10 Figuras planas. Áreas

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1 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 355 igurs pns. Áres INTRODUCCIÓN Por e teorem de Pitágors, podemos ccur cuquier de os dos de un triánguo rectánguo en función de os otros. Se pnten probems reciondos con dicho teorem en os que interpretción gráfic de os mismos nos yud en su resoución. Continumos est unidd recordndo s uniddes de ongitud y superficie, y s conversiones entre es. Se hce tmbién mención s diferentes uniddes pr medir superficies grris. Los conceptos de perímetro de un poígono y áre de un figur se introducen previmente cácuo de s áres de os principes preogrmos y poígonos regures: triánguo, cudrdo, rectánguo, rombo, romboide, y poígonos de dos igues. Siendo conocid y por os umnos reción entre e perímetro o ongitud de circunferenci y su diámetro, procedemos ccur e áre de superficie que deimit, es decir, superficie de círcuo, que se introduce como un poígono de muchos dos igues, por o que su áre se h en función de perímetro y e rdio. Los ejempos gráficos y reciondos con vid re nos yudrán en resoución de probems. RESUMEN DE LA UNIDAD Teorem de Pitágors: en un triánguo rectánguo, hipotenus cudrdo es igu sum de os cudrdos de os ctetos. E metro es unidd princip de ongitud. E pso entre s uniddes de ongitud se efectú mutipicndo o dividiendo por. E metro cudrdo es unidd princip de superficie. Pr trnsformr s uniddes de superficie se mutipic o se divide por 0. E áre y hectáre son uniddes de superficie grris. E perímetro de un poígono es medid de su contorno. Pr ccuro summos todos sus dos. E áre de un figur es medid de su superficie. Ccumos s áres de os principes poígonos: triánguo, cudrdo, rectánguo, rombo, romboide y poígonos regures. L ongitud o perímetro de circunferenci es igu diámetro (dos veces e rdio) mutipicdo por e número π. E círcuo es superficie que ocup un circunferenci. E áre de un círcuo es igu π mutipicdo por e rdio cudrdo. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Comprender e teorem de Pitágors. Triánguo rectánguo. Áre de os cudrdos sobre os dos. Teorem de Pitágors: enuncido. Reconocimiento de os dos de un triánguo rectánguo. Apicción de teorem de Pitágors. Resoución de probems.. Conocer s uniddes de ongitud y superficie. Ccur perímetros. 3. Ccur e áre de os principes poígonos. Uniddes de ongitud y superficie. Mútipos y submútipos. Uniddes grris. Perímetro de un poígono. Áre de un figur. Áre de poígonos: rectánguo, cudrdo, rombo, romboide y triánguo. Áre de poígonos regures. Identificción de mgnitudes. Conversión de uniddes de ongitud y superficie. Resoución de probems. Cácuo de perímetros. Estimción de áres. Cácuo de áre de os principes preogrmos y poígonos regures. Resoución de probems. ADAPTACIÓN CURRICULAR 4. Ccur e áre y e perímetro de figurs circures. Circunferenci y círcuo. Reción entre ongitud de circunferenci y su diámetro. Número π. Áre de círcuo. Reción de ongitud de circunferenci y su diámetro. Cácuo de superficie de círcuo. Resoución de probems. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 355

2 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 356 OBJETIVO 1 COMPRENDER EL TEOREMA DE PITÁGORAS NOMBRE: CURSO: ECHA: TRIÁNGULO RECTÁNGULO Un triánguo rectánguo tiene un ánguo recto (90 ). Los dos que formn e ánguo recto se denominn ctetos, b y c. E do myor se m hipotenus,. Ejempos de triánguos rectánguos son escudr y e crtbón. b c CUADRADOS SOBRE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO A Sobre os dos de un triánguo rectánguo construimos cudrdos, como se ve en figur. B C L sum de s áres de os cudrdos construidos sobre os dos ctetos es igu áre de cudrdo construido sobre hipotenus. + = 1 Dibuj un triánguo rectánguo cuyos ctetos midn 3 cm y 4 cm. ) orm e ánguo recto con mbos ctetos y comprueb que mide 90º. b) Mide ongitud de do myor: hipotenus. c) Nombr sus eementos: ánguo recto y dos. Trz un digon sobre e siguiente rectánguo e indic. ) Qué poígonos se hn formdo? b) Nombr sus eementos. 356 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 357 TEOREMA DE PITÁGORAS Pitágors fue un científico de époc grieg, que enunció e teorem que ev su nombre y que firm: «En un triánguo rectánguo, hipotenus cudrdo es igu sum de os cudrdos de os ctetos». b = b + c Despejndo = b + c c Se pueden hr os vores de os ctetos en función de os otros vores: b = c Despejndo b = c c = b Despejndo c = b 3 Ccu e vor de hipotenus en os siguientes triánguos rectánguos. ) b) 4 cm 15 cm cm 8 cm 4 Obtén e vor de os ctetos que ftn en cd triánguo rectánguo. ) b) 13 cm 6 cm cm 1 cm 5 Un escer que mide 6 m se poy en un pred. Desde bse de escer pred hy un distnci de m. H tur mrcd en pred por escer. (En figur, distnci AC.) A 6 6 m B m C Pedro y Eis quieren sujetr con un cuerd un poste de m de tur un estc que está situd 3,5 m de bse de poste. Ccu ongitud de cuerd que necesitn. ADAPTACIÓN CURRICULAR m 3,5 m MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 357

4 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 358 OBJETIVO CONOCER LAS UNIDADES DE LONGITUD Y SUPERICIE. CALCULAR PERÍMETROS NOMBRE: CURSO: ECHA: UNIDADES DE LONGITUD E metro es unidd princip de ongitud. Abrevidmente se escribe m. Los mútipos (uniddes myores) y submútipos (uniddes menores) de metro son: MÚLTIPLOS DEL METRO UNIDAD PRINCIPAL SUBMÚLTIPLOS DEL METRO.000 m miriámetro mm m kiómetro km 0 m hectómetro hm m decámetro dm metro m 0,1 m decímetro dm 0,01 m centímetro cm 0,001 m miímetro mm Cd unidd es veces myor que inmedit inferior y veces menor que inmedit superior. mm km hm dm m dm cm mm : : : : : : : 1 Expres cd ongitud en unidd indicd. ) 34 km = =... m d) 7 cm = 7 : =... dm b) 348 m =... =... hm e) 4,3 hm =... =... m c) 0,8 hm =... =... km f) 7,5 dm =... =... cm Orden, de myor menor (>), s siguientes medids. Tom como referenci e metro y trnsform tods s medids en es unidd. 0,34 km 45 dm 5 m 678 cm 1 m 0,5 km 9,5 dm mm 0,01 km,83 dm 3 Dibuj con tu reg cutro segmentos de ongitudes 5, 7, 1 y 14 cm, respectivmente. Nómbros y compet tb djunt. SEGMENTO LONGITUD DEL SEGMENTO (cm) EQUIVALENCIA (m) EQUIVALENCIA (dm) 358 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin Compet siguiente tb. km hm m dm cm 5 m,3 km 153 dm 6,5 hm.000 cm 5 Compet tb. LONGITUD (km) LONGITUD (hm) LONGITUD (m) UNIDADES DE SUPERICIE E metro cudrdo es unidd princip de superficie. Se escribe m. Un metro cudrdo es superficie de un cudrdo que tiene 1 metro de do. 1 m Los mútipos (uniddes myores) y submútipos (uniddes menores) de metro cudrdo son: 1 m 1 m MÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO m kiómetro cudrdo km.000 m hectómetro cudrdo hm 0 m decámetro cudrdo dm UNIDAD PRINCIPAL metro cudrdo m 0,01 m decímetro cudrdo dm SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO 0,0001 m centímetro cudrdo cm 0, m miímetro cudrdo mm Cd unidd es 0 veces myor que inmedit inferior y 0 veces menor que inmedit superior. ADAPTACIÓN CURRICULAR km hm dm m dm cm mm : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 359

6 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 360 Pr medir extensiones de cmpo, fincs, bosques, etc., se utiizn otrs uniddes: UNIDADES SÍMBOLO EQUIVALENCIA EQUIVALENCIA EN m Hectáre h 1 hm.000 m Áre 1 dm 0 m Centiáre c 1 m 1 m 0 0 h c : 0 : 0 6 Compet s siguientes iguddes. ) 90 m = =... dm d) 54 dm = 54 : 0 =... m b) 43, cm =... =... dm e) 0,463 km =... =... hm c) 0,67 m =... =... cm f) 8 dm =... =... m 7 Si 1 m es superficie de un cudrdo de 1 m de do, expres o que serí: ) 1 cm c) 1 km b) 1 mm d) 1 dm 8 Expres s siguientes uniddes de superficie en su correspondiente equivenci. EXPRESIÓN (h) EQUIVALENCIA () EQUIVALENCIA (m ) Un cmpo de girsoes de 3 hectáres Un bosque de 50 hectáres Un finc de hectáres Un terreno de cutivo de,4 hectáres 9 Orden, de menor myor (< ), s siguientes medids. Tom como referenci e metro cudrdo y trnsform tods s medids en est unidd. 0,04 dm 3 m dm 0,75 hm 0,004 km 1 dm mm 50 m 360 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 361 PERÍMETRO DE UN POLÍGONO E perímetro de un poígono es medid de su contorno. Pr ccuro summos sus dos. Lo expresmos con etr P. EJEMPLO H e perímetro de un cmpo de fútbo de dos 0 m y 70 m. 0 m P = = 340 m 70 m 70 m E perímetro es un medid de ongitud. 0 m Ccu e perímetro de tbero de tu pupitre y de un bdos de sueo de tu u. Reiz un dibujo significtivo. Tbero de pupitre Bdos 11 H e perímetro de os siguientes poígonos regures. Reiz un dibujo esc de cd figur. ) Pentágono, de 5 cm de do. c) Hexágono, de 7 cm de do. b) Triánguo equiátero, de 3 cm de do. d) Cudrdo, de cm de do. ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 361

8 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 36 OBJETIVO 3 CALCULAR EL ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS NOMBRE: CURSO: ECHA: ÁREA DE UNA IGURA E áre de un figur es medid de su superficie, e indic e número de veces que contiene unidd de superficie. E vor de áre depende de unidd de medid que tomemos. Lo expresmos con etr A. EJEMPLO Tomndo como unidd de superficie un cudrdito, ccu e áre de siguiente figur. L figur contiene Su áre es: A = 15 uniddes de superficie. Si cd cudrdito tuvier 1 cm de do, su áre serí 1 cm. Y e áre de figur serí 15 cm. G 1 cm 1 Tomndo como unidd de medid un cudrdo, expres e áre de cd figur. ) c) b) d) ÁREA DEL RECTÁNGULO E rectánguo de figur reizd esc tiene 8 cudrdos de 1 cm cd uno. Son 7 coumns y 4 fis. Pr hr e áre de rectánguo se mutipic ongitud de bse por ongitud de tur. Bse = 7 cm Atur = 4 cm Áre rectánguo = bse tur A = b h = 7 cm 4 cm = 8 cm ÁREA DEL CUADRADO E cudrdo de figur reizd esc tiene 5 cudrdos de 1 cm. Son 5 coumns y 5 fis. Pr hr e áre de cudrdo se mutipic ongitud de un do por ongitud de otro do. Ldo = 5 cm Áre cudrdo = do do A = = 5 cm 5 cm = 5 cm Ldo = 5 cm 36 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

9 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 363 Obtén e áre de estos rectánguos y reiz un dibujo representtivo. ) Bse = cm Atur = 4 cm b) Bse = 1 cm Atur = 6 cm 3 Determin e áre de os cudrdos y reiz un dibujo representtivo. ) Ldo = 4 cm b) Ldo = 8 cm 4 Un rectánguo tiene 36 cm de áre y 1 cm de bse. Ccu. ) L tur de rectánguo. b) E perímetro de rectánguo. 5 Si un cudrdo tiene 64 cm de áre, h. ) E do de cudrdo. b) E perímetro de cudrdo. ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 363

10 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin H e áre de est figur, compuest por dos cudrdos igues y un rectánguo. 14 cm G G 8 cm 4 cm G ÁREA DEL ROMBO d E áre de rectánguo es e producto de bse por tur. E rombo ocup mitd de superficie de rectánguo. D Áre rombo = digon myor digon menor = D d ÁREA DEL ROMBOIDE E romboide o podemos trnsformr en rectánguo. E áre de un romboide es e áre de un rectánguo de igu bse y tur. b b Áre romboide = bse tur = b h 7 Obtén e áre de os siguientes rombos y reiz un dibujo representtivo esc. ) Digon myor = 7 cm b) Digon myor = cm Digon menor = 3 cm Digon menor = 5 cm 8 Ccu e áre de estos romboides y hz un dibujo representtivo esc. ) Bse = 8 cm b) Bse = 1 cm Atur = cm Atur = 5 cm 364 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

11 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 365 ÁREA DEL TRIÁNGULO A trzr digon de romboide, este qued dividido en dos triánguos. E triánguo gris y e triánguo bnco ocupn mism superficie. Áre triánguo = áre de romboide = b h G G b Áre triánguo = b h 9 Ccu e áre y e perímetro de os triánguos. ) b) Triánguo equiátero Ldo = 6 cm cm 6 cm Atur = 5, cm 8 cm Obtén e áre de siguiente figur. 5 cm 15 cm G G G 15 cm ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR E siguiente hexágono regur se descompone en 6 triánguos igues cuy tur es potem,. bse tur do potem Áre de cd triánguo = = = Áre de os 6 triánguos = 6 perímetro potem = = P Perímetro de hexágono = 6 ADAPTACIÓN CURRICULAR Áre poígono regur = perímetro potem MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 365

12 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin Ccu e perímetro y e áre de os siguientes poígonos. ) Pentágono regur Ldo = 5 cm Apotem = 3,44 cm b) Hexágono regur Áre de triánguo = 15,6 cm Ldo = 6 cm 1 Determin e perímetro y e áre de s figurs. ) Octógono regur Apotem =,41 cm Ldo = cm b) Cudrdo Ldo = cm Áre de triánguo = 5 cm 13 H o que mide e do de estos poígonos. ) Octógono regur Áre de octógono = 1.90 cm Apotem = 4 cm b) Hexágono regur Áre de hexágono = 345 cm Apotem = cm 366 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

13 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin 367 OBJETIVO 4 CALCULAR EL ÁREA Y EL PERÍMETRO DE IGURAS CIRCULARES NOMBRE: CURSO: ECHA: CONCEPTOS DE CIRCUNERENCIA Y CÍRCULO Circunferenci L circunferenci es un íne curv cerrd y pn cuyos puntos están situdos mism distnci de centro. Círcuo E círcuo es figur pn formd por circunferenci y su interior. RELACIÓN ENTRE LA CIRCUNERENCIA Y SU DIÁMETRO Imgin que extendemos e contorno competo de circunferenci y o comprmos con e diámetro. d d L d d L ongitud de circunferenci es un poco myor que e tripe de ongitud de su diámetro. A dividir ongitud de circunferenci entre e diámetro se obtiene siempre e mismo número, que se represent por etr grieg π, y se ee pi. Longitud circunferenci E número siempre es e mismo vor: π= 3,14 Diámetro L d =π, de donde se obtiene expresión de ongitud de un circunferenci L = d π= π r r d r 1 Comprueb obtención de π con os siguientes ejempos. LONGITUD CIRCUNERENCIA DIÁMETRO LONGITUD DIVIDIDA ENTRE DIÁMETRO RELOJ ARO DE GIMNASIA RUEDA COCHE PAPELERA 78,5 cm 6,1 cm 168 cm 157 cm 5 cm 7 cm 53,5 cm 50 cm ADAPTACIÓN CURRICULAR Dibuj un circunferenci de diámetro 4 cm y ccu su ongitud. (Utiiz e compás con un rdio de cm.) MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 367

14 89485 _ qxd 1/9/07 15:37 Págin L rued de un bicicet tiene un rdio de 9 cm. ) Qué distnci recorre bicicet cd vez que rued d un vuet? b) Y si d tres vuets? ÁREA Y PERÍMETRO DEL CÍRCULO E círcuo es un poígono regur con muchos dos. perímetro potem P Áre = = E perímetro es πr L potem es e rdio r P Áre círcuo = π r r = = πr E perímetro de círcuo es igu ongitud de circunferenci. P = πr Perímetro G Círcuo 4 Reiz un dibujo esc y ccu e áre de estos círcuos. ) Rdio = 3 cm b) Rdio = 5 cm 5 Quiero sembrr un terreno circur que tiene un diámetro de 140 dm. Cuántos metros cudrdos son? 6 H superficie de s zons sombreds. ) Ldo de cudrdo: 4 cm b) Rdio de círcuo myor: 5 cm Rdio de círcuo: 1,3 cm Rdio de círcuo menor: 3 cm 368 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.