INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

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1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES CONTENIDOS.- INTRODUCCIÓN....- EJEMPLO....- TASA DE VARIACIÓN CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS LATERALES PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES OPERACIONES CON FUNCIONES DERIVABLES Suma Producto de una constante por una unción Producto de unciones Función recíproca de una unción Cociente de dos unciones Composición de unciones: Regla de la cadena Derivación de la unción inversa FUNCIÓN DERIVADA DE LAS FUNCIONES MÁS USUALES DERIVADA LOGARÍTMICA DE UNA FUNCIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA EJERCICIOS DERIVADAS SUCESIVAS.... ESTUDIO GLOBAL Y LOCAL DE FUNCIONES..... Monotonía de una unción..... Etremos relativos..... Curvatura de una unción: puntos de inleión.... REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES... 6

2 .- INTRODUCCIÓN Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de importancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máimos y mínimos de una unción dada. En el siglo XVII Newton y Leibniz descubren independientemente el Análisis Matemático o Cálculo Ininitesimal, una potentísima erramienta que revolucionó el tratamiento matemático de la Física y la Geometría, y que más tarde impregnaría las más diversas ramas de la matemática, como la Estadística o la Teoría de Números. Esencialmente, el Cálculo Ininitesimal consistía por una parte en analizar o descomponer la dependencia entre varias magnitudes estudiando el comportamiento de unas al variar o dierenciar levemente otras (lo que constituía el Cálculo Dierencial) y por otra parte en integrar los resultados dierenciales para obtener de nuevo resultados globales sobre las magnitudes en consideración (el llamado Cálculo Integral)..- EJEMPLO En el estudio del movimiento de un punto nos interesa saber en cada instante dónde está y cómo se mueve. El primer objetivo nos lo proporciona el conocimiento de la variación temporal del vector de posición, y para saber cómo se mueve, es decir, qué va a pasar con el punto móvil en instantes sucesivos, se introduce en Física una nueva magnitud llamada velocidad. r r r v v Supongamos que cierto punto P se traslada en un intervalo de tiempo t t t desde el punto asta el punto, caracterizados respectivamente por los vectores de posición r y r. O Se deine la velocidad media en el intervalo de tiempo t como: r vm t La dirección de la velocidad media coincide con r, es decir, queda determinada por la cuerda que une los etremos del tramo de trayectoria correspondiente y su sentido es el del movimiento. La velocidad instantánea, v, se deine como r r t t r t v lim lim t t t t es decir, como la rapidez de cambio del vector de posición respecto a t. Este vector es tangente a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. v m Cipri Versión 6.

3 .- TASA DE VARIACIÓN Mucas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son unciones que relacionan una variable dependiente y con otra variable independiente, lo que suele escribirse en la orma y = (). Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a otro, la variable y lo ace de (a) a (). La razón de cambio promedio (o tasa de variación media) de y a, es: con respecto a en el intervalo a a Razón de cambio promedio = Tvm, a Con recuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños. Esto lleva a deinir lo que podemos llamar razón de cambio puntual (o instantánea) de y con respecto a en el punto a como: a lim Tvi a a a Ejemplo. La tasa de variación media de la unción, y, vale: Tvm, 5 Tvm, en los intervalos Observa que, en el primer caso, la Tvm coincide con la variación de la unción de la unción, pues nos emos trasladado sólo una unidad a la dereca. En cambio, en el segundo caso, la Tvm es la media de las variaciones unitarias, que son: Tvm, y Tvm, Ejemplo. Entre Jaén y Cádiz ay 6 km por carretera. Si se viaja en automóvil, partiendo de Jaén a las 8 y llegando a Cádiz a las, la velocidad media a sido de 9 km/. Para calcularla emos dividido la variación del espacio recorrido (dierencia de distancias) entre la variación del tiempo transcurrido (dierencia de tiempos): dierencia de distancias 6 TvmJaén, Cádiz 9 dierencia de tiempos 8 Ejemplo. El índice de precios al consumo (IPC) epresa la variación porcentual de los precios. Esta variación suele darse mensualmente y por años. El IPC de mayo de 7 ue de. %. La acumulación de meses seguidos de el IPC interanual, y coincide, aproimadamente, con la tasa de inlaccion del año considerado. Departamento de Matemáticas

4 4.- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS LATERALES. Sea D un subconjunto de números reales. Llamaremos conjunto de puntos de acumulación de D al conjunto D ' : E entorno de : E D Si D ' diremos que es un punto de acumulación de D. Siempre que eista un intervalo abierto de centro a contenido en D se tendrá que a D '. Sea : D una unción real de variable real y a D D '. Se llama derivada de la unción en el punto a al límite siguiente, si eiste y es inito: a lim a Dico límite, caso de eistir, se representa por: [] d a ' a D a a. d Si en la deinición anterior acemos el cambio de variable a, el límite [] se escribe como sigue: a lim [] a a Ejercicio. Calcula la derivada de las siguientes unciones en los puntos que se indican: en a Si a) b) en a c) en a en a d) B D D ', diremos que es derivable en B cuando sea derivable en todos los puntos de B. Sea C a D D ': es derivable en a. Deinimos la unción derivada de por: ': C a C ' a El conjunto D ' también se llama conjunto derivado. d La notación a ué introducida por LEIBNIZ (646-76), y en ella se entiende que d d d operador, y la notación ' a ue introducida por LAGRANGE (76-8). es un 4 Cipri Versión 6.

5 Ejercicio. Calcula la unción derivada de Ejercicio. Calcula la unción derivada de calcula ', ' y '. y como aplicación Ejercicio 4. Calcula la unción derivada de las unciones siguientes: a) b) Una unción : D es derivable por la izquierda en = a ' a derivable por la dereca en = a ' a Caracterización: a lim a a a lim a a derivable en = a ' a, ' a y ' a ' a Ejercicio 5. Indica en qué puntos es derivable la siguiente unción y alla ' : si si si Ejercicio 6. Halla el valor de a para que Ejercicio 7. a si si Dada la unción sea derivable en, siendo Estudiar la continuidad, la derivabilidad y representarla gráicamente. Esta deinición es equivalente a la siguiente: Una unción : D es derivable por la izquierda en = a ' a derivable por la dereca en = a ' a Departamento de Matemáticas lim a a lim a a 5

6 b Ejercicio 8. Consideremos la unción b 4 Se pide: a) Determinar el valor de b para que sea continua. b) Es derivabe en el valor de b calculado en el apartado anterior? Aunque lo más abitual es que los intervalos donde se estudie la derivabilidad sean abiertos y de eco es en intervalos abiertos donde se obtienen las mejores propiedades de las unciones derivables, daremos la deinición de unción derivable en un intervalo cerrado a, b, que es similar a la que dimos para unciones continuas en un tal intervalo. Una unción y es derivable en, sea derivable en a, b sea derivable por la dereca en a sea derivable por la izquierda en b a b cuando: 5.- PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES Propiedad : Si una unción : D es derivable en un punto, entonces es continua en. Demostración: lim lim lim lim lim lim ' C.Q.D. Este resultado también se puede utilizar en sentido negativo: Si no es continua en, entonces no puede ser derivable en dico punto. En particular, las unciones derivables son continuas, pero no toda unción continua es derivable, como muestra el siguiente: Contraejemplo: La unción dico punto. es continua en pero no es derivable en Continuidad en : lim y, luego lim lim lim lim lim lim continua en. es 6 Cipri Versión 6.

7 Derivabilidad en : ' lim lim ' lim lim es derivable en. no eiste ' y por tanto, y no Resumiendo: - es continua en - no es derivable en - La gráica de no tiene recta tangente en Otro contrajemplo más: La unción derivable en dico punto. y es continua en pero no es Continuidad en :, luego lim lim Derivabilidad en : es continua en. ' lim lim lim y no es derivable en. ', y por tanto, Resumiendo: - es continua en - no es derivable en - La gráica de tiene una recta tangente vertical en Propiedad : Si una unción : D es derivable en un punto, entonces está acotada 4 en. Demostración: Como es derivable en, entonces por la propiedad, es continua en y por tanto, tomando, 4 Una unción : D está acotada en un punto sii E Departamento de Matemáticas M : M 7

8 / si, resulta que,, y así, es un intervalo acotado, es decir, entorno, de. C.Q.D. está acotada en un 6.- OPERACIONES CON FUNCIONES DERIVABLES 6.. Suma La unción derivada de una suma de unciones derivables es la suma de las unciones derivadas: Desmostración: g' ' g ' g g g' lim g g lim lim g g lim ' g ' C.Q.D. 6.. Producto de una constante por una unción La unción derivada del producto de una constante por una unción derivable es la constante por la unción derivada de la unción: Demostración: ' ' ' lim lim ' C.Q.D. lim 6.. Producto de unciones La unción derivada de un producto de unciones derivables es igual a la derivada del primer actor por el segundo sin derivar más el primer actor si derivar por la derivada del segundo actor: Demostración: g g ' ' g g ' g g g g ' lim lim 8 Cipri Versión 6.

9 g g lim lim g lim lim ' g g ' C.Q.D. lim g g g g 6.4. Función recíproca de una unción La derivada de la unción recíproca de una unción derivable viene dada por: ' ' Demostración: ' lim lim lim lim ' lim C.Q.D Cociente de dos unciones La unción derivada de un cociente de unciones derivables es igual al cociente de la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, entre el denominador al cuadrado: ' ' g ' g ' g g Demostración: g ' g ' ' ' ' g g g g g g ' g ' g g C.Q.D Composición de unciones: Regla de la cadena Sean : A y g : B unciones reales de variable real con A B, y a A A'. Supongamos que es derivable en a y que g es derivable en b a. Entonces: Departamento de Matemáticas 9

10 g ' a g ' a ' a Aplicando la regla de la cadena obtenemos la siguiente: Demostración: Sea g. Hay que probar que Por ipótesis, a lim g ' b ' a a a g y g b a lim lim g ' b ' a yb y b a a La idea es acer en esta igualdad la sustitución : B. y. Deinimos g y g b y b y y b g ' b y b que es una unción continua. a a Se tiene que A con a a a y como es continua en a y es continua en b a, se sigue que es continua en a, por lo que ' lim a b g b a La igualdad [] nos dice aora que a lim g ' b ' a a a 6.7. Derivación de la unción inversa Sea : I C.Q.D. derivable en el intervalo I con i) es una biyección de I sobre el intervalo J I ii) : J es derivable en J con ' y y J ' y Demostración: Demostremos ii): Teniendo en cuenta que regla de la cadena: ' I. Entonces: I ' ' ' ' y aplicando la ' que se puede escribir en la orma ' C.Q.D. ' Cipri Versión 6.

11 7. FUNCIÓN DERIVADA DE LAS FUNCIONES MÁS USUALES A modo de ejemplo calcularemos las unciones derivadas de algunas unciones elementales. A la vez que practicamos el cálculo de derivadas aplicando la deinición, también nos sirve para construir la conocida tabla de derivadas y que esta no aparezca como por arte de magia. ) La unción :, c, es derivable en cualquier punto a. Su derivada viene dada por: a c c ' a lim lim a a a a ) La unción derivada es: ) La unción :,, es derivable en cualquier punto a y su a a ' a lim lim a a a a :, n, es derivable en cualquier punto a. Para calcular su unción derivada utilizaremos la órmula del binomio de NEWTON: n a a a a ' a lim lim n n n n n n a a a... a a a n n lim n n n n n n n na a... a a n n lim n n n n n n n na a... a a n n n lim na n n n n n 4) La unción :,,, es derivable en cualquier a, Su derivada es: a n. a a a a a a a a a a a a a lim lim a a a a ' lim lim lim lim a a 5) La unción eponencial a a a :, e, es derivable en cualquier a. Departamento de Matemáticas

12 a a a e e a a e e ' a lim lim lim e teniendo en cuenta que e lim 6) La unción ' a lim lim :, sen, es derivable en cualquier a. a a sen a sen a cos a sen lim cos a y y donde emos tenido en cuenta que sen seny cos sen y que sen lim 7) La unción :, cos, es derivable en cualquier a. Su unción derivada se puede obtener teniendo en cuenta que cos sen y aplicando la regla de la cadena: ' a cos a 8) La unción tg : k : k es derivable en cualquier punto de su tg dominio y su derivada viene dada por: sen cos cos sen sen tg ' ' tg sec cos cos cos a log a :, 9) La unción es derivable en cualquier,. Su loga unción derivada viene dada por: loga loga loga ' lim lim lim log a lim lim loga lim loga Cipri Versión 6.

13 log a lim log a lim loga e log e :, En particular la unción es derivable en cualquier log ln,, y su derivada viene dada por: Tabla de derivadas e ln' Función Derivada Función Derivada y c con c y ' y ln y' y y ' y sen y' cos n y n y ' n y cos y sen y y' y tg y' tg n y y' y arcsen y' n n n y a con a y' a ln a y arccos y' y e y log a y' log a e Ejercicio 9. y' e y arctg Calcula la derivada de las siguientes unciones: 5 7 tg sen ) 4 7) 4 ) 5 7 8) cos tg ) 5 9) e tg 4 7 4) ) ln 5) ) e 6) log ) cos log 5 y' Departamento de Matemáticas

14 7) ) ) 8) 5 9) 5) sen tg ln ln ) 6) sen cos 5 ) 7) sen e sen ) 8) 5 ) sen cos sen cos sen e log 5 log 9) 4) ) tg 7 5) ) e sen 6) 5 ) sen tg Aplicando la regla de la cadena, obtenemos la siguiente tabla de derivadas para unciones compuestas: Tabla de derivadas, para unciones compuestas: y a y Función Derivada Función Derivada y n n y' n ' y sen y' ' cos ' y' y cos y ' sen n ' y' n n n y tg y' ' [ tg con a y' ' a ln a y arcsen y' ' y e y ' ' e y arccos y' ' y' ' ' log a e y arctg y' ln y' ' y y log a y ] 4 Cipri Versión 6.

15 Ejercicio. Calcula la derivada de las siguientes unciones: ) sen ) 5 ) ln 4) sen 5 ) e 5) sen 4) tg 6) sen cos 5) 5 7 sen 7) 5 cos sen 6) e sen 8) e cos sen cos 7) 9) log 5 8) log 7 4 sen ) lntg 9) sen ) sen cos ) tg ) 5 ) sen ) ) 4 sen 5 4) Ejemplos: de aplicación de la órmula de derivación de la unción inversa :, deinida por ln Calcular la derivada de la unción en un punto a, : Consideramos la unción e. Teniendo en cuenta la órmula de derivación de la unción inversa: ' a a a ' a e e a ln Calcular la derivada de la unción :, deinida por arccos en un punto a, : Consideramos la unción sen. Teniendo en cuenta la órmula de derivación de la unción inversa: ' a ' a cos a sen a a Ejercicio. Calcula la unción derivada de las unciones trigonométricas inversas (arcoseno y arcotangente) y comprueba los resultados obtenidos con los dados en la tabla anterior. 8. DERIVADA LOGARÍTMICA DE UNA FUNCIÓN Si : D es derivable en a D D ', la unción g : D deinida por g ln es derivable en a con g ' a ' a a Departamento de Matemáticas 5

16 Si : D y g : D son derivables en un punto a D D ', la unción : D deinida por g D es derivable en a con: ' a ' a a g ' aln a g a a Ejercicio. Calcula la derivada de las siguientes unciones: c) tg a) 5 b) d) El uso de la derivada logarítmica es indispensable para derivar unciones potencialeseponenciales, y muy aconsejable para derivar unciones dadas por una epresión algebraica complicada. 9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sea : D una unción continua y,,, P a a Q a a dos puntos de su gráica. Geométricamente se tiene que a a tg m secantes que es el valor que mide la pendiente de la recta secante en los puntos P y Q a la curva. Tomando límites en la igualdad anterior resulta: a a lim lim tg lim msec antes ' a tg m 6 Cipri Versión 6. recta tangente es decir, la derivada de una unción en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente 5 a la unción en ese punto. 5 Sea una unción continua en es: y a a P a Tangente Q Secantes Q a. La recta tangente a la gráica de en el punto P, i) la recta que pasa por P y tiene pendiente m límite eiste. y ii) la recta si A lim lim si este Aclaración: Esta deinición proviene del eco de que la recta tangente a una unción en un punto es el límite de la recta secante a la unción, cuando el otro punto de de corte de la recta secante y la unción tiende a.

17 ' y a a a y a P y Como consecuencia: a Ecuación de la recta tangente a la curva y en a, a ' y a a a : Ecuación de la recta normal a la curva y en a, a y a ' a a : Ejercicio. Halla la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa. Ejercicio 4. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la unción 4 en el punto de abscisa. Ejercicio 5. Halla la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa. Ejercicio 6. Dada 9, alla el punto en el que la recta tangente a la gráica de es paralela al eje de abscisas. Gráicamente las situaciones en las que una unción no es derivable en un punto son: c, c no es continua en c no es derivable en c c Departamento de Matemáticas 7

18 c, c es continua en c, pero la gráica de tiene una recta tangente vertical en c no es derivable en c c c, c es continua en c, pero la gráica de no tiene recta tangente en c (ya que tiene un pico) no es derivable en c c. EJERCICIOS Ejercicio 7. Señala en qué puntos no son derivables las siguientes unciones: y y 4 Ejercicio 8. Indica los puntos en los que las siguientes unciones no son derivables: si a) c) sen si si si b) d) si si 8 Cipri Versión 6.

19 Ejercicio 9. Calcula la unción derivada de las siguientes unciones, aplicando la regla de la cadena (una o varias veces) cuando sea necesario. ln 6) 5 4 ) 7 6 ) 7) log 5 ) 8) tg 4) sen 9) 5) 8 ) 7 6) 8 7 ) sen 7) 7 sen ) sen 5 8) sen ) 9) 4) ) 5) ) 6) sen ) 7) 4 ) 8) cosln 4) ln 9) log 5) 4) ln 6) 4) 4 7) ln e 4) 8) ln log a a log log 4 4 4) ln 9) 44) lnln ) log 45) ln ) ln 46) ) 47) ) 48) Departamento de Matemáticas 9

20 ln 4) 49) sen cos sen ln 5) 5) e 6) sen sen 5) 64) tg cos 5) 5) sen sen sen 65) 54) tg 66) 55) sec cosec 67) sen cos tg cos tg cotg sen 56) 68) cos 57) ln ln 69) sen 58) 59) cos 7) sen 6) lnsen 7) sec cotg 7) 6) 6) ln sen 4 4 7) sec 74) tg Ejercicio. Halla la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos indicados: a) y ln en e b) y cos en Ejercicio. En qué punto la derivada de y toma el valor cero? Cómo será la recta tangente a esta curva en dico punto? Ejercicio. Halla '. a y b en la unción y a b, sabiendo que y Ejercicio. Dada la unción y : a) Calcula la ecuación de la recta secante a su gráica que pasa por los puntos y. b) Resuelve el problema gráicamente. c) Qué representa la pendiente de esta recta? Ejercicio 4. En qué punto la recta tangente a la gráica de la unción 5 es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante? 6 Cipri Versión 6.

21 Ejercicio 5. Indica en qué puntos no es derivable la unción cuya gráica es la siguiente: Como en el intervalo, qué puedes decir de su derivada? la unción es la recta que une los puntos, y,,. DERIVADAS SUCESIVAS Sea I un intervalo y una unción derivable en I. Si derivada ' ' a se le llama derivada segunda de en Si I eiste '', la unción '' en I. En general, deinidas las unciones para k,..., n, diremos que orden k) de en I. ' es derivable en a I, a la a y se designa por '' a. se llama unción derivada segunda de n) ',..., : I k ) k), de tal modo que ', k ) es la unción derivada k-ésima ( o derivada de. ESTUDIO GLOBAL Y LOCAL DE FUNCIONES.. Monotonía de una unción Una unción : D es estrictamente creciente en Una unción : D es estrictamente decreciente en er criterio: Cociente incremental Si : D es estrictamente creciente en se tiene que si E tal que si si signo signo E tal que si y y y y y análogamente si : D es estrictamente decreciente en, luego: Departamento de Matemáticas

22 : D es estrictamente creciente en decreciente en º criterio: De la derivada primera Si : D es derivable en, y: ' es estrictamente creciente en es estrictamente decreciente en Por tanto, estudiar la monotonía de una unción es estudiar el signo de '. Ejercicio 6. Estudia la monotonía de las siguientes unciones: a) y 6 5 b) y c) y d) Ejercicio 7. Dibuja una unción que sea: a) Creciente en todo, b) Creciente en y decreciente en,. y.. Etremos relativos Se dice que : D tiene un máimo (resp. mínimo) relativo en (resp. E ). si E : Condición necesaria para la eistencia de etremos relativos en unciones derivables: Sea : D una unción derivable en y supongamos que tiene un etremo relativo en. Entonces: ' Contraejemplo: El recíproco no es cierto. La unción ' y sin embargo no tiene un etremo es derivable y relativo en el origen, ya que es siempre creciente. Condición necesaria y suiciente para que una unción derivable posea un etremo relativo en un punto Sea : D una unción derivable en y supongamos que Entonces, ) ) ' '' posee un etremo relativo en, que es un Cipri Versión 6. máimo si ''. mínimo si ''

23 Ejercicio 8. Halla los etremos relativos de las unciones del ejercicio. Ejercicio 9. Estudia los intervalos de monotonía y los etremos relativos de las siguientes unciones: c) a) 4 4 b) d) Curvatura de una unción: puntos de inleión Una igura o región del plano es convea si al tomar dos puntos cualesquiera de ella, el segmento que los une está completamente incluido en la igura. En caso contrario se dice que la igura o región es cóncava. A Polígono conveo Polígono no conveo B Una unción es convea 6 en un intervalo si la tangente a dica unción en cualquier punto del intervalo queda por debajo de la gráica; Si queda por encima se dirá que la unción es cóncava 7. Los puntos en los que la tangente a la gráica atraviesa a la unción se llaman puntos de inleión. er criterio: Sea : D una unción dos veces derivable en D D '. Si '' es convea en es cóncava en tangente por encima de la gráica en E tangente por debajo de la gráica en E º criterio: Condición necesaria: Si es dos veces derivable y es un punto de inleión, entonces ''. Condición necesaria y suiciente: Si es tres veces derivable en D D ', '' y ''', entonces tiene un punto de inleión en. 6 Ojo!! Al consultar la bibliograía es posible encontrar libros donde llaman unción cóncava a lo que nosotros llamamos unción convea. 7 La deinición ormal de unción convea es: Una unción : I con, donde I es un intervalo, es convea sii para cualesquiera, y para todo, se veriica que I. Departamento de Matemáticas

24 Por tanto, estudiar la curvatura de una unción es estudiar el signo de ''. Ejercicio. Estudia la curvatura (concavidad y conveidad) de las siguientes unciones: a) y 6 5 b) y Ejercicio. Halla los puntos de inleión de las unciones del ejercicio anterior.. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Para representar gráicamente una unción seguiremos los siguientes pasos: º) DOMINIO Y RECORRIDO Dom ( ) = {números para los que Img ( ) = y : de orma que y tiene sentido} º) SIMETRÍAS a) Función par: es simétrica respecto del eje OY b) Función impar: es simétrica respecto del origen, es decir, si giramos 8º la gráica obtenemos la misma unción. º) PERIODICIDAD y es periódica de período T T T y T es el menor de los números que cumplen dica condición. 4º) PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES a) Corte(s) con el eje OX y Ninguno, uno o más puntos b) Corte con el eje OY y Ninguno o un punto 5º) REGIONES DE EXISTENCIA a) Intervalos de positividad gráica por encima del eje OX b) Intervalos de negatividad gráica por debajo del eje OX Para determinar las regiones de eistencia de la unción signo de. y ay que estudiar el 6º) ASÍNTOTAS a) Asíntotas verticales 4 Cipri Versión 6.

25 La recta límites: a es una asíntota vertical de y = si eiste alguno de los siguientes lim lim a a lim a Observaciones: () Una unción puede tener ininitas asíntotas verticales. () La gráica de la unción no puede cortar a las asíntotas verticales. b) Asíntotas orizontales La recta y = k es una asíntota orizontal de límites: lim k lim k si eiste alguno de los siguientes Observaciones: ( ) Una unción tiene corno máimo dos asíntotas orizontales. ( ) La gráica de la unción puede cortar a las asíntotas orizontales. c) Asíntotas oblicuas La recta y = m + n, m, es una asíntota oblicua de si eiste alguno de los siguientes límites: lim m n en cuyo caso m lim y n lim lim m n m Observaciones: () Una unción puede tener como máimo dos asíntotas oblicuas. () Si una unción tiene asíntota oblicua no tiene asíntota orizontal y recíprocamente. () La gráica de la unción puede cortar a las asíntotas oblicuas en uno o varios puntos. 7º) PUNTOS DE DISCONTINUIDAD lim a, y por tanto la unción es continua en = a cuando a presenta discontinuidad en un punto cuando o no eiste el límite de la unción en dico punto o cuando ese límite no coincide con el valor que toma la unción en él. 8º) MONOTONÍA a) Intervalos de crecimiento: ' b) Intervalos de decrecimiento: ' c) Puntos críticos: a '' a, '' a, para todos los del intervalo para todos los del intervalo es un posible máimo o mínimo de si ' a Si entonces tiene en a un mínimo Si entonces tiene en a un máimo Para determinar la monotonía de la unción ay que estudiar el signo de 9º) CURVATURA '. Departamento de Matemáticas 5

26 a) Intervalos de conveidad: '' b) Intervalos de concavidad: '' un punto de inleión cóncavo- c) Puntos de inleión: a Si ''' a conveo Si ''' a cóncavo para todos los del intervalo para todos los del intervalo es un posible punto de inleión de si '' a, entonces tiene en a, entonces tiene en a un punto de inleión conveo- Para determinar la curvatura de la unción ay que estudiar el signo de ''. Ejercicio. Realiza, estudiando todas sus propiedades, la gráica de partir de ella, obtén la gráica de: a) y b) y c) y y, y a Ejercicio. Estudia y representa las gráicas de las unciones: 4 a) y b) y Ejercicio 4. Estudia y representa las siguientes unciones: ) y 4 4 ) y ) y ) 5 y ) y ) y 4 4) y ) y 5 5) ln y 4) y e 5) 6) ) 8) 4 6) 7) 8) 9) 4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Optimizar una unción es obtener el valor o valores de la variable independiente que maimizan o minimizan la unción objeto de estudio. Ejercicio 5. Halla las dimensiones del rectángulo de área máima que se puede inscribir en una circunerencia de radio 5 cm. 6 Cipri Versión 6.

27 Ejercicio 6. Halla dos números que sumados den y que su producto sea máimo. Ejercicio 7. Halla dos números tales que el cuadrado de uno multiplicado por el otro sea máimo, si la suma de dicos números es 4. Ejercicio 8. Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de 6 m de supericie, para poderlo cercar con una valla de longitud mínima. Ejercicio 9. Con m de cartón cómo construirías una caja del mayor volumen posible. Ejercicio 4. Una oja de papel debe contener 8 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inerior deben ser de cm y los laterales de cm. Cuáles deben ser las dimensiones para que resulten ojas con un coste mínimo? Ejercicio 4. Un agricultor sabe que si vende oy su coseca podrá recoger 5 kg, que le pagarán al precio de céntimos por kg. Por cada día que espere, la coseca disminuirá en 8 kg, pero el precio aumentará en céntimos por kg. Cuántos días deberá esperar para obtener el mayor beneicio? Ejercicio 4. Un vendedor de bolígraos a observado que si vende sus bolígraos a 5 céntimos, es capaz de vender unidades diarias, pero que por cada céntimo que aumente el precio, disminuye en unidades la venta diaria de bolígraos. Por otra parte a él le cuesta 7.5 céntimos abricar un bolígrao. Averiguar qué precio a de poner para obtener el máimo beneicio. Ejercicio 4. Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m de supericie. EL metro lineal de tramo orizontal cuesta 4 euros y el tramo vertical 4 euros. a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) Determinar el coste del marco. Ejercicio 44. En una oicina de correos sólo admiten paquetes con orma de paralelepípedo rectangular, tales que la ancura sea igual a la altura y, además, la suma de sus tres dimensiones debe ser de 7 cm. Halla las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máimo. En los siguientes problemas nos piden optimizar unciones pero en intervalos cerrados del tipo a, b. Para abordar este tipo de problemas con éito es conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones: Los etremos del intervalo: a y b Los a b Los en los que no eiste ', : ' (posibles etremos relativos) 4 Ejercicio 45. Se considera la unción ( ) 4. Se pide: Departamento de Matemáticas 7

28 a) Pendiente de la recta tangente a la graica de la unción en el punto de abscisa. b) Escribe los intervalos en donde la unción es creciente y en donde sea decreciente c) Determina los valores de en los que la unción alcanza máimos y mínimos relativos. d) Valor mínimo que toma la unción en el intervalo [-, ]. Ejercicio 46. Se considera la unción. Se pide: a) Pendiente de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto de abscisa. b) Escribe los intervalos en donde la unción sea creciente y en donde sea decreciente. c) Determina los valores de en los que la unción alcanza máimos y mínimos relativos. d) Calcular los etremos absolutos de dica unción en el intervalo, 4. 8 Cipri Versión 6.