5 El movimiento oscilatorio

Transcripción

1 5 l oviiento oscilatorio JRCICIOS PROPUSOS 5. xplica por qué no es correcto decir que el período es el tiepo entre dos posiciones idénticas del óvil. Porque el óvil, excepto en los extreos de la trayectoria para x, pasa dos veces por la isa posición en cada ciclo. 5. Razona si una pelota que rebota en el suelo de anera ideal tiene un oviiento vibratorio arónico siple. No lo tiene. s un oviiento alternativo y periódico, pero, ientras que en un extreo la velocidad es cero, en el otro la velocidad es áxia. deás, la aceleración de la pelota es constante e iual a, ientras que en un vas la velocidad es proporcional, y de sino contrario a la elonación. 5.3 scribe una ecuación de un vas cuya posición inicial sea la itad de su elonación áxia positiva. a expresión eneral del oviiento es: x 0 cos( ωt + ϕ ) Para cuplir las condiciones del problea el, hay que hacer que lueo la ecuación será: π x cos ωt + 3 x 0,5 cos ϕ0 0 0,5, por lo que π ϕ 0 ; stablece la ecuación del oviiento del ejercicio resuelto anterior en la fora seno. Coprueba que el valor de la velocidad para t 0 es el iso en abas foras. Para deterinar ϕ 0 hay que tener en cuenta las condiciones iniciales: 0,00 0,00 0,005 sen (0 0 + ϕ0 ) sen 0 0, 4 0,005 Valor que se satisface para ϕ 0 0,45 rad y para ϕ 0 π + 0,45 rad. ϕ ϕ arcsen ( 0,4) 0 Para saber cuál de los dos desfases es el adecuado, hay que tener en cuenta el sino de la velocidad inicial, que es positiva por viajar hacia la derecha, así que cos ϕ 0 ha de ser positivo. Por tanto, ϕ 0 0,45 rad. ueo la ecuación del oviiento es: x 0,005 sen (0πt 0,45) a velocidad en t 0 será: v 0 0,05πcos( ωt + ϕ) 0,05πcos( 0,45) 0,44s 70

2 5.5 naliza la ráfica x-t para describir cóo la velocidad tiene sus áxios para x 0 y es nula cuando x es áxia o ínia. a ráfica que da la posición en función del tiepo para la fora seno, por ejeplo, es la de la fiura adjunta. l derivar la función seno, se obtiene la función coseno. Se observa cóo para la x de t 0, t / y t la pendiente de la función seno es áxia y se corresponde con valores áxios de la función coseno, por el contrario en los puntos de t /4 y t 3/4 la pendiente de la función seno es cero y la ráfica coseno corta al eje de ordenadas en ese punto. ntre t 0 y t /4, la x ha ido creciendo, pero cada vez ás despacio, y la velocidad (función coseno) es positiva, pero cada vez enor. Para valores de x coprendidos entre t /4 y t /, la elonación está disinuyendo y cada vez ás deprisa, así que la función coseno debe ir auentando su valor absoluto, pero es neativa. sí se puede seuir el ciclo copleto. 5.6 Una cuerda de piano vibra 440 veces por seundo cuando da la nota la. Si la porción central se desplaza 0,5 c a abos lados de la posición de equilibrio, calcula la aceleración áxia a la que está soetida y copárala con la de la aceleración terrestre 0. a pulsación del oviiento es: ω π π s a ecuación de oviiento de la posición central de la cuerda es a 0 será ω cos( ωt + ϕ ). x 0 0,005 cos(880πt + ϕ ) y la aceleración a aceleración áxia es: a áx ω Sustituyendo los datos del problea, se tiene: a 0,005 (880π) 385 s Deuestra que la proyección de la aceleración centrípeta de un cu es iual a la aceleración de la proyección del oviiento. n un cu la ecuación de oviiento es: r R cos ωt i + R sen ωt j a velocidad y la aceleración son: v a ωr sen ωt i + ωr cos ωt j ω R cos ωt i ω Rsen ωt j a proyección de esta aceleración sobre un eje es iual al valor de dicha coponente: a ω R cos ωt Por otra parte, la proyección del oviiento sobre el eje x es: x R cos ωt Su velocidad y aceleración son: v Rω sen ωt a Rω cos ωt Con lo que se coprueba la relación del enunciado. x 5.8 n un vas, la aplitud, la velocidad áxia y la aceleración áxia tienen el iso valor nuérico. Cuál es su período? Si v áx a áx es porque ω s y coo ω π π s 7

3 onario 5.9 Un oscilador arónico constituido por un uelle de constante 000 N lleva asociada una asa de 0,4. Se encuentra en reposo cuando recibe un ipulso, de anera que se separa 3 c de la posición de equilibrio. stablece la ecuación de su oviiento. n un prier luar se calcula la pulsación del vas: ω 000 0,4 70,7 s Si está en reposo, se tiene que x 0,03 para t 0; utilizando la fórula del coseno, se tiene: x 0,03 cos 70,7 t 5.0 De un uelle de asa despreciable cuela el platillo de una balanza vacío. Con un pequeño ipulso el sistea oscila verticalente con un período de 0,50 s. Si se añade una asa de en el platillo, el sistea oscila con período de 0,56 s. Calcula la constante elástica del uelle y la asa del platillo. eniendo en cuenta que el período de un sistea asa-uelle es: 0,50 π π teneos: + 0,0 0,56 π Dividiendo entre sí las dos iualdades, se tiene: 0,50 0,56 + 0,0 0,50 0,56 + 0,0 Resolviendo, se tiene que 47. a constante del uelle puede obtenerse de la expresión del período: 7,4 N 5. n una ontaña sobre la superficie de la ierra, un péndulo de 50 c de lonitud tiene un período de,47 s. Calcula el valor de la aceleración de la ravedad en dicho luar. De la aplicación de la expresión del péndulo ateático se tiene:,50 π,47 9,7 s 5. Calcula el valor de la aceleración del péndulo del ejercicio anterior cuando la asa se encuentra en la vertical con la áxia velocidad. Cuando el péndulo está situado de tal anera que el peso y la tensión de la cuerda tienen la isa dirección y sentido contrario, la aceleración del iso es cero, coo corresponde a la situación de x 0 y velocidad áxia. 5.3 n el ejercicio resuelto anterior, coprueba que la enería ecánica en el punto ás bajo de la trayectoria es iual a h, siendo h la altura que ha ascendido la asa en su desplazaiento. De la fiura, se observa cóo: h cos º ( cos º), a enería cinética de asa será equivalente a: c h 0,8 9,8,46 0 3,5 0 J l principio de conservación de la enería ecánica se cuple de tal anera que la velocidad de la asa en el punto inferior es equivalente a la que tendría si se hubiera caído desde el punto P recorriendo la distancia h. º h P P 7

4 5.4 Coprueba que la velocidad de paso de la asa del problea resuelto anterior por el punto ás bajo es iual a ω h, teniendo en cuenta que para ánulos pequeños sen θ ( cos θ). l pasar por el punto ás bajo de la trayectoria, toda la enería ecánica del péndulo es enería cinética. a enería potencial inicial es: h ( cos θ) p Para ánulos pequeños, se puede hacer la aproxiación de que: sen θ ( cos θ) De iual anera, se tiene la relación: sen θ y que ω Sustituyendo: p sen θ sen θ ω Dado que toda la enería potencial se convierte en cinética, se tiene: v ω v ω 5.5 l aortiuador de un coche perite que la aplitud de la vibración provocada por un bache en la carretera se reduzca en un 99% en tres oscilaciones aortiuadas. Calcula la constante de aortiuaiento del sistea en relación con la pulsación ω de la oscilación. Si después de las oscilaciones la aplitud se ha reducido en un 99%, se tendrá una aplitud 0,0. γ 3 Sustituyendo: 0,0 e, siendo el período de las oscilaciones. γ 3 Siplificando y toando loaritos, se tiene: 0,0 e ; ln 0,0 3γ ln0,0 ln0,0 ω Despejando: γ 0, 44ω 3 3 π 5.6 Calcula el porcentaje de enería que se pierde en cada oscilación del problea anterior, suponiendo que se hubiera antenido constante. Coo la enería de una oscilación es proporcional al cuadrado de la aplitud, al cabo de tres oscilaciones la enería del sistea es: S (0,0 ) inicial 0-4 Si x es la fracción de la enería inicial que queda tras una oscilación, se tiene: x x 0,0464 Por lo tanto, en cada oscilación la enería antenida es el 4,64%, perdiéndose el 95,36%. JRCICIOS Y PROBMS CRCRIZCIÓN D MVS 5.7 Un chico juea con una honda de 50 c de lonitud oviéndola con cu en un plano vertical a razón de 3 vueltas por seundo. Deterina la ecuación del oviiento de la sobra de la piedra si en el oento inicial, para t 0, esta estaba justo en el punto ás alto de su trayectoria. a sobra tendrá una aplitud iual a la de la circunferencia descrita por la honda: 0,5 a pulsación será tabién la isa: ω πν 6π s π Dado que en el instante inicial la sobra se encuentra en el punto central, se tiene: x (t) 0,5 cos6πt scribe la ecuación de la trayectoria de un óvil que oscila con vas de anera que en el instante inicial estaba en el punto ás alejado del centro, a 0,004 a la izquierda del iso, y volvió a pasar por ese iso punto, por priera vez, a los 0,8 iliseundos. a aplitud del oviiento es: 0,004. l período será: 0,8 s s; la frecuencia será: π π ω 500π as condiciones iniciales son tales que el óvil inicia su trayectoria en x, por lo que: x (t) 0,004 cos 500πt + π ( ) 73

5 onario 5.9 Un vas está dado por la ecuación: x 0,04 cos (4t + 0,07) con todas las unidades en el SI. Calcula el período y la frecuencia de ese oviiento y establece la ecuación en la fora seno. l período se obtiene teniendo en cuenta que: ω 4 a frecuencia será: ν 3,8 s π π π ω 4 s π 0,6 s 4 π π Dado que cos α senα +, la ecuación sería x 0,04 sen4t + 0,07 + 0,04 sen(4t +,64) π 5.0 a ecuación de la posición de un cuerpo que se ueve es: x 0, ,04 sen t. Se trata de un 50 vas? Qué sinificado tiene el térino 0,075? Sí, es un vas con 0,04 y 50 s. l térino 0,075 indica que la oscilación se produce de fora siétrica a abos lados de ese punto. 5. Un vas viene caracterizado por los siuientes datos: aplitud 0,003 ; período 0,05 s. n el instante inicial se encuentra en x 0,003. stablece su ecuación en la fora seno y en la fora coseno. π π Sustituyendo los valores proporcionados, y teniendo en cuenta que ω 40π s y que la aplitud 0,05 es áxia en el instante inicial, se tiene la siuiente fora coseno: x(t) 0,003 cos (40πt) π a fora de tipo seno será: x(t) 0,003 sen 40 πt + 5. Una partícula tiene un oviiento definido por la ecuación: x 0,007 cos 0πt. Se trata de un vas? Qué sinificado tiene el sino ( )? scribe la ecuación equivalente del oviiento sin dicho sino. Sí, se trata de un vas puesto que cuple la siuiente condición necesaria y suficiente: a ω x l sino ( ) indica que para t 0; x 0,007, es decir, el óvil está en el extreo izquierdo de la oscilación. Se puede obtener una ecuación equivalente sin el sino añadiendo un desfase inicial de π rad: x 0,007 cos (0πt + π) 5.3 a siuiente ráfica representa la elonación de un vas con respecto al tiepo. stablece la ecuación que lo rie. x () 0,09 0, 0 3_ t (s) _ 0, a ecuación es: x(t) 0, sen (0,5πt + π/8) CINMÁIC D MVS 5.4 l extreo del ala de un avión oscila por las turbulencias con vas de aplitud de 5 c a razón de veces por seundo. stablece la ecuación de su oviiento y calcula la velocidad áxia. n la ecuación del oviiento del ala se tiene en cuenta que: 0,5 ; ω π rad; ν s a ecuación es: x(t) 0,5 sen t a velocidad es: v(t) 0,6π cos t a velocidad áxia será: v áx 0,6π,9 s 74

6 5.5 Un vas tiene una elonación de 5 c y su velocidad áxia es 5 s. scribe la ecuación del oviiento sabiendo que en el instante inicial t 0, x. a velocidad áxia es: v áx ω ω v áx 5 0, s Para que la aplitud sea áxia en el instante inicial se puede eplear la fora del coseno: x(t) 0,05 cos 500t 5.6 Un óvil está aniado de vas partiendo de x 0 para t 0. Qué fracción del período eplea en alcanzar una elonación x /? Qué fracción eplea en volver a pasar por el iso punto por priera vez? Seún las condiciones iniciales se puede eplear ás fácilente la ecuación de tipo seno: x sen ωt Cuando la elonación es la itad de la aplitud, se tiene: sen ωt sen ωt 0,5 ωt 6 π Dado que ω π π t 6 π volverá a pasar por ese punto cuando falte un tiepo equivalente para el seiperíodo, es decir: 5 0,5 5.7 l período de un vas es 50 s, la aplitud es 0, y el desfase inicial es cero. Calcula la velocidad en el punto de elonación x 0,0. l problea se puede resolver utilizando la ecuación: n este caso 0, y π π ω 40π s 0,050 v ± ω x Sustituyendo: v 40π 0, 0,0,3 s 5.8 Un cuerpo aniado de un vas de ecuación: x 0,00 cos 34 π t pasa por priera vez por el punto de elonación x 0,0005 diriiéndose hacia la izquierda. Cuánto tardará en volver a pasar por dicho punto? Sustituyendo el valor en la ecuación, podeos calcular el instante en el que pasó por priera vez: 0,0005 0,00 cos 34 π t; cos 34 π t 0,5; 34 π t π t 0,096 s 3 Si siue auentando el valor de t en la ecuación, el siuiente valor de cos 34 π t 0,5 se tendrá cuando se cupla que: π 34 π t π t 0,039 s 3 3 l tiepo que habrá transcurrido será: 0,039 0,096 0,096 s 5.9 Calcula el período de un vas que tiene una aceleración de 5 s en el punto de elonación x 0,005. a aceleración de un vas es: a ω x Por tanto: a x ω x a Sustituyendo: 0,005 0,089 s 5 75

7 onario 5.30 π a elonación de un vas viene dada por la expresión: y 0,04 cos 5πt + 4 Deduce las expresiones de la velocidad y la aceleración, y calcula: a) a velocidad y aceleración áxias. b) a velocidad y aceleración iniciales. c) a velocidad y aceleración para t 0, s. as ecuaciones de la velocidad y la aceleración serán: dy π dy π v π sen 5πt + ; a 5π cos5πt + dt 4 dt 4 a) a velocidad y la aceleración áxias serán: v áx 3,4 s y a áx 46,7 s b) a velocidad y la aceleración iniciales serán: v π y a 4 0 π sen, s c) a velocidad y la aceleración para t 0, s serán: π 4 0 5π cos 74,5 s v π π π +, s ; 4 t 0, s sen 5 0, a π 4 t 0, s 5π cos5π 0, + 74,5 s 5.3 l período de un vas es de 0,05 s y su aplitud es de 0,07. n el instante inicial pasa por el orien desplazándose hacia la izquierda. stablece: a) a ecuación de la trayectoria. b) a velocidad y la aceleración que tiene a los,5 s. c) a velocidad y aceleración áxias. a) a pulsación del oviiento es: ω π 80π s 0,05 Para establecer el desfase inicial, se tiene en cuenta que con t 0, x 0 y la velocidad es neativa. sí: x 0,07 sen(80πt + π) Su velocidad sería: v 80π 0,07 cos (80πt + π) v + 7,6 cos (80πt + π) que cuple las condiciones iniciales. b) a aceleración se deterina derivando la velocidad: a 44 sen(80πt + π) Sustituyendo el valor, se tiene: 7,6s ; a 44 sen (80π 0,5 + π) 0 v 7,6 cos (80π 0,5 + π) s c) os valores áxios serán: v áx 7,6 s - y a áx 44 s 5.3 Una varilla de acero tiene un extreo epotrado en un bloque de horión. l olpear el extreo libre, vibra con un vas de 5 de aplitud y 400 Hz de frecuencia. Calcula la velocidad y la aceleración áxias de ese punto. a velocidad áxia será: v áx ω 0,005 π 400,57 s a aceleración áxia será: a áx ω 0,005 (π 400) s 76

8 DINÁMIC D MVS OSCIDOR RMÓNICO 5.33 Un uelle, colado de un extreo, se alara,5 c cuando en el otro extreo se coloca una asa de 0. Deterina la constante del uelle y el período de oscilación que tendrá si, una vez carado, se le hace oscilar. Del alaraiento del uelle podeos sacar la constante elástica teniendo en cuenta que F Δx: Δx 98, 0, N l periodo de oscilación es: ω π π π ω 0 π 0,3 s Cuando se cara un uelle de asa despreciable con una asa adicional de 50 raos, oscila libreente con un período de 0,5 s. Calcula el período de oscilación del uelle si se cara con 60 raos. De la expresión del período de oscilación se tiene: π Dado que la constante del uelle no varía con la cara, se puede realizar la siuiente equivalencia: 0,06 0,5 0,55 s 0, Un oscilador arónico consta de un uelle cuya constante vale 00 N y una asa de 500 que resbala sin rozaiento sobre una esa horizontal. Se saca la asa de la posición de equilibrio desplazándola 0 c en sentido positivo. stablece la ecuación del vas que siue. n el caso de los uelles, la pulsación que se tiene es: ω Sustituyendo, se tiene: ω 00 0 s 0,5 Dado que la aplitud es de 0,, la ecuación será: x 0, cos 0 t 5.36 Calcula la velocidad con que saldrá despedida una bola de 5 de asa cuando se la deja en libertad después de haber copriido con ella un uelle, de constante 900 N y una lonitud de 5 c. l sistea se coporta coo un oscilador arónico desde el oento en que se deja libre el uelle hasta el oento en que la bola adquiere la áxia velocidad, dado que lueo la velocidad del uelle será inferior a la de la bola y dejará de acelerarla. Durante ese prier intervalo, el oviiento es coo el de un oscilador arónico de aplitud 0,05 y pulsación: ω 900 0,05 89,7 s a velocidad áxia será: v áx ω 0,05 89,7 9,49 s 5.37 Una asa de 0,8 se encuentra unida a un uelle de constante 00 N y se separa 5 c de la posición de equilibrio. stablece la ecuación del oviiento que la ania cuando se deje en libertad, calculando la velocidad y la aceleración áxias que adquiere. a pulsación del vas que se establece es: ω 00 0,8 38,73 s a aplitud del oviiento es de 0,5 y las condiciones iniciales son que x ; t 0, indicando que se trata de una ecuación de fora coseno con desfase nulo: x 0,5 cos 38,73 t a velocidad áxia será: v áx ω 38,73 0,5 9,7 s a aceleración áxia será: a áx ω 38,73 0,5 375 s 77

9 onario 5.38 n una fábrica de aortiuadores quieren deterinar la asa equivalente de un uelle. sta es la asa que aporta el uelle en los estudios dináicos al oscilador arónico y no coincide con la asa inercial, ya que cada fracción del uelle oscila con una aplitud distinta. n un ensayo caran un uelle con 0 y lo hace con una frecuencia de,93 Hz. Si se añaden otros 0, lo hace con una frecuencia de,37 Hz. Calcula la constante y la asa equivalente del uelle. eniendo en cuenta que la constante del uelle no depende ás que de las características elásticas, se tiene: π Se tiene: ν ν ν ν Si definios coo la asa del uelle: (0 + ),93 a constante del uelle será: ν ν 0,56,93 (0 + ), N 0, n un centro de hooloación de ateriales para la industria ferroviaria se está estudiando la idoneidad del adhesivo con que se sujetan los sensores téricos de los ejes de las ruedas. Para ello, se coloca la pieza, de 50 de asa, con su soporte en un vibrador, y se soete a un vas de de aplitud y frecuencia creciente. a pieza se despea del soporte cuando la frecuencia de ensayo es de 00 Hz. Calcula la fuerza de adhesión del peaento estudiado. a fuerza de adhesión es iual al producto de la asa aplicada por la aceleración áxia de la asa. Por tanto: F adh a áx ω ν Sustituyendo, se tiene: F adh 0,05 0, N DINÁMIC D PÉNDUO SIMP 5.40 Un colupio se puede equiparar a un péndulo de 3 de lonitud. scribe la ecuación de su oviiento cuando un niño de 45 de asa se ueve 50 c a cada lado de la posición de equilibrio. l colupio se coporta coo un péndulo ideal si consideraos que la aplitud es pequeña en coparación con su lonitud. n este caso, el período será: π ω a ecuación del oviiento será: x 0,5 cos,808 t 9,8 3,808 s 5.4 l péndulo de Foucault de un useo de las ciencias, que se eplea para deostrar el iro de la ierra, oscila entre 40 pivotes dispuestos en un círculo de 3 de diáetro derribándolos todos en 4 horas. Un estudiante cuenta 8 oscilaciones entre dos derribos sucesivos. Calcula la lonitud del hilo del péndulo. l péndulo tiene que derribar 0 pivotes por hora, lo que iplica derribar uno cada 6 inutos. Dado que ha 6 in utos realizado 8 oscilaciones, el período es: 0,4 in utos,86 s 8 Utilizando la ecuación del péndulo para oscilaciones pequeñas, se tiene:,86 9,8 π Un reloj de péndulo tiene un período de s sobre la superficie terrestre. Cuál será su período en la una? Dato. 0ierrs 6 0una l período del péndulo es: π Dividiendo entre sí y sustituyendo: π y π 6 4,9 s 78

10 5.43 Una pequeña canica rueda por el fondo de un depósito esférico de ran diáetro (en coparación con la aplitud de la oscilación) con un oviiento que podeos considerar coo arónico siple. Si la frecuencia del oviiento es de 0, Hz, calcula el radio del depósito. l oviiento de la canica se aseeja al de un péndulo de lonitud iual al radio de la esfera. α R x a canica rueda bajo la acción de la coponente tanencial del peso, que es: x sen α R x a aceleración es: a R sta aceleración se aseeja a un vas de pulsación ω πν R R ν 9,8 Sustituyendo: R 5, 0, NRGÍ IGD MVS 5.44 Un oscilador arónico está forado por un uelle de N y una asa de 5. Calcula: a) l trabajo necesario para copriir el uelle 5 c. b) a enería potencial que tiene entonces el sistea. c) a velocidad áxia que lleva la asa en el punto central de la trayectoria. d) a enería ecánica en cualquier punto de la trayectoria. a) Se trata de una fuerza conservativa, de anera que el trabajo se puede calcular estableciendo el x concepto de enería potencial: W F dx x dx x dx x ueo el trabajo será: W ,05 7,5 J b) a enería potencial es iual al trabajo realizado: p 7,5 J c) a velocidad áxia se obtiene cuando toda la enería potencial se convierte en cinética: 0 p 7,5 áx p váx,65 s v d) a enería ecánica se conserva en todo oento: ecánica 7,5 J Un cuerpo de de asa que se dirie con una velocidad de s es frenado por un uelle que se coprie 0 c. Calcula la constante elástica del uelle y el tiepo que tarda en detenerse. a enería cinética se convierte totalente en enería potencial. Por tanto, se puede establecer la relación: v0 v0 800 N 0, l oviiento será coo el de un oscilador, así que el tiepo que tarda en detenerse es un cuarto del período: π t f π 0,079 s

11 onario 5.46 a enería ecánica de un oscilador arónico es de 0,0 J y la fuerza áxia que actúa es de 3 N. scribe la ecuación del oviiento sabiendo que el período de vibración es de 0,5 s. a enería ecánica es iual a la enería potencial áxia: a fuerza áxia sería: F áx a áx ω Dividiendo entre sí las anteriores ecuaciones: π π a pulsación será: ω s 0,5 a ecuación será: x 0,03 cos (t + φ 0 ) F ω ω ω F áx 0,0 3 áx 0, Una partícula de de asa realiza un vas cuyo período es de 0,0 seundos y en el instante /6 la velocidad de la partícula es 3,4 s. Deterina: a) a ecuación del oviiento. b) a enería ecánica. c) a fuerza recuperadora. a) Suponiendo que en el instante inicial se encuentra en el orien, oviéndose en el sentido positivo del eje x, se tiene: x sen ωt; v ω cos ωt De los datos del enunciado se tiene que: π π ω 00π s 0,0 0,0 n el instante t t 0,0033 s 6 6 Sustituyendo en la ecuación de la velocidad, se tiene: 3,4 34 cos 00π 0,0033 Despejando, se tiene que 0,0 y la ecuación del oviiento será: x 0,0 sen 00πt b) a enería ecánica es: ω 0,00 00 π 0,,97 J c) a fuerza recuperadora es: F ω sen ωt 0,00 00 π 0,0 sen 00πt 9,74 sen 00πt 5.48 Calcula para qué velocidad, con relación a la velocidad áxia, un oscilador arónico tiene la itad de su enería ecánica coo enería cinética. Si la enería cinética es la itad de la enería ecánica, la enería cinética será, tabién, la itad de la áxia. váx v váx v 5.49 Qué relación habrá entonces entre la elonación de la oscilación y la aplitud inicial? n este caso, la enería potencial elástica será tabién la itad: x x 5.50 l sistea asa uelle de la fiura recibe un artillazo que le counica una enería de 50 J. Si la asa es de y se coprie 4 c, calcula: a) l período con que vibrará el sistea. b) a ecuación del oviiento. a) b) 50 3, 0 0,04 π 0,06 s 5 3, 0 ω 395 s Sustituyendo: x 0,04 sen 395 t 5 N

12 5.5 Calcula la enería asociada a la láina de un xilófono que tiene una asa de 50 y está vibrando a 494 Hz con una aplitud de 0, ientras que eite la nota si. a enería asociada a un vas es: Sustituyendo: 0,050 ω 494 ν 4 3 ( 0 ),4 0 J 5. 5 Calcula la enería cinética áxia de una partícula de 5 de asa aniada de vas con aplitud 3 c y período 0,333 s. a enería cinética áxia es iual a la enería ecánica: Sustituyendo: ω 0,005 0,333 0,03 8,0 0 4 J 5.53 Calcula la enería ecánica asociada a un colupio de 4 de lonitud en el que un niño de 45 se ece con aplitud de 0,5. a enería potencial áxia es iual a la enería ecánica, y, considerando que se trata de un péndulo siple, se tiene: ω Sustituyendo: 9,8 45 0,5 3,8 J Calcula, por edios trionoétricos y eneréticos, la altura por encia del punto ás bajo a la que sube el colupio del ejercicio anterior. p áx 3,8 P or étodos eneréticos, se tiene que: p áx h; h 0, ,8 l α h 0,5 Por étodos trionoétricos, se puede ver en la fiura que: α arcsen α 7,8º 4 h l ( cos α) 4 ( cos 7,8º) 0, Calcula el porcentaje de enería ecánica perdida por rozaiento cuando la velocidad áxia de un oscilador arónico es iual a la itad de la velocidad áxia inicial. Si la velocidad es la itad de la inicial, la enería cinética será: v0 c v0 4 4 Por tanto, el 5% de la enería cinética inicial se antiene, y se ha perdido el 75%. c0 80 8

13 onario PÉNDUO FÍSICO 5.56 a barra de la fiura, de 0,8 de lonitud, puede oscilar sobre uno de sus extreos co n pe que ñ os d esplazaientos. Calcula la lonitud equivalente y el período de oscilación sabiendo que: I G a barra constituye un péndulo físico cuyo período es: I0 π r donde I 0 es el oento de inercia de la barra con respecto al eje por el que pasa el punto de iro. plicando el teorea de Steiner, se tiene que: I 0 IG + r + 3 0,8 Sustituyendo: π 3 π π,46 s 3 3 9,8 a lonitud equivalente se hace asiilándolo a un péndulo siple: 0,46 π 0 9,8 0, a fiura uestra una esfera de radio r 3 c y asa hecha de un etal desconocido. Puede oscilar a lrededor de un pequeño anillo que lleva en la parte superior. l período de oscilación es de 0,45 s. Cóo es la esfera, pesada y hueca o liera y aciza? l período de oscilación es: π I0 r I0 r 3 Sustituyendo, se tiene que: I 0,5 0 Por otra parte, se tiene que los oentos de inercia de los casos posibles son: sfera aciza: I 0 r 5 + r 7 r 5,6 0 3 sfera hueca: 5 I 0 r + r r, Coparando, se observa que el valor ás aproxiado es el de la esfera hueca. 8

14 PROBM D SÍNSIS 5.58 n estudios de balística se puede utilizar, para calcular la velocidad de salida de un proyectil, un oscilador arónico que consiste en un bloque de adera de,500 unido a un uelle de asa despreciable y 463 N. l bloque se ueve sobre un colchón de aire para iniizar el rozaiento y arrastra un cursor que indica el desplazaiento áxio del conjunto. n estas condiciones, el bloque de adera recibe un proyectil de 50 de asa y velocidad desconocida que se aloja dentro de él en un choque totalente inelástico, desplazándolo 87. Si, para detener el sistea, se suprie el colchón de aire, el conjunto queda con una oscilación de aplitud 0,0 0 después de 0 oscilaciones. Calcula: a) a enería del conjunto inediataente después de recibir el ipacto. b) a velocidad del bloque en ese oento. c) l período de oscilación. d) a ecuación del oviiento del conjunto ientras se ueve sin rozaiento. e) a aceleración áxia del bloque de adera. f) l coeficiente de aortiuación cuando se suprie el colchón de aire. ) a velocidad del proyectil antes del choque. h) a enería perdida en el choque. a) a enería después de realizar el ipacto es la áxia enería potenc ial del sistea, que se tiene con el uelle en su áxio valor de aplitud: 463 (0,87) 0 J b) a velocidad del bloque se puede calcular haciendo uso de la enería ecánica, que será iual a la cinética en el instante inicial: v v 0,550 8,90 s c) l período de oscilación se puede obtener de la siuiente ecuación:,55 π π 0,0 s 463 d) Para la ecuación de oviiento se necesita conocer la pulsación: ω 463,55 3 s a ecuación del oviiento será: x 0,87 sen 3 t e) a aceleración del bloque será: a 0,87 3 sen 3 t 76 sen 3 t Por tanto, la aceleración áxia será: 76 s f) a pérdida de enería se puede describir con la siuiente ecuación: 0 e γ t Sustituyendo, se tiene: 0,0 0 0 e γ 0 0, n 0,0 plicando loaritos a la iualdad, se tiene: n 0,0 4 γ; γ,5 s 4 ) Para calcular la velocidad del proyectil, se puede eplear la conservación del oento lineal: v + v p p b b ( + ) v v p b f p (p + b ) vf p v b b,550 8,90, s 0,050 h) a enería inicial del proyectil es: p + b vp + vb 0, , J Dado que la enería inicial del oscilador era 0 J, la pérdida de enería es de: J 83