( ) ( ) ( ) ( cos a)

Transcripción

1 Foruls de Agulo Múliple Julio Csiñeir Merio A l eori de is pdres: Julio Ágeles Ese rbjo epli lgus de ls propieddes de ls fóruls de águlo úliple E prier lugr epresreos de for ois ls fóruls de águlo úliple de ls fuioes rigooéris e hiperbólis Poserioree uilizreos ess fóruls e lgus es de rigooerí álgebr e geoerí Pr l fuió eo ls fóruls de águlo úliple se puede epresr usdo los polioios de Chebshev [] [6] Esos polioios esá defiidos por l relió de reurrei Los oho prieros polioios o sus orrespodiees fóruls de águlo úliple so: Polioio Fórul Observos que los polioios de Chebshev uple l propiedd ( ) Deosrió Por iduió sobre Pr los vlores iiiles eeos: ( ) ( ) Supogos que l fórul es ier pr odo vlor de < Aplido l fórul de l diferei de eos ( ) ( ) es deir ( ) ( ) por hipóesis de iduió sbeos que Luego ( ) ( ) ( ) 6 7

2 Susiuedo que por o e l fórul de reurrei eeos ( ) ( ) ( ) ( ) Observeos que l fórul erior bié se verifi pr vlores oplejos del rgueo pueso que l fórul de l diferei de eos es ier pr rgueo oplejo euei de ese heho es que l fórul de rgueo úliple pr el eo hiperbólio es Ch ( Ch ) E efeo Ch i ( i) ( Ch ) propiedd que será uilizd poserioree es Deosrió E efeo ( se ) ( ) se oo se se l iguldd qued deosrd ipr pr ( se ) ( ) se ipr pr Ejeriios Deosrr que el polioio de Chebshev iee grdo iee ríes siples Deosrr que el polioio de Chebshev de grdo es u fuió pr si es pr es u fuió ipr si es ipr -Deosrr l propiedd rsiiv de los polioios de Chebshev Fóruls pr l fuió seo ( ) Derivdo l forul ( ) úliple pr l fuió seo E efeo Es deir podeos obeer u fórul de águlo se ' se se ' ( ) ( se ) ' ( ) Al polioio se le ll polioio de Chebshev de segud lse de grdo [6] sdo esos polioios l fórul de águlo úliple de l fuió seo se epres se se ( ) Aálogee pr el seo hiperbólio eeos l fórul Sh Sh ( Ch ) que se dedue derivdo l fórul de rgueo úliple pr el eo hiperbólio

3 Los siee prieros polioios de Chebshev de segud lse o sus orrespodiees fóruls de águlo úliple so: Polioio Fórul se se se se se se 8 se se ( 8 ) 6 se se ( 6 ) 6 se 6 se ( 6 ) se 6 se ( 6 8 ) 6 Ejeriio Deosrr que el polioio de Chebshev de segud lse de grdo es u fuió pr si es pr es u fuió ipr si es ipr fórul que epres se e fuió de se se es ( ) ( se ) ( se ) ipr pr Deosrió Si es ipr bs despejr el seo e l forul ( se ) se Si pr es pr eeos que derivdo Despejdo el seo del águlo úliple ' ( se ) ( ) ( se ) ( ) ( se ) ' ( se ) se ( se ) Los polioios de Chebshev de prier segud lse esá reliodos por l fórul E efeo se( ) se se Por o se se se dividiedo por susiuedo se ( ) ( ) ( ) por despejdo obeeos Los polioios de Chebshev de segud lse sisfe l siguiee relió Deosrió Es lro que

4 d d d d d d Veos que sisfe l relió de reurrei Derivdo l relió obeeos ' ' ' Susiuedo ( ) Operdo Dividiedo por obeeos Por o Ls fóruls de reurrei eriores so iereses desde el puo de vis eório perie hllr los polioios de Chebshev pr vlores pequeños de Pero pr vlores oderdos de so opleee iúiles Por foru dispoeos de ls siguiees fóruls epliis de los polioios de Chebshev de prier de segud lse pr or que ero Ess fóruls se puede deosrr por iduió Deosrreos l fórul pr los polioios de Chebshev de segud lse dejreos l or fórul l leor Deosrió Pr se uple E efeo Deosreos que si se uple pr < eoes se uple pr : Sbeos que usdo l hipóesis de iduió podeos firr que operdo reobrdo el ídie del segudo suorio j j j j j hiedo el bio de ídies j e el segudo suorio

5 eeos dos sos Si es ipr luego l propiedd de los úeros obiorios Si es pr luego bié e ese so Ejeriio -Deosrr ls fóruls Fóruls pr l fuió gee Es sobrdee ooid l fórul de l gee del águlo doble pero esá poo difudid l fórul de l gee del águlo úliple pesr de su sipliidd [] E efeo l fórul se deuesr fáilee por iduió usdo l fórul de l gee de u su de águlos Ilusreos l seillez de l fórul o u ejeplo l epresió de l E prier lugr lulos los érios de l qui fil del riágulo de rgli Esos érios so después ruios los polioios odo los érios de dos e dos lerdo los sigos Eoes

6 o Ls fuioes rioles () R o reibe u obre espeil Goz l igul que los polioios de Chebshev de prier lse de l propiedd rsiiv R R R Pr l fuió gee hiperbóli se uple l fórul h h h Por ejeplo h h h h h h h Ls fuioes rioles () S l igul que ls fuioes poo reibe u obre espeil gozdo l igul que ells de l propiedd rsiiv () R S S S 6

7 Cálulo lgebrio de ls rzoes rigooéris Ls fuioes de águlo úliple perie lulr ls rzoes rigooéris de uhos águlos de for puree lgebri Veos lguos ejeplos ) Rzoes rigooéri de / Podeos lulr el eo de / rdies usdo el polioio de Chebishev de quio grdo Pr ello resolvos l euió de dos ers L prier de for lgebri l segud uilizdo ls propieddes de ls fuioes rigooéris Forizdo el polioio luego ó l segud euió es u euió reípro Hiedo el bio w qued w w w Por o ± observeos que por ser u ríz doble bié so ríes dobles w Ls ríes de l euió dd ordeds de eor or so Resolvos hor l euió uilizdo ls propieddes rigooéris Hiedo α eeos α α Ls soluioes de l euió so 9 7 eiedo e ue que 7 9 ls ríes ordeds de l euió so Por o Φ Φ dode es l rzó áure Φ Aálogee resolviedo l euió obeeos los vlores 7

8 Φ Φ Los vlores del seo de / rdies se puede obeer álogee resolviedo l euió : 6 observdo que se ( se ) Efeudo los álulos obeeos se se ls ors ríes so se se Observeos que l euió l fórul ( ) os proporio los vlores Podeos usr l fórul pr lulr l gee de / rdies E efeo Z ; luego ls ríes de l euió ordeds de eor or so Cluldo ls ríes por éodos lgebri eeos ó resolviedo l euió biudrd se obiee ls ríes Por o ) Clulo del eo de L euió 7 7 rdies iee por ríes se 6 7 Si e es euió heos el bio obeeos l euió 8 us ríes so

9 bido el sigo hiedo el bio de vrible z obeeos l euió z z z us ríes so 6 z z z Resolvos es euió usdo ls foruls de Crdo Obeeos 8 8 i 8 8 i ( i) 8 8 i ( i) 8 8 i 7 6 ( i) 8 8 i ( i) 8 8 i 9 7 Dode l ríz úbi oplej se lul e l r priipl Ejeriio 6 Si p es prio ipr ls ríes del polioio ( p ) p p W p p p so p ± se p L Euió de Adrie V Rooe E su obr Idee heie el eáio fleo Adrie V Rooe bié ooido por su obre lio Adrius Rous propuso los eái del udo el reo de resolver l euió de grdo siguiee: El proble fue resuelo por Vie [] dos ños ás rde e su rbjo Resposu quie o oro leguje oió l usdo por osoros se dió ue que l euió de V Rooee es e relidd l euió Resolvos l euió de V Rooe Hiedo seφ eeos se φ por o si ( θ 8 ) ; siedo θ r si Cóo llegó Vie drse ue de ese heho? Vie ooí perfeee l soluió de l euió

10 z z z Hiedo el bio de vrible z z podí bié resolver l euió que esri e ério de los polioios de Chebshev es 9 Si e l euió erior heos el bio de vrible obeeos l euió que es l euió de V Rooe

11 Curvs e Polres L euió polr de uhs urvs se epres por edio de fuioes rigooéris Los polioios de Chebshev de prier de segud lse so úiles pr lulr l euió resi de l urv Ilusrreos l éi del pso de l euió polr l resi o dos ejeplos u seillos: l leis de Beroulli l úbi de shirhuse Poserioree plireos es éi ls Ross Curvs Boáis Arñs Curvs Nodles Ls defiiioes de ess urvs puede eorrse e [6] [] L Leis de Beroulli L leis de Beroulli iee l euió polr θ r Pr obeer l euió iplíi observeos que r r θ Luego Es deir Operdo L Cúbi de shirhuse Su euió polr es θ se r Por o θ Luego θ

12 es deir Susiuedo Operdo Despejdo ls ríes elevdo l ubo θ r r 6 ( ) ( ) 7

13 Ross Ls ross o rhodoes so urvs u euió polr es r θ ls euioes préris so por o θ θ se θ seθ El obre de es fili de urvs se debe su for preid l de u flor El eáio ilio Grdi ls lló Rhodoes Rhodo sigifi ros e griego e su libro Flor Geoeri Si ó l urv es u iruferei pr l urv se ll qudrifoliu pr se ll rifoliu pr eero ipr ros de pélos pr pr ros de pélos El obre he referei l úero de pélos que iee l urv L urv esá defiid bié pr vlores friorios Pr ½ se ll Foliu de Durero Aplido el iso proediieo l euió polr que el relizdo l euió de l leis se observ que l euió resi de l ros pr eero ipr es por ejeplo si l urv se ll rifoliu eeos eiedo e ue que ( z) z ( z ) l euió es Operdo ( ) ( ) Si es pr l euió resi erior sólo orrespode l id de l urv pues r puede or vlores egivos L urv ople orrespode l euió

14 Por ejeplo el Qudrifoliu θ r por o operdo Pr vlores friorios de q p el proeso eesi u odifiió Podeos relizr el proeso de l siguiee for q p r q p r θ θ por o q q p q q p θ θ Coo ) ( q p p q q p eeos que

15 θ θ q p q p q Luego q p Veos lguos ejeplos ) Pr / eeos el Foliu de Durero θ r Es deir Siplifido elevdo l udrdo pr riolizr l urv es siéri respeo de los ejes de oordeds Es siuió se uple pr los vlores de ) Pr eeos θ r es deir

16 Operdo ( )( ) L urv e ese so es siéri respeo del eje OX Observeos que o heos eido que elevr l udrdo e el proeso de eliiió Aálogee ese so ourre pr θ ) Pr l euió polr es r siguiedo el iso proeso se obiee l euió resi ( 6 ) ( ) ( 6 6 ) u urv de grdo 8 Ros / 6

17 Curvs Boáis Ls urvs boáis iee l euió polr r d θ d > so ls ooides de l ros r d θ d > respeo de su ero o disi Ess urvs eglob lguos ipos de urvs lásis que vereos e los ejeplos Obviee pr d l urv es l iruferei de rdio uidd Si d > l fili de urvs se l ooe o el poéio obre de Ross de ro Pr eero l euió resi de l urv boái se obiee riolizdo l euió d Veos lguos ejeplos ) Pr l urv es El Crol de Psl Riolizdo l euió d obeeos ( d) L bl uesr los diferees ipos de rol de Psl Reordeos que pr d l urv se ll rdioide 7

18 Los diferees ipos del Crol de Psl 8

19 ) Pr obeeos d Operdo d d elevdo l udrdo [ ] d d Depediedo de los vlores de d se iee res ipos de urv Si d > l urv se ll iloide de Cev si d óvlo doble si d< urv huee 9

20 ) pr se obiee l euió de grdo ( ) ( ) d( pr d > l urv se ll Ros de ro ) pr d < se ll Esrell de r pr d o iee obre espeil L for de es urv boái os reuerd l Ros de pélos que l geer

21 Curvs Boáis o vlores friorios del práero Si p/q el proeso de reduió se bs e riolizr l siguiee fórul d q p L deduió de l fórul es u proeso álogo l seguido o ls ross se dej su verifiió l leor Veos lguos ejeplos de urvs obles ) Pr / l urv se ll l Nefroide de Freeh su euió polr es θ d r l euió resi se obiee riolizdo l euió d Operdo d d Elevdo l udrdo [ ] d d ) Pr / l urv se ll el udo de oho pr el vlor d l euió resi qued u euió de déio grdo relivee seill 6

22 Ejeriio 7 Eorr u forul pr hllr l euió resi de ls urvs poligseroides bie llds urvs de vieres de euió polr r Q θ Ess urvs esudids por Gio Lori so u geerlizió de l euió polr de ls óis Arñs H dos filis de urvs rñs Ls rñs evuels de euió polr se θ r se( )θ ls rñs desevuels de euió polr se θ r se( )θ Ls euioes resis de bos ipos se epres u bie usdo los polioios de Chebshev de segud lse Ls rñs desevuels uple l euió r se( ) θ se θ por o r seθ ( θ ) seθ ( θ ) siplifido r ( θ ) ( θ ) Por o Muliplido l euió por eeos que es u euió de grdo Veos lguos ejeplos ) Pr obeeos l euió Ciruferei de ero ( ) rdio

23 ) Pr obeeos l euió ( ) ( ) L riseriz de Mluri ) pr obeeos l euió ( ) ( ) ( ) ) Pr Obeeos l euió ( ) ( ) ( ) Observeos que pr or que uro l rñ evuel iee - síos de euioes Si l riseriz iee u sío veril de euió Pr ls rñs desevuels se obiee resuldos álogos que se dej oo ejeriio l leor

24 Nudos Se ll urvs odles o udos ls de euió polr θ o r Ls euioes resis de ess urvs se obiee usdo ls fuioes de águlo úliple de l gee E efeo R r R o r θ θ Elevdo l udrdo R sdo l epresió del águlo úliple podeos dr u fórul poliói equivlee l epresió erior Es es Luego los udos so urvs de orde Veos lguos ejeplos Si l urv es u uári lld pp o urv de Gushove de euió Si l urv es u séi lld olio de vieo de euió Si l urv es de orde oho iee por euió Ejeriio 8-Hllr ls euioes de los odos si el práero es riol

25 Curvs de Lissjous Ls urvs de Lissjous se puede defiir por ls euioes préris ( p) se( q) Fuero desubiers por el eáio oreerio Niel Bodwih e 8 udo esudib el oviieo del pédulo opueso Poserioree el físio frés Jules Aoie ls esudió e sus ivesigioes sobre ópi El proeso de eliiió del práero es slvo e los sos riviles ás oplido que e los sos eriores eesivee lborioso oplejo si se uiliz ls éis de eliiió lgebri Los dos eores eplidos s bjo resuelve fáilee l uesió eore Dd l urv de Lissjous ( p) se( q) dode p q so úeros reles ipr p Lleos δ Ls oordeds e de l urv de Lissjous sisfe l euió q ) seδ δ udo δ / b) si δ ( ) udo δ Deosrió Aplido l propiedd rerísi de los polioios de Chebshev l orrespodiee pr ipr pr l fuió seo eeos que ( ( p) ) [ ( p) ] ( p) ( se( q) ) se[ ( q) ] se( q) Aplido ls fóruls de l su de dos águlos p se sep ( ) ( seq se q ) Ese es u sise liel e ls iógis se o deerie p sep q p seq sep seq q Si δ plido l regl de Crer δ q sep δ se seq p elevdo l udrdo sudo iebro iebro ( q p) δ ( ) ( seq p q sep) δ luego ( ) seδ δ queddo sí deosrd l prier fórul Si δ el sise erior es opible sólo udo los oefiiees so proporioles es deir udo

26 p seq sep q ( ) por o ( ) seq p ( ) ( ) q sep Muliplido l prier por p l segud por se p resdo bs euioes qued ( ) seq p q sep ( p se p) por o ( ) seδ qd Es url preguros si el reíproo del eore erior es iero es deir si u puo que sisfe l euió resi sisfe ls euioes préris L respues es sí e el prier so ese heho se deuesr e el eore eore Si u puo ( b) sisfe l euió resi ( ) seδ δ o ipr δ d eise u l que l Z δ b se± l d dode d d ( ) Es deir l urv desri por l euió dd es u uió fii de urvs de Lissjous Observioes: ) Noeos que e u urv de Lissjous siepre podeos or p Bs relizr el p bio de práero u ) L euió resi os deeri p se δ El águlo δ puede or u ifiidd de vlores vez elegido uo ulquier de ellos Deosrió Sbeos que δ q ( ) b ( b) seδ δ eiedo e ue l ideidd rigooéri δ se δ eeos δ Por o Dividiedo por ( δ δ ) se se ( b) ( b) δ ( ) ( δ δ ) se ( b) δ seδ Luego eise u vlor θ l que ( ) δ ( ) ( b) δ 6

27 Despejdo Luego θ seδ δ ( ) ( b) seθ ( ) ( δ θ δ θ ) b se se se( δ θ) θ ( ) b se( δ θ) Por o podeos hiedo α b seβ eeos que θ ( α ) θ α θ α ± Z θ δ α l ( se ) se se se β δ θ β δ θ l Z θ δ α l Se d d ( ) Hiedo θ se dedue el resuldo euido d Cudo es pr se iee resuldos álogos que se eui e los eores siguiees eore Dd l urv de Lissjous ( p) se( q) dode p q so úeros reles pr p Lleos δ Eoes l euió resi de l urv de Lissjous es q / ) ( ) δ si δ udo si δ / b) δ ( ) udo si δ eore Si u puo ( b) sisfe l euió resi / δ si δ o pr se δ d eise u l que l Z δ b se± l d dode d d ( ) Es deir l urv desri por l euió dd es u uió fii de urvs de Lissjous 7

28 Ls deosrioes de los eores so álogs ls de los eores o ls hreos El leor ieresdo puede ulr el ríulo [] Resuiedo l urv de Lissjous defiid por l euió préri oiide o l defiid por su euió resi udo es ipr δ es disio de ero o udo es pr se δ es disio de ero Direos eoes que l urv de Lissjous es o degeerd e so orrio deios que es degeerd Cudo l urv de Lissjous es degeerd l euió préri es sólo u ro de l urv defiid por l euió resi Ver los sos degeerdos de los ejeplos Ejeriio 9 Deosrr los siguiees hehos e u urv de Lissjous degeerd ) L urv qued deerid o u iervlo de logiud b) L urv es u ro o u orige u ereo ) Los puos sigulres so odos Ejeriio Deosrr lo siguiee hehos e u urv de Lissjous o degeerd ) L urv qued deerid o u iervlo de logiud b) L urv es urv errd odos los puos sigulres so odos Apliqueos los eores lguos ejeplos seleiodos Alforj L lforj es l urv de euioes préris se E ese so es ipr δ β β ( β ) seβ Cudo ( β ) β Z podeos plir l forul se β se β es deir se β se β operdo os qued seβ oo β eeos que l euió de l urv es ó que es l euió de u prábol Observeos que e ese so l urv prerizd es u ro de prábol Cudo β eeos Operdo qued seβ seβ seβ β 8se β β es deir udo 8

29 Muliplido por se β β lldo β β se b qued b b o bie b que es l euió resi de l lforj Cudo b l lforj se ll Leis de Geroo se ) Cúbi Cruodl se E ese so es pr δ se se l fórul es por o / δ Susiuedo 9

30 Operdo Es urv se ll úbi o puo doble o úbi ruodl Observeos que es u urv de Lissjous degeerd que l urv prerizd es u ro de l úbi o for de ler lf Oro Ejeplo o pr si E ese so es pr δ se se l fórul es por o δ δ si susiuedo si Operdo o bie

31 Ejeplo de urv reduible L urv defiid por ls euioes 8 se Sisfe l euió 8 8 Es euió os deeri uro opoees irreduibles que orrespode ls uro urvs de Lissjous siguiees: se 6 se se se

32 Ls uro gráfis jus Observeos que l urv prerizd iiil sisfe bié ls euioes se o eligiedo el práero p se Culquier de ess dos euioes préris os geer Refereis R L Burde J D Fires Aálisis Nuério Grupo Edioril IberoAeri 98 F Cjori A Hisor of Mheis Chelse 999) J Csiñeir Merio Lissjous Figures d Chebshev Poloils he College Mheis Jourl () # -7 Eli Mor rigooeri Delighs Prieo iversi Press 998 J W Ruer Geoer of Curves Chp & Hll 6 Viogrdov oros Eilopedi de ls Meáis Edioril Mir-Rubiños 99

33 Revis Esolr de l Olipíd Iberoeri de Meái hp://wwwpus-oeiorg/oi/revisoi/ Edi: