INAOE. Modelos Cualitativos. Eduardo Morales, Enrique Sucar. Introducción QSIM. Simulación. Algoritmo

Transcripción

1 Modelos INAOE (INAOE) Modelos 1 / 40

2 Contenido (INAOE) Modelos 2 / 40

3 Modelos y Conocimiento superficial vs. profundo. Normalmente los SE tienen conocimiento superficial en forma de reglas de producción. El conocimiento superficial representa conocimiento que puede utilizarse en situaciones específicas, en donde las conclusiones se derivan directamente de las observaciones, e.g., IF el tanque esta vacio Then el coche no arranca (INAOE) Modelos 3 / 40

4 Modelos y Un sistema físico puede describirse en términos de sus componentes y conecciones. La motivación es capturar conocimiento de sentido común de los expertos. El conocimiento profundo se refiere a las estructuras internas y causales de un sistema y considera las interacciones entre sus componentes. (INAOE) Modelos 4 / 40

5 Modelos (INAOE) Modelos 5 / 40

6 Modelos y Una forma de representar conocimiento profundo es por medio de modelos cualitativos. Normalmente se hace una simulación cualitativa. Surgió al tratar de resolver problemas de ingeniería y dandose cuenta que simuladores más grandes o mejores resolvedores de ecuaciones no resolverian totalmente el problema. (INAOE) Modelos 6 / 40

7 Modelos y Sistema Comportamiento Físico Real Ecuaciónes solución numérica f i : R R Diferenciales o analítica Restricciones simulación Descripción del Cualitativas cualitativa Comportamiento (INAOE) Modelos 7 / 40

8 Modelos y Un modelo cualitativo consiste en un conjunto de variables de estado (o parámetros) del sistema y un conjunto de restricciones que relacionan las variables. (INAOE) Modelos 8 / 40

9 Modelos y Restricciones Valores Corresp. Variables CantA + CantB = Total CantA (0 AMax ) PresA = M + (CantA) (0 0) ( ) CantB (o BMax ) PresB = M + (CantB) (0 0) ( ) PresA (0 ) PresA - PresB = PAB PresB (0 ) flujo A >B = M + ( PAB) ( ) PAB (- 0 ) (0 0)( ) d CantB/dt = flujo A >B flujo A >B (- 0 ) d CantA/dt = - flujo A >B Total (0 ) Dada una descripción inicial queremos predecir el comportamiento. (INAOE) Modelos 9 / 40

10 Modelos y (INAOE) Modelos 10 / 40

11 Modelos y (INAOE) Modelos 11 / 40

12 Variables Cualitativas Operan sobre funciones razonables. Si [a, b] R, la función f : [a, b] R es una función razonable sobre [a, b] si: 1 f es continua es [a, b] 2 f es continuamente diferenciable en (a, b) 3 f tiene un número finito de puntos de inflección (críticos) en cualquier intervalo cerrado 4 existen los límites lim t a f (t) = f (a) y lim t b f (t) = f (b) (INAOE) Modelos 12 / 40

13 Espacios - Valores Característicos El espacio cualitativo está definido por un conjunto de símbolos totalmente ordenado (valores landmark (característicos)) l 1 < l 2 <... < l k Cada landmark es un nombre simbólico de un valor particular cuyo valor actual no se conoce. Por default: (, 0, ) Se debe de incluir un valor landmark por cada punto de inflección (i.e., f (t) = 0), por lo que durante la simulación a veces es posible crear nuevos landmarks. (INAOE) Modelos 13 / 40

14 Restricciones Las restricciones representan versiones cualitativas de operaciones matemáticas comúnes, tales como suma, multiplicación y diferenciación, y permiten mapear directamente una gran cantidad de ecuaciones diferenciales. (INAOE) Modelos 14 / 40

15 es un sistema para simulación cualitativa desarrollado por B. Kuipers y otros Dado un conjunto incompleto de estados de variables y un conjunto de restricciones, determina todos los posibles estados que son consistentes con las restricciones. El estado cualitativo de un variable es una lista con su valor cualitativo (en o entre valores característicos) y la derivada cualitativa: aumentando (inc), decreciendo (dec) o constante (std). (INAOE) Modelos 15 / 40

16 Estado Cualitativo Defn: Sean l 1 <... < l k los valores característicos de f : [a, b] R, para cualquier t [a, b]. Un estado cualitativo de f en t, QS(f, t), en un par <qval,qdir> definido como: { lj if f (t) = l qval = j ; un landmark (l j, l j+1 ) if f (t) (l j, l j+1 ) inc if f (t) > 0 qdir = std if f (t) = 0 dec if f (t) < 0 (INAOE) Modelos 16 / 40

17 Estado Cualitativo A pesar de que está definido continuamente, la descripción se hace en puntos discretos. Entre puntos distinguibles t i y t i+1 podemos definir un valor cualitativo QS(f, t i, t i+1 ) para todo el tiempo entre t i y t i+1. Si un sistema, es un conjunto F = {f 1,..., f m } de funciones f i : [a, b] R, el comportamiento cualitativo de un sistema se describe como una secuencia de estados de la forma: QS(F, t 0 ), QS(F, t 0, t 1 ), QS(F, t 1 ),..., QS(F, t n 1, t n ), QS(F, t n ) (INAOE) Modelos 17 / 40

18 Restricciones Cualitativas El estado cualitativo se expresa en términos de los valores de las variables. Las relaciones entre las variables está dado por las restricciones cualitativas: suma, mult, menos, deriv, M +, M y constante. Dada cualquier ODE (ecuaciones diferenciales ordinarias), estan las podemos traducir a su equivalente QDE (ecuaciones diferenciales cualitativas), pero una QDE puede mapear a un número infinito de ODE. (INAOE) Modelos 18 / 40

19 Ejemplo d 2 u/dt du/dt + arctanku = 0 f 1 = du/dt deriv(u, f 1 ) f 2 = df 1 /dt deriv(f 1, f 2 ) f 3 = ku mult(k, u, f 3 ) f 4 = arctanf 3 M + (f 3, f 4 ) f 2 f 1 + f 4 = 0 suma(f 2, f 4, f 1 ) (INAOE) Modelos 19 / 40

20 Valores Correspondientes Los valores correspondientes son tuplas de valores landmark que pueden tomar las variables en un tiempo determinado (e.g.,m + (x, y), [(0, 0)]). [V ] = el signo de V [V ] V0 = signo(v V 0 ) [V ] 0 = signo(v ) [+] if V > 0 [0] if V = 0 [ ] if V < 0 (INAOE) Modelos 20 / 40

21 Restricciones SUMA: suma(x, y, z)[(x 1, y 1, z 1 ),...] (corresponding values) 1 [Ẋ] + [Ẏ ] = [Ż ] suma [+] [0] [-] [+] [+] [+] [+]/[0]/[-] [0] [+] [0] [-] [ ] [+]/[0]/[-] [-] [-] 2 [X] xi + [Y] yi = [Z] zi (INAOE) Modelos 21 / 40

22 Restricciones MULT: mult(x, y, z)[(x 1, y 1, z 1 ),...] 1 [X] 0 [Y ] 0 = [Z ] 0 mult [+] [0] [-] [+] [+] [0] [-] [0] [0] [0] [0] [ ] [-] [0] [+] 2 [Y ] 0 [Ẋ] + [X] 0[Ẏ ] = [Ż ] (INAOE) Modelos 22 / 40

23 Restricciones MENOS: 1 [X] = [Y ] 2 [X] xi = [Y ] yi 3 Valores correspondientes: (0 0), (-, ), (, - ) (INAOE) Modelos 23 / 40

24 Restricciones M + : Monotónicamente creciente 1 [Ẋ] = [Ẏ ] 2 [X] xi = [Y ] yi M : Monotónicamente decreciente 1 [Ẋ] = [Ẏ ] 2 [X] xi = [Y ] yi (INAOE) Modelos 24 / 40

25 DERIV 1 [Ẋ] = [Y ] 0 CONSTANT 1 [Ẋ] = 0 2 [X] a = 0 Restricciones También pueden existir para operaciones de muchas variables. Se pueden combinar los landmark con valores cuantitativos para tener más información (INAOE) Modelos 25 / 40

26 Manejo de restricciones Propagación de restricciones: Es eficiente, local, pero no siempre exitosa Propagar descripciones cualitativas entre variables a traves de restricciones, e.g., si M + (x, y) y [x] = [+] => [y] = [+], si suma(x, y, z) y [x] 0 = [+] y [z] 0 = [ ] => [y] 0 = [ ]. Ejemplo, en el caso de tubo-u, dada la descripción inicial de Tanque A lleno y Tanque B vacío (CantA = AMax y CantB = 0), podemos propagar para conocer los otros valores de las otras variables. Satisfacción de restricciones: encuentra todas las soluciones, pero es computacionalmente caro. (INAOE) Modelos 26 / 40

27 (INAOE) Modelos 27 / 40

28 Tabla de transiciones de estados desde un punto: Trans-P QS(f, t i ) QS(f, t i, t i+1 ) P1 < l j, std > < l j, std > P2 < l j, std > < (l j, l j+1 ), inc > P3 < l j, std > < (l j 1, l j ), dec > P4 < l j, inc > < (l j, l j+1 ), inc > P5 < (l j, l j+1 ), inc > < (l j, l j+1 ), inc > P6 < l j, dec > < (l j 1, l j ), dec > P7 < (l j, l j+1 ), dec > < (l j, l j+1 ), dec > (INAOE) Modelos 28 / 40

29 Tabla de transiciones de estados desde un intervalo: Trans-I QS(f, t i, t i+1 ) QS(f, t i+1 ) I1 < l j, std > < l j, std > I2 < (l j, l j+1 ), inc > < l j+1, std > I3 < (l j, l j+1 ), inc > < l j+1, inc > I4 < (l j, l j+1 ), inc > < (l j, l j+1 ), inc > I5 < (l j, l j+1 ), dec > < l j, std > I6 < (l j, l j+1 ), dec > < l j, dec > I7 < (l j, l j+1 ), dec > < (l j, l j+1 ), dec > I8 < (l j, l j+1 ), inc > < l, std > I9 < (l j, l j+1 ), dec > < l, std > (INAOE) Modelos 29 / 40

30 Entrada: 1 Un conjunto de {f 1,..., f m } de símbolos representando funciones en el sistema 2 Un conjunto de restricciones aplicadas a los símbolos funcionales: ADD(f, g, h), MULT (f, g, h), MINUS(f, g), DERIV (f, g), M + (f, g), M (f, g). Cada una puede tener relacionada valores correspondientes 3 Cada función está asociada con un conjunto ordenado de símbolos, representando valores característicos (cada función tiene por los menos el conjunto: {, 0, + }) 4 Cada función puede tener asociada límites superiores e inferiores (valores característicos donde las restricciones ya no aplican) 5 Un punto temporal inicial, t 0, y los valores cualitativos para cada de las f i en t 0 (INAOE) Modelos 30 / 40

31 Salida: una o más descripciones cualitativas para las funciones dadas. Cada descripción tiene: 1 Una secuencia {t 0,..., t n } de símbolos, representando los puntos temporales 2 Cada función f i tiene un conjunto totalmente ordenado de valores caracterísitcos, posiblemente mayor que el original 3 Cada función tiene una descripción cualitativa en cada punto temporal o intervalo entre puntos temporales (INAOE) Modelos 31 / 40

32 Coloca en ACTIVOS el estado inicial. REPEAT Until ACTIVOS = vacío o Tiempo tiempo límite. 1 Selecciona un estado cualitativo de ACTIVOS 2 Para cada función determina sus posibles transiciones (usando la tabla) 3 Para cada restricción, genera un conjunto de tuples y filtra de acuerdo a consistencia 4 Realiza filtrado de consistencia entre conjuntos de tuples (transiciones adyacentes deben de concordar con las transiciones de los parametros comunes) 5 Genera todas las intepretaciones globales 6 Aplica filtros globales y añade los estados restantes a ACTIVOS (INAOE) Modelos 32 / 40

33 Filtros 1 No cambio 2 Valores infinitos 3 Reconocer estado estable (quiescent) 4 Nuevos landmarks 5 Nuevos valores correspondientes en puntos temporales 6 Aparear estados e identificar ciclos 7 Propagar inconsistencias hacia atrás 8 Regiones de transición (INAOE) Modelos 33 / 40

34 Ejemplo: Tiro vertical Restricciones: deriv(y, V ), deriv(v, A), A(t) = g Estado Inicial: QS(A, t 0, t 1 ) =< g, std > QS(V, t 0, t 1 ) =< (0, ), dec > QS(Y, t 0, t 1 ) =< (0, ), inc > (INAOE) Modelos 34 / 40

35 Ejemplo: Tiro vertical A I1: < g, std > =>< g, std > V I5: < (0, ), dec > =>< 0, std > I6: < (0, ), dec > =>< 0, dec > I7: < (0, ), dec > =>< (0, ), dec > I9: < (0, ), dec > =>< L, std > Y I4: < (0, ), inc > =>< (0, ), inc > I8: < (0, ), inc > =>< L, std > (INAOE) Modelos 35 / 40

36 Ejemplo: Tiro vertical deriv(y,v) (I4,I5) c (I4,I6) c (I4,I7) (I4,I9) w (I8,I5) w (I8,I6) (I8,I7) c (I8,I9) c deriv(v,a) (I5,I1) c (I6,I1) (I7,I1) (I9,I1) c (INAOE) Modelos 36 / 40

37 Ejemplo: Tiro vertical Y V A I4 I7 I1 I8 I6 I1 QS(A, t 1 ) =< g, std > QS(V, t 1 ) =< 0, dec > QS(Y, t 1 ) =< Y max, std > (INAOE) Modelos 37 / 40

38 Ejemplo: Tanque (INAOE) Modelos 38 / 40

39 Modelos y Se puede demostrar que garantiza incluir todos los comportamientos que exhiben las ecuaciones diferenciales originales (sound), pero no garantiza incluir solo esas (no complete) y normalmente genera comportamientos que no representan realidades físicas. Uno de los problemas es ambigüedad en la derivada de expresiones complejas. Por ejemplo: z = xy, x = inc, y = dec, entonces z = inc, dec o std. Las derivadas solo están restringidas por consideraciones de continuidad y no por valores característicos. (INAOE) Modelos 39 / 40

40 Modelos y Posibles soluciones (Kuipers y Chiu 87) Ignorar la dirección de cambio de una variable (Kuipers y Chiu 87) Restricciones de curvatura cuando la derivada de una variable es cero para validar o refutar las curvaturas propuestas por (Kuipers y Chiu 87) Restricciones en las trayectorias de las variables en el plano de la fase (NIC: Non-Intersection of phase-space Constraint) (Lee y Kuipers 88, Struss 88) Incorporación de conocimiento cuantitativo Abstracciones de comportamientos en uno solo Derivadas de alto orden (INAOE) Modelos 40 / 40