Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

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1 Scenta Et echnca ISSN: Unversdad ecnológca de Perera Colomba GACÉS UI, ALEJANDO; OO O, ELIANA MILEDY; GALVIS M, JUAN CALOS MÉODO DE PUNOS INEIOES APLICADO AL POBLEMA DE ANSPOES Scenta Et echnca, vol I, núm 27, abrl, 2005, pp Unversdad ecnológca de Perera Perera, Colomba Dsponble en: Cómo ctar el artículo Número completo Más nformacón del artículo Págna de la revsta en redalycorg Sstema de Informacón Centífca ed de evstas Centífcas de Amérca Latna, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco sn fnes de lucro, derrollado bao la ncatva de acceso aberto

2 Scenta et echnca Año I, No 27, Abrl 2005 UP ISSN MÉODO DE PUNOS INEIOES APLICADO AL POBLEMA DE ANSPOES ESUMEN El problema de transportes es un problema de programacón lneal que tradconalmente ha sdo resuelto undo el algortmo de transportes el cual aprovecha las característcas topológcas del problema En los últmos años ha tomado vgenca una nueva forma de soluconar problemas de programacón lneal: los métodos de puntos nterores En este artículo se muestra la aplcacón del método de puntos nterores al problema de transportes bao una nueva formulacón matemátca que adapta el problema al método aprovechando las característcas de uno y otro Adconalmente se muestra una aplcacón con base en datos estadístcos del transporte de carga en Colomba en el que compara las dos técncas PALABAS CLAVES: Problema de transportes, Método de puntos nterores, programacón lneal ABSAC ransportaton problem has tradtonally been resolved as lnear programmng where topologcal characterstcs are takng nto account A new called Interor Ponts technque has recently showed an alternatve way to solve these knds of problems hs paper shows how nteror pont technque can be appled to transportaton problem An adaptaton of the mathematcal model s proposed n order to apply ths technque esults comparng lnear programmng and nteror pont are also shown appled to Colomban load transport ALEJANDO GACÉS UI Profesor Catedrátco Maestría en Ingenería Eléctrca Área de Planeamento aleandrog@ohmutpeduco ELIANA MILEDY OO O Profesor Catedrátco Maestría en Ingenería Eléctrca Área de Investgacón Operatva elana@ohmutpeduco JUAN CALOS GALVIS M Profesor Catedrátco Maestría en Ingenería Eléctrca Área de Planeamento uangalvs@ohmutpeduco Grupo de Planeamento en Sstemas eléctrcos Área de Investgacón de Operacones KEYWODS: ransportaton problem, nteror pont method, lneal programmng INODUCCIÓN El problema de transporte es una estructura especal de programacón lneal (PL) que puede resolverse por el método smplex [] Bado en las característcas especales del problema se derrolló un algortmo llamado de transportes [2] que hace que el método smplex resulte nefcente ecentemente, ha cobrado vgenca la aplcacón de métodos de puntos nterores para la solucón de todo tpo de problemas de programacón lneal y programacón no lneal Convenconalmente, se ha llevado problemas a una formulacón estándar para aplcar una metodología determnada [3] No obstante, el presente artículo plantea un nuevo enfoque en la solucón de problemas de PL: adaptar el método al problema partcular Esto mplca la reformulacón del método de puntos nterores para explotar las característcas del problema de transportes En la lteratura sobre el tema[4] no hay una adaptacón de la teoría de puntos nterores al problema de transportes, en este artículo se propone un derrollo matemátco al respecto Incalmente, se explca el problema de transportes y su mportanca en aplcacones práctcas Posterormente, se da una breve reseña de los métodos de puntos nterores y sus prncpales característcas en la solucón de problemas lneales nalmente, se muestra la formulacón matemátca propuesta, sus ventaas y el algortmo mplementado en la solucón de un problema de gran tamaño Igualmente, se hace una comparacón del algortmo de transporte y el algortmo de punto nteror derrollado 2 EL POBLEMA DE ANSPOES El algortmo de transporte sólo puede aplcarse cuando el sstema esta balanceado, es decr la oferta debe ser gual a la demanda, adconalmente se debe tener una solucón ncal, el método smplex la consgue a través de las varables de holgura o a través de las varables artfcales o empleando un método de dos fases, el algortmo de transporte se ncalza por medo de métodos auxlares como son: el método de la esquna noroeste, el método del costo mínmo o el método de aproxmacón de Voguel, sendo este últmo el más adecuado debdo a que este nos garantza un punto cercano al óptmo e ncluso en algunos casos encuentra el óptmo Se supone que orígenes (S) tenen que surtr a centros de consumo (D) con un certo producto (g ) La capacdad de oferta del orgen es S (,) y la demanda en el centro de consumo es D (,) Se echa de ecepcón: 3 Enero de 2005 echa de Aceptacón: 6 Marzo de 2005

3 50 supone que es el costo de envar una undad del producto del orgen al centro de consumo El problema se reduce a determnar cuántas undades del producto deben envarse del orgen al centro de consumo, tal que mnmcen los costos totales de dstrbucón, se tsfaga la demanda del centro de consumo y no se exceda la capacdad de oferta del orgen S S n gura El problema de transportes Sea esta varable de decsón Entonces la formulacón del problema lneal es mn n m S, {,, } r D, {,, } 0 en donde: : Número de nodos fuente : Número de nodos de demanda S : Cantdad a envarse desde el nodo D : Cantdad a recbr en el nodo r : Nodo de referenca Esta formulacón se denomna estructura de transporte Una condcón necera y sufcente para que la estructura de transporte tenga solucón es que la oferta total sea gual a la demanda total es decr: () S D (2) en donde S representa la cantdad de producto generado por cada una de las fuentes (S), D representa la cantdad de producto solctado por cada una de las demandas (D) y es el costo de transportar el producto desde el nodo generador S hasta el nodo de demanda D El problema de transporte puede escrbrse en forma condenda como: Mn c sueto a A d 0 nm D D m (3) Scenta et echnca Año I, No 27, Abrl 2005 UP La estructura de la matrz de coefcentes tecnológcos de A de renglones y columnas permte el derrollo del algortmo de transporte y tene las sguentes propedades: - El rango de A es - Esto puede probarse fáclmente mostrando que la suma de los prmeros renglones es gual a la suma de los últmos renglones, y que cualquer submatrz cuadrada de A de orden - es no sngular - La matrz A es unmodular, es decr, que cualquer submatrz cuadrada de A de orden - tene un determnante que es gual a 0, ó - 3 MÉODOS DE PUNOS INEIOES Los métodos de puntos nterores surgen como una alternatva efcente a la solucón de todo tpo de problemas en programacón lneal, sus prncpales característcas son: - Los puntos no son neceramente factbles - No requere de una fase de ncalzacón - El camno de solucón solo debe ser nteror a las restrccones de desgualdad - Se puede establecer la exacttud deseada Esta últma característca es especalmente mportante ya que es posble controlar el tempo de cálculo; el método puede encontrar una solucón cercana a la óptma en pocas teracones Los métodos de puntos nterores se ban en la aplcacón de la barrera logarítmca, según asco McCormck [5] la solucón de un problema de programacón lneal estándar como se plantea en la ecuacón 4 puede ser encontrada medante la solucón sucesva de sub-problemas undo una funcón de penaldad logarítmca como se muestra en la ecuacón 5 mn c (4) A b 0 La secuenca de solucones a los sub-problemas (Ec 5) tende a la solucón del problema prmal (Ec 4) s los valores de µ (k) son elegdos tal que µ 0 s cada punto encontrado es un punto nteror n ( k) max b Y µ ln( ) A Y c > 0 (5)

4 Scenta et echnca Año I, No 27, Abrl 2005 UP 5 Cabe anotar que Y representa las varables duales del problema (Ec 4) y las varables de holgura, así msmo, la ecuacón 5 es una formulacón dual a la cual se le ha agregado un factor logarítmco de penaldad, este factor ntroduce una no-lnealdad al problema por lo cual debe ser resuelto por técncas no-lneales (Método de Newton) La metodología de solucón consste en resolver la ecuacón 5 para dstntos valores de µ en donde µ debe ser dsmnudo con algún crtero que garantce la convergenca bao un tempo de cálculo apropado La funcón Lagrangana para la ecuacón 5 es la sguente: L b Y µ( k) ln( ) ( A Y C) n (6) Las condcones de Karush-Kuhn-ucker (KK) son: A Y C Y A b (7) µ eˆ Un punto nteror a un espaco de solucones es aquel que cumpla con las restrccones de desgualdad aunque no cumpla con las restrccones de gualdad, por tal motvo deben ser respetadas las condcones de no-negatvdad ( > 0 ) y ( > 0 ) para garantzar que el sguente punto sea nteror Para resolver el sstema (7) se procede a encontrar un sstema de newton lnealzado: A 0 0 A Donde b A p c d 0 µ eˆ eˆ c A Y 0 p I d c Este sstema tene las sguentes característcas: - La matrz mostrada en (8), aunque dsper, es de gran tamaño por lo que su nver representa el mayor esfuerzo computaconal del método - El algortmo de solucón se acerca tanto por la formulacón prmal como por la dual, por tal razón es (8) necero chequear la factbldad prmal, la factbldad dual y la cercanía entre las solucones prmal y dual - El sstema puede ser soluconado de manera más efcente s se consderan térmnos de segundo orden (Métodos de alta orden) Como se expuso anterormente, el planteamento tradconal de los problemas soluconados con puntos nterores consste en formular un sstema estándar como el mostrado en la ecuacón 3 y soluconarlo medante la aplcacón sucesva del sstema 8 No obstante, en este artículo se muestra un planteamento matemátco adaptado al problema de transportes 4 OMULACIÓN MAEMÁICA DEL MODELO DE ANSPOES El modelo de transportes en su presentacón prmal es mostrado en la ecuacón El modelo dual puede ser planteado de la sguente forma: max Y Y S Y D Y en donde: Y : Varables duales correspondentes al nodo fuente Y: Varables duales correspondente al nodo de demanda Adconando las varables de holgura se obtene: max Y Y S Y D Y (9) (0) Undo el concepto de barrera logarítmca puede ser planteado la ecuacón lagrangana para la aplcacón del método prmal dual: L S Y Y µ ( Y Y ) D ln( ) () nalmente, dervando respecto a cada una de las varables se obtenen las condcones de prmer orden de Karush Kuhn ucker (KK): Condcón Dual:

5 52 Y Condcón Prmal Y Y S D Y Condcón de Complementaredad µ (2) (3) (4) Este sstema no lneal de ecuacones puede ser soluconado por medo de un algortmo numérco convenconal sempre que se tengan en cuenta las condcones de no negatvdad Aplcando Newton- aphson se tene: Y (5) donde: NS PS PD D C (6) (7) (8) D PS PD C S D µ Y Y (9) De la ecuacón (5) y la ecuacón (8) se obtene como funcón de Y: W (20) donde ( ) C D (2) W (22) eemplazando en (6) y (7) se obtene: Scenta et echnca Año I, No 27, Abrl 2005 UP W W ( ) ( ) PS PD (23) (24) Los sstemas de ecuacones (23) y (24) pueden ser reescrtos de la sguente forma W W W W PS PD (25) (26) nalmente, una representacón matrcal de (25) y (26) es la sguente: [ W ] [ ] [ W ] [ ] [ G ] (27) [ W ] [ ] [ W ] [ ] [ G ] (28) En donde: [W ] es una matrz dagonal de x [ W ] dag W [W ] es una matrz dagonal de x [ W ] dag Y los vectores columna: W [ G ] PS [ G ] PD De las ecuacones (27) y (28) se tene ( [ W ] [ W ] [ W ] [ W ]) [ G ] [ W ] [ W ] [ G ] (29) (30) (3) (32) (33) Las nvers de las matrces [W ] y [W ] tenen un bao esfuerzo computaconal al ser matrces dagonales Una vez encontrado el vector [ ] se puede hallar fáclmente el vector [ ]:

6 Scenta et echnca Año I, No 27, Abrl 2005 UP 53 [ W ] ( [ G ] [ W ] [ ]) (34) Una vez calculadas las varacones en las varables duales () pueden ser calculadas las de las varables prmales ( ) y las de las varables de holgura de la formulacón dual ( ) undo las ecuacones (20) y (5) respectvamente 5 ACUALIACIÓN DE LAS VAIABLES La aplcacón del método de Newton-aphson permte la solucón del problema planteado para un valor de µ Sn embargo, para encontrar una solucón óptma factble es necero determnar un paso máxmo que asegure que el nuevo punto sea un punto nteror Como se puede observar en las ecuacones () y (5) el problema de transportes exge que > 0, > 0 para garantzar que un punto sea un punto nteror, por tal razón el paso escogdo en la actualzacón de las varables debe garantzar la no-negatvdad de estas varables; para ello se escoge un valor de α p y α d así: mn α p mn, (35) < 0 mn α d mn, (36) < 0 Con el fn de acelerar la convergenca, α p y α d tenen un rango de valores entre 0 y Se ha observado que valores superores a hacen más lenta la convergenca del método de puntos nterores Las varables son entonces actualzadas de acuerdo con las ecuacones 37 a 40: ( k ) γ α (37) Y Y ( k ) Y αd p γ (38) ( k ) Y αd γ (39) ( k ) αd γ (40) en donde γ es un parámetro que hace al método más conservador evtando que problemas de redondeo o de cercanía a las restrccones de gualdad puedan ocasonar dvergenca Para éste trabao se usó un valor de INICIALIACIÓN DE LAS VAIABLES Una de las mayores ventaas de los métodos de puntos nterores es que no requere de un punto ncal factble, solo basta asegurar que sea un punto nteror En el caso partcular del problema de transportes se tene: - Varables prmales o Las varables prmales son ncalzadas de tal forma que las rutas de menor costo tengan mayor cantdad de producto así: (0) σ ( 4) En donde σ es un parámetro de centraldad mayor a uno, para este caso se usó x0 8 - Las varables duales (Y,Y ) se ncalzan en cero mentras que las varables de holgura son ncalzadas de acuerdo a los costos de ransportes ( o ) 7 CIEIO DE CONVEGENCIA Como el método hace una búsqueda en puntos nterores de la regón prmal y dual, la convergenca debe garantzar optmaldad prmal y dual, para el caso del problema de transportes las ecuacones son: Convergenca Prmal: Norm2{ PS, PD} Cp (42) Norm2{ } Convergenca Dual: Norm { } Cd 2 D Norm2{ Y, Y} Norm2{ } (43) Crtero de Optmaldad P Co (44) Norm Pd 2 { } En donde P ndca la dferenca entre la funcón obetvo del problema prmal y dual: P S Y D Y (45) Se deben cumplr los tres crteros para fnalzar el proceso teratvo 8 EDUCCIÓN DEL PAÁMEO DE BAEA Un paso mportante para asegurar la convergenca del método consste en encontrar una funcón adecuada para la reduccón del parámetro de barrera µ En el caso del problema de transportes se opta por una reduccón acorde con las condcones de complementaredad (46) P ( k ) µ φ P (47)

7 54 En donde φ asume el valor de 0 s dsmnuye el valor de P y 2 en caso contraro 9 EJEMPLO DE APLICACIÓN Se tomó como base el nforme de dstrbucón de carga en toneladas por orgen y destno elaborado por el mnstero de transporte colombano, estadístcas de la subdreccón operatva, y los costos por tonelada transportada entre los dstntos puntos de orgen y destno de una compañía que opera en Colomba Se hzo el modelamento a una estructura de transporte Número de nodos fuente: 37 Número de nodos demanda 37 Intervalo de los valores de [320x0 3 ~59x0 9 ] generacón de producto (s) kg Intervalo de los valores de [ 0~3x0 9 ] kg demanda (D) Intervalo de los Costos de [ 99 ~ 20x0 3 ] $/kg ransportes () abla Característcas del eemplo de prueba Los resultados aplcando el algortmo de transportes y el método de puntos nterores con una toleranca de x0-6 son mostrados en la tabla 2 El algortmo fue mplementado undo Matlab 65 en un computador con procedor Pentum 4 de 266GHz En la fgura se muestran los tres crteros de convergenca del método de puntos nterores Scenta et echnca Año I, No 27, Abrl 2005 UP Método Punto Interor Algortmo ransportes Nº Iteracones uncón Obetvo 33x0 0 33x0 0 abla 2 esultados del método Las confguracones encontradas pueden ser dstntas en caso de presentarse óptmos alternatvos ya que mentras el algortmo de transportes exge que la solucón sea un vértce el método de puntos nterores puede encontrar solucones sobre la línea de soutldad sn ser neceramente un vértce El algortmo de transporte nca desde un punto cercano al óptmo mentras que el método de puntos nterores nca desde un punto nteror cualquera 0 CONCLUSIONES Se presentó una nueva metodología para resolver el problema de transportes aplcando el método de puntos nterores La metodología general del método fue partcularzada al problema de transportes con el fn de estudar su comportamento Esta metodología puede ser meorada aplcando métodos de puntos nterores de alta orden los cuales pueden lograr mayor velocdad de convergenca 0 5 Prmal Dual 0 0 Optmaldad gura 2 Convergenca del método Se puede observar que crtero dual se cumple en la prmera teracón mentras el crtero de convergenca prmal se cumple en la teracón 5 El últmo en llegar a la convergenca es el crtero de optmaldad el cual se cumple en la teracón 20 BIBLIOGAÍA [] BAAAA M, SHEALI H, SHEY C Lnear programmng and network flows John Wley and Sons 983 [2] PAWDA W, Juan Métodos y modelos de nvestgacón de operacones Volumen Edtoral Lmu Méxco D 986 [3] IDE, Marcos Julo Método de puntos nterores para optmzacón en sstemas eléctrcos En: Semnaro de optmzacón en sstemas de potenca Perera, Novembre de 2004 [4] J Vanderbe Lnear programng: oundatons and Extensons Kluwer Academc Publshers Boston nd Edton In Englsh Avalable n nternet: [5] SJ Wrght, Prmal dual Interor pont methods SIAM Phladelpha PA 997 [6] OO OCAMPO, Elana; ESCOBA, Antono; CAEÑO, Edgar Optmzacón de sstemas lneales undo métodos de punto nteror En Scenta et écnca Año Nº 24 Mayo de 2004