cada vez aproimarnos más a para tener una mejor idea de lo que está ocurriendo con la velocidad en ese instante. En términos enerales estamos interesados en la velocidad en el instante c, la que marca el velocímetro en ese instante. Denotaremos como c un tiempo próimo a c, entonces será un valor próimo a. La velocidad promedio en el lapso de tiempo entre c y c será entonces d c c d c c d c d c Esta velocidad está cercana a la velocidad instantánea o simplemente velocidad en el tiempo c deinida por: d c d c vt lim

4 Este límite si eiste es llamado también la derivada de d en el instante c. Ejemplo.- Supona que el desplazamiento de un móvil asta el tiempo t está dado por la ecuación d t 6 t metros, donde t está medido en minutos. Determinar la velocidad en el tiempo t. Solución: v t d d lim Evaluamos la unción d en y en. 6 lim 6 Se desarrolla el producto notable 6 lim 6 6 Se distribuye el y el sino menos. Lueo se simpliica 6 lim 6 lim Se actoriza, sacando de actor común 6 metros/min. Se simpliicó y lueo se evalúo en De nuevo reiteramos que la velocidad instantánea en el momento c es el límite de la velocidad promedio en un intervalo que va a c CONCEPTO DE DERIVADA Derivada de una unción.- La derivada de una unción con respecto a en el punto c se deine como: c c c lim siempre y cuando el límite eista. Observaciones: Como c representa un punto cercano a c, entonces podemos escribir alternativa la derivada c como c lim c c Esta última escritura de la derivada nos permite interpretarla como la razón de cambio instantánea en el punto c, obtenida a través del límite de la razón de cambio promedio para intervalos que llean a c. A eectos de cálculo es preerible trabajar con la orma c c lim Si la unción tiene derivada en cada punto de un intervalo contenido en el dominio entonces la unción se dice dierenciable o derivable en el intervalo y denota la unción derivada. Alunos libros preieren usar la notación en vez de, quedando escrita la unción derivada como: lim c

5 Observación.- Siempre que planteamos este límite para unciones continuas nos da una indeterminación, así que se arán manipulaciones alebraicas seún las recomendaciones para cada caso. Ejemplo.- Calcule la derivada de Solución: Se plantea la deinición de derivada para variable lim Se evalúa la unción en y se sustituye lim lim lim lim Se realiza la suma alebraíca de racciones Se aplica la propiedad distributiva y se simpliica Observe que cuando se simpliica el actor del numerador con el denominador la indeterminación desaparece. Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada de en LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO c c El cociente es la razón de cambio promedio en el intervalo entre c y c. c c El límite: lim es entonces la razón de cambio instantáneo o simplemente la razón de cambio de con respecto a cuando c. Así pues la derivada se interpreta también como la razón de cambio instantánea. En ocasiones nos reerimos a la tasa de cambio como la razón de cambio. Ejemplo.- El tamaño de una población está modelada por P t t t donde t es el número de años después del. Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en t. Solución: tasa t P P P lim

6 6 P lim P Desarrollamos y simpliicamos lim lim lim lim abitantes/año Se actoriza sacando de actor común. Este es un ejemplo de interés para un eórao. En diversas partes de las ciencias sociales, naturales y económicas se emplea el concepto de derivada a través de distintas terminoloías: tasas de cambio o rapidez. Un meteoróloo puede estar interesado en la rapidez de cambio de la presión atmosérica con respecto a la altura. Un eóloo le puede interesar la rapidez con que cambia la temperatura en cierta roca undida. En economía se abla de inreso, costo y utilidad marinal para reerirse a la tasa de cambio de estas manitudes. NOTACIONES d d d La derivada de y con respecto a se la denota también por y,,, y. d d d dy es un solo símbolo que ayuda a recordar que es el límite de cociente de dierencias o una d razón de cambio de y con respecto a. d es conocida como la notación de Leizbniz. d Para indicar la derivada en un punto particular, por ejemplo c, se usan las siuientes notaciones: d dy c ; ; d d Si por ejemplo, es decir conocemos una órmula para entonces las siuientes notaciones se usan: d ; d Ejercicio de desarrollo Para la unción y Calcule: a La razón de cambio promedio de a.; b La razón de cambio instantánea en c c OTRA INTERPRETACION DE LA DERIVADA: DE LA RECTA SECANTE A LA RECTA TANGENTE. Recordemos que la tasa de cambio promedio de tc a tc es la pendiente de la recta secante a la curva en los puntos c, c y c, c. Si c está muy cerca de c, esto ocurre cuando está muy cerca de, la recta secante pasa casi rasante a la ráica de la unción en el punto c, c. Si intuitivamente la recta limite es la recta tanente a la curva en el punto c, c y la pendiente de esta recta es

7 Ejemplo 6.- a Calcule la derivada de la unción. b Use este resultado para calcular la pendiente de la recta tanente a la curva cuando Solución: a Calculamos primero la unción derivada usando la deinición: lim lim lim lim. Aora podemos usar la conjuada lim lim lim lim lim Se evalúa el límite b La pendiente de la recta tanente a la ráica de la unción en el punto es:. Ejercicio de desarrollo.- Calcule la pendiente de la recta tanente a la ráica de en. 7, lim sec c c m m ta lim c c c En conclusión: La derivada en un punto c es la pendiente de la recta tanente a la ráica de en el punto, c c. Cuando ay indeterminación en un límite de esta naturaleza se tiene que considerar usar el truco de la conjuada, pero tiene que eistir dos términos. Primero simpliicamos el numerador. Al sustituir una epresión por otra considere encerrarla entre paréntesis. Observe como se colocará entre paréntesis las epresiones no ace alta y, pues ellas sustituyen a y respectivamente.

8 8 FUNCIONES NO DERIVABLES Eisten unciones que no son derivables en alún punto. En esta sección pretendemos mostrar alunas situaciones en que la derivada puede no eistir. Si la ráica de la unción tiene un punto anuloso entonces la unción no es derivable en ese punto. La unción no es derivable en. Observe que la pendiente de la recta tanente por la dereca es ella misma y vale y por la izquierda la pendiente de la recta tanente vale -. Para establecerlo de una manera más ormal nos valemos de la deinición analítica del valor absoluto. si si < Calculamos entonces los límites laterales: lim lim lim lim Como lim lim lim lim entonces lim no eiste. Observe que esta unción es continua en. Así que continuidad no implica que la unción sea derivable.. Sin embaro, si una unción no es continua en un punto c entonces no es derivable en ese punto., si < Por ejemplo para la unción tenemos que si lim lim lim. Como los límites laterales son distintos entonces el límite no eiste y por tanto no eiste la derivada Observe que no tiene recta tanente en ese punto. La recta tanente en el punto es vertical La unción no tiene derivada en. lim lim /. lim / Como el límite no eiste entonces no es derivable. Este caso lo podemos epresar diciendo que la recta tanente a la curva en es vertical.

9 9 EJERCICIOS Para la unción y t calcule a La razón de cambio promedio de t a t b Para estos valores de t cuál es el incremento de y? c La razón de cambio instantánea en t Para la unción y t calcule a La razón de cambio promedio de t a t.. b Para estos valores de t cuál es el incremento de y? c La razón de cambio instantánea en t El tamaño de una población está modelada por P t 7 8t donde t es el número de años después del. a Cuál es el incremento de la población desde el tiempo t a t.? b Calcule la tasa de cambio promedio desde t a t. c Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en t. Emplee la deinición de la derivada para encontrar df. si ;. si F ;. si t t t ;. d dy si d d d y ;. ;.6 d d dc.7 si C q q q ;.8 si ;.9 si ; dq d. si e ;. si ;. d Respuestas: a ; b 8 ;c ; a.68; b.68; c.77; a8.8; b 88; c8;. - d ;. -;. ;. ;. dc ;.6 ;.7 q ;.8.9 d dq ;. ;. ;. Encuentre la pendiente de la curva y en el punto,-. Use la deinición de derivada. Respuesta: m-6 6 Encuentre la pendiente de la curva en el punto,. Use la deinición de derivada. Respuesta: m-/ 7 Calcule la derivada de la unción. Use este resultado para calcular la pendiente de la recta tanente a la curva cuando.respuesta: ; m-/9 8 Calcule las derivadas de las unciones y. Graique ambas unciones y de una arumentación eométrica porque ambas unciones tienen la misma derivada. 9 Un móvil se desplaza a lo laro del eje, la unción dada por t 6 t metros da la localización del objeto en el instante t, donde t está medido en minutos. Determinar la velocidad en el tiempo t. Interprete el resultado. Respuesta: -6 metros/min.

10 REGLAS DE DERIVACION El cálculo de las derivadas por deinición, como se a eco asta aora, es un proceso tedioso y repetitivo. En esta sección se darán relas básicas que permitirán encontrar las derivadas de una manera más rápida. REGLA DE LA CONSTANTE: Si es una unción constante, esto es c entonces La derivada de una constante es Este resultado es claro desde un punto de vista eométrico, la ráica de la unción constante es una recta orizontal, la pendiente es. Ejemplo.- d a d b Si ln, entonces c Sea para calcular primero observamos que y al evaluar en obtenemos que. Podemos veriicar, usando la deinición de derivada, que - Si entonces. / / - Si entonces. -Si entonces., Como el lector observará eiste una tendencia la cuál está descrita en la siuiente rela clave para la derivación REGLA DE LA POTENCIA: Si entonces r, donde r es un número real distinto de, r r Veamos el siuiente ejemplo que ilustra las aplicaciones de la rela de la potencia en las diversas notaciones. Ejemplo.- d a d 9 b Si, entonces c Si, entonces. Así Eectivamente la unción es una recta cuya pendiente es d / En mucas ocasiones es conveniente reescribir alunas unciones para derivar más ácilmente.

11 Reescritura Reescritura Reescritura a Funciones con radicales. Las unciones con radicales se reescriben con eponente raccionario Ejemplo a de reescritura: Si, entonces se reescribe como orma de escribir se le aplica la rela de la potencia Ejemplo.- Encuentre la derivada de Solución: Reescribimos / /. Entonces / / / /. A esta última REGLA DEL FACTOR CONSTANTE: Si es una unción derivable en y c una constante entonces c es derivable y c c. En notación de Leibniz d d c c d d El actor constante sale uera de la derivación. r r b Funciones raccionarias con denominador constante. :, r y k constantes. k k / Ejemplo b: Si, entonces se reescribe como, la cuál se deriva usando primero la rela del actor constante y lueo la rela de la potencia d / d / Así d d d d r r r c Funciones raccionaria con numerador constante:, donde r y k k k k son constantes 9 Ejemplo c: Si, entonces se reescribe como, la cuál es la que se deriva usando 9 primero la rela del actor constante y lueo la rela de la potencia Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada de, reescribiendo la unción previamente. Recomendación: use la propiedad de la raíz de un producto, reescriba, aplique entonces la propiedad del actor constante y lueo la rela de la potencia..

12 Demostración: Para demostrar esta propiedad de las derivadas planteamos la derivada de la unción por deinición, manipulamos usando propiedades de límite y alebraicas para llear que es la suma de las derivadas: lim lim lim Se distribuyó el sino lim Se reordenó la suma lim lim lim Se uso la propiedad del límite de una suma Se aplicó la deinición de la derivada de y. Esta rela puede ampliarse a la suma o dierencia de un número inito de unciones. En notación de Leizbniz podemos escribir que: ± ± ± d d n d d d d d d n ± ± ± Ejemplo.- Encuentre las derivadas de las siuientes unciones a z z z ; b Solución: a Reescribimos / z z z. Esta última reescritura se deriva aplicando primero la propiedad de la suma. Así / / z z z z z. / z z Aplicamos al seundo término la rela de la potencia z z 8 Al primer término aplicamos la rela de la potencia y al seundo la rela del actor constante. Se descompuso como suma de racciones con iual denominador REGLAS DE LA SUMA Y DE LA RESTA: Sean y unciones derivables en, entonces y también lo son y. La derivada de una suma es la suma de las derivadas. La derivada de una dierencia es la dierencia de las derivadas.

13 b Reescribimos primero antes de derivar. Aora aplicamos la propiedad de la suma y dierencia. Al primer y tercer término se aplica la rela del actor constante y al seundo la rela de la constante. No se suelen reescribir las constantes. 6 Reescribir para derivar: La última iualdad se obtuvo al aplicar la rela de la potencia a los términos en derivación Reescritura r d Un cociente donde el denominador consta de un solo término en. r rn r rn a an a an a r k a n rn k, r k k k i, k constantes c c c c c Ejemplo d: Si, entonces se reescribe como una suma :, la cuál se siue simpliicando para que quede epresado de tal manera que posteriormente se use las relas del actor constante y el de la potencia. De esta orma obtenemos que puede ser epresado como: Aora podemos derivar con acilidad usando primero la rela de la suma. Reescritura e Un Producto se transorma en una suma al usar la propiedad distributiva. Ejemplo e:. Esta unción posteriormente puede interpretarse como un producto, pero conviene para derivar reescribir usando la propiedad distributiva, transormándose entonces en una suma. / / / / /. Esta última orma de reescribir es la que derivamos, aplicando la propiedad de la suma primero, lueo del actor constante y de la potencia después. De esta manera / / / /

14 / /. Derivamos los términos que se indican 9 / / Podemos dejar de esta orma la derivada pero también podemos sacar / epresar la derivada como / 9 8 / de actor común para Ejercicio de desarrollo: Encuentre las derivadas de las siuientes unciones, reescribiendolas previamente. a b Ejemplo.- Encuentre la pendiente de la recta tanente a la ráica de en a, b y c. Graique la curva y y las rectas tanentes en, y. Solución.- Para calcular la pendiente de la recta tanente se debe primero encontrar la derivada a En, la pendiente es b En, la pendiente es c En, la pendiente es Una manera de obtener la ecuación de una recta es usar la ecuación punto-pendiente: y y m. Para ello necesitamos un punto, por el cual pasa la recta y la pendiente m de la misma. y Si se necesita determinar la ecuación de la recta tanente a la ráica de una unción cuando entonces el punto es, y,. m Es claro que la pendiente es Ejemplo 6.- Encuentre la ecuación de la recta tanente a la ráica de en. Solución.- Se determina completamente el punto, Para determinar completamente el punto sobre la ráica evaluamos la unción en.

15 Enatizamos aora que queremos la recta tanente a la ráica de en el punto,. Se determina la pendiente de la recta tanente. Para calcular la pendiente de la recta tanente se debe primero encontrar la derivada y lueo evaluar esta derivada en. Antes de derivar consideramos reescribir la unción. Eectivamente la unción se puede reescribir como: la cual es la que derivamos usando primero la rela de la suma. obteniendo Al evaluar esta última en tenemos m. Recuerde evaluar para obtener la pendiente Se determina la ecuación de la recta tanente, usando la orma punto-pendiente y y m Se sustituye los valores y Simpliicando y manipulando obtenemos una ecuación eneral de la recta y 9. Ejemplo 7.- Encuentre los puntos sobre la ráica de 9 tales que la recta tanente es orizontal. Solución.- Recordemos que una recta orizontal tiene pendiente. Entonces como la derivada evaluada en es la pendiente de la recta tanente a la ráica de en dico punto, debemos ubicar los valores de donde la derivada se ace. Planteamos entonces la ecuación y la resolvemos. Derivamos primero 6 9. Aora se plantea 6 9. Esto es una ecuación cuadrática cuyas soluciones son y. Evaluamos estos puntos en la unción para así obtener los puntos sobre la ráica en que las rectas tanentes son Se concluye que,-7 y -,- son los puntos sobre la ráica donde la recta tanente a la curva en dicos puntos son orizontales.

16 6 RAZON DE CAMBIO PORCENTUAL La razón de cambio nos da una medida de cómo cambia una manitud rente a otra. Pero este cambio depende de la situación en que estemos. No es lo mismo que en un año una población cambie en. abitantes si la población es de.. que si es de.. La razón de cambio porcentual para una cantidad C permite calibrar mejor estas situaciones, la cual es deinida por: El cambio porcentual para la población de.. es de %. El cambio porcentual para la población de. es de %. La razón de cambio porcentual es conocida también como la tasa de cambio porcentual. Cuando sabemos que ay crecimiento ablamos de razón tasa de crecimiento porcentual de la cantidad. La C cantidad también es usada para comparar la razón de cambio de una cantidad con respecto a ella C C misma, es conocida como la razón de cambio relativo y toma valores entre - y. C Ejemplo.- El PIB de cierto país es aproimado por la unción N t t t mil millones de UM t años después del. a Estime la razón de cambio al comienzo del ; b Estime la razón de cambio porcentual del PIB al comienzo del Solución: a Como an pasado años después del se tiene que calcular N. Primero se calcula la unción derivada N t t t t La razón de cambio para comienzos del es N 8 mil millones de UM por año. b La razón de cambio porcentual para el es estimada en N 8 N 6.9% por año. EJERCICIOS Encuentre la derivada de las siuientes unciones: 7. ;. 9 ;. ;. w w ;. ln ;.6 ;.7 ;.8 y 9 ;.9 w w w e ;. 8 y 67 ;. ;. ; 6 / /. ;. s s s ;. ; 6 q.6 ;.7 C q ;.8 C q ; q q

17 7.9 ;. ;. ;. s s s ;. s s s ;. ;. s s s s ;.6 ;.7 6 Respuestas:. 7 ;. 8 ;.;. ;. ln;.6 ;.7 ;.8 ; / / 6.9 9w w ;. 6 ;.-;. ;. ;. s s ;. 8 9 ;.6 q ;.7 ;.8 ;.9 ;. q q ;. / ;. 6s ;.s ;. ; / s. s ;.6 ;.7 Para cada una de las siuientes curvas encuentre la pendiente de la recta tanente en. Graicar la curva y la recta tanente en a y ; ; b y. Encuentre la recta tanente a la curva en el punto dado. y 6 ; -;. y ; -;. y ; Para cada una de las siuientes unciones encuentre los puntos en los cuales la recta tanente a la ráica de la unción en esos puntos es orizontal.. F ;. G ;.* H 8 ;.* K * la ecuación que se plantea se resuelve por Ruini o actorizando directamente por productos notables * Encuentre la ecuación de la recta tanente a la ráica de la unción F 8 que es paralela a la recta y. * plantear F, por qué? consia la solución de la ecuación, orme la recta con pendiente F y que pasa por el punto, F, justiique el procedimiento 6* Encuentre la ecuación de la recta tanente a la ráica de la unción F 6 que es paralela a la recta y 6. * Imite el ejercicio anterior, puede eistir más de una solución 7* Encuentre la ecuación de la recta tanente a la ráica de la unción F que es paralela a la recta y 6.

18 8 Respuestas: PROBLEMAS EN CIENCIAS SOCIALES. y. y ;. 7 6.,- ;.,,,;. 7, 6 ;.,,, y, y 9 ; 6 y ; y 6 ; 7 No eiste Se proyecta que dentro de meses, la población de cierto pueblo será de P a A qué razón cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses? b A qué razón porcentual cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses? Respuesta: a personas por mes, b.9% PROBLEMAS EN ECONOMÍA El PIB de un país t años después del de enero del es aproimado por N t t 8t 7 mil millones de UM. a Estime la tasa de cambio al comienzo del 7 b Estime la tasa de cambio porcentual del PIB al comienzo del 7 Respuesta: a miles de millones por año, b 7.87% Las anancias trimestrales de la compañía EME depende de la cantidad en miles de UM invertida en publicidad dada por la siuiente relación. P 7 miles de UM Cuál es la razón de cambio de las anancias trimestrales si se invierten UM en publicidad? Respuesta: 99/ miles de UM Un nuevo artículo a sido introducido al mercado. Se espera que la demanda del artículo sea de / q.t.t unidades al cabo de t meses. A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual dentro de 9 meses? Respuesta:. % Se a decidido establecer el precio de la asolina por mes de acuerdo a la siuiente ormula / p.t.8t UM contados a partir del próimo mes. A qué razón porcentual cambiará el precio de la asolina un mes después de implementado el plan tariario? meses después? 9 meses? Respuesta:.7%;.%;.%

19 9 ANÁLISIS MARGINAL En economía el concepto marinal se reiere al cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra. Esto es la derivada de una cantidad con respecto a otra. Daremos a continuación el concepto y la interpretación de varias cantidades marinales de uso recuente en economía. COSTO MARGINAL Sea q C el costo total de producir q unidades de un determinado artículo. Aún cuando en la mayoría de los casos q es un número entero, en la teoría y en la práctica es conveniente considerar el dominio de C un intervalo de R. En economía se está interesado como los costos cambian cuando ay incrementos en la producción. La derivada puede ayudar a analizar estos cambios de una manera rápida. La derivada del costo total, C q, se llama costo marinal Costo marinal C q En eneral se interpreta el costo marinal, C q, como el costo aproimado de producir la unidad q. Veamos la justiicación. Recuerde que el costo de las primeras q es C q. Así que El costo eacto de la unidad q C q C q C q C q Esta última epresión es una aproimación de la derivada con Así pues Veamos los siuientes ejemplos. C q C q C q C q costo de producir la unidad adicional q Ejemplo.- La unción de costo total por producir y vender q artículos está dada por: C q.q.q en UM. a Encuentre la unción de costo marinal. b Encuentre el costo marinal en q c Interprete sus resultados. Solución: a Para conseuir la unción de costo marinal derivamos la unción de costo total. C q.q.q C q.q.q C q.q.um b El costo marinal en q está dado por C...8 UM c El costo de producir la unidad es aproimadamente.8 UM

20 El lector debe darse cuenta lo tedioso que ubiese sido calcular el costo de la unidad de una manera eacta. En el siuiente ejemplo aremos el cálculo aproimado y eacto pero antes recordemos el siuiente concepto. Si Cq es el costo total de producir q artículos, el costo promedio por artículo se deine como C q C q q En el ejemplo anterior el costo promedio por artículo está dado por C q.q.q q.q. q El lector puede veriicar que C. 89, lo cual representa el costo de cada artículo en promedio cuando se producen artículos. Este valor es muy distinto al costo marinal en que representa aproimadamente el costo de producir la unidad. Podemos ver entonces que el costo promedio y el costo marinal son dos conceptos distintos pero relacionados. Usando los dos conceptos, podemos decir en nuestro ejemplo que los primeros artículos cuestan.89um en promedio y abricar uno más le costaría tan sólo.8um. Ejemplo.- La unción de costo promedio de un producto está dada por C q.q q a Encuentre la unción de costo marinal. b Encuentre el costo marinal cuando q y cuando q 6 c Encuentre el costo de producir la unidad. d Interprete los resultados Solución: Recuerde que el costo marinal es la derivada del costo total. Así que debemos conseuir la unción de costo total primero despejándola en la ecuación C q C q q C q q C q C q q.q q Se distribuye a in de obtener una epresión más sencilla para derivar C q.q q q q C q.q q a Derivamos la unción costo total recién obtenida C q.q q C q.q b El costo marinal cuando q está dado por C. 8 El costo marinal cuando q 6 está dado por C 6. 6 c Recordemos que el costo eacto de la unidad q es iual a C q C q. Así

21 El costo eacto de la unidad C C C C.. C C. 8. UM d C 8 se interpreta como el costo aproimado de producir la unidad. Eectivamente este costo está bastante cercano al costo eacto de la unidad que es 8.. C 6 es el costo aproimado de producir la unidad 6 si se decide aumentar la producción de 6 a 6 unidades. También podemos decir que los costos totales aumentarían aproimadamente en UM si se decide abricar una unidad adicional Comentarios.- El costo de la unidad adicional depende del nivel de producción. Alunos autores preieren interpretar C q como el aumento aproimado en los costos si se decide aumentar la producción en una unidad. Por qué? INGRESO Y UTILIDAD MARGINAL Podemos acer un análisis similar para la unción inreso y utilidad total. Sea I q la unción inreso total por producir y vender q productos. El inreso marinal se deine como la derivada del inreso total: Inreso marinal I q y se suele interpretar como el inreso por producir y vender la unidad adicional q cuando el nivel de producción es q. Ejemplo.- La ecuación de demanda de un artículo está dada por p q. Encuentre la unción inreso marinal Solución: Tenemos que conseuir la unción de inreso. Recuerde que I q pq Así I q q q Reescribimos antes de derivar, distribuyendo solo la variable I q q q Derivamos, usando primero la rela del actor constante I q q q Podemos ver inalmente, usando la rela de la dierencia que el inreso marinal está dado por I q q Recordemos: Sea U q la unción utilidad total por producir y vender q productos. Recuerde que la utilidad es la dierencia entre el inreso y el costo, esto es U q I q C q

22 La utilidad marinal se deine como la derivada de la utilidad total: Utilidad marinal U q y se suele interpretar como la utilidad por producir y vender una unidad adicional cuando el nivel de producción está en q. Ejemplo.- Un comerciante estima que su inreso mensual por la venta de un artículo sea I q q.q, para q. Si el costo de adquisición es de UM por cada artículo. a Encuentre la unción de utilidad marinal b Cuál es el nivel de adquisición y venta en que la utilidad marinal es? c Interprete el resultado anterior. Solución: a La unción de utilidad marinal es la derivada de la unción utilidad total. Debemos conseuir primero U q mediante la relación U q I q C q La unción costo total está dada por C q q De esta manera U q q.q q Simpliicando se obtiene U q q.q La utilidad marinal es la derivada de U q U q q.q.q. b Para calcular el nivel en que la utilidad marinal es debemos plantear U q.q Resolviendo, obtenemos q El nivel de adquisición y ventas en que la utilidad marinal es es artículos. c Esto se puede interpretar como: La utilidad dejada por la adquisición y venta de una unidad por encima de es aproimadamente. La neociación de una unidad etra en este nivel de comercialización no aportaría anancia ni perdida al neocio. PROPENSION MARGINAL AL AHORRO Y AL CONSUMO. Pensemos primero estos conceptos a nivel de un individuo. Si una persona tiene un inreso mensual variable de I, una cantidad C la consume en bienes y servicios y otra S la aorra. Es decir I C S. Es claro que los porcentajes de lo que aorra y lo que consume depende del nivel de inreso. Es probable que un individuo cuando reciba muy poco prácticamente lo aste todo y en cambio si recibe una ran cantidad aorre una parte. Así pues podemos pensar que el consume C es una unción del inreso. Podemos etrapolar estos conceptos a nivel de una nación. Sea I el inreso nacional disponible en miles de millones de UM. La unción de consumo nacional, C I, es la cantidad de dinero del inreso que se consume La unción de consumo nacional, S I, es la cantidad de dinero del inreso que se aorra.

23 Deinición.- Se llama propensión o tendencia marinal al consumo a la derivada de C con respecto a I: dc C I propensión o tendencia marinal al consumo di La propensión tendencia marinal al aorro se la deine como la derivada de S con respecto a I: ds S I propensión o tendencia marinal al aorro. di Podemos ver que a nivel del inreso nacional la relación I C I S I se cumple. Al derivar ambos lados queda di di dc di ds di dc di Así que las dos propensiones marinales suman. Frente a un pequeño incremento de inreso nacional, podemos interpretar las propensiones marinales como las proporciones de ese incremento que se aorran o se consume. I I Ejemplo.- Supona que la unción de consumo de un país está dado por C I 7 donde I y C vienen dadas en miles de millones de UM a Encuentre las propensiones marinales al consumo y al aorro cuando el inreso nacional es de 9 mil millones de UM. b Interprete sus resultados Solución: a Se calcula la propensión marinal al consumo. dc di I I C I 7 I I / I / I Para calcular la propensión marinal al aorro nos valemos de la ormula dc di ds di 7 ds di ds dc di di Se procede aora a evaluar las propensiones marinales en I 9 dc 7 C 9 di I 9 9 ds dc 7 8 di di

24 b Para un nivel de inreso nacional de 9 mil millones de UM, si ay un aumento en un millardo de 7 unidades monetarias, aproimadamente el 6.6% de ese aumento se consume y el.% se aorra. Es decir 66,6 millones se consumen y, millones se aorran aproimadamente. PROBLEMAS DE ANÁLISIS MARGINAL q Sea C q el costo total por producir q artículos. a Encuentre la unción de costo q marinal. b Cuál es el costo marinal para q? c Interprete sus resultados. q Respuesta: a C q ; b.8um. q Si C.q q 8 representa el costo total de producir q unidades de un producto. a Encuentre la unción de costo marinal. b Cuál es el costo marinal para q? c Cuál es el costo real por producir la unidad? Respuesta: a c q.q ; b c. ; c c c. Si c q es la unción costo promedio de producir q unidades de un producto. a q Encuentre la unción de costo marinal. b Cuál es el costo marinal para q? c Interprete sus resultados. Respuesta: a c q ; b c La unción de inreso total viene dada por I q.q. a Encuentre la unción de inreso marinal; b El inreso marinal para q ; c el inreso marinal para q; d Interprete sus resultados. Respuesta: a I q. 8q ; b UM; c UM Si la ecuación de demanda es p q, calcule el inreso marinal. Respuesta I q q 6 El costo total de un abricante es C q.q.q q UM, donde q es el número de unidades producidas. a Utilice el análisis marinal para estimar el costo de abricación de la cuarta unidad b Calcule el costo real de abricar la cuarta unidad. Respuesta: a 99,7; b, 7 El inreso total mensual de un abricante es I q q.q UM cuando produce y se venden q unidades al mes. En la actualidad, el abricante produce 8 unidades mensuales y planea aumentar la producción en una unidad. a Utilice el análisis marinal para estimar el inreso adicional que enerará la producción y venta de la unidad 8. b Utilice la unción inreso para calcular el inreso adicional real que enerará la producción y venta de la unidad 8. Respuesta: a 8; b 8. 8 La ecuación de demanda de un artículo es p q.a Determinar la unción de inreso marinal b El inreso marinal cuando q c Cuál es el inreso real por vender la unidad? Respuestas: a p q b 9UM; c 89.7UM

25 9 La ecuación de demanda de un tipo de reloj es q p 8.a Determinar la unción de inreso marinal. b Si la unción de costo total por la producción de q q relojes es C q, calcule la q q utilidad marinal. Respuestas: a ; b 6 q La ecuación de demanda de un producto es q q p 8. a Determinar la unción de inreso marinal. b Si la unción costo total por la producción de q q productos es C q, calcule la utilidad marinal. Respuestas: a 8.q.q ; b 8.q.q I 8 I La unción de consumo de cierta nación está dada por C I UM. Encuentre la propensión marinal al consumo y al aorro cuando I 6 UM. Interprete sus resultados. Respuesta: /8; /8 La producción semanal de una abrica depende del número de obreros en la planta y está dada por P 6. Si la abrica cuenta en este momento con obreros, a use derivadas para estimar el cambio de la producción si se contrata un obrero más b Haa el calculo eacto. Respuesta: a 8; b 78 unidades La ecuación de demanda de un producto está dada por p q 7 Si la unción de costo está dada por C q q. a Calcule la utilidad marinal cuando se producen y se venden unidades. b Interprete sus resultados. Respuesta: a 8UM Un kiosco de comida rápida prepara amburuesas a un costo de UM cada una. Las amburuesas se an vendido a UM cada uno y a ese precio, los consumidores an comprado al mes. El dueño planea incrementar el precio de las amburuesas y estima que por cada UM de aumento en el precio se venderán amburuesas menos. Calcule la utilidad marinal en unción del número de amburuesas vendidas, suponiendo que la ecuación de demanda es lineal. Respuesta: q Un distribuidor vende lavadoras al mes si el precio es de UM cada una y estima que por cada incremento de UM las ventas bajarán en lavadoras. Si el costo de adquisición de cada lavadora es de UM. Supona que la ecuación de demanda es lineal. Calcule la unción utilidad marinal en unción del número de lavadoras adicionales a las. Respuesta: q 6* Se estima que un imnasio tiene clientes cuando la cuota es de UM y si sube el precio a el número de clientes se reduce a. Supona que eiste una relación lineal entre el número de clientes y la cuota mensual. a Determine la unción de inreso. b Determine el inreso marinal. Respuestas: a I q q ; b I q 7* El calendario ecolóico es vendido a UM., a ese precio se compran. ejemplares. Se a estimado que si el precio aumenta a UM se venderán. unidades. El costo de producción de q unidades está dado por C q q. Suponiendo que ay una relación lineal entre el precio y la demanda de calendarios. a Encuentre la utilidad marinal. b Calcule la demanda q para la cual la utilidad marinal es cero. c Calcule el precio p para esta demanda. d Calcule la utilidad en p, p y p *para calcular la ecuación de demanda use la ecuación pto-pendiente, calculando previamente la pendiente Respuestas: a q U ; b q. ; c p ; d U 9., U 99.8, U 6 9. UM

26 6 REGLAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE La unción la podemos derivar usando las ideas de la sección pasada, podemos reescribir la unción aplicando la propiedad distributiva y lueo sumar términos semejantes. Sin embaro, tal como está se puede interpretar como el producto de dos unciones y y para derivar se usa entonces la rela del producto que a continuación se enuncia. Rela del producto: Sean y unciones derivables en, entonces también es derivable en y. La derivada de un productote dos unciones es la derivada de la primera por la seunda sin derivar más la primera por la derivada de la seunda Al inal de esta sección daremos de prueba de esta rela. Ejemplo.- Encuentre la derivada de la siuiente unción Solución: Aplicamos la rela del producto a la unción, interpretando a como el producto de las unciones y. Así / 6 Aplicando la propiedad distributiva y arupando términos semejantes tenemos / / / 6 6. Observe que se deja la derivada indicada y se deriva en la siuiente línea Ejercicio de desarrollo: Encuentre las derivadas de las siuientes unciones a ; b La demostración de la rela del producto se ace al inal de esta sección. Otra rela que vamos a necesitar es la derivada de un cociente que a continuación presentamos Rela del Cociente: Sean y unciones derivables en y, entonces / es derivable en y.

27 La rela de cociente es un poco más complicada que las anteriores. Pero observe como al escribirla se a puesto cierta semejanza con la rela del producto, ecepto el sino menos en el numerador y que contiene un denominador iual al denominador de la unción a derivar al cuadrado. Ejemplo.- Encuentre la derivada de la unción Solución: Aplicamos la rela del cociente interpretando a como el cociente de la unción entre. Así Arupando términos semejantes inalmente obtenemos: 8 Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada de a ; b Comentario: Le recordamos que en este último ejercicio es conveniente reescribir la unción como: para lueo aplicar la rela del actor constante. Resulta más laro aplicar la rela del cociente. Más adelante se presentarán las ormas k que conviene escribirlas como k para emplear otra rela distinta a la rela del cociente, la cual resulta más laboriosa. Ejemplo.- Encuentre la ecuación de la recta tanente a la curva y en el punto donde Solución : 7 Se aplica la propiedad distributiva. En el seundo termino distribuimos el. Observe la necesidad de mantener el paréntesis. Se distribuye el menos. La derivada la calculamos en varios pasos dejando indicada alunas derivaciones para analizarla y derivarla en las líneas siuientes. En ambas derivadas se aplica la propiedad de la suma y de la potencia

28 8 Se determina completamente el punto sobre la ráica evaluando la unción en. y 8 Remarcamos que queremos la recta tanente a la ráica de en el punto,. Para determinar la pendiente se calcula y y lueo se evalúa en Usamos la rela del producto para conseuir la derivada y y Podemos simpliicar este resultado, pero preerimos evaluar de una vez y y Esto es m ta. Finalmente para calcular la recta tanente usamos la ecuación punto pendiente y y m y Llevándolo a la orma pendiente-ordenada en orien tenemos que la recta tanente en el punto, es: y APLICACIONES Ejemplo.- El obierno va implementar unas medidas para disminuir el porcentaje de desempleo en el país. Él prevee que el impacto de sus medidas se verá relejado en el siuiente modelo.t.t.7 P t t. donde P es el porcentaje de desempleados en el tiempo t, medidos en años. a Encuentre la unción que modela la tasa de cambio instantáneo del porcentaje de desocupados una vez que se apliquen las medidas. b Estime la tasa de cambio instantáneo a los meses, 6 meses, año y años. Solución : La tasa de cambio instantáneo no es otra cosa que la primera derivada. Así que la calculamos usando la rela del cociente previamente sacamos uera de la derivada.t.t.7 P t t..t. t P t.t P t t...t t.t...t Para medir la tasa de cambio a los tres meses, evaluamos en t / la primera derivada:.7t

29 9.... P.,8% P. 9,6%..... P.,68%.. P...% EJERCICIOS Derive las siuientes unciones. ;. ;. s s s s ;. ;. s s s s ;.6 ; q.7 ;.8 C q ; q q q.9 C q ;. C q q ; q q t t. t ;. ; t s s 6. ;. s ; s s. / s s s s ;.6 ;.7 ;.8 ; a Utilice la rela del cociente para derivar la unción b Reescriba la unción como y derívela como un producto. c Rescriba la unción como y derívela como una suma. d Demuestre que todas las respuestas son iuales. a Utilice la rela del cociente para derivar la unción b Reescriba la unción como un producto y derívela usando la rela del producto. c Reescriba la unción como una suma y derívela usando la rela de la suma. no use la rela del cociente ni del producto d Demuestre que todas las respuestas son iuales. Encuentre la ecuación de la recta tanente a la curva y en el punto donde. Encuentre la ecuación de la recta tanente a la curva y en el punto donde.

30 6* Encuentre los puntos en los cuales la recta tanente a la ráica de la unción orizontal. es Respuestas:. ;. ;. s 9s 6s ;. 8 ;. q 8q s s ;.6 ; ;.8 ;.9 s q ;. q q q t 6t ;. ;. ;. / q q ;. t s. s / 8/s / ;.6 ;.7 ; ; 6 y 78 ; y ; 6, 6 6 ; s PROBLEMAS EN ECONOMÍA Encuentre la unción inreso marinal cuando I q.q. Encuentre el inreso marinal para q. Interprete sus resultados. Respuesta: I 6. q ; I`6 q 7 p representa la ecuación de demanda para cierto artículo donde p denota el precio por q unidad cuando se demanda q unidades. Encuentre la unción de inreso marinal. q q 7 Respuesta: I q El Producto Nacional Bruto de cierto país crece con el tiempo de acuerdo con PNBt t t. La población al tiempo t es Pt.t t millones de abitantes. Calcule la razón de cambio del PNB t inreso per capita en el instante t. El inreso per capita se deine como el Producto P t Nacional Bruto dividido entre el tamaño de la población. Respuesta:.99 Se espera que la venta de un nuevo equipo de sonido sia el siuiente comportamiento con respecto al t número de meses lueo que se a lanzado al mercado S t miles de equipos al mes. t a Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los meses. b Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 6 meses. c Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 9 meses. d Interprete sus resultados. Respuesta: a.8; b-.8; c -.; d A los diez meses se venderán aproimadamente equipos menos que en el mes anterior. p La ecuación de demanda de cierto artículo es q. Determinar la razón de cambio de la p demanda con respecto al precio. a Calcule esta razón de cambio para p. b Interprete sus resultados. Respuesta: a, b Si el precio aumenta en UM, es decir cuando pasa a 6UM, entonces la demanda disminuye en aproimadamente unidades 6 Las ventas de un artículo V depende de la inversión que se aa en publicidad mediante la relación V, donde está epresado en miles de UM y V en miles de unidades. a Encuentre la razón de cambio promedio de las ventas con respecto a la inversión en publicidad cuando ; b Interprete sus resultados. c* Su interpretación se basa en acer una estimación, aa el

31 calculo eacto. Respuesta: a unidades, b Si la inversión aumenta en un UM, es decir aora se asta 6 UM en publicidad, las ventas aumenta en unidades aproimadamente; c 7,7 7 Sea 6 I I I I I C la unción de consumo de cierto país, donde I y C vienen dadas en miles de millones de UM.. Encuentre la propensión marinal al consumo y al aorro cuando el inreso es de 6 miles de millones de UM. Interprete su resultado. Respuesta.868; Para un nivel de inreso nacional de 6 mil millones de UM, si ay un incremento del inreso de la nación de mil millones de unidades monetarias, aproimadamente el 86.8% de ese aumento se consume y el resto se aorra 8 Sea 6 I I I I S la unción de aorro de cierto país. a Encuentre la propensión marinal al consumo y al aorro cuando I. b Interprete sus resultados. Respuesta: 89. C ;. S 9 El inreso total por la venta de q artículos está dada por. q q q q I. Encuentre el inreso marinal cuando se venden artículos. b Interprete sus resultados. Respuesta: UM En ciertos terrenos se estima que si se plantan matas de manos por ectárea se obtendrá un valor de la coseca por árbol de UM en su edad adulta. Se estima que por cada árbol que se siembre de más ará que el valor promedio por árbol disminuya en UM. Determine la unción de inreso marinal en unción del número de árboles adicionales sembrados después de. Respuesta: 8 q Demostración de la Rela del Producto: Planteamos la derivada de la unción por deinición: lim lim Se suma y resta lim Límite de una suma lim lim Se reescribe lim lim Límite del producto lim lim lim lim Se usa deinición de derivada

32 REGLA DE LA CADENA Hasta aora unciones como no tenemos una rela para derivarla: no es una suma, producto o cociente. La rela de la cadena es usada para derivar unciones compuesta. La unción la interpretamos como una composición. Si deinimos y, entonces Rela de la cadena Teorema.- Sean y dos unciones tales que es dierenciable en y es dierenciable en, entonces es dierenciable en y La orma de decir la rela de la cadena en la práctica es: La derivada de una composición es la derivada de la unción eterna,, evaluada en la interna por la derivada de la interna. como En la notación de Leibniz si consideramos u, la rela de la cadena queda epresada dy d dy du du d Ejemplo.- Encuentre la derivada de Solución: Se deine la unción interna como u y la eterna como Entonces y du 6 y u u d Aplicando la rela de la cadena se obtiene u u. Funciones como la del ejemplo anterior o como son de la orma, en este último caso con r /. Para derivar esta orma podemos usar directamente la siuiente: REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA: r r r r

33 Demostración: Si deinimos la eterna como y du y d Aplicando la rela de la cadena se obtiene r u u y simplemente u r u ru. Entonces r r Ejemplo.- Encuentre la derivada de las siuientes unciones: a b Solución: a Reescribimos / y aplicamos la rela de la cadena eneralizada con / r c Reescribimos r r : y aplicamos la rela del actor constante A la parte que queda por derivar se le aplica la rela de la potencia r eneralizada r con r y Comentario. En este último ejemplo se reescribió como. Este procedimiento resulta útil si el numerador es numérico, pero en el caso que contena la variable es preerible considerarlo como un cociente. Ejemplo.- Encuentre la derivada de las siuientes unciones a y ; b Solución:. a La unción y es de la orma eneralizada. r y r r. Así que aplicamos la rela de la potencia y La parte que queda por derivar es un cociente

34 y y y Aplicando propiedades de eponentes podemos epresar la derivada como y c La unción producto: es un producto, para derivar aplicamos entonces la rela del. r Las partes a derivar tienen la orma, así que usamos la rela de la potencia eneralizada:. En vez de desarrollar las potencias, multiplicar y arupar términos semejantes, se va a presentar el resultado actorizado, esto será conveniente posteriormente para conseuir las raíces de la primera derivada. Para actorizar sacamos actor común:. Así Se distribuye el y 6 Se arupan términos semejantes 6 6 Ejercicio de desarrollo Encuentre la derivada de las siuientes unciones: a y ; b ; c La rela de la cadena también es usada en la siuiente orma: En ocasiones tenemos una variable y que depende de una variable u y u a su vez es unción de la variable. Es claro que y es una unción de al realizar la composición. Se quiere conseuir dy sin realizar la composición de unciones, sino a través de la rela de la cadena: d dy dy du. d du d

35 dy Ejemplo.- Sean y u y u. Encontrar d Solución: Usando la rela de la cadena tenemos: dy d dy d dy d dy du du d u. Sustituyen u por obtenemos inalmente APLICACION Ejemplo.- Un estudio ambiental revela que el nivel medio de monóido de carbono será aproimadamente de c p. p 7 partes por millón cuando la población es de p miles de abitantes. Se a modelado que la población de la comunidad será de p t, donde t es t medido en años A qué razón cambiará el nivel de monóido de carbono respecto al tiempo dentro de años? dc Solución: Se pide en t. Calculamos la derivada usando la rela de la cadena para este caso, dt observe que c es unción de p y p de t, así: dc dt dc dt Calculamos dc dp dc dt dp dt...p 7 t t usando la ormula anterior. Para ello debemos determinar el valor de p cuando t p 99,. De esta manera dc dt. t dc dt t. partes por millón por año. Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siuientes unciones indique los pasos que usted aría para conseuir la derivada. Ejemplo:. Se reescribe la raíz. El sale auera de la derivación por la rela del actor constante. Se aplica la rela de la potencia eneralizada una suma a ; b z z ; c /. La derivada interna se deriva como ;

36 6 d ; e ; ; y ; t ; i t ; t t j y ; k t ; l y t EJERCICIOS Derive las siuientes unciones. 6 y ;. ;. ;. y ;. y ;.6 y ;.7 ;.8 ;.9 t t ;. ;. y ;. t ;. t z z z ;. ;..6 ;.7 t t t ;.8 ; ;.9 y ;. ;. ;. y ;. ;. ;. ;.6 ;.7 y ;.8 z z z ;.9 t t t Encuentre la ecuación de la recta tanente a la ráica de cuando Respuestas:. ;. 7. ;..8 ;.9 ;. t 8 ;. ; ;.6 ;.7 ; 9 ;. ;. ;. t ;. ;. ; 6 z tt ;.7 ;.8 ;.9 t 6. ;. 6 6 ;. ;. ; ;

37 ;. ;.6 ;.7 z ;.8 ;.9 z t ; y 8 6 t t PROBLEMAS DE ECONOMÍA Se a estimado que el consumo de asolina en cierta ciudad dependerá de los abitantes que tena y está dado por c p p. Si el tamaño de la población se estima en p t t miles. dc p A qué razón de cambiará el consumo de asolina con respecto al tiempo? Respuesta: dt t donde p t t La ecuación de demanda de cierto artículo es p. Determinar la razón de cambio del precio q con respecto a la demanda. a Calcule esta razón de cambio para q9. b Interprete sus resultados. Respuesta: Demanda marinal La ecuación de demanda de un artículo está dada por q p. Determinar la demanda marinal para un precio de p. Interprete sus resultados. Se deine como demanda marinal a dq dp Respuesta: 9 Sea C I.I I 6 la unción de consumo de cierto país, donde I y C vienen dadas en miles de millones de UM. a Encuentre la propensión marinal al consumo y al aorro cuando I. b Interprete sus resultados. Respuesta.78 La unción de inreso por la venta de cierto artículo está dada por I q, donde q está dado en miles de unidades y el inreso en miles de UM. Determine el inreso marinal cuando el nivel de ventas es de unidades. Interprete sus resultados. Respuesta: 6.UM PROBLEMAS EN CIENCIAS SOCIALES Demoraía Para una población de. abitantes el número de personas que se estiman vivirán más de años está modelado por E.. Calcule la razón de cambio de E con respecto a cuando? Respuesta: -7

38 8 DERIVADAS DE FUNCIONES ESPECIALES A continuación presentamos la derivada de unciones de uso recuente. ln e e Podemos obtener por deinición la derivada del loaritmo neperiano, aciendo uso del límite notable lim / e. Tenemos entonces por deinición de límite que d ln ln ln ln lim lim ln d lim Usando continuidad de la unción loaritmo tenemos que d ln d ln lim / ln lim e ln / ln e. Próimamente deduciremos la derivada de e ln lim lim ln / ln lim z z Observación: La órmula para la derivada del loaritmo es en base e, lueo se dará la órmula para cualquier base. Un comentario similar ay con respecto a la unción eponencial. z / Ejemplo.- Encontrar la derivada de las siuientes unciones: a y ln ; b y e ; c y ln Solución: a Aplicando la rela del actor constante queda y ln ln bse aplica la rela de producto y e e e e Finalmente podemos epresar el resultado de la derivada en orma actorizada y e c Se reescribe primero y y ln / ln ln y ln / ln ln, se aplica la rela de la potencia eneralizada / Reescribiendo esta última epresión obtenemos Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siuientes unciones: e a y ln b y c y e

39 9 FORMAS FRECUENTES DE FUNCIONES ESPECIALES: Las unciones especiales recuentemente vienen dadas con un arumento distinto a simplemente la variable. Esta situación la podemos escribir en cada caso como: ln y e,. Todas ellas pueden ser epresadas como una composición donde la unción interna es u. Para obtener la derivada de cada una de estas ormas se usa la rela de la cadena. Las unciones eternas son respectivamente: ln, e. La unción interna es en todos los casos: u. Aplicando a cada caso la rela de la cadena:. Ejemplo.- Encontrar la derivada de las siuientes unciones: a ln y b y e ; c y π e. Solución a La unción es de la orma ln. Remarcamos que la unción eterna es ln y la interna. Aplicamos entonces la rela de la cadena: ln y ln e e No se olvide de la derivada interna b La unción es de la orma e e e e y. La unción eterna es e y la interna c Para derivar y y y y π e π π e e e π e e y y e π e e π usamos primero la rela del actor constante Se aplica entonces la rela del producto. Aora queda por derivar e que tiene la orma Al derivar y reordenar la epresión queda Se saca e de actor común e

40 Reescritura Cuando tenemos un loaritmo de un producto, cociente o potencia podemos usar las propiedades del loaritmo para reescribir la unción de tal manera que resulte más ácil y rápido de derivar. Ejemplo.- Encontrar la derivada de la siuiente unción y ln[ ] Solución: Reescribimos la unción usando primero la propiedad del producto y lueo la de la potencia: y ln ln y ln ln Esta última orma es la que derivamos, aplicando primero la derivada de la suma ln ln y y y y ln Se aplica rela de la cadena a ln y rela del actor constante al seundo término. Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siuientes unciones: a y ln b y e ; c y ln Ejemplo.- Encontrar la derivada de la siuiente unción: y ln Solución: / / Reescribimos la unción usando eponente raccionario y ln. Quedó escrita de la orma r, con / ln y r/. Se aplica la rela de la potencia eneralizada: / / / y ln ln Se reescribe la epresión a derivar / / y ln ln Se aplica la rela del actor constante / / ln y ln y ln ln Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siuientes unciones: a y ln b y e c y e e

41 A continuación deduciremos la derivada de la eponencial a partir de las derivadas de loaritmos Sea e, como el loaritmo es la unción inversa de la eponencial tenemos que ln Derivamos ambos miembros Finalmente al despejar obtenemos que, esto es e Finalmente emos concluido que e e FÓRMULAS PARA LAS DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES CON BASE DISTINTA A e. Para obtener una órmula para la derivada de y lo a nos basamos en la órmula de cambio de base ln lo a. ln a Así ln lo a ln ln a ln a ln a lo a ln a Esta órmula es epresada en manera coloquial como siue: La derivada de un loaritmo con base distinta a e es la derivada del loaritmo por un actor de corrección. En este caso el actor de corrección es ln a Para obtener una órmula para la derivada de y a, usamos el eco que el loaritmo es la unción inversa de la eponencial: ln a e a. Esta la escribimos como derivamos ln a a e ln a Usamos la rela del actor constante y ln a e, la cuál e ln a ln a Finalmente usamos ln a e a para obtenemos a a ln a Esta derivada es epresada como: La derivada de una unción eponencial con base distinta a e es la derivada de la eponencial por un actor de corrección. En este caso el actor de corrección es ln a

42 Ejemplo 6.- Encontrar la derivada de las siuientes unciones: a y lo b y lo ; c y Solución: a Se derivará usando la ormula lo a y lo ln ln ln Realizando la suma intermedia y los productos tenemos a Recuerde que si la base es distinta a e ay un actor de corrección en la derivada ln b Aplicamos la rela del producto dy d d d lo lo Se usa cambio de base en el seundo loaritmo. d d d ln lo En el seundo término aplicamos la rela del Factor Cte. d ln d lo ln ln d d lo ln d lo Sacamos de actor común en el denominador y simpliicamos. ln lo ln d Alternativamente para calcular lo pudimos usar la órmula d lo a ln a en vez de usar la órmula de cambio de base antes de derivar. c Alternativa.- Reescribimos la unción y como derivamos, la cual tiene la orma e dy d ln ln d e e ln d d d y ln ln e e. Esta última es la que

43 ln d / e ln De una vez usamos el eco que ln e d ln / Esta orma de la derivada la reescribimos usando propiedades de eponente y multiplicación de racciones. ln Alternativa.- Se usa la órmula: Directamente entonces obtenemos y ln y a ln a ln ln Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siuientes unciones: a y lo ; b y APLICACIONES t Ejemplo.- Un modelo de crecimiento de cierto país está dado por P t. millones de abitantes a partir de 999. A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo t años después? dp Solución: Debemos conseuir. La unción t P t. tiene orma eponencial dt t dp d.. Se aplica a ln a a, obteniendo dt dt dp dt ln... t Por tanto la población cambiará a una razón de año t. dp dt t ln.. millones de abitantes en el Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siuientes unciones indique los pasos que usted aría para conseuir la derivada. Considere reescribir. Ejemplo: ln. El sale auera de la derivación por la rela del actor constante. Se aplica la rela del producto, quedan dos términos en uno ay que derivar ln el cual tiene la orma del loaritmo de. La derivada interna se deriva como una suma a e ln ; b z e ; c ln ln ;

44 d ln ln ; e ln ; ln e ; y ln e ; ln ; i ; e ln j y ; k t e ln ; l y ; ln ln e m ln ; n ln e ; ñ y ; ln o y lo ; p ; q EJERCICIOS Encuentre la derivada de las siuientes unciones. y ln ;. ln ;. ln ; ln z. t t lnt ;. z ;.6 z z z ln z ;.7 ln s s ;.8 s ln ;.9 s s ln ; s. ln y ;. ln ;. ln y ;. y ln ;. y ln ln ;. y ln ln ;.6 ln ;.7. ln Encuentre la derivada de las siuientes unciones...7 y y e ;. y ln e ;. e ;.8 y y e ;. e y ;.6 ;.9 e y ; e y ; e y ;.. y ;. y e ;. y e e ; 9 y e ;. y ln e ;. y ; e Encuentre la derivada de las siuientes unciones. Considere reescribir ln. y ln e ;. y ;. y ; e e ln. e y ln e ;. e y ln ;.6 y ln ln ;.7 y ln ;.8 ln ln y e ;.9 y ln ln ; e e. y e ;. y ;. ln y e ;

45 ln. y ln e ;. y e ;. y ; e lo.6 y lo e ;.7 y ;.8 y lo Si ; encuentre Encuentre la ecuación de la recta tanente a la curva 6 Cierta cantidad crece seún la ley respecto a t. y e cuando ; kt e C t. Calcule la razón de cambio porcentual de C con t Respuestas:. ;. ln 6 t ;. ;. t 8ln t ;. t z z ln z z ln z z 8s ;.6 ;.7 z z z ln z ;.8 ;.9 s 8 s s ln 8 s s. ln / ;.. e ;. 6e ;. ;. ;. ln ;. ;.6 ln e ;.8 ln e ;.;. ln 7 8 ;. 6 ;.7 e e e ;.6 e ln ; ;.7 ;.9 ln ;. ln ;.;. e e 8 e ;. 8 e e. y e ;. e ;. ;. e e ; e ln ln e e. ln ;. ;. -:.6 6 ;.7 ln ln ; e e ln ln.8 e;.9 ;. / / e ;. e ln e ln ;. ; e e ln lo. ;.6 lo e ;.7 ;.8 e ln ln lo 7 ln ; y kt ; 6 e kt t PROBLEMAS DE CIENCIAS SOCIALES.t Un modelo de crecimiento de cierto país está dado por P t e millones de abitantes a partir de 999. a A qué razón cambiará la población respecto al tiempo 9? b Calcule la razón porcentual con que cambiará la población t años después de 999? Respuesta: a.96 millones por año; b.%. Un modelo de crecimiento poblacional de cierto país está dado por P t t r millones de abitantes a partir de 999. Encuentre la razón de cambio de P con respecto a t. Respuesta: r t ln r Una población crece de acuerdo al siuiente modelo loístico P t.t e

46 6 e Calcule la tasa de crecimiento de la población en el momento t. Respuesta: e.t.t PROBLEMAS DE ECONOMÍA Sea c el costo promedio de producir q unidades. a Encuentre la unción de costo ln q marinal. b Calcule el costo marinal para q. c Interprete sus resultados. q ln q q Respuesta: a C q b C. 8 q ln q Sea C ln q el costo total de producir q unidades de un producto. a Encuentre la unción de costo marinal. b Encuentre el costo marinal para q; c Interprete sus resultados. q Respuesta: a C q ; b C q Supona p representa la ecuación de la demanda de un determinado producto. Determine ln q a la unción de inreso marinal; b la unción inreso marinal para q; c Interprete sus resultados. q ln q q Respuestas: a I q ; b I. q ln q Sea q / e c q el costo promedio de producir q unidades. Encuentre la unción de costo q q / marinal y el costo marinal para q98. Respuestas: e ;.7.q Sea p e la ecuación de la demanda de un determinado artículo. Determine la unción de inreso marinal y la unción inreso marinal para q98. Interprete sus resultados. Respuesta: I qe -.q -.q; I 98-e q 6 Precio marinal La ecuación de demanda de cierto artículo es p e. a Determinar la unción de precio marinal. b Evalúe el precio marinal para un nivel de producción de unidades. c Interprete sus resultados Recuerde que el precio marinal es dp dq.respuesta: a.e -.q 7 Una máquina se deprecia t años después de su compra a un valor dado por Calcule la razón de cambio y la razón de cambio porcentual con respecto al tiempo..t Respuesta: D t e D t.t e..i 8 Sea S I.I.e la unción de aorro de cierto país. a Encuentre la propensión marinal al consumo y al aorro cuando I miles de millones. b Interprete sus resultados. Respuesta S.7 9 Un capital de 6UM se deposita en un banco a una tasa anual del 8% capitalizada continuamente. t Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo? Respuesta: 8e. 8 Un capital de UM se deposita en un banco a una tasa anual del 8% capitalizada anualmente. Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo? Por la venta de un artículo se obtiene una utilidad de U.M Se a decidido acer una campaña k publicitaria a in de aumentar las ventas. Si se invierte UM se estima que se venderán e artículos donde k,. Sea U la utilidad cuando se an invertido U.M. en publicidad. a Calcule du. b Evalúe esta derivada cuando se an invertido U.M. en publicidad. c Aora evalúe d cuando la inversión es de. U.M. d Intérprete sus resultados.

47 7 VERDADERO O FALSO. Dia si las siuientes proposiciones son verdaderas o alsas. Justiique.. La derivada se interpreta como la razón de cambio momentánea de y con respecto a. ln ;. no es derivable en ' e e. e ; e '. Si es derivable en un punto entonces es continua en ese punto /.6 Si es continua entonces es derivable.;.7 es derivable en su dominio. Para las siuientes airmaciones supona que y son dierenciables.8 ;.9 ln. ;.. La ecuación de la recta tanente a la curva y en el punto,8 es y 8. El Inreso de la unidad es estimado por el inreso marinal evaluado en. U U es la utilidad eacta por producir y vender la unidad. Respuestas:.Verdadera;. Falsa, la derivada vale cero porque es una constante;.falso, no es derivable en ;. Falsa, se debe aplicar correctamente la rela del cociente;.verdadera;.6falsa y es continua pero no derivable en ;.7Falso, no es derivable en ;.8 Verdadera, se aplica la rela de la dierencia y lueo la del actor constante;.9verdadera, se reescribe y se aplica la derivada ln, no ay que olvidar la derivada interna;. Verdadero, se aplica la rela del producto;. Falsa, ay que reescribir y aplicar la rela de la potencia eneralizada, queda ; I I. Falso, ay que evaluar la derivada en, la pendiente es.. Verdadera, I e I I es el inreso eacto de la unidad adicional a.. Verdadera, U es la utilidad por la producción y venta de las primeras unidades si se le quita la utilidad de las primeras se obtiene la utilidad de la unidad.

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