DESPACHO ECONOMICO UTILIZANDO PROGRAMACIÓN LINEAL, CON PASOS CONTROLADOS

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1 7 energétca Vol. XXIV, No. 2/2003 APLICACIONES INDUSTRIALES DESPACHO ECONOMICO UTILIZANDO PROGRAMACIÓN LINEAL, CON PASOS CONTROLADOS Dr. Ing. Manuel Barroso Baeza. Dra. Ing. Mram López Pérez. Resumen / Astract Se muestra en este traajo un modelo y algortmo a través del cual se puede mejorar la solucón otenda con el uso de la programacón lneal, partendo de funcones de costos cuadrátcas por nodo, sn necesdad de lnealzar de forma explícta tales funcones. Se muestran resultados otendos con el caso de 30 nodos de la IEEE. Palaras claves: Sstemas de potenca,despacho económco. Ths wor deal of an algorthm and model development n order to mprovement the soluton otaned wth the lneal programmng use employng the quadratc cost functon y node, then t s not necessary to otan several lneal segment for each curve. Key words: Power systems, economc dspatch.

2 72 Introduccón. La dstrucón económca de la generacón entre las undades en línea de un sstema eléctrco de potenca, es una de las funcones de aplcacón más mportantes para el control de la operacón de los sstemas eléctrcos de potenca. Para su utlzacón en tempo real esta aplcacón dee cumplr con varos requermentos entre los cuales pueden ctarse la velocdad, confaldad en la otencón de la solucón, ajo consumo de memora, etc. La programacón lneal ha demostrado cumplr con todas estas exgencas cuando se emplea para tales fnes.[] Generalmente las funcones de costo asocadas a las undades generadoras se representan medante un polnomo monótonamente crecente de segundo o tercer orden [,2]: El empleo de esta técnca presupone la lnealzacón de la característca de costo de los generadores en varos segmentos, ello mplca generalmente desarrollar algortmos adconales para su tratamento, aunque no son complejos. La aproxmacón al punto óptmo deseado de los resultados dependerá del número de tramos en que se segmente la característca, usualmente se ha demostrado que con tres tramos es sufcente y en ocasones dos. La dea de prescndr de lnealzacones ha sdo la motvacón fundamental de este traajo, en el cual se propone una funcón ojetvo que mnmza el costo de la generacón empleando para ello la evaluacón del verdadero costo ncremental de cada undad en cada punto de la característca de costo de las undades generadoras, como se lustra más adelante. C ( Pg ) = a + Pg + c Pg 2 (.) Desarrollo del modelo y del algortmo. El costo ncremental de una undad generadora corresponde con el valor de la dervada de la funcón cuadrátca. De hecho la mejor aproxmacón a una característca de este tpo es aquella que se logra a través de varos segmentos cuyas pendentes se determnan a través de la otencón de la dervadas en varos puntos, sendo esta precsamente la dea que se propone en este traajo: evaluar la dervada en varos puntos de la característca, lo cual equvale a otener varos segmentos lneales, ello se logra con el empleo del modelo ncremental sguente: Mn ( + 2C - - P - + 2C P ) DPg + = = s. a. g ( + 2C P - ) DPg (.2) Pg - = ( g - ) DP Pg K - (.3) Pg = j DPg K - T DPg j - T Pg - j - (.4) (.5)

3 73 Para soluconar el prolema se parte de un punto de arranque el cual dee corresponder con el otendo medante un despacho clásco, o sea sn consderar mas restrccones que las mpuestas por la carga y las de operacón, luego se alcanza la solucón fnal medante un proceso teratvo en el cual se solucona el modelo ncremental, el algortmo general de solucón es el sguente: Lectura de datos generales del sstema. 2 Resolver modelo clásco de despacho económco.. 3 Determnacón de los factores de sensldades lneales. 4 Solucón del prolema de flujo de carga. 5 Determnacón de los factores ncrementales de pérddas. 6 Solucón del modelo ncremental de optmzacón.(.2-.5). 7 Chequear convergenca. 8 S converge r a 9, caso contraro r a 4. 9 Parar. Como crtero de convergenca se ha selecconado el de la dferenca mínma entre los costos totales otendos en dos teracones sucesvas, o sea: C ( Pg ) - = = = C ( Pg C ( Pg ) - Nótese en la funcón ojetvo dada por la expresón (.2) que se toma como costo ncremental exactamente el valor de la dervada de la funcón de costo evaluada en el punto otendo en la teracón anteror, de modo tal que esta evaluacón se efectuará tantas veces como teracones se realcen, por tanto será equvalente a evaluar el msmo número de segmentos de rectas. Esta aproxmacón no exge de forma explícta la representacón de la característca de costo de las undades generadoras por medo de segmentos de rectas, como puede oservarse se traaja con la representacón exacta de las característcas de costos, las cuales se suponen cuadrátcas. El secreto para ello está en acotar la valdez del costo ncremental dada por el dapasón donde es válda la dervada de la funcón. Dado que es dfícl algortmzar esta cuestón se ha realzado un estudo en el cual se proponen cotas determnadas por la reduccón de los límtes máxmos y mínmos permsles de cada undad. Consderando lo anterormente planteado las expresones.3 y.4 se expresan de la sguente forma: ) e (.6) ( Pg ( Pg - ) / a K - = ( g - ) DP ) / a DPg ( Pg ( Pg - K - ) / a ) / a (.7) (.8)

4 74 En la tala I se muestran algunos resultados otendos para dferentes valores del paso en el caso del sstema de 30 nodos de la IEEE, tomando como referenca el valor del costo total otendo por Stott en [2 ], empleando para ello un flujo de potenca óptmo. Tala I. Resultados comparatvos del modelo propuesto para dversos valores del paso. NODO STOTT a= a =2 a =3 a =4 a =5 a =6 a =0 2 48, , 4,7 46,0 44,6 48,9 48,7 5 2,5 50 6,8 9,9 20,3 20,4 20,5 2,3 8 22,5 0 6,7 8,2 8,6 23,8 23, 23, 2,4 0 0,6 2 2, 2,5 2,3,7 3 2,0 2 2,0 2 2,4 2,3 2,3 2,0 77,00 28,8 95,7 90,4 84,5 79,8 76,2 76,4 COSTO 802,4 883,4 807,8 805,9 804,5 804,3 803,9 803,8 ($/h) Error (%) , En la tala I puede oservarse que cuando se consdera váldo todo el dapazón de los límtes de generacón entonces la solucón ovamente concde con los valores mínmos o máxmos de la undad. Nótese como a medda que se aumenta el tamaño del a, lo cual equvale a una dsmnucón del entorno en el cual es váldo el costo ncremental evaluado, los resultados mejoran. Para posterores reduccones la vecndad en que es válda la dervada no se otuveron mejoras sustancales en el costo de la generacón, hacéndose la convergenca lenta. Lo vsto equvale a un gradente de prmer orden, a través del modelo planteado se otene la dreccón del gradente en que se mnmza la funcón ojetvo, queda clara la dependenca de los resultados del algortmo propuesto con la seleccón del valor de a, los autores contnúan nvestgando acerca de la determnacón de ese parámetro, el cual ha sdo sugerdo en esta versón de forma empírca, todo parece ndcar que un uen valor para a será aquel que proporcone los límtes para los cuales la funcón cuadrátca y la recta con pendente gual al costo ncremental proporconen resultados muy smlares para cualquer punto dentro del entorno evaluado, ello pudera evaluarse para cada nodo generador y selecconar entonces un valor de a de forma ndvdual por arra generadora. Otra dreccón para la determnacón de a señala que el msmo dee varar por teracones acorde a la razón de la dsmnucón de la funcón ojetvo por teracones, los autores nvestgan en amas dreccones actualmente. Las dferencas otendas en el sentdo de mejoras de la funcón de costo, que poslta la nueva smulacón, pueden aprecarse en la tala en la cual aparecen los resultados otendos consderando tres segmentos lneales.

5 75 Nodo Stott* Pg(MW) DERS CA* Pg(MW) a =0 77,00 62,5 76,7 2 48,84 5,4 48,7 5 2,5 23,8 2,3 8 22,5 28,8,7 2,4 5,0 2,0 3 2,0 2,0 2,0 Costo 802,4 805,2 803,8 ($/h) Error (%) 0,0 0,3 0.7 DERS CA* Despacho económco con restrccones de segurdad empleando tres segmentos lneales. Conclusones.. El error que se comete al lnealzar funcones cuadrátcas de costo puede ser dsmnudo s se emplea una funcón ojetvo que evalúe el verdadero valor del costo ncremental, dsmnuyendo el entorno donde se consdere váldo este valor. 2. Los resultados que otenen con el modelo y algortmo propuesto son satsfactoros. Nomenclatura:?Pg : Varacón de la generacón en el nodo. Pg, Pg : Límtes de generacón permsles en el nodo T j : Flujo de potenca actva a través del elemento j.. T l : Límte permsle de la potenca transmtda a través de la rama j. T : Número de líneas del sstema. : Número de nodos generadores. : orden del nodo de alance. ß j : Factor de sensldad lneal.? : Factor ncremental de pérddas asocado al modelo de flujo desacoplado rápdo. : número de la teracón en curso.

6 76 Referencas.. Momoh, J.A.et al. "A Revew of Selected Optmal Power Flow Lterature to 993 Part II: Newton, Lnear Programmng and Interor Pont Methods". IEEE Transactons on Power Systems, Vol. 4, No., Fe 999,pp Alsac, O, Stott,B. Optmal load Flow wth Steady State Securty IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems, Vol-PAS-93, No.3, May/June 974.pp Stott,B., Hoson, E. "Power System Securty Control Calculatons usng Lnear Programmng". Part I and II. IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems, Vol-PAS-97,.pp Dr. Manuel Barroso Baeza. Graduado de ngenero electrcsta en el ISPJAE en 982, desde entonces laora como nvestgador en el CIPEL, otuvo el grado centífco de doctor en cencas técncas en 995. Su campo de nterés es la modelacón por medo de computadora dgtal de los sstemas eléctrcos de potenca operando en estado estale y el control y operacón de tales sstemas. Dra. Mram López Pérez. Graduada de ngenera electrcsta en 986 en el ISPJAE, traaja desde esa fecha en el CIPEL como nvestgadora, otuvo el grado centífco de doctora en cencas técncas en el año 2002, su campo de nterés es la modelacón por medo de computadora dgtal de los sstemas eléctrcos de potenca en estado estale y la operacón económca de los msmos.