Modelos de inventario probabilísticos

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1 CAPÍTULO 16 Modelos de inventario probabilísticos Aplicación de la vida real. Decisiones de inventario en la cadena de abasto de Dell Dell, Inc. implementa un modelo de negocio de ventas directas en el ue las computadoras personales se venden directamente a los clientes en los Estados Unidos. Cuando llega un pedido de un cliente, las especificaciones se envían a una planta de manufactura en Austin, Texas, donde la computadora se construe, prueba empaca en, aproximadamente, 8 horas. Dell maneja poco inventario. A sus proveedores, ue por lo común se ubican en el sureste asiático, se les pide ue manejen lo ue se conoce como inventario revolvente disponible en revolvedores (almacenes) cerca de las plantas de manufactura. Estos revolvedores son propiedad de Dell los rentan a los proveedores. Dell entonces saca las partes ue necesita de los revolvedores, la responsabilidad de los proveedores es reponer el inventario para satisfacer la demanda de Dell. Aunue Dell no posee el inventario guardado en los revolvedores, su costo se transfiere de manera indirecta a los clientes mediante la fijación de precios de los componentes. Por lo tanto, cualuier reducción del inventario beneficia directamente a los clientes de Dell con la reducción de los precios de los productos. La solución propuesta ha dado por resultado un estimado de $2.7 millones en ahorros anuales. (El caso 13 del capítulo 26, en el sitio web de este libro, detalla este estudio) MODELOS DE REVISIÓN CONTINUA Esta sección presenta dos modelos: (1) una versión probabilizada del modelo EOQ determinístico (sección ) ue utiliza existencias de reserva para satisfacer las demandas probabilísticas, (2) un modelo EOQ probabilístico más exacto ue inclue la demanda aleatoria directamente en la formulación Modelo EOQ probabilizado Algunos profesionales han buscado adaptar el modelo EOQ determinístico (sección ) para representar de forma aproximada la naturaleza probabilística de la demanda. El periodo crítico durante el ciclo de inventario ocurre entre la colocación la 553

2 554 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos Nivel de inventario B * B m L B L Tiempo FIGURA 16.1 Existencias de reserva, B, impuestas al modelo EOQ clásico recepción de pedidos. Éste es el lapso de tiempo en ue se podrían presentar los faltantes (agotamiento de las existencias). La idea entonces es mantener existencias de seguridad constantes ue eviten la probabilidad de faltantes. Por intuición, una probabilidad de pocos faltantes implica maores existencias de reserva, viceversa. La figura 16.1 ilustra la relación entre las existencias de reserva, B, los parámetros del modelo EOQ determinístico ue incluen el tiempo de espera, L; la demanda promedio durante el tiempo de espera, m L, la cantidad económica de pedido (EOQ), *. Observe ue L es el tiempo de espera efectivo definido en la sección La suposición principal del modelo es ue la demanda por unidad de tiempo es normal con media D desviación estándar s; es decir, N(D, s). Con arreglo a esta suposición, la demanda durante el tiempo de espera L también debe ser normal con media m L 5 DL desviación estándar s L = 2Ls 2. La fórmula para s L supone ue L es (representado de forma aproximada si es necesario por) un valor entero. El tamaño de las existencias de reserva B se determina de modo ue la probabilidad de faltantes durante L sea a lo sumo a. Si x L es la demanda durante el tiempo de espera L, entonces Utilizando N(, 1), z = x L - m L s L P{x L Ú B + m L } a (como se define en la sección ), obtenemos Pe z Ú B s L f a Definiendo el parámetro K a para la distribución normal estándar de modo ue P{z $ k a } #a(vea la figura 16.2) se desprende ue B Ú s L K a La cantidad s L K a proporciona el valor mínimo de B. (El valor de K a puede determinarse desde la tabla normal estándar ue aparece en el apéndice A, o utilizando el archivo excelstattables.xls.)

3 16.1 Modelos de revisión continua 555 f(z) N(, 1) Área a FIGURA 16.2 Probabilidad de ue se agoten las existencias, P{z # K a } 5a Ka z Ejemplo En el ejemplo , donde se determina la política de inventario de las luces de neón, la cantidad económica de pedido es de 1 unidades. Suponga ue la demanda diaria es N(1, 1); es decir, D 5 1 unidades ue la desviación estándar es s51 unidades. Determine el tamaño de las existencias de reserva, B, utilizando a 5.5. Según el ejemplo , el tiempo de espera efectivo es L 5 2 días. Por lo tanto, m L = DL = 1 * 2 = 2 unidades s L = 2s 2 L = 21 2 * 2 = unidades Si K , las existencias de reserva se calculan como B Ú * L 23 luces de neón La política de inventario óptimo (de reserva) reuiere pedir 1 unidades siempre ue el nivel del inventario se reduzca a 223 (5 B 1 m L ) unidades. CONJUNTO DE PROBLEMAS 16.1A 1. En el ejemplo , determine la política de inventario óptima en cada uno de los siguientes casos: *(a) Tiempo de espera 5 15 días. (b) Tiempo de espera 5 23 días. (c) Tiempo de espera 5 8 días. (d) Tiempo de espera 5 1 días. 2. La demanda diaria de un popular CD en una tienda de música es aproximadamente N(2, 2). El costo de conservar el CD en los anaueles es de $.4 por disco por día. A la tienda le cuesta $1 colocar un nuevo pedido. El tiempo de espera para la entrega es de 7 días. Determine la política de inventario óptima de la tienda dado ue la tienda desee limitar la probabilidad de un faltante a cuando mucho La demanda diaria de rollos de película para cámara en una tienda de regalos es N(3, 5). El costo de retener un rollo en la tienda es de $.2 por día, el costo fijo de colocar un pedido de reposición es de $3. La política de inventario de la tienda es pedir 15 rollos siempre ue el nivel del inventario se reduzca a 8 unidades. Al mismo tiempo, mantiene siempre una existencia de reserva de 2 rollos. (a) Determine la probabilidad de uedarse sin existencias. (b) Dados los datos de la situación, recomiende la política de inventario para la tienda, puesto ue la probabilidad de ue haa faltantes no puede exceder el.1.

4 556 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos Modelo EOQ probabilístico La base para el desarrollo del modelo EOQ probabilizado en la sección es plausible, pero no ha razón alguna para creer ue el modelo produce una política de inventario óptima. El hecho de ue la información pertinente en relación con la naturaleza probabilística de la demanda se ignore en un principio, sólo para ser revivida de una manera totalmente independiente en una etapa posterior de los cálculos, basta para refutar la optimalidad. Para remediar la situación, esta sección presenta un modelo más preciso en el cual la naturaleza probabilística de la demanda se inclue directamente en la información del modelo. Por supuesto, la precisión más alta se obtiene a expensas de cálculos más complejos. La figura 16.3 ilustra un cambio típico del nivel de inventario con el tiempo. Pueden o no ocurrir faltantes durante los tiempos de espera (posiblemente aleatorios), como se ilustra por los ciclos 1 2, respectivamente. La política exige pedir la cantidad, siempre ue la cantidad del inventario disponible se reduzca a un nivel R. Como en el caso determinístico, el nivel de volver a pedir R es una función del tiempo de espera entre la colocación la recepción de un pedido. Los valores óptimos de R se determinan minimizando la suma esperada de los costos de retención los costos de faltantes por unidad de tiempo. El modelo está basado en tres suposiciones: 1. La demanda no satisfecha durante el tiempo de espera se pone en rezago. 2. No se permite más de un pedido pendiente. 3. La distribución de la demanda durante el tiempo de espera permanece estacionaria con el tiempo. Para desarrollar la función de costo total por unidad de tiempo, sean f(x) 5 fdp de la demanda, x, durante el tiempo de espera D 5 Demanda esperada por unidad de tiempo h 5 Costo de retención por unidad de inventario por unidad de tiempo p 5 Costo por faltantes por unidad de inventario K 5 Costo de preparación por pedido FIGURA 16.3 Modelo de inventario probabilístico con faltantes R Tiempo de espera Tiempo de espera Ciclo 1 Ciclo 2

5 Ahora se determinan los elementos de la función de costos Modelos de revisión continua Costo de preparación. La cantidad aproximada de pedidos por unidad de tiempo D es, de modo ue el costo de preparación por unidad de tiempo es aproximadamente KD. 2. Costo de retención esperado. Si I es el nivel de inventario promedio, el costo de retención esperado por unidad de tiempo es hi. El nivel de inventario promedio se calcula como I = 1 + E{R - x}2 + E{R - x} 2 = 2 + R - E{x} La fórmula promedia los inventarios inicial final esperados en un ciclo, el cual es 1 E{R2x} E{R2x}, respectivamente. Como una aproximación, la expresión ignora el caso en ue R E{x} pueda ser negativo. 3. Costo por faltantes esperado. Los faltantes ocurren cuando x. R. Su valor esperado por ciclo se calcula como S = 1x - R2f1x2dx L Debido a ue se supone ue p es proporcional sólo a la cantidad faltante, el costo esperando por ciclo es ps,, basándose en D ciclos por unidad de tiempo, el costo por ps faltante por unidad de tiempo es /D = pds. La función de costo total resultante por unidad de tiempo es TCU1, R2 = DK + h a 2 + R - E{x}b + pd LR Los valores óptimo, * R*, se determinan a partir de R 1x - R2f1x2 dx TCU TCU R = -a DK 2 b + h 2 - pds 2 = = h - a pd b LR f1x2dx = Estas dos ecuaciones dan por resultado = C 2D1K + ps2 h LR f1x2 dx = h pd (1) (2) Los valores óptimos de * R* no pueden determinarse en formas cerradas. Se aplica un algoritmo iterativo, desarrollado por Hadle Whitin (1963, págs ) a

6 558 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos las ecuaciones (1) (2) para determinar la solución. El algoritmo converge en un número finito de iteraciones, siempre ue haa una solución factible. Para R 5, las ecuaciones (1) (2) producen N = C 2D1K + pe{x}2 h ' = PD h Los valores óptimos únicos de R existen cuando 4 2KD h, el cual ocurre cuando S 5. Los pasos del algoritmo son ' Ú N. El valor mínimo de * es Paso. Use la solución inicial 1 = = 4 2KD h, sea R 5. Establezca i 5 1, continúe con el paso i. Paso i. Use i para determinar R i a partir de la ecuación (2). Si R i «R i21, deténgase; la solución óptima es * 5 i R* 5 R i. De lo contrario, use R i en la ecuación (1) para calcular i. Establezca i 5 i 1 1, repita el paso i. Ejemplo Electro utiliza resina en su proceso de fabricación a razón de 1 galones por mes. Colocar un pedido le cuesta $1 a Electro. El costo de retención por galón por mes es de $2, el costo por faltante por galón es de $1. Los datos históricos muestran ue la demanda durante el tiempo de espera es uniforme en el rango (, 1) galones. Determine la política de colocación de pedidos óptima para Electro. Utilizando los símbolos del modelo, tenemos D 5 1 galones por mes K 5 $1 por pedido h 5 $2 por galón por mes p 5 $1 por galón f(x) = 1 1, x 1 E{x} 5 5 galones Primero tenemos ue verificar si el problema tiene una solución única. Con las ecuaciones de N obtenemos ' Debido a ue Ú N, existe una solución única para * R*. La expresión para S se calcula como ' N = C 2 * * 52 2 ' = 1 1 R2 S = 1x - R2 dx = L R + 5 R 1 * 1 2 = 5 galones = galones

7 Utilizando S en las ecuaciones (1) (2) obtenemos 16.1 Modelos de revisión continua 559 La ecuación (4) produce i = C 2 * S2 2 LR dx = 2 i 1 * 1 = 11, + 1,S galones (3) (4) R i = 1 - i 5 (5) Ahora utilizamos las ecuaciones (3) (5) para determinar la solución óptima. Iteración 1 Iteración 2 Por consiguiente, 1 = C 2KD h R 1 = = C 2 * 1 * 1 2 = galones S = R R = galones = galones 2 = 11, + 1, * = galones R 2 = = Iteración 3 S = R R =.2399 galones 3 = 11, + 1, *.2399 = galones Por lo tanto, R 3 = = galones Debido a ue 3 «3 R 3 «R 2, la solución óptima es R* « galones, * « galones. Se puede utilizar el archivo excelcontrev.xls para determinar la solución a cualuier grado de precisión especificando la tolerancia R i21 2R i. La política de inventario óptima exige pedir aproximadamente 32 galones siempre ue el nivel del inventario se reduzca a 94 galones.

8 56 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos CONJUNTO DE PROBLEMAS 16.1B 1. Por los datos dados en el ejemplo , determine lo siguiente: (a) El número aproximado de pedidos por mes. (b) El costo de preparación mensual esperado. (c) El costo de retención esperado por mes. (d) El costo por faltantes esperado por mes. (e) La probabilidad de ue las existencias se agoten durante el tiempo de espera. *2. Resuelva el problema , suponiendo ue la demanda durante el tiempo de espera se mantiene uniforme entre 5 galones. *3. En el ejemplo suponga ue la demanda durante el tiempo de espera se mantiene uniforme entre 4 6 galones. Compare la solución con la obtenida en el ejemplo , e interprete los resultados. (Sugerencia: En ambos problemas, E{x} es la misma, pero la varianza en este problemas es más peueña.) 4. Determine la solución óptima para el ejemplo , suponiendo ue la demanda durante el tiempo de espera sea N(1, 2). Suponga ue D 5 1, galones por mes, h 5 $2 por galón por mes, p 5 $4 por galón, K 5 $ MODELOS DE UN SOLO PERIODO Esta sección se ocupa de artículos de inventario ue están en existencia durante un solo periodo de tiempo. Al final del periodo se desechan las unidades sobrantes, si las ha, como en el cado de artículos de moda. Se desarrollarán dos modelos. La diferencia entre ellos es si se incurre o no en un costo de preparación para colocar un pedido. Los símbolos utilizados en el desarrollo de los modelos incluen K 5 Costo de preparación por pedido h 5 Costo de retención por unidad retenida durante el periodo p 5 Costo de penalización por unidad faltante durante el periodo f(d) = pdf de la demanda, D, durante el periodo 5 Cantidad de pedido x 5 Inventario disponible antes de ue se coloue un pedido El modelo determina el valor óptimo de ue minimiza la suma de los costos de retención por faltantes. Si (5*) es óptima, la política de inventario exige pedir *2x si x, ; de lo contrario, no se coloca pedido alguno Modelo sin preparación (Modelo Newsvendor) Este modelo se conoce en la literatura como modelo newsvendor (el nombre original clásico es modelo del periodiuero). Tiene ue ver con el almacenamiento venta de periódicos. Las suposiciones del modelo son 1. La demanda ocurre al instante en el inicio del periodo inmediatamente después de ue se recibe el pedido. 2. No se incurre en ningún costo de preparación.

9 16.2 Modelos de un solo periodo 561 D D D D D D Tiempo (a) (b) FIGURA 16.4 Inventario con retención faltantes en un modelo de un solo periodo La figura 16.4 muestra la posición del inventario después de ue se satisface la demanda, D. Si D,, la cantidad 2 D se mantiene durante el periodo. Si D., habrá una cantidad faltante si D 2. El costo esperado durante el periodo, E{C()}, se expresa como E{C12} = h 1 - D2f1D2dD + p 1D - 2f1D2dD L L Se puede demostrar ue la función E{C()} es convexa en, por lo tanto tiene un mínimo único. Si tomamos la primera derivada E{C()} con respecto a la igualamos a cero, obtenemos h f1d2 dd - p f1d2 dd = L L o o hp{d } - p11 - P{D }2 = P{D } = p p + h Si la demanda, D, es discreta, entonces la función de costo asociada es E{C12} = h a 1 - D2f1D2 + p a 1D - 2f1D2 D = D = + 1 Las condiciones necesarias para optimalidad son E{C1-12} Ú E{C12} E{C1 + 12} Ú E{C12}

10 562 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos Estas condiciones también son suficientes porue E{C()} es una función convexa. Después de algunas manipulaciones algebraicas, la aplicación de estas condiciones da por resultado las siguientes desigualdades para determinar *: P{D - 1} p p + h P{D } Ejemplo El propietario de un puesto de periódicos desea determinar la cantidad de ejemplares de USA Now ue debe tener en existencia al inicio de cada día. El propietario paga 3 centavos por un ejemplar lo vende a 75 centavos. La venta del periódico suele ocurrir entre 7: 8: A.M. (la demanda es prácticamente instantánea). Los periódicos ue sobran al final del día se reciclan se obtiene un ingreso de 5 centavos por ejemplar. Cuántos ejemplares debe tener en existencia cada mañana?, suponiendo ue la demanda del día puede describirse como (a) Una distribución normal con media de 3 ejemplares desviación estándar de 2. (b) Una fdp discreta, f(d), definida como D f(d) Los costos de retención penalización no se definen de forma directa en esta situación. Los datos del problema indican ue cada ejemplar no vendido le costará al dueño centavos, ue el costo de penalización por agotamiento de las existencias es de centavos por ejemplar. Por lo tanto, en función de los parámetros del problema de inventario, tenemos h 5 25 centavos por ejemplar por día p 5 45 centavos por ejemplar por día. Primero determinamos la relación crítica como Caso (a). La demanda D es N(3, 2). Podemos utilizar la plantilla excelstattables.xls para determinar la cantidad de pedido óptima ingresando 3 en F15, 2 en G15,.643 en L15, así se obtiene la respuesta deseada de periódicos en R15. Además, podemos utilizar las tablas normales estándar del apéndice A. Defina Entonces a partir de las tablas normales o p p + h = =.643 z = D P{z.366} L =.366 Por lo tanto, * El pedido óptimo es aproximadamente de 38 ejemplares.

11 16.2 Modelos de un solo periodo 563 Caso (b). La demanda D sigue una fdp discreta, f(d). Pero antes determinamos la FDA P{D # } como P{D } Para la relación crítica calculada de.643, tenemos Por lo tanto, * 5 3 ejemplares. P1D P1D 32 CONJUNTO DE PROBLEMAS 16.2A 1. Para el modelo de un solo periodo, demuestre ue para la demanda discreta la cantidad de pedido óptima se determina a partir de P{D - 1} p p + h P{D } 2. La demanda de un artículo durante un solo periodo ocurre de manera instantánea al inicio del periodo. La fdp asociada se mantiene uniforme entre 1 15 unidades. Debido a la dificultad de estimar los parámetros de costo, la cantidad de pedido se determina de modo ue la probabilidad de un excedente o de un faltante no exceda de.1. Es posible satisfacer ambas condiciones al mismo tiempo? *3. El costo de retención unitario en una situación de inventario de un solo periodo es de $1. Si la cantidad de pedido es de 4 unidades, encuentre el intervalo permisible del costo de penalización unitario implicado por las condiciones óptimas. Suponga ue la demanda ocurre instantáneamente al inicio del periodo la función de densidad de probabilidad de la demanda es como sigue: D f(d) La librería de la U de A ofrece un programa de reproducción de apuntes de clase para profesores participantes. El profesor Yataha le da clases a un grupo de primer año de entre 2 25 estudiantes, distribuidos de manera uniforme. La reproducción de una copia cuesta $1 se vende a $25. Los estudiantes compran sus libros al inicio del semestre. Las copias de los apuntes del profesor Yataha ue no se venden se trituran para reciclarlas. Mientras tanto, una vez ue la librería se ueda sin copias, no se imprimen más. Si la librería desea maximizar sus ingresos, cuántas copias debe imprimir? 5. QuickStop vende todos los días café donas a sus clientes a las 6: A.M. La tienda compra las donas a 7 centavos cada una las vende a 25 centavos hasta las 8: A.M. Después de esa hora las donas se venden a 5 centavos cada una. La cantidad de clientes ue compran donas entre las 6: las 8: está uniformemente distribuida entre 3 5. Cada cliente suele pedir 3 donas con café. Cuántas donas debe tener aproximadamente en existencia QuickStop cada mañana para maximizar los ingresos?

12 564 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos *6. Colon Shop se está surtiendo de abrigos para el siguiente invierno. Colon paga $5 por un abrigo lo vende a $11.Al final de la temporada invernal, Colon ofrece los abrigos a $55 cada uno. La demanda de abrigo durante la temporada invernal es de más de 2 pero menor ue o igual a 3, todos con iguales probabilidades. Debido a ue la temporada invernal es corta, el costo de retención es insignificante. Asimismo, el gerente de Colon no cree ue la escasez de sacos provoue penalizaciones. Determine la cantidad de pedido óptima ue maximizará el ingreso para Colon Shop. Puede utilizar una aproximación continua. 7. Para el modelo de un solo periodo, suponga ue el artículo se consume de modo uniforme durante el periodo ( no de forma instantánea al inicio del periodo). Desarrolle el modelo de costo asociado, determine la cantidad de pedido óptima. 8. Resuelva el ejemplo suponiendo ue la demanda es continua uniforme durante el periodo, ue la fdp de la demanda es uniforme entre 1. (Sugerencia: Aproveche los resultados del problema 7.) Modelo con preparación (Política s-s) El presente modelo difiere del de la sección en ue se incurre en un costo de preparación K. Utilizando la misma notación, el costo esperado total por periodo es E{C12} = K + E{C12} = K + h 1 - D2f1D2dD + p 1D - 2f1D2dD L L Como se muestra en la sección , el valor óptimo * debe satisfacer P{ } = p p + h Ya ue K es constante, el valor mínimo de E{C12} también debe ocurrir en *. En la figura 16.5, S 5 *, el valor de s(, S) se determina a partir de la ecuación E{C1s2} = E{C1S2} = K + E{C1S2}, s 6 S La ecuación resulta en otro valor s 1 (.S), el cual se descarta. FIGURA 16.5 Política de pedir óptima (s-s) en un modelo de un solo periodo con costo de preparación E C(S) E C(S) E C() K E C() s S s 1 Pedir No pedir

13 Suponga ue x es la cantidad disponible antes de ue se coloue un pedido. Cuánto debe pedirse? Esta pregunta se responde con tres condiciones: 1. x 6 s. 2. s x S. 3. x 7 S. Caso 1 (x 7 s). Debido a ue x a está disponible, su costo euivalente es E{C(x)}. Si se pide cualuier cantidad adicional 2 x (. x), el costo correspondiente dada es E{C12}, el cual inclue el costo de preparación K. De acuerdo con la figura 16.5, tenemos mín E{C12} = E1C1S22 6 E{C1x2} 7 x Por lo tanto, la política de inventario óptima en este caso es pedir S 2 x unidades. Caso 2 (s x S). De acuerdo con la figura 16.5, tenemos E{C1x2} mín E{C12} = E1C1S22 7 x Por lo tanto, no es ventajoso pedir en este caso, * 5 x. Caso 3 (x 7 S). De acuerdo con la figura 16.5, tenemos. x, E{C1x2} 6 E{C12} Esta condición indica ue, como en el caso (2), no es ventajoso colocar un pedido; es decir, * 5 x. La política de inventario óptima, más conocida como política s-s, se resume como Si x, s, pedir S 2 x Si x $ s, no pedir 16.2 Modelos de un solo periodo 565 La optimalidad de la política s-s está garantizada porue la función de costo asociada es convexa. Ejemplo La demanda diaria de un artículo durante un solo periodo ocurre de forma instantánea al inicio del periodo. La fdp de la demanda es uniforme entre 1 unidades. El costo de retención unitario del artículo durante el periodo es de $.5, el costo de penalización unitario por agotamiento de las existencias es de $4.5. Se incurre en un costo fijo de $25 cada vez ue se coloca un pedido. Determine la política de inventario óptima para el artículo. Para determinar *, considere p p + h = =.9 Inclusive, * P{D 1 } = dd = L 1 1

14 566 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos E C() K Intervalo FIGURA 16.6 factible No pedir Política s-s aplicada al ejemplo s 1 S 9 s 1 19 Por lo tanto, S 5 * 5 9. La función de costo esperada es El valor de s se determina resolviendo O bien 1 E{C12} =.5 L D2dD L = Si S 5 9, la ecuación anterior se reduce a E{C1s2} = K + E{C1S2}.25s 2-4.5s = S 2-4.5S s 2-18s - 19 = La solución de esta ecuación es s 521, o s Se descarta el valor de s. S. Debido a ue el valor restante es negativo (521), s no tiene un valor factible. Como se muestra en la figura 16.6, la política de inventario óptima en este caso exige ue no se pida el artículo. Este resultado se suele presentar cuando la función de costo es plana o cuando el costo de preparación es alto con respecto a los demás costos del modelo D - 2 dd 1 CONJUNTO DE PROBLEMAS 16.2B *1. Determine la política de inventario óptima para la situación en el ejemplo , suponiendo ue el costo de preparación es de $5. 2. En el modelo de un solo periodo de la sección , suponga ue el modelo maximiza la utilidad ue se incurre en un costo de preparación K. Si r es el precio de venta unitario utilizando la información de la sección , desarrolle una expresión para la utilidad esperada, determine la cantidad de pedido óptima. Resuelva el problema numéricamente para r 5 $3, c 5 $2, p 5 $4, h 5 $1 K 5 $1. La fdp de la demanda es uniforme entre Resuelva el problema 5, conjunto 16.2a, suponiendo ue ha un costo fijo de $1 asociado con la entrega de las donas.

15 16.3 MODELO DE VARIOS PERIODOS Esta sección presenta un modelo de varios periodos en el supuesto de ue no haa costo de preparación. Adicionalmente, el modelo permite un retraso en el cumplimiento de la demanda supone un retraso cero en la entrega. Además, asume ue una fdp estacionaria, f(d), describe la demanda en cualuier periodo. El modelo de varios periodos considera el valor descontado del dinero. Si a (, 1) es el factor de descuento por periodo, entonces una cantidad $A disponible durante n periodos a partir de ahora tiene un valor actual de $a n A. Suponga ue la situación del inventario comprende n periodos ue la demanda no satisfecha se deja pendiente exactamente un periodo. Defina F i (x i ) 5 Utilidad máxima esperada durante los periodos i, i 1 1,, n, dado ue x i es la cantidad disponible antes de ue se coloue un pedido en el periodo i. Aplicando la notación utilizada en la sección 16.2 suponiendo ue c r son el costo el ingreso por unidad, respectivamente, la situación del inventario puede formularse utilizando el siguiente modelo de programación dinámica probabilística (el capítulo 24, en el sitio web, detalla este punto): F n n - D2 = i F i (x i ) = máx e-c( i Ú x i - x i ) + [rd - h1 i - D2] f(d)dd i L + [r i + ar(d - i ) - p(d - i )] f(d)dd L i + a F i i - D2f1D2dD f, i = 1, 2, Á, n L El valor de x i puede ser negativo porue la demanda no satisfecha se uedó pendiente. Se inclue la cantidad ar(d 2 i ) en la segunda integral porue (D 2 i ) es la demanda no satisfecha en el periodo i ue se debe satisfacer en el periodo i 1 1. El problema puede resolverse de manera recursiva. En el caso en ue la cantidad de periodos es infinita, la ecuación recursiva se reduce a F(x) = máx e-c( - x) + Ú x L [rd - h( - D)] f(d)dd + [r + ar(d - ) - p(d - )] f(d)dd L + a F1 - D2f1D2dD f L donde x son los niveles del inventario durante cada periodo antes después de recibir un pedido, respectivamente Modelo de varios periodos 567

16 568 Capítulo 16 Modelos de inventario probabilísticos El valor óptimo de se determina a partir de la siguiente condición necesaria, la cual también resulta ser suficiente porue la función del ingreso esperado F(x) es cóncava. El valor de se determina como sigue. Si ha más unidades b (. ) disponibles al inicio del siguiente periodo, la utilidad durante el siguiente periodo se incrementará en cb, porue se tiene ue pedir esta cantidad mucho menor. Esto significa ue La condición necesaria es por lo tanto -c - h f(d) dd + c(1 - a)r + p da1 - f1d2ddb + ac f(d) dd = L L L (.) = -c - h f(d) dd + [(1 - a)r + p] f(d)dd L L F1 - D2 + a f1d2dd = L F1 - D2 Por tanto, el nivel óptimo del inventario * se determina a partir de L * f1d2 dd = F1 - D2 p a21r - c2 p + h a2r La política de inventario óptima durante cada periodo, si el nivel del inventario de entrada es x, se da por tanto como = c Si x, *, pedir *2x Si x $ *, no pedir CONJUNTO DE PROBLEMAS 16.3A 1. Considere un modelo de inventario probabilístico de dos periodos en el cual el cumplimiento de la demanda se ueda pendiente, los pedidos se reciben con retraso cero en entrega. La fdp de la demanda por periodo es uniforme entre 1, los parámetros de costos se dan como Precio de venta unitario 5 $2 Precio de compra unitario 5 $1 Costo de retención unitario por mes 5 $.1 Costo de penalización por mes 5 $3 Factor de descuento 5.8 Encuentre la política de inventario óptima para los dos periodos, suponiendo ue el inventario inicial en el periodo 1 es cero.

17 *2. La fdp de la demanda por periodo en un modelo de inventario de horizonte infinito se da como Los parámetros de costos unitarios son f1d2 =.8D, D 5 Precio de venta unitario 5 $1 Precio de compra unitario 5 $8 Costo de retención unitario 5 $1 Costo de penalización unitario por mes 5 $1 Factor de descuento 5.9 Determine la política de inventario óptima suponiendo un retraso en la entrega cero ue el no cumplimiento de la demanda se ueda pendiente. 3. Considere la situación de inventario de horizonte infinito con retraso cero en la entrega cumplimiento de la demanda pendiente. Desarrolle la política de inventario óptima basado en la minimización del costo dado ue Costo de retención por z unidades 5 hz 2 Costo de penalización por z unidades 5 px 2 Bibliografía 569 Demuestre ue para el caso especial en ue h 5 p, la solución óptima es independiente de la fdp de la demanda. BIBLIOGRAFÍA Cohen, R., R. Dunford, Forecasting for Inventor Control: An Example of When Simple Means Better, Interfaces, vol. 16, núm. 6, págs , Hadle, G., T. Whitin, Analsis of Inventor Sstems, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, Nahmias, S., Production and Operations Analsis, 5a. ed., Irwin, Homewood. IL, 25. Silver, E., D. Pke, R. Peterson, Decision Sstems for Inventor Management and Production Control, 3a. ed., Wile, Nueva York, Zipken, P., Foundations of Inventor Management, McGraw-Hill, Boston, MA, 2.

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