TEMA 5: MOVIMIENTOS VIBRATORIOS

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1 TEM 5: MVIMIENTS VIBRTRIS. MVIMIENT PERIÓDIC Moviiento que se repite a intervalos iguales de tiepo. Ejeplo: oviiento circular unifore. Misa trayectoria circular con la isa velocidad y aceleración (oviiento de traslación de la una alrededor de la Tierra). tros ejeplos: el péndulo, las areas, un colupio... PERID T: Tiepo necesario para que se repita un oviiento periódico. Unidades: segundos (s). FRECUENCI f ó ν: Nº de vueltas copletas o ciclos que realiza el óvil en la unidad de tiepo. Unidades: hertzios (Hz, s ).. MVIMIENT SCITRI Y MVIMIENT VIBRTRI Moviiento oscilatorio: oviiento periódico que se produce hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio. Ejeplos: oviiento de un péndulo o un uelle, vibración de una barra elástica. B Moviiento vibratorio: oviiento oscilatorio con trayectoria rectilínea: El objeto oscila entre dos posiciones etreas sin pérdida de energía ecánica (sin rozaiento). Periodo: tiepo constante que tarda el objeto de pasar de a B y volver a. B scilación o vibración copleta: oviiento de ida y vuelta realizado durante un periodo. plitud de la vibración: distancia entre y, áio desplazaiento que tiene lugar en una vibración. t T/4: Tiepo necesario para que el objeto se desplace el valor de su aplitud. scilaciones isócronas: el periodo no depende de la aplitud de las oscilaciones.

2 3. MVIMIENT VIBRTRI RMÓNIC SIMPE (M..S.) Moviiento vibratorio ás iportante de la Naturaleza que se puede epresar ediante funciones arónicas, coo el seno y el coseno de una sola variable. Característico de los cuerpos elásticos. Producidos por fuerzas restauradoras, directaente proporcionales al desplazaiento de la partícula que vibra y dirigidas siepre hacia la posición de equilibrio. F F as fuerzas: signo contrario al desplazaiento, se oponen a que la partícula se desplace hacia sus etreos X X FF X < F > X > F < 4. CINEMÁTIC DE M..S. ENGCIÓN VECIDD Y CEERCIÓN Deducción de la ecuación del.a.s.: proyección sobre una superficie perpendicular del oviiento circular unifore de una partícula M con el iso periodo. P: posición genérica de la partícula que describe la circunferencia con oviiento circular unifore. P y P y : Proyecciones de P sobre los ejes X y Y, respectivaente, que se ueven con.a.s. Una vuelta copleta de la partícula sobre la circunferencia coincide con el recorrido de dos diáetros del punto P sobre el eje X, una vibración copleta en un tiepo igual a un periodo T. 4.. ECUCIÓN DE M..S. ENGCIÓN Partícula que se ueve con.c.u. desde el punto P (t ) hasta la posición P recorriendo un ángulo φ t (ecuación del.c.u.): M.a.s.: desplazaiento correspondiente a la proyección P sobre el diáetro horizontal t R sen t sen t t (R plitud del.a.s.; cos (π/- t) sen t) M.a.s.: desplazaiento y correspondiente a la proyección P sobre el diáetro vertical yy R cos t cos tt : posición de equilibrio de la partícula que vibra. M M Y P y P P X

3 Partícula que se ueve con.c.u., habiendo recorrido previaente un ángulo φ, desde el punto P (t ) hasta la posición P, recorriendo un ángulo φ t: ECUCIÓN GENER DE M..S. Eje X: sen ( t + φ ) Eje Y: y cos ( t + φ ) a ecuación general del.a.s., tanto sobre el eje X coo sobre el eje Y se puede epresar en función del seno o del coseno, utilizando una fase inicial adecuada: π cos α sen α + π sen ( t + φ ) cos t + φ cos ( + δ ) t π y cos ( t + φ ) sen t + φ + sen ( + δ ) t MGNITUDES DE ECUCIÓN GENER DE M..S. π sen α cos α, y: ENGCIÓN. Posición en cualquier instante, respecto del punto, de la partícula que vibra. Puede ser positiva o negativa. Unidades (SI):. < > : MPITUD. Valor áio de la elongación, cuando t T/4 (tiepo necesario para que el objeto se desplace el valor de su aplitud). Unidades (SI):. φ : FSE INICI CTE. DE FSE. Estado de vibración o fase en el instante t de la partícula que vibra (posición angular para t del hipotético.c.u.). Unidades (SI): rad. ( t + φ ): FSE EN CUQUIER INSTNTE. Estado de la vibración o fase del oviiento. Perite calcular en cualquier instante. Unidades (SI): rad. : FRECUENCI NGUR o PUSCIÓN. Velocidad angular constante del hipotético.c.u. proyectado. Unidades: rad/s ó s. Valor: depende de la rapidez de las oscilaciones. T: PERID. Tiepo que tarda el oviiento en repetirse, en realizar una oscilación copleta, en el que la partícula pasa dos veces por la isa posición y en el iso sentido. Unidades (SI): s. sen ( t + φ ) sen [ (t + T) + φ ) π T 3

4 f o ν: FRECUENCI o FRECUENCI NTUR. Nº de oscilaciones copletas que la partícula realiza en un segundo. Rapidez con que tienen lugar las oscilaciones. Unidades (S.I.): hertzios, Hz, o s, oscilaciones/s ó ciclos/s. f T Ejeplo : Partícula con.a.s. inicia el ov. en el etreo (+) de su trayectoria. Tarda,5 s en llegar al centro de la trayectoria. Distancia entre abas posiciones: c. a) Periodo y frecuencia? b) Nº vibraciones por inuto. c) Ctes. del ov. d) Posición de la partícula,5 s después de iniciado el ov. T a) t T 4 t 4,5 s s 4 f Hz T b) f Hz vibración/s N f t s 6 s 6 vibraciones por inuto c) Ctes del.a.s.? Ecuación del.a.s.: sen ( t + φ ) () Ctes. Del.a.s.:, y φ., π f π π rad/s 4 + c φ : El ov. Coienza en el etreo positivo + cuando t s. Sustituyendo en la ecuación (): sen ( + φ ) sen φ φ 9º π/ rad d) Ec. del ov.: sen ( t + φ ), sen ( π t + π/) Para t,5 s, sen ( π,5 + π/), sen (3 π/), ( ), Ejeplo : Partícula con.a.s. inicia el ov. entre ptos distantes entre sí c. Realiza 4 vibraciones en s. Para t s se encuentra en / y se dirige hacia el etreo (+). a) Ec. del ov. b) En qué instante pasa por priera vez por la posición de equilibrio? c) En qué instante por ª vez pasa por el valor áio de? a) sen ( t + φ ) c, f 4 vib/s 4 Hz π f π 4 vib/s 8 π rad/s t + c Para t s / (Ec. ov.),5, sen (8 π + φ ) sen φ,5 φ 3º π/6 t

5 , sen (8 π t + π/6) b) Posición de equilibrio, sen (8 π t + π/6) / π 6 n 8 / π t + + n / π 48 t + 6 n 48 t 6 n t 6 48 Para n ( ª vez que pasa por ) t 5/48 s c) sen (8 π t + π/6) sen (8 π t + π/6) 8 π t + π/6 π/ t /4 s Pg.9: Y. 4.. VECIDD DE M..S. Partiendo de la ecuación del.a.s.: sen ( t + φ ) Velocidad instantánea: v d/dt cos ( t + φ ) vv cos ( t + φ ) Velocidad en función de la elongación : v ( ± sen ( t + φ ) ± sen ( t + φ ) ± Características de la velocidad de un.a.s.: v ± Su valor se repite periódicaente: v cos ( t + φ ) cos [ (t + T) + φ ] Su valor depende de su posición : v ± cada valor de le corresponde un valor de v y cada vez que la partícula pasa por la posición lo hace con la isa velocidad. os signos + y indican el sentido del oviiento, de acuerdo con el criterio cartesiano de los signos. v es áia en el centro de la trayectoria, en la posición de equilibrio, v ± ( ) y v en los etreos ( ). Cálculo de las constantes φ y a partir de las condiciones iniciales y v : sen ( t + φ ) sen φ v cos ( t + φ ) v cos φ tg φ v v sen cos φ φ v sen cos φ φ ( sen φ + φ ) v v + sen φ + cos φ + cos ± v + 5

6 4.3. CEERCIÓN DE M..S. Partiendo de la ecuación de la velocidad: v cos ( t + φ ) celeración instantánea: a dv/dt sen ( t + φ ) aa Características de la aceleración de un.a.s.: Su valor se repite periódicaente. Su valor es directaente proporcional a la elongación pero de sentido contrario a ella: todo sistea que se ueva con una aceleración proporcional y de sentido contrario a la posición es un oscilador arónico siple. Constante de proporcionalidad entre a y : os signos + y indican el sentido del oviiento, de acuerdo con el criterio cartesiano de los signos. a es áia en los etreos de la trayectoria, y a en el centro de la trayectoria (al contrario de v). v ± v a a a a y v están desfasados π/. Ejeplo 3: scilador arónico que vibra: para t s, 4, c de la posición de equilibrio, con v 87 c/s. f, Hz. a) Cte. de fase y aplitud del ov.? b) Elongación y velocidad para t,5 s? c) Valor áio de la velocidad. a) t s sen ( t + φ ) sen ( + φ ) sen φ () v cos ( t + φ ) v cos ( + φ ) v cos φ () π f 4π rad / s,4 Dividiendo () entre (): tg φ, 58 ϕ 3º π/6 rad v v,87 / s Despejando de ():,4,4,8 senφ sen π / 6,5 b) Ecuación del.a.s.: sen ( t + φ ),8 sen (π f t + φ ),8 sen (4π t + π/6) t,5 s,8 sen (4π,5 + π/6),8 sen 3π/6,4 t,5 s v cos ( t + φ ),8 4π cos (4π,5 + π/6),3π cos (π + π/6),3π cos π/6,87 /s c) v a ± ± 4π rad/s,8 ± /s v a /s Ejeplo 4: Ec. del.a.s.:, sen t (SI). a) Ec. de la velocidad? b) Valor áio de la aceleración? c) Epresa la función anterior en función del coseno. a) v d/dt, cos t 4 cos t b) Coo sen ( t + φ ) rad/s y, a, 8 /s π c) Coo sen α cos α :, sen t, cos ( t π/) 6

7 4.4. REPRESENTCINES GRÁFICS DE M..S. Pg.93: 4. Pg. 95: 5. Pg. 96: 7, 8, 9,. 7

8 4.4. DINÁMIC DE M..S. M.a.s. es acelerado con a > cuando la partícula que a > vibra se dirige hacia la posición de equilibrio. M.a.s. es acelerado con a < cuando la partícula que vibra se dirige hacia los etreos. a < FUERZ RECUPERDR RESTURDR: fuerza que origina el.a.s. que tiende a llevar a la partícula hacia su posición de equilibrio. F r F r F a CNSTNTE EÁSTIC RECUPERDR DE PRPRCINIDD : Constante característica de cada oscilador. Unidades (S.I.): N/. a frecuencia angular,, y el periodo, T, dependen de la asa del oscilador y no de la : f Tπ π π π Ejeplo 5: Partícula con 5 g con.a.s. cuyo T s. En t s su elongación,7 c y su v 4,39 c/s, calcula: a) plitud y fase inicial? b) celeración áia? c) Cte. Elástica? d) Fuerza recuperadora? e) Fuerza recuperadora áia? f) Posición de la partícula cuando v 4,39 /s?. a) sen ( t + φ ) y v cos ( t + φ ) Para t s,7 sen ( s + ϕ),7 sen φ () Para t s,439 /s cos ( s + φ ),439 cos φ () π f π rad / s,7 Dividiendo () entre (): tgϕ φ 45º π/4 rad v v,439 / s f Hz T Despejando de ():,7,7, senφ sen π / 4 7, b) a ± (π f) ± 4π, ±,4 /s c) Coo F a (π) s,5 g, N/ d) F, N (para cualquier posición) 8

9 e) F, N/ (±, ) ±, 3 N v v f) v ± v ± ( ) ± ± (,) (,6) ( π ) ± ±,3 Ejeplo 6: bjeto con 5 g con.a.s. cuyo c y su frecuencia es de 5 Hz. Calcula: a) Cte. recuperadora? b) Fuerza recuperadora cuando: b) la partícula se encuentra a 4 c de la posición de equilibrio?; b) ha transcurrido, s después de pasar por la posición de equilibrio. a) Coo F a 4π f 4 π π N/ b) F 5π N/ (±4 ) ±4 π N F sen t sen π f t 5π N/ (± ) sen (π 5,) ±5π sen π N (se encuentra en la posición de equilibrio) Pg.98:,, ENERGÍ DE M..S. SCIDR MECÁNIC: sistea aterial con.a.s., con energía ecánica, cinética y potencial. ENERGÍ CINÉTIC: Velocidad de un oscilador: E c v v cos( t + φ ) ± Sustituyendo v en la ecuación de la E c : E c [ cos ( t + φ )] cos ( t + φ ) Coo : E c en función del tiepo t: Ec cos ( t + φ ) E c en función de : E ( ) c a E c del oscilador es función periódica del tiepo t. a E c es proporcional al cuadrado de la aplitud y a la constante recuperadora. 9

10 ENERGÍ PTENCI EÁSTIC: Trabajo que se debe realizar para trasladar el oscilador desde la posición de equilibrio hasta una posición aplicando una fuerza F para vencer la fuerza recuperadora elástica del resorte: F E p F d W d a E p depende de la elongación. a E p es áia en los etreos: a E p se repite periódicaente. E p E p en función del tiepo t (sustituyendo el valor de dado en la ecuación general del.a.s. sen ( t + ϕ)): sen ( t + φ ) E p a E p del oscilador es función periódica del tiepo t. a E p es proporcional al cuadrado de la aplitud y a la constante recuperadora. ENERGÍ MECÁNIC TT DE SCIDR ( ) + E Ec + E p. a E no depende de la posición, es una constante característica del oscilador arónico, depende de y de la aplitud.. Sin rozaientos, la E peranece constante. Por tanto, tabién la aplitud peranece constante. Un oscilador es un sistea conservativo: la E p auenta a edida que la E c disinuye y viceversa. Eisten dos valores de la elongación para los cuales abas energías valen lo iso: ± a transisión o propagación de la energía de un oscilador arónico a través de un edio recibe el nobre de onda arónica. Pg.3: 9,. Pg. 5:. E E p E c v t

11 5. DS EJEMPS DE SCIDRES MECÁNICS 5.. MS CGD DE UN RESRTE VERTIC Muelle de constante elástica suspendido de un etreo inicialente no deforado (posición inicial P). Se cuelga una asa del etreo libre: el sistea desciende suaveente hasta que alcanza el equilibrio. El uelle se ha estirado una longitud y y ejerce una fuerza recuperadora hacia arriba F y (ley de Hooe) (sentido positivo de y hacia abajo). Equilibrio: F y y + g g y g/y a Si la asa se desplaza verticalente hacia abajo una distancia y de su posición de equilibrio, la fuerza recuperadora F es ayor que el peso g y, si el sistea se deja en libertad la asa acelera coenzando un oviiento de subida. Deterinación de la aceleración del oviiento de subida: ey de la Dináica: F y ( y' + y ) + g y' y + g y' F y' ay y' ay y a: aceleración del.a.s. (se opone al desplazaiento) F y y' g + g y' g + g π f f π π Frecuencia de oscilación del.a.s.: f π Muelles rígidos ( grandes) o asas pequeñas: f grandes, oscilaciones rápidas. Muelles blandos ( pequeñas) o asas grandes: f pequeñas, oscilaciones lentas. Pg.98:, 3. Ejeplo 7: Partícula con g cuelga de un resorte de N/ y puede oscilar libreente sin rozaiento. Se desplaza la asa c de su posición de equilibrio y la soltaos para que coience a oscilar: a) Ec. del ov. de la asa? b) Periodo de oscilación? c) Velocidad y aceleración áias? d) Fuerza recuperadora cuando la asa se encuentre a 5 c por encia de su posición de equilibrio?

12 a) y sen ( t + φ ) () Para t s y c,,, sen ϕ sen ϕ ϕ 9º π/ rad Coo F a y y N / g rad/s Sustituyendo en (): y, sen ( t + π/) π π π b) π f T,63 s T c) v a rad/s, /s a a, /s d) F y N/,5 5 N Ejeplo 8: Partícula con 5 g colgada de un resorte produce un alargaiento de 8 c. Después, el sistea se estira 7,5 c y se suelta a) Cte. elástica del uelle? b) plitud del ov.? c) Periodo del oviiento? d) Ep elástica del uelle en el instante en el que se deja en libertad la asa para que vibre?. a) l colgar la asa el uelle se estira una longitud l hasta alcanzar el equilibrio. El uelle ejerce una fuerza recuperadora y en el equilibrio se cuple: g l g l 5 g 9,8 / s, 8,7 N/ b) ±7,5 5 g c) T π π,86 s 7, N / d) Ep depende de la deforación del uelle: E p y 7, N / (,75 ),76 J Ejeplo 9: Partícula con, g sujeta a un resorte realiza un.a.s. con un periodo de,5 s. E J. Calcula: a) Cte. del resorte? b) plitud?. a) ey de la Dináica: F a (π f) 4π T, g 4π (,5 s),3 N/ E J b) E,8,3 N /

13 5.. E PÉNDU SIMPE Sistea forado por una pequeña bola de asa colgada de un hilo inetensible de asa despreciable, que se ueve sin rozaiento ediante un oviiento periódico y oscilatorio. El oviiento será un.a.s. para ángulos pequeños cuando la trayectoria (un arco de circunferencia) puede suponerse recta y la partícula que oscila esté soetida a una fuerza recuperadora r r F i, proporcional al desplazaiento y de sentido opuesto. Posición : péndulo en reposo, el peso de la partícula, g, y la tensión del hilo, T, se equilibran. Posición : se rope el equilibrio. a coponente noral del peso en la dirección del hilo, P r n, se anula con la tensión del hilo, rt; la coponente tangencial del peso, P t r, no esta equilibrada y causa el oviiento. P t g sen θ El signo ( ) indica que la fuerza es recuperadora, tiende a llevar al péndulo a la posición de equilibrio. Para ángulos θ < 4º (,45 radianes) θ sen θ (con θ en radianes, el error relativo < %; θ / ). a fuerza responsable del oviiento es una fuerza recuperadora correspondiente a un.a.s.: P t g sen θ P t g g θ g g Pt celeración del oviiento: F R a P t a Frecuencia angular : a a / g / g g π g g T g T π g 3

14 El periodo y la frecuencia angular del péndulo siple:. Son independientes de su asa y de la aplitud de la oscilación.. Sólo dependen de la longitud del hilo y de la aceleración de la gravedad. Ejeplo 9: Partícula con g colgada de un hilo de, de longitud. Se desplaza hasta que el hilo fora un ángulo de º con la vertical y se suelta para que epiece a oscilar. a) Es un.a.s.? b) Periodo de oscilación? c) Velocidad áia? d) Frecuencia angular? e) celeración áia? f) Energía ecánica? g) Ec. del ov.?. a) Es un.a.s. cuando: a Esto se cuple cuando θ sen θ (rad). π rad sen º,79 θ º,93 rad 8º E Vh Vr,93,79 a El error relativo será: E r,67 % V V,79 Coo E r < % el oviiento se considera un.a.s., b) T π π, s g 9,8 / s r r c) E p () E c () g h ½ v a v g h 9,8 / s ( cosº ),65 / s lternativa: v (π/t) (π/, s),,65 /s arco - θ, rad, rco de circunferencia ángulo del sector circular radio de la circunferencia π 6,8 rad d) 3, rad/ s T, s e) ( 3, rad/s), / s a θ, rad, rad, aa, f) E E p () g h g ( cos θ), g 9,8 /s, ( cos º), J g) t ϕ π / ( 3, t π/ ), sen + Pg.: 6. Pg. : 7, 8. 4