Problemas resueltos de estadística aplicada a las ciencias sociales

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3 Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales Pablo Juan Verdoy Modesto Joaquín Beltrán María José Pers Departament de Matemàtques Cods d assgnatura RA10, RL0906 P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

4 Edta: Publcacons de la Unverstat Jaume I. Serve de Comuncacó Publcacons Campus del Ru Sec. Edfc Rectorat Serves Centrals Castelló de la Plana e-mal: Col leccó Sapenta, Prmera edcó, 2015 ISBN: Publcacons de la Unverstat Jaume I és una edtoral membre de l une, cosa que en garantex la dfusó de les obres en els àmbts naconal nternaconal. Aquest text està subjecte a una llcènca Reconexement-NoComercal-CompartrIgual de Creatve Commons, que permet copar, dstrbur comuncar públcament l obra sempre que especfque l autor el nom de la publcacó sense objectus comercals, també permet crear obres dervades, sempre que sguen dstrbuïdes amb aquesta matexa llcènca. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

5 ÍNDICE Prólogo Introduccón Undad 1. Estadístca descrptva unvarante Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Undad 2. Estadístca descrptva bvarante Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Undad 3. Números índce Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Undad 4. Seres temporales Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Bblografía P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

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7 Prólogo La estadístca es una cenca con base matemátca referente a la recogda, análss e nterpretacón de datos que busca explcar condcones regulares en fenómenos de tpo aleatoro. Es transversal a una ampla varedad de dscplnas, desde la físca hasta las cencas socales, desde las cencas de la salud hasta el control de caldad, y es usada para la toma de decsones en áreas de negocos e nsttucones gubernamentales. Podemos consderar dos ramas en la Estadístca: a) La estadístca descrptva, que se dedca a los métodos de recogda, descrpcón, vsualzacón y resumen de datos orgnados a partr de los fenómenos en estudo. Los datos pueden ser resumdos numérca o gráfcamente. Ejemplos báscos de parámetros estadístcos son: la meda y la desvacón estándar. Algunos ejemplos gráfcos son: hstograma, prámde poblaconal, clústeres, etc. b) La nferenca estadístca se dedca a la generacón de los modelos, nferencas y predccones asocadas a los fenómenos en cuestón tenendo en cuenta la aleatoredad de las observacones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer nferencas sobre la poblacón de estudo. Estas nferencas pueden tomar la forma de respuestas a preguntas sí/no (prueba de hpótess), estmacones de característcas numércas (estmacón), pronóstcos de futuras observacones, descrpcones de asocacón (correlacón) o modelzacón de relacones entre varables (análss de regresón). Otras técncas de modelzacón ncluyen anova, seres de tempo y mnería de datos. Ambas ramas (descrptva e nferencal) comprenden la estadístca aplcada. Hay tambén una dscplna llamada estadístca matemátca, la cual hace referenca a las bases teórcas de la matera. La palabra «estadístca» tambén se refere al resultado de aplcar un algortmo estadístco a un conjunto de datos, como en estadístcas económcas, estadístcas crmnales, etc. En su orgen, por lo tanto, la estadístca estuvo asocada a datos para ser utlzados por el goberno y cuerpos admnstratvos (a menudo centralzados). La coleccón de datos sobre estados y localdades contnúa amplamente a través de los servcos de estadístca naconales e nternaconales. En partcular, los censos sumnstran nformacón regular sobre la poblacón. Los métodos estadístco matemátcos emergeron desde la teoría de probabldad, que data desde la correspondenca certamente entre Perre de Fermat y Blase Pascal (1654). Chrstan Huygens (1657) da el prmer tratamento centífco que se conoce en la matera. El Ars Conjectand (póstumo, 1713) de Jakob Bernoull y la Doctrna de Posbldades (1718) de Abraham de Movre estudaron la matera P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

8 como una rama de las matemátcas. En la era moderna, el trabajo de Kolmogorov ha sdo un plar en la formulacón del modelo fundamental de la Teoría de Probabldades, el cual es usado a través de la estadístca. La teoría de errores se puede remontar a la Opera Mscellanea (póstuma, 1722) de Roger Cotes y al trabajo preparado por Thomas Smpson en 1755 (mpreso en 1756) que aplca por prmera vez la teoría de la dscusón de errores de observacón. La rempresón (1757) de esta obra ncluye el axoma de que errores postvos y negatvos son gualmente probables y que hay unos certos límtes asgnables dentro de los cuales se encuentran todos los errores, se descrben errores contnuos y una curva de probabldad. Perre-Smon Laplace (1774) hace el prmer ntento de deducr una regla para la combnacón de observacones desde los prncpos de la teoría de probabldades. Laplace representó la ley de probabldades de errores medante una curva y dedujo una fórmula para la meda de tres observacones. Tambén, en 1871, obtene la fórmula para la ley de facldad del error (térmno ntroducdo por Lagrange, 1744) pero con ecuacones nmanejables. Danel Bernoull (1778) ntroduce el prncpo del máxmo producto de las probabldades de un sstema de errores concurrentes. El método de mínmos cuadrados, el cual fue usado para mnmzar los errores en medcones, fue publcado ndependentemente por Adren-Mare Legendre (1805), Robert Adran (1808) y Carl Fredrch Gauss (1809). Gauss había usado el método en su famosa predccón de la localzacón del planeta enano Ceres en Pruebas adconales fueron escrtas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Fredrch Bessel (1838), WF Donkn (1844, 1856), John Herschel (1850) y Morgan Crofton (1870). Otros, Col van Ells (1844), Augustus De Morgan (1864), Glasher (1872) y Govann Schaparell (1875). El sglo xx ncluye autores como Laplace, Slvestre Lacrox (1816), Lttrow (1833), Rchard Dedeknd (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Lagre, Ddon y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoran la presentacón de la teoría. Adolphe Quetelet ( ) fue otro mportante fundador de la estadístca y quen ntrodujo la nocón del «hombre promedo» (l homme moyen) como un medo de entender los fenómenos socales complejos como tasas de crmnaldad, tasas de matrmono o tasas de sucdos. Durante el sglo xx, la creacón de nstrumentos necesaros para asuntos de salud públca (epdemología, estadístca, etc.) y propóstos económcos y socales (tasa de desempleo, econometría, etc.) necestó de avances sustancales en las práctcas estadístcas. Hoy el uso de la estadístca se ha extenddo más allá de sus orígenes como un servco al Estado o al goberno. Personas y organzacones usan la estadístca para entender datos y tomar decsones en cencas naturales y socales, medcna, negocos y otras áreas. La estadístca es entendda generalmente no como un subárea de las matemátcas sno como una cenca dferente «alada». Muchas unversdades tenen departamentos académcos de matemátcas y estadístca separadamente. La estadístca se enseña en departamentos tan dversos como pscología, educacón y salud públca. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

9 Al aplcar la estadístca a un problema centífco, ndustral o socal se comenza con un proceso o poblacón a ser estudado. Esta puede ser la poblacón de un país, la de grandes crstalzados en una roca o la de benes manufacturados por una fábrca en partcular durante un período dado. Tambén podría ser un proceso observado en varos nstantes y los datos recogdos de esta manera consttuyen una sere de tempo. Por razones práctcas, en lugar de complar datos de una poblacón entera, usualmente se estuda un subconjunto selecconado de la poblacón, llamado muestra. Datos sobre la muestra son recogdos de manera observaconal o expermental. Los datos son entonces analzados estadístcamente lo cual sgue dos propóstos: descrpcón e nferenca. El concepto matemátco fundamental utlzado para entender la aleatoredad es el de probabldad. La estadístca matemátca (tambén llamada teoría estadístca) es la rama de las matemátcas aplcadas que usa la teoría de probabldades y el análss matemátco para examnar las bases teórcas de la estadístca. El uso de cualquer método estadístco es váldo solo cuando el sstema o poblacón bajo consderacón satsface los supuestos matemátcos del método. El mal uso de la estadístca puede producr seros errores en la descrpcón e nterpretacón, afectando las polítcas socales, la práctca médca y la caldad de estructuras tales como puentes y plantas de reaccón nuclear. Incluso cuando la estadístca es correctamente aplcada, los resultados pueden ser dfíclmente nterpretados por un no experto. Por ejemplo, el sgnfcado estadístco de una tendenca en los datos, que mde el grado en que la tendenca puede ser causada por una varacón aleatora en la muestra, puede no estar de acuerdo con el sentdo ntutvo. El conjunto de habldades estadístcas báscas (y el esceptcsmo) que una persona necesta para manejar nformacón en el día a día se refere como cultura estadístca. Este lbro de problemas con ayudas es la prmera parte de un conjunto de dos que comprenderá todas las fases del proceso estadístco. En este volumen se estudan medante problemas los prncpales rasgos de la estadístca descrptva de una varable, de dos varables, los números índces y seres temporales. La novedad que presenta este manual es que todos los ejerccos tenen dos tpos de ayudas que aportan «pstas» de cómo resolver los ejerccos y los problemas. Así pues, el alumno puede consultarlas sempre que no sepa por dónde contnuar mentras está resolvendo un ejercco. De esta manera el estudante evtará la desagradable sensacón que una persona tene cuando abandona la resolucón de un ejercco. Además, tambén se ncluyen las solucones completas de los ejerccos, muchos de ellos comentados con profunddad. Es convenente dejar claras dos cuestones relevantes. La prmera de ellas es que no hay que sacar la falsa dea de entender la estadístca como una mera coleccón de métodos o técncas útles para el tratamento de la nformacón o, ncluso lo que P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

10 es más, conclur que la estadístca es lo que hacen los estadístcos. Aunque estas dos deas no son desacertadas, tampoco permten tener una vsón completa de lo que es la estadístca. La segunda es que nuestras decsones se basan, cada vez más, en un flujo crecente de nformacón que necestamos sntetzar para evtar aquello de los árboles que mpden ver el bosque. Nuestras decsones son de tpo condconado, ya que las msmas se toman en funcón de algún tpo de nformacón, tanto pasada como presente. Este lbro pretende ser un complemento ddáctco de la teoría básca de estadístca que se puede encontrar en otros numerosos lbros que hoy en día se pueden encontrar en nuestras bblotecas, así como sobre todo el manual Introduccón a la estadístca aplcada a las cencas socales de la Col leccó Sapenta de Publcacons de la uj, que puede consderarse el manual teórco que complementa este lbro. En defntva, nuestra humlde pretensón es que este texto srva de ayuda complementara a todos aquellos estudantes que se enfrentan (muchas veces con poco éxto) a la resolucón de problemas de estadístca descrptva. Los autores P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

11 Introduccón El presente lbro de problemas se puede consderar como el prmero de los dos complementos del manual Introduccón a la estadístca aplcada a las cencas socales de la Col leccó Sapenta de Publcacons de la Unverstat Jaume I, el cual consta fundamentalmente de contendos teórcos, quedando el apartado de problemas en un segundo plano. Con este nuevo texto, basado cas exclusvamente en problemas resueltos, se completa parte del manual teórco y se faclta al estudante una herramenta excelente para consoldar el aprendzaje de sus contendos. Los problemas cuentan con ayudas, sendo la últma su resolucón completa. Es decr, cada uno de los problemas tene dos tpos de ayudas, que no son más que una breve nformacón que puede facltar al estudante el arduo trabajo de resolver el problema. Las ayudas de tpo 1 son una mera orentacón que tene por objeto manfestar los contendos que se deben consultar para poder resolver el problema. La ayuda de tpo 2 da bastante más nformacón que la prmera. Así, en muchas ayudas de este tpo se muestra parte de la resolucón del ejercco. Fnalmente, en la resolucón del problema se muestra con todo detalle los contendos estadístcos que se utlzan y numerosos comentaros que permten ntur la resolucón del problemas smlares. Además, los problemas están clasfcados por objetvos, ya que de esta manera el estudante sabe en cada momento qué contendos se están trabajando y, por tanto, puede consultar el manual teórco para revsar aquellas cuestones en las que presente dfcultades. Por otra parte, este manual está dvddo en cuatro undades que hacen referenca a la estadítca descrptva unvarante, la estadístca descrptva bvarante, los números índces y, fnalmente, las seres temporales. Cada undad está dvdda en cuatro bloques: en el prmero se proponen los enuncados de los problemas clasfcados por objetvos. La segunda parte proporcona úncamente las ayudas de tpo 1 En el tercer bloque las ayudas son del tpo 2. El hecho de que para un msmo problema no se encuentren los dos tpos de ayudas conjuntamente tene la pretensón de que el estudante realce la consulta detallada de las ayudas, reforzando la dea de pensar antes de consultar. En la últma parte se muestran las resolucones completas de los problemas, las cuales están repletas de comentaros, gráfcos y dagramas que facltan su comprensón. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

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13 UNIdAd 1 Estadístca descrptva unvarante P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

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15 Introduccón teórca Como elementos ntroductoros de este capítulo, es convenente recordar defncones de elementos mportantes, ya desarrolladas en dferentes materales como los lbros referencados 1, 2 y 3, tales como: Poblacón: Es el conjunto de elementos, ndvduos o los sujetos a estudo y de los que se quere obtener un resultado. Parámetro: Es una medda descrptva de la poblacón total, de todas las observacones. Muestra: Conjunto de elementos que forman parte de la poblacón total a la que representa. Tamaño de la muestra: Es el número de elementos u observacones que forman la muestra. Estadístco: Es una medda descrptva de la muestra y que estma el parámetro de la poblacón. Varables cualtatvas y cuanttatvas Las varables en las que úncamente es posble un recuento del número de elementos de la poblacón o muestra que poseen una de sus modaldades se llaman varables cualtatvas o atrbutos (lbros referencados 4, 8, 14 y 19). Las modaldades de estos tpos de varables n squera admten una gradacón y mucho menos una medda numérca. Son varables como el sexo de una persona, la confesonaldad, etc. Las modaldades que pueden tomar se denomnan categorías. Así, las categorías de la varable sexo son masculno y femenno. El resto de varables en las que, además de admtr el recuento del número de elementos de la poblacón o muestra que poseen una de sus modaldades, tambén es posble asgnarle una medda a la propa modaldad, se denomnan varables cuanttatvas. Son por ejemplo el peso, la altura, el sueldo mensual, el grado de dureza, etc. Estas últmas varables, las cuanttatvas, tambén pueden clasfcarse en dscretas y contnuas. Una varable contnua es aquella que puede tomar cualquer valor dentro de un rango dado. Independentemente de la proxmdad de dos observacones, s el nstrumento de medda es sufcentemente precso, sempre se podrá encontrar una tercera observacón entre las dos prmeras. Una varable dscreta está lmtada para certos valores, generalmente números enteros. Se dferencan de las contnuas en que, dadas dos observacones sufcentemente P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

16 próxmas, no se puede encontrar nnguna observacón de la varable entre ellas. Son ejemplos el número de hjos de las famlas, el número de vehículos que tenen las empresas, el número de turstas que vstan un país, etc. La varable estadístca se denota con mayúsculas. Asmsmo, cada una de estas varables puede tomar dstntos valores sendo su notacón la sguente: X = (x 1, x 2, x 3,..., x k-2, x k-1, x k ) Tablas de frecuenca Antes de construr las tablas de frecuencas, hay que realzar una sere de defncones: Se llama frecuenca absoluta del valor x al número de veces que aparece repetda la observacón en la recoplacón de datos. Se representa por n. Se llama frecuenca relatva del valor x al cocente entre la frecuenca absoluta de x y el número total de datos n. Se representa por f y, evdentemente, es la proporcón en que se encuentra el valor x dentro del conjunto de datos en tanto por uno; n f =. n Por otra parte, suponendo que se dspondrá de k datos dferentes, se cumple que la suma de todos los n es n ( n + n n = 1 2 k n ), y tambén que la suma de las frecuencas relatvas es gual a la undad ( f f f 1) k = Se llama frecuenca absoluta acumulada del valor x al número de datos de la recoplacón que son menores o guales que x. Se representa por N y su valor se calcula a partr de las frecuencas absolutas; N = n 1 + n n (asumendo que x 1 < x 2 <...< x ). Se llama frecuenca relatva acumulada del valor x al cocente entre la frecuenca absoluta acumulada de x y el número total de datos n. Se representa por F y, evdentemente, es la proporcón en que se encuentran los valores menores o guales a N x dentro del conjunto de datos en tanto por uno; F =. Tambén hay otra manera de calcular F n a partr de las frecuencas relatvas, pues F = f 1 + f f. (asumendo que x 1 < x 2 <...< x ). Las frecuencas acumuladas tambén cumplen dos propedades trvales como consecuenca de sus defncones: suponendo que se dspusera de k datos dferentes, se cumple que N k = n y F = 1. k Es mportante remarcar que para calcular frecuencas acumuladas es necesaro que las varables por estudar sean ordenables, es decr, debe ser posble establecer una relacón de orden entre las varables. En otros casos, no tene nngún sentdo realzar estos cálculos. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

17 Estas defncones permten resumr los datos. Sn embargo, la manera más adecuada para sntetzar los datos es medante lo que se denomna tabla de frecuencas. En ella aparecen dstrbudas los datos según las frecuencas. Al msmo tempo refleja todos los conceptos menconados con anterordad. En ocasones el número de datos dferentes que se está estudando es muy numeroso. Entonces, s se decdera construr una tabla como la anteror, la columna relatva a las x sería muy extensa, úncamente hay que pensar en doscentos datos dferentes dentro de una recoplacón de cuatrocentos. La solucón a esta cuestón consste en agrupar los datos en ntervalos o clases, de modo que cada dato pertenezca a uno y solo un ntervalo. En consecuenca, los conceptos relatvos a la frecuenca que hasta ahora se referían a los valores dferentes de los datos, al realzar la agrupacón, deben hacer referenca a los ntervalos. Esta práctca, a pesar de que ayuda a resumr y clarfcar la nformacón, tene en cambo un nconvenente: se perde nformacón sobre la propa dstrbucón de datos. Al agruparlas en los ntervalos los valores reales se «dfumnan». Un ntervalo se suele representar por [L -1, L ) y se defne como el conjunto formado por todos los valores reales que son mayores o guales que L -1 (Extremo nferor) y menores que L (Extremo superor). Se llama marca de clase a la meda artmétca de los dos extremos del ntervalo. Es evdentemente el valor central del ntervalo ya que equdsta de los extremos. Se denota por c. Se calcula c = L + L 1. 2 Se llama ampltud de un ntervalo a la dstanca que hay entre los extremos. Se denota por a y se calcula a = L L -1. Se llama densdad de frecuenca absoluta de un ntervalo al cocente entre la frecuenca absoluta del ntervalo y su ampltud. Se denota por d. Se calcula n d =. a Sn embargo, en la lteratura matemátca es posble encontrar varas reglas para calcular el número adecuado de ntervalos a partr del número de datos, como que no puede superar el 10 % del número total de datos o como el método de la raíz. Según este método el número de clases es gual a la raíz cuadrada del número de datos: Número clases = Se llama recorrdo de un conjunto de datos a la dferenca entre el valor más grande y el más pequeño del conjunto. Se denota por Re. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

18 En consecuenca, para averguar la ampltud de la clase calculamos: Ampltud = Conocendo el número de ntervalos y la ampltud se pueden construr fáclmente todos los ntervalos. Al fnalzar la construccón de todos los ntervalos es necesaro comprobar que todos los datos pertenecen a un y solo un ntervalo. S no es así, hay que realzar alguna modfcacón en la ampltud o en el número de ntervalos. Gráfcos estadístcos Los gráfcos tambén son muy útles para descrbr los conjuntos de datos (referencas 15, 20 y 23). De hecho, un gráfco estadístco permte formarse una prmera dea de la dstrbucón de los datos tan solo con una observacón. No obstante, hay que tener cudado pues en algunas ocasones los gráfcos presentan «tendencas» no atrbubles al quehacer matemátco. Dagrama de sectores o dagrama crcular: Es un círculo dvddo en dferentes sectores. El área de cada sector es proporconal a la frecuenca que se quera representar, sea absoluta o relatva. Para calcular el ángulo asocado a cada frecuenca se aplca una smple proporcón: el ángulo asocado a una frecuenca absoluta n n es gual a f 360º ( f = ). Para la frecuenca absoluta acumulada se razona de la msma manera. n Dagrama de barras: Se utlza para representar los datos que no están agrupados. Consste en colocar sobre un eje horzontal los dstntos valores que toma la varable estadístca, y sobre cada uno de ellos levantar un rectángulo de altura gual a la frecuenca (del tpo que se esté representando). Todos los rectángulos deben tener la msma ampltud. Hstogramas: Se utlzan para representar datos agrupados en ntervalos. Consste en colocar sobre un eje horzontal los dferentes ntervalos. Sobre cada uno de ellos se construye un rectángulo de superfce gual a la frecuenca que se esté representando. Así, las alturas de los rectángulos deben ser las densdades de los ntervalos. Hay que notar que en el eje horzontal aparecen reflejadas las marcas de las clase. Polígono de frecuencas: Es menos utlzado que los dagramas de barras y los hstogramas, pero pueden sustturlos. Consste en unr medante líneas polgonales los extremos superores de las barras s se trata de datos sn agrupar, o el punto medo de la base superor de los rectángulos, s se trata de hstogramas. Pctograma: Se suele utlzar para expresar un atrbuto. Se suelen utlzar conos que se dentfcan con la varable (ejemplo una bomblla, s la varable es la energía electrca consumda en un hogar) y su tamaño es proporconal a la frecuenca. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

19 Meddas de poscón Son coefcentes que tratan de representar una determnada dstrbucón; pueden ser de dos tpos, centrales y no centrales. Meddas Centrales Meda artmétca Es el valor que habtualmente se toma como representacón de los datos. Es la suma de todos los valores de la varable dvdda entre el número total de elementos. S los datos están agrupados, se toma la marca de la clase como representante del ntervalo y se realzan todos los cálculos como s los valores de la varable fueran las marcas de las clases. S se consdera una varable estadístca X que tene k valores dferentes, que se representan por x y sus frecuencas para n, entonces la meda artmétca se calcula: Meda artmétca: n1x 1 + n2x nk x n k La meda artmétca cumple las sguentes propedades: La suma de las desvacones de los valores de la varable respecto a la meda artmétca es 0. S a todos los valores de la varable se les suma una msma constante, la meda artmétca queda aumentada en dcha constante. S todos los valores de la varable se multplcan por una msma constante la meda artmétca queda multplcada por dcha constante. S una varable Y es transformacón lneal de otra varable X (Y = a X + b; a y b números reales), la meda artmétca de Y sgue la msma transformacón lneal respecto a la meda artmétca de X. Es decr: Y = a X + b. S en un conjunto de valores se pueden obtener 2 o más subconjuntos dsjuntos que suponen una partcón del conjunto total de valores, la meda artmétca del conjunto se relacona con la meda artmétca de cada uno de los X subconjuntos dsjuntos de la sguente forma: N X = (sendo X la n meda de cada subconjunto y N el número de elementos de cada subconjunto). P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

20 Meda artmétca ponderada A veces, no todos los valores de la varable tenen el msmo peso. Es decr, cada uno de los valores que toma la varable tene asgnado un número que ndca su mportanca, el cual es ndependente de la propa frecuenca absoluta. El cálculo de la meda artmétca ponderada en estas casos sgue la sguente expresón, donde w es el peso asocado a cada valor de la varable x. X w = k =1 k =1 x w n w n Meda geométrca Puede utlzarse para mostrar cambos porcentuales en una sere de números postvos. Por lo tanto, tene una ampla aplcacón en los negocos y en la economía. La meda geométrca proporcona una medda precsa de un cambo porcentual medo en una sere de números. Se representa por G y su cálculo efectuando la notacón habtual sgue la sguente expresón. 1 2 n n n nk G = x1 x2... xk Utlzando la notacón potencal, tambén se puede presentar por: G = 1 n1 n2 nk n ( x1 x2... xk ) Meda harmónca Se representa por H y es la nversa de la meda artmétca de las nversas de los valores de la varable, con expresón: H = n n = n n 1 + n n k x 1 x 2 x x k Se utlza para calcular el valor medo de magntudes expresadas en térmnos relatvos como velocdades, tempos, rendmento, tpo de cambo monetaro, etc. Su prncpal contraredad es que cuando algún valor de la varable es 0 o próxmo a cero no se puede calcular. En muchas ocasones, no es necesaro aplcar la fórmula anteror. Úncamente hay que tener presente el concepto de meda artmétca. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

21 Medana La medana es el valor de la varable que dvde las observacones en dos grupos de gual número de elementos, de modo que en el prmer grupo todos los datos sean menores o guales que la medana, y en el otro grupo, todas los datos sean mayores o guales. Por lo tanto, es una cantdad que ndca orden dentro de la ordenacón. Datos no agrupados Al ordenar los datos, la poscón que ocupa la medana se determna dvdendo n el número total de valores entre 2 ( ) o lo que es lo msmo, calculando el 50 % 2 del total de datos (0,5 n). Hay que tener en cuenta, sn embargo, la pardad de n: Cuando haya un número mpar de valores, la medana será justo el valor central. S hay muchos datos el cálculo no es nmedato, hay que construr la tabla de frecuencas y fjarse en la columna de las frecuencas absolutas acumuladas N. La medana será el valor de varable que tenga la frecuenca absoluta acumulada gual a n. Es decr: 2 s N 1 n 2 N Me = x Cuando haya un número par de valores, la medana será la meda artmétca de los dos valores centrales de la varable. Del msmo modo que en el caso anteror, s el conjunto de observacones es numeroso, es necesaro construr n la tabla de frecuencas y fjarse en la columna de las N. S al calcular 2 este resulta ser un valor menor que una frecuenca absoluta acumulada, la medana se calculará de la msma manera que en el caso anteror; es decr, s N 1 n 2 N n Me = x. Sn embargo, s concde con algun 2 N, para obtenerla se realzará el cálculo sguente: Me = x + x +1. Los ejemplos sguentes clarfcan los cálculos. 2 Datos agrupados En dstrbucones agrupadas es necesaro determnar el ntervalo [L-1, L) en el que se encuentra la medana. Este ntervalo se determna sguendo exactamente los msmos procedmentos menconados en el apartado anteror; se realza el msmo que en el caso de datos no agrupados. La dferenca radca en que se obtendrá un ntervalo en lugar de un valor. Una vez se tene el ntervalo [L -1, L ), la medana se calcula: Me = L 1 + n 2 N 1 a donde, n P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

22 L -1 Límte nferor N -1 Es la frecuenca absoluta acumulada de la clase «anteror» a la clase medana n Es la frecuenca de la clase medana Es la ampltud de la clase medana a Es evdente que lo que se pretende es calcular un representante del ntervalo con el objeto de fjar la medana en un valor. Una posbldad hubera sdo consderar la marca de clase, sn embargo, el crtero usualmente más segudo no es este sno el de la fórmula antes menconada. En esta fórmula en prmer lugar se consdera el supuesto de que los datos están unformemente dstrbudos dentro de cada ntervalo. Tenendo este hecho en cuenta, se puede observar que la fórmula es una relacón de proporconaldad entre las poscones que ocupan los valores de la varable y la ampltud de los ntervalos. Moda Es el valor de la varable que más veces se repte, es decr, el valor que tene mayor frecuenca absoluta. Pueden exstr dstrbucones con más de una moda: bmodales, trmodal, etc. Datos no agrupados En las dstrbucones sn agrupar, la obtencón de la moda es nmedata. Datos agrupados En los supuestos que la dstrbucón venga dada en ntervalos, se pueden producr dos casos: que tengan la msma ampltud, o que esta sea dstnta. En ambos casos el objetvo es encontrar un valor que represente la moda. Intervalos con la msma ampltud Es evdente que una vez determnada la mayor frecuenca a esta no le corresponde un valor sno un ntervalo. Entonces no tendremos un valor modal sno un ntervalo modal. Para calcular el representado del ntervalo que haga el papel de moda hay dstntos crteros. En el texto se recoge el sguente. En prmer lugar se calcula el ntervalo donde se encuentra la moda, es decr, el ntervalo modal [L -1, L ), el cual tene mayor frecuenca absoluta (n ). Posterormente se calcula la moda de la sguente manera: n Mo = L a n 1 + n +1 P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

23 Donde: L -1 : extremo nferor del ntervalo modal a : ampltud del ntervalo n -1, n +1 : frecuencas de los ntervalos anterores y posteror respectvamente del ntervalo modal Del msmo modo que la medana, la fórmula tene el supuesto de que los datos están unformemente repartdas dentro de cada ntervalo. Además, sguendo este crtero se puede observar que la moda estará más cerca de aquel ntervalo adyacente con mayor frecuenca absoluta. Meddas no Centrales Percentles o cuantles Son meddas de localzacón smlares a la medana. Su funcón es nformar del valor de la varable que ocupará la poscón (en tanto por cento) que nos nterese respecto de todo el conjunto de observacones. Podemos decr que los cuantles son unas meddas de poscón que dvden la dstrbucón en un certo número de partes. Las más mportantes son: Cuartles, dvden la dstrbucón en cuatro partes guales (tres dvsones). C1, C2, C3, correspondentes a 25 %, 50 %, 75 %. Por ejemplo, el 1.º cuartl tene un 25 % de los datos menores o guales a él, el segundo cuartl es la medana, etc. Decles, dvden la dstrbucón en 10 partes guales (9 dvsones). D1,..., D9, correspondentes a 10 %,..., 90 %. Percentles, dvden a la dstrbucón en 100 partes (99 dvsones). P1,..., P99, correspondentes a 1 %,..., 99 %. Por ejemplo, el valor correspondente al percentl 65, tene un 65 % de los datos menores o guales a él. Hay un valor en el que concden los cuartles, los decles y percentles. Es la medana, ya que: P 50 = C 2 = D 5. El cálculo de los cuantles sgue el msmo procedmento que el que se ha utlzado en la medana, tanto para los datos agrupados como para los datos sn agrupar. Así, en general se calcula la poscón en que se encuentra el cuantl y después se calcula. Se dstngue entre dstrbucones agrupadas y las que no lo están: P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

24 Datos no agrupados Prmero se calcula la poscón que ocupa el cuantl que se está estmando. Así, s Q a representa el cuantl que deja por debajo de él un a (%) de los datos: s N 1 a 100 n N Q a = x en el supuesto que a 100 n = N Q = x + x +1 2 Datos agrupados En dstrbucones agrupadas, es necesaro determnar el ntervalo [L-1, L) en el que se encuentra el cuantl. Este ntervalo se determna sguendo exactamente los msmos procedmentos menconados en el apartado anteror; se realza el msmo que en el caso de datos no agrupados. La dferenca radca en que se obtendrá un ntervalo en lugar de un valor. Un vez se tene el ntervalo [L-1, L), el cuantl se calcula: Me = L n a N 1 a donde, n L -1 Límte nferor de la clase medana N -1 Es la frecuenca absoluta acumulada de la clase «anteror» a la clase medana n Es la frecuenca de la clase medana Es la ampltud de la clase medana a Meddas de dspersón Son complementaras de las de poscón, en el sentdo que señalan la dspersón del conjunto de todos los datos de la dstrbucón, respecto de la medda o meddas de localzacón adoptadas. Recorrdo Se defne como la dferenca entre el mayor y menor valor de las varables de una dstrbucón de datos, es decr: Re = max(x ) mn(x ) Recorrdo ntercuartílco Se defne como la dstanca que hay entre el tercer y el prmer cuartl, es decr: Re = C 3 C 1 P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

25 Desvacón meda respecto de la medana Se defne como la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacones de los valores de la varable respecto de la medana. Responde a la sguente expresón: Varanza D Me = k =1 x Me n Se defne como la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones de los valores de la varable respecto de la meda artmétca de la dstrbucón. Responde a la expresón: n s 2 = (x 1 X)2 n 1 + (x 2 X) 2 n (x k X) 2 n k n = k =1 (x X) 2 n n Como se puede observar en la defncón, la varanza es un promedo del cuadrado de los errores que se cometen al consderar la meda artmétca como «el representante» de todos y cada uno de los datos. Por otra parte, una de las prncpales dfcultades que presenta la varanza es la undad, ya que vene dada en undades al cuadrado (h 2, m 2, etc.). La manera de soluconar esta crcunstanca es estmando la raíz cuadrada. Desvacón típca o desvacón estándar Se defne como la raíz cuadrada, con sgno postvo, de la varanza. Responde a la sguente expresón: s = s 2 = k =1 (x X) 2 n n En las defncones anterores se han estado consderando datos no agrupados. S lo fueran, úncamente hay que emplear las marcas de clases como representantes de los ntervalos. Es decr, c = x. Por otra parte, se pueden defnr dos estadístcos de dspersón más, llamados quasvaranca y cuasdesvacón típca como: 2 s n 1 = n n 1 s2 y s n 1 = n n 1 s P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

26 Estos estadístcos tenen mucho nterés en la Estadístca Inferencal como se verá en capítulos posterores. La varanza cumple las sguentes propedades: La varanza es sempre un valor no negatvo o 0. Úncamente puede ser 0 s todos los datos son guales. En este caso es evdente que X = x para todo los posbles valor del índce. S a todos los valores de la varable se les suma una constante la varanza no se modfca. S todos los valores de la varable se multplcan por una constante la varanza queda multplcada por el cuadrado de dcha constante. S una varable X es transformacón lneal de otra varable X ( X = a X + b; a y b números reales), la varanza de X se obtene a partr de la de X del modo s ' = a s. Las meddas de dspersón absolutas son unos ndcadores que presentan dfcultades a la hora de comparar la representatvdad de las meddas de tendenca central entre dos dstrubucons de datos dferentes. Por ello, a veces se recurre a meddas de dspersón relatvas. El coefcente de varacón de Pearson Es una de las más sgnfcatvas y determna el grado de sgnfcacón de un conjunto de datos relatvo a su meda artmétca. Se defne como el cocente entre la desvacón típca y la meda artmétca de la dstrbucón de datos. s V X = X Meddas de forma Nos dan nformacón de la forma del hstograma, de su smetría y de la menor o menor proxmdad de los valores de la varable respecto de su promedo. Coefcente de asmetría de Fsher Las meddas de asmetría permten determnar, sn que sea necesaro hacer las representacones gráfcas, el grado de smetría que presentan los datos respecto a un valor central de la varable estadístca, normalmente la meda artmétca. Por tanto, esta medda debe reflejar dos aspectos: la dstanca de cada observacón respecto a la meda artmétca (es decr, la dferenca entre cada valor y la meda P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

27 artmétca: ( x x) y la frecuenca de cada una de estas dstancas (la que concdrá, evdentemente, con la frecuenca de cada observacón). De esta manera, ntutvamente, s «predomnan» las dstancas negatvas sobre las postvas (por ser más frecuentes o ser dstancas muy grandes), entonces la dstrbucón es asmétrca a zquerdas. S por el contraro, se da la stuacón opuesta entonces la dstrbucón es asmétrca a derechas. Para fnalzar, s las dstancas negatvas y las postvas se «compensan», entonces la dstrbucón es smétrca. Ahora pues, lo que hay que encontrar es el estadístco que determne la asmetría de la dstrbucón de datos. Como la asmetría está drectamente relaconada con las desvacones respecto a la meda artmétca, una prmera aproxmacón puede (x X)n =1 ser la meda de las desvacones, es decr,. Sn embargo, ya es conocdo que esta suma es cero (propedades de la meda n artmétca). Por otra parte, como lo que nos nteresa es conocer el sgno de las desvacones, tampoco podemos emplear el cuadrado de las desvacones. Así pues, parece coherente tomar una potenca de grado tres de las desvacones y calcular la meda. Así, s llamamos k por lo que se cumple: m = k =1 (x X) 3 n, n De esta manera se obtene el coefcente de asmetría de Fsher. g 1 = m s = 3 k =1 k =1 (x X) 3 n n (x X) 2 n n 3 P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

28 Curtoss Para estudar el grado de curtoss de una dstrbucón hay que tomar un modelo teórco como referenca, la representacón gráfca tenga forma de campana smétrca. No es extraño pues, que se tome el modelo normal, ya que, como ya se ha menconado con anterordad, se puede decr que es el modelo campanforme por antonomasa. De esta manera, tomando este modelo como referenca, se dce que una dstrbucón es leptocúrtca s es más apuntada que la dstrbucón normal. S es menos apuntada se le llama platcúrtca. Fnalmente, s tene el msmo apuntamento que una dstrbucón normal se le llama mesocúrtca. Del msmo modo que en el caso del estudo de la asmetría, hay un coefcente que permte clasfcar los datos según la curtoss. En este caso, el coefcente no es tan ntutvo, por lo que úncamente se dará la defncón y su nterpetacón. Como en el caso de la otra medda de forma, este ndcador tampoco tene dmensón. g 2 = k =1 k =1 (x X) 4 n n 3 2 (x X) 2 n n La dea del apuntamento de una dstrbucón de datos sale de la comparacón de la frecuenca de los valores centrales de una dstrbucón con la frecuenca de los valores centrales en un modelo teórco normal que tenga la msma meda y la msma desvacón típca que la dstrbucón que se está estudando. Como en un modelo normal se cumple que Una dstrbucón será: k =1 (x X) 4 n n s 4 = 3, entonces: mesocúrtca (normal) s 2 0 leptocúrtca s 2 0 platcúrtca s 2 0 Por últmo, debemos remarcar que el estudo de la curtoss no mplca necesaramente que las dstrbucones sean smétrcas. Así, por ejemplo, nos podríamos encontrar dstrbucones de observacones que sean leptocúrtcas y, al msmo tempo, asmétrcas postvas. P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

29 Cajas y bgotes (Box-plot) Un dagrama de cajas y bgote (conocdo tambén como Box and whsker plot en nglés), es una representacón gráfca de los datos que permte determnar con mucha facldad y de una manera vsual la tendenca central, la varabldad, la asmetría y la exstenca de valores anómalos de un conjunto de observacones (outlers). De alguna manera, se puede decr que es uno de los gráfcos que más y mejor resumen los conjuntos de datos. El dagrama de cajas emplea el resumen de los 5 números: la menor observacón, la mayor observacón, el prmer cuartl, la medana y el tercer cuartl. Meddas de concentracón Estudan el grado de concentracón de una magntud, normalmente económca, en determnados ndvduos. En certo modo es un térmno opuesto a la equdad en el reparto. Se denomna concentracón al grado de equdad en el reparto de la suma total de los valores de la varable consderada (renta, salaros, etc.). Las nfntas posbldades que pueden adoptar los valores se encuentran entre los dos extremos: Concentracón máxma, cuando un solo ndvduo percbe el total y los demás nada; en este caso, se está ante un reparto no equtatvo: el que recbe x 1 = el que recbe x 2 =... = el que recbe x k 1 = 0y el que recbe x k = el total Concentracón mínma, cuando el conjunto total de valores de la varable esta repartdo por gual, en este caso se está ante un reparto equtatvo: el que recbe x 1 = el que recbe x 2 =... = el que recbe x k 1 = el que recbe x k Hay dferentes meddas de concentracón, pero en el texto se va a estudar el índce de Gn; por ser un coefcente, será un valor numérco. Para obtenerlo es necesaro realzar un conjunto de cálculos. Se supone que hay una dstrbucón de rentas ( x n ) donde toma los valores de 1 hasta k (por ejemplo, x son los sueldos y n el número de personas que cobran ese sueldo) de la que se formará una tabla con las columnas sguentes: 1) Los productos x n ndcarán la renta total percbda por los n rentstas de renta ndvdual x. 2) Las frecuencas absolutas acumuladas N. 3) Los totales acumulados u que se calculan de la sguente forma: P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

30 u = x n u = x n + x n u = x n + x n + x n u = x n + x n + x n + x n u = x n + x n + x n + x n +. + x n k k k Por tanto, se puede decr que: j u j = x n para cualquer valor de j desde 1 hasta k. =1 4) La columna total de frecuencas acumuladas relatvas, que se expresa en tanto por cento y que se representa por p, vendrá dado por la sguente notacón: p = N n 5) La columna de renta acumulada relatva, que se expresa en tanto por cento y que se representa por la expresón: u q = u k Por tanto, ya se puede confecconar la tabla: N p = x n x n N n u u q = u k p - q x 1 n 1 x n 1 1 N 1 u 1 p 1 q 1 p - q 1 1 x 2 n 2 x n 2 2 N 2 u 2 p 2 q 2 p - q x k n k x N k nk k u 100 k P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

31 Como se puede ver, la últma columna es la dferenca entre las dos penúltmas; esta dferenca sería 0 para la concentracón mínma en la que se cumple p = q para cualquer, por tanto su dferenca sería cero. Analítcamente el índce de Gn: I G = Este índce tendrá los valores: k 1 (p q ) j=1 k 1 p j=1 G = 0 cuando p = q concentracón mínma G = 1 cuando q = 0 concentracón máxma Por otra parte, s se representan gráfcamente los q en el eje vertcal y los p en la horzontal se obtendrá la curva de concentracón o curva de Lorenz. Se puede comprobar que esta curva resultante sempre aparecerá «por debajo» de la dagonal del prmer cuadrante, la cual representa la concentracón mínma. Además, cuando más se aproxme esta curva a la dagonal, menor será la concentracón. A contnuacón, se desarrollará los objetvos y los ejerccos correspondentes a este capítulo. Cabe recordar que el materal desarrollado y el resultado de algunos ejerccos son aplcacones desarrolladas con el software R (referencas bblográfcas 13, 18 y 22). P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

32 Objetvos Los problemas deben permtr que los alumnos alcanzan los objetvos ddáctcos: 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1c) Saber analzar y realzar tablas de frecuencas de un conjunto de datos. 1d) Conocer las dferencas entre las tablas de datos sn agrupar y las tablas de datos agrupados. 1e) Saber nterpretar y construr los prncpales gráfcos estadístcos. 1f) Conocer los conceptos y saber realzar los cálculos de las meddas de tendenca central y de dspersón. Concretar con la aplcacón del coefcente de varacón de Pearson en aquellas stuacones que lo requeran. 1g) Conocer los prncpales estadístcos que mden la forma de los datos a partr de los gráfcos. 1h) Saber calcular e nterpretar el índce de Gn, así como saber realzar la curva de Lorenz para medr la equdad de un reparto. La tabla sguente nos muestra cómo están dstrbudos los objetvos según los ejerccos: Objetvos 1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h Ejercco 1 x x 2 x x x 3 x x x 4 x x x 5 x x x 6 x x x x 7 x x 8 x 9 x x x P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI:

33 Enuncados Ejercco 1 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. Clasfca las sguentes varables, justfcando el por qué de la eleccón: a) Color de los coches. b) Marcas de ordenadores. c) Longtud de carreteras en metros. d) Nvel de estudos. e) Número de hjos de una famla. f ) Número de alumnos de estadístca en una carrera. g) Metros de alttud de las montañas. h) Profesones de las personas. ) Sueldo mensual de los trabajadores de las empresas del sector cerámco. Ejercco 2 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1e) Saber nterpretar y construr los prncpales gráfcos estadístcos. Actualmente, se está estudando en las dstntas comundades autónomas el número de hjos por famla para estudar la nataldad. Uno de los trabajadores que está hacendo las encuestas, recoge los datos de su barro donde hay 100 famlas. Ha obtendo los sguentes datos que aparecen en la tabla sguente: P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Pers - ISBN: Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales - UJI - DOI: