La multiplicación de dos armónicos de diferente frecuencia, [ ] [ ]

Transcripción

1 Muliplicció y Divisió de Fucioes Aróics. Frcisco Prr Rodríguez. Docor Ecooí UNED Muliplicció de fucioes róics L uliplicció de dos rói de diferee frecueci, [ ] [ ] ( ( k k j j d lugr l siguiee su: ( ( ( ( k j k j k j k j que uilizdo l ideidd del produco : ( ( β α β α β α ( ( si si β α β α β α si β α β α β α si β α β α β α

2 j k j j j [ ( ( ] k k k [ ] [ ] [ ( ( ] d coo resuldo: j k j k j k j k ( ( ( ( ( ( ( j k j k j k j k ( ( ( ( ( ( ( u serie róic co frecuecis gulres que se oiee prir de l su y difereci de ls frecuecis gulres de los rói úliplos, co coeficiees de Fourier oeidos prir de los coeficiees de los rói úliplos. L oeció del ério i-esio del periodogr resule de uliplicr dos fucioes periódics co dos o ás rói, es lgo ás coplejo, y d coo resuldo u su de produ de rói co frecuecis gulres oeids prir de ls sus y diferecis de ls frecuecis gulres de cd serie úliplo. Por ejeplo, el produco de dos series oeids prir de dos rói: f ( ( ( g( ( (

3 Se oedrí l siguiee secueci de fucioes de seo y eo y coeficiees de Fourier: Coeficiees de Fourier Fucioes eo Coeficiees de Fourier Fucioes seo ( ( o o ( o o ( ( ( o o o ( o o o ( ( o ( o ( ( o ( o ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Que drí lugr l siguiee serie de Fourier: ( ( ( ( ( ( ( ( g f si si si si ( ( α Dode: ( ( α

4 ( ( o ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Ejeplo 5 si, 5, si,5,5 ( f

5 f(,5,5 -,5 - -, g(,9, si,,7 si 5 5 g(,5,5 -,5 - -, Drí lugr los siguiees coeficiees de fourier: α (,5,,5,9 (,7,,, (,5,9,5,,,

6 o (,5,,5,9,5 (,,9,, (,5,,5,7 (,,,,9 (,5,7,5, (,,,,7 (,,7,,,5, (,,9,, (,5,,5,7 (,,9,, (,5,,5,7,5,,6,5 De l que resul l siguiee serie róic: f ( g(,, (,5 (,5,,6 (,5 (,6,5 Que se desrrollrí segú l siguiee l: coef,,6,5,,5,5,,5, w(i róico 5 5 róico,, róico 5 5 róico f(*g(,,,6,6,99,,,9,9,,97,5,,7,,99,,6,97,5,6,9,7,7,,,9,9,,9,9,6,9,7,,,5,,7,6,5,,,97,5,6,,,,7,6,,5,,9, 5,,95,,6,,59,,59,,5,,95,,5 6,,9,7,6,7,6,,,9,5,6,,,5 7,,9,,6,6,77,,5,97, -,9,9,,

7 ,,,,6,5,,,6,,9 -,,9,6, 9,,,5,6,,9, -,,99,5 -,6,77,,9,,,59,59,,95, -,,95, -,,59,,76,,77,6,57,9,9, -,,, -,9,7,7,5,,7,6,55,6,,6 -,6,77, -,99, -,,,,6,7,5 -,6,, -,77,6,5 -,99 -, -,9,7,,6,77,5 -,9,9, -,, -, -,9 -,7 -,6,96 5,,59,,9 -,,95, -,95, -, -, -,59 -,,76 6,,5,,6 -,,9, -,99, -, -,6 -,77 -,7,57 7,,,, -,5,, -, -,6 -,7 -, -,9 -,,,,,9, -,6,77,7 -,97 -,5 -, -,9 -,9 -,,5 9,,7,9,7 -,7,6, -,9 -, -,9,6 -, -,,,,,95, -,,59 -, -, -,59 -,, -,95 -,,5,,5,97, -,, -,5 -,6 -,7 -,5,5 -, -,,,,9,9,6 -,9,7 -,9 -,5 -, -,5,7 -,6 -, -,,,,99, -,97,5 -, -,7 -,9 -,5, -, -, -,,,6,,9 -,99, -,7 -,9 -,9 -,,97 -,5 -,, 5,,,,5 -,, -,, -, -,,,,5,6 6, -,6,, -,99 -, -,,9 -,9 -,,97,5,, 7, -,,99,7 -,97 -,5 -,6,7 -,9 -,6,,,9,9, -,9,9, -,9 -,7 -,,5 -, -,9,7,6,5,5 9, -,5,97 -, -, -, -,,6 -,7 -,,5,,9,, -,,95 -,5 -, -,59 -,, -,59 -,,,95,,7, -,7,9 -,9 -,7 -,6 -,,9 -,,6,6,,,, -,,9 -, -,6 -,77 -,,97 -,5,5 -,9,9,,, -,, -,7 -,5 -, -,, -,6, -,,9,6,, -,5, -, -, -,9 -,,99,, -,6,77,, 5, -,59, -, -, -,95 -,,95,,6 -,,59,,9 6, -,6,77 -, -,9 -,9 -,,,, -,9,7,7,5 7, -,6,7 -, -,6 -, -,6,77,6, -,99, -,,9, -,7,6 -,5,6 -, -,,6,77,5 -,99 -, -,9, 9, -,77,6 -,,9 -,9 -,,,,5 -,9 -,7 -,6,, -,,59 -,, -,95 -,,,95, -, -,59 -,,7, -,,5 -,, -,9 -,,,99, -,6 -,77 -,7 -,, -,, -,7,5 -, -, -,6,,6 -, -,9 -, -,7

8 , -,9, -,5,6 -,77 -,7 -,5,97, -,9 -,9 -, -,, -,9,7 -,5,7 -,6 -, -,,9,,6 -, -, -, 5, -,95, -,5, -,59, -,59,,6, -,95 -, -, 6, -,97,5 -,56, -,,5 -,7,6,,5 -, -, -, 7, -,9,9 -,5,9 -,7,9 -,,5 -,,7 -,6 -, -,, -,99, -,6,97 -,5, -,9,7 -,9, -, -, -, 9, -,,6 -,6,99 -,,7 -,9,9 -,7,97 -,5 -, -, 5, -,, -,6,,, -,, -,5,,,5 -, 5, -, -,6 -,6,99,, -,9 -,9 -,,97,5, -,5 5, -,99 -, -,6,97,5,6 -,9 -,7 -,7,,,9 -, 5, -,9 -,9 -,6,9,7, -, -,5 -,,7,6,5 -,9 5, -,97 -,5 -,6,,, -,7 -,6 -,,5,,9 -,6 55, -,95 -, -,6,,59, -,59 -, -,5,,95, -, 56, -,9 -,7 -,6,7,6, -, -,9 -,5,6,, -, 57, -,9 -, -,6,6,77, -,5 -,97 -, -,9,9,, 5, -, -, -,6,5,, -,6 -, -,9 -,,9,6, 59, -, -,5 -,6,,9,, -,99 -,5 -,6,77,, 6, -, -,59 -,59,,95,, -,95 -, -,,59,, 6, -,77 -,6 -,57,9,9,, -, -, -,9,7,7, 6, -,7 -,6 -,55,6,,6,6 -,77 -, -,99, -,, 6, -,6 -,7 -,5 -,6,,,77 -,6 -,5 -,99 -, -,9, 6, -,6 -,77 -,5 -,9,9,, -,, -,9 -,7 -,6, 65, -,59 -, -,9 -,,95,,95 -,, -, -,59 -,, 66, -,5 -, -,6 -,,9,,99 -,, -,6 -,77 -,7,5 67, -, -, -, -,5,,,,6,7 -, -,9 -,,9 6, -, -,9 -, -,6,77,7,97,5, -,9 -,9 -,, 69, -,7 -,9 -,7 -,7,6,,9,,9,6 -, -,, 7, -, -,95 -, -,,59 -,,,59,, -,95 -,, 7, -,5 -,97 -, -,, -,5,6,7,5,5 -, -,, 7, -,9 -,9 -,6 -,9,7 -,9,5,,5,7 -,6 -,,6 7, -, -,99 -, -,97,5 -,,7,9,5, -, -,, 7, -,6 -, -,9 -,99, -,7,9,9,,97 -,5 -,, 75,, -, -,5 -,, -,,,,,,,5,5 76,,6 -, -, -,99 -, -, -,9,9,,97,5,,55 77,, -,99 -,7 -,97 -,5 -,6 -,7,9,6,,,9,57

9 7,,9 -,9 -, -,9 -,7 -, -,5,,9,7,6,5,57 79,,5 -,97, -, -, -, -,6,7,,5,,9,55,, -,95,5 -, -,59 -, -,,59,,,95,,5,,7 -,9,9 -,7 -,6 -, -,9, -,6,6,,,6,, -,9, -,6 -,77 -, -,97,5 -,5 -,9,9,,,, -,,7 -,5 -, -, -,,6 -, -,,9,6,,,5 -,, -, -,9 -, -,99 -, -, -,6,77,,5 5,,59 -,, -, -,95 -, -,95 -, -,6 -,,59,,7 6,,6 -,77, -,9 -,9 -, -, -, -, -,9,7,7, 7,,6 -,7, -,6 -, -,6 -,77 -,6 -, -,99, -,,5,,7 -,6,5,6 -, -, -,6 -,77 -,5 -,99 -, -,9, 9,,77 -,6,,9 -,9 -, -, -, -,5 -,9 -,7 -,6, 9,, -,59,, -,95 -, -, -,95 -, -, -,59 -,, 9,, -,5,, -,9 -, -, -,99 -, -,6 -,77 -,7,6 9,, -,,7,5 -, -,,6 -, -,6 -, -,9 -,, 9,,9 -,,5,6 -,77 -,7,5 -,97 -, -,9 -,9 -,,5 9,,9 -,7,5,7 -,6 -,, -,9 -,,6 -, -,,9 95,,95 -,,5, -,59,,59 -, -,6, -,95 -,,56 96,,97 -,5,56, -,,5,7 -,6 -,,5 -, -,,75 97,,9 -,9,5,9 -,7,9, -,5,,7 -,6 -,,95 9,,99 -,,6,97 -,5,,9 -,7,9, -, -,,5 99,, -,6,6,99 -,,7,9 -,9,7,97 -,5 -,,6,,,,6,,,,,,5,,,5,56

10 f(*g(,5,5,5 -, Desrrollo ricil de l uliplicció de series co T k rói. L uliplicció de dos series de logiud T oeids coo sus de k rói, cuys frecuecis gulres so oeids prir de i i T es decir g( k i ( i ( i i si i T T e f ( k i ( i ( i i si i T T d coo resuldo u uev serie róic de T/ periodos f ( g( µ k i i ( i ( i isi T T

11 E dode µ k i i i i i Priedo de dos series róics de T: f ( ( ( ( ( g( ( ( ( ( Dode o,75,57,56, Nóese que µ es l covriz róic, y coicidirá co l covriz uesrl ere f ( y g( k i i ( i i i T f ( T g( T T cudo, lo que ocurre cudo l serie róic se uesr si desfse, e cuyo cso, µ. E geerl se puede suir que edid que es yor el ño de l serie l covriz uesrl se cercrá l covriz róic. µ is he covrice hroic, d will equls he sple covrice ewee f ( d ( k i i T i T g whe ( i i

12 L uliplicció sucesiv de los curo rói de ( f por el prier róico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: o o,75 de for que ( ( L uliplicció sucesiv de los curo rói de ( f por el segudo róico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: ( ( x x x x

13 de for que ( ( L uliplicció sucesiv de los curo rói de ( f por el ercer róico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres:

14 de for que ( ( L uliplicció sucesiv de los curo rói de ( f por el curo róico de ( g drí lugr ls siguiees frecuecis gulres: Teiedo presee que:

15 ( ( ( se oiee los coeficiees de Fourier de l serie resule de l uliplicció de ( ( g f prir del siguiee sise ricil: A B

16 B A C β µ Ovido los coeficiees que so uliplicdos por seos que iee vlor cero: * A B A C * µ Ejeplo

17 , si,, si,, si,5,5 ( f si,5,6 si,7, si,,9 ( g el produco ( ( g f d coo resuldo:

18 ,9,,,7,5,5,,7,6,5,,9,7,,5,,7,7,5,6,,7,5,5,5,5,,7,7,,5,,5,,7,,6,5,,7,5,5,,7,9,,5,6,7,7,5,,7,,,9,99,,5,,65,5,,6,,6,55,,,775,,,5,,,,,75,5 Que d lugr l siguiee serie: g(.99,65,6 si,55,775 si,5, si,75 Algorio pr oeer los coeficiees de fourier del resuldo de uliplicr dos series róics. Ejeplo E el liro uliplicció de series.xls ; se icluye los procediieos seguidos pr oeer los coeficiees de fourier resules de l

19 uliplicció de dos series róics co,, 5, 6, 7 y rói. Ls hojs e ls que se clcul los coeficiees se deoi coeficiees y ls hojs e dode se coej los resuldos oeidos co los produ de s series se deoi uliplic. Ls series róics uilizds e el ejeplo e su áxi exesió (6 dos que d lugr rói so ls que figur e ls grfics siguiees: Serie Serie Su produco e represeció gráfic serí:

20 6 Serie resule Serie*Serie L fució de Fourier sore l que se h oeido el produco resule serí f(*g(,67,7 *(,97* -, *se(,97*, *(,75* -,7 *se(,75*, *(,7* -, *se(,7*, *(,57* -,75 *se(,57*,5 *(,965* -,6 *se(,965*,6 *(,56* -,5 *se(,56*,9 *(,79*

21 -,9 *se(,79*,56 *(,6*,5 *se(,6* El odo de lczr es solució si eer que relizr lrgs deduccioes eáics requiere de psos; e prier lugr hy que cosuir u riz (, coició de coeficiees de l serie que cu de uliplicdor (por ejeplo, g ( que iee u priculr sieri, e dode es el úero de dos, e u segudo pso hy que reducir es serie edie diferecis ño, y e u ercer pso relizr u uliplicció ricil de dich riz por el vecor de los coeficiees de fourier de l serie que cu coo uliplicdo ( f (. E el cso de l uliplicció de dos series de res rói l riz que covi los coeficiees de l serie g( serí : - Uilizdo ls cifrs de ls series del ejeplo:,,,7,,,

22 -,, -,,7 -,,,7,,,6,7,, -,7,, -,,7,,,,,6, -,,,7 -,, -,,,7,,, -,,7 -,, -,,,,,7,,, -,,7 -,,,,,7, -,,, Quedrí l siguiee riz reducid:,,,7,, -,, -,,7 -,,7,,6,,, -,7 -, -,,6 -,,7 -,,6, -, -,7 -,,7 -,, -,,,7,, El prier coeficiee es el resuldo de sur., y el segudo el resuldo de resr -. de. Coo cosecueci del proceso de reducció, l uli colu de l riz iee vlor cero. Los coeficiees de Fourier del produco se oiee uliplicdo l riz eriir por el vecor de coeficiees de fourier de l f (. Co los dos del ejeplo,,,,,,7,9 Resul u vecor de coeficiees:,9 -,5,5 -,9,5

23 -,66,,5 El priero siepre será µ i i i i, el segudo y ulio o se uiliz i e el clculo l esr uliplicdos por vlores de seo cero. Se puede copror que l riéic seguid devuelve coo resuldo el µ produco C * A B. Es ipore ver coo se oiee l sierí de l riz que coi coeficiees de l serie que cú coo uliplicdor. E l uliplicció de u serie de dos, es decir curo rói rill de su de coeficiees ipres: iroducios l digol - - -

24 Co cico rói ( dos iroducios u uev digol hor co color verde de sus de los coeficiees pres: Siguiedo eoces es sieri de l riz de coeficiees, se h elordo l riz correspodiee u uliplicció de series de 6 dos, que es co l que se oiee los coeficiees del produco de ls series represeds e l figur

25 Divisió de fucioes róics Si se quiere oeer l serie f ( g( prir del produco f ( g( z(, z( se puede cosruir u riz ivers geerlizd prir de l riz A ( cosruid sore l serie que cú coo dividedo ( g (, eliido los coeficiees que esá socidos los coeficiees que se soci rói de vlor cero y uo, pr sí oeer u riz cudrd iverile:

26 ' A Se clcul su ivers ' A Y se resuelve el siguiee sise: C A B ' ` Siedo C el vecor colu de los coeficiees de Fourier de l pre róic de l serie que cú coo divisor ( ( z. Ejeplo E el liro divisió de series.xls, l hoj uliplicció se desrroll l uliplicció de dos series róics (serie y serie, de T6, siguiedo el procediieo descrio e el prdo erior. L riz A uilizd e dicho desrrollo es l que recogeos coiució:,,,7,,,,,,,,5,,,, -, -,,7 -,, -,, -,, -,,5 -,,,7,,,6,,5,6,5,6,5,,7,7,,, -,7,,,,6 -,9, -, -,, -,, -,,,,,,7,,,6,6,,, -,,6,, -, -,,6, -,, -, -, -,7 -,,, -,,5,,,9,,6,,6,,,5,6,7,6, -,5,6 -,,5 -,6, -,5 -, -,6 A,6 -,9,,,,6,9,,5,,,,,6 -, -,,6 -,, -,5, -,6,6 -,,6 -,,9 -, -,,5 -,,, -,,,5 -,,6,,,5,6 -, -,5 -,7,6 -,5,6 -,,,, -,,6 -,6, -, -,7, -,, -,,,7, -,,,,,,6 -, -, -,6, -,,7 -,, -,7,6 -,5,6 -,5, -,5, -,6,7 -,,6,, -,, -,,9, -,,6 -,, -, -,7 -,, -,,5 -,, -,, -,, -,,7 -,, -,

27 ,,,,5,,,,,,,,7,, Es riz se geerliz riz cudrd e l Mriz A :,7,,,6,,5,6,5,6,5,,7,7,,, -,7,,,,6 -,9, -, -,, -,, -,,,,,,7,,,6,6,,, -,,6,, -, -,,6, -,, -, -, -,7 -,,, -,,5,,,9,,6,,6,,,5,6,7,6, -,5,6 -,,5 -,6, -,5 -, -,6 A,6 -,9,,,,6,9,,5,,,,,6 -, -,,6 -,, -,5, -,6,6 -,,6 -,,9 -, -,,5 -,,, -,,,5 -,,6,,,5,6 -, -,5 -,7,6 -,5,6 -,,,, -,,6 -,6, -, -,7, -,, -,,,7, -,,,,,,6 -, -, -,6, -,,7 -,, -,7,6 -,5,6 -,5, -,5, -,6,7 -,,6,, -,, -,,9, -,,6 -,, -, -,7 -,, -,,5 -,, -,, -,, -,,7 -,, -, L ivers de l riz A serí: - -,,,, -,5, -, -,, -,6 -, -,,5 - -,5, -,6,,,,6 -,5 - -,5 -,, -,9,,, -, -,,5,7 -, -,,7 -, -,7 -,,6, -,5, -,6 -, -,5 -,,,5 -,, -, -,5,,,,5,5 -, -, -, -,,5,,, -,9 -,, -,,7 -, -, -, -, -,,,6,7,, -, -,,5, -,, -, -, -,7 -,,,6,7,,,5 -, A' -,,6 -,,5 -, -, -, -, -,,,5 -,7, -, - -,5,7 -,,5,,, -,, -, -,7,5 -,, - - -,,,,6,6 -,, -,6 -,7 -,,,7 -,, -,5 -,7 -,,,7,7, -, -,7 -,5 -,,,,5 - -, -, -,,,,5 -,7 -, -, - -, -,, -,,6,5 -,9,, -,7,5,, -, -,5 -, - -,9, -, -,,5, -,,7, -, -, -, -,5,, -,,, -, -,7 -,,5 -,,7, -, -, Si oos l pre róic del resuldo de l uliplicció:,95 -,

28 ,5 -,65,5 -,6,55 -,75,6 -,5 5, 5 -,65 6,5 6 -,55 7, 7,55 y cosruios el vecor C:,9 -, -, - C -,5 -,7 -,

29 -,6 L oeció de los coeficiees de Fourier de l serie se relizrí resolviedo ` B A' C (ver hoj divisió: - -,,,, -,5, -, -,, -,6 -, -,,5,9, - -,5, -,6,,,,6 -,5 - -,5 -,, -,9, -,,,, -, -,,5,7 -, -,,7 -, -,7 -,,6, -,5,,, -,6 -, -,5 -,,,5 -,, -, -,5, -,7,,,,5,5 -, -, -, -,,5,,, -,9 -,,,,7 -,,7 -, -, -, -, -,,,6,7,, -, -, -,,9,5, -,, -, -, -,7 -,,,6,7,,,5 -,,,,,6 -,,5 -, -, -, -, -,,,5 -,7, -, x -,, - -,5,7 -,,5,,, -,, -, -,7,5 -,,,5, - - -,,,,6,6 -,, -,6 -,7 -,,,7 -, -,6,, -,5 -,7 -,,,7,7, -, -,7 -,5 -,,,,5,7, - -, -, -,,,,5 -,7 -, -, - -, -,, -,5, -,,6,5 -,9,, -,7,5,, -, -,5 -,,,9 - -,9, -, -,,5, -,,7, -, -, -, -,5 -,,,, -,,, -, -,7 -,,5 -,,7, -, -,,6,