Universidad de Valladolid, Valladolid, España 2 Departamento de Estadística, Investigación Operativa y Computación

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1 7 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8 11 de abril de 003 ANEWPERSPECTIVEONTHEPARTIAL BACKLOGGING EOQ MODEL L.A. San José 1, J. Sicilia, J.G. Laguna 3 1 Departamento de Matemática Aplicada a la Técnica Universidad de Valladolid, Valladolid, España augusto@mat.uva.es Departamento de Estadística, Investigación Operativa y Computación Universidad de La Laguna, Tenerife, España jsicilia@ull.es 3 Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Valladolid, Valladolid, España laguna@eio.uva.es ABSTRACT Te purpose of tis paper is to study te partial backlogging EOQ inventory system considering a customer impatience function. Tis approac assumes tat a part of te customers are impatience and tey will not wait to te new order is filled. So, a fixed fraction of te unsatisfied demand is backlogged and te rest is lost. We consider te purcase cost, olding cost, order cost and oter significant costs of sortage. Te economic lot size and te total cost minimum formulae are determined, wic depend on tis fraction of unsatisfied customers. Key Words: inventory management, EOQ models, sortage, partial backordering, customer impatience function. AMS subject classification: 90B05. 1 Introducción Desde su publicación inicial, mucas an sido las extensiones del modelo EOQ de Harris-Wilson construidas y resueltas formulando distintas ipótesis. Una situación muy importante para el control de inventarios tiene lugar cuando un cliente solicita un artículo no disponible en el almacén. Dos casos extremos se an considerado en la literatura sobre el tema: (i) toda la demanda es retropedida y servida tan pronto como llega al almacén un nuevo lote (caso de demanda pendiente o de retropedidos); 1

2 (ii) toda la demanda se pierde porue, al no encontrar lo ue desea, el cliente se va a otro lugar a satisfacer su necesidad (caso de pérdida de ventas). Sin embargo, en mucas situaciones prácticas se da una combinación de estos casos extremos y, por tanto, en un instante dado el nivel neto de inventario en el almacén (stock a mano - repropedidos) depende del grado en ue estas situaciones extremas se dan. Si, cuando ay escasez, toda la demanda es retropedida el nivel neto del inventario será negativo asta la siguiente llegada de un pedido; en cambio, si toda la demanda se pierde, el nivel neto de inventario se mantiene nulo asta la llegada del siguiente pedido. Los modelos de inventario ue consideran una mixtura fija de retropedidos y pérdida de ventas para artículos no perecederos fueron estudiados por Montgomery (1973), Rosenberg (1979) y Park (198). Estos autores consideran ue solamente una fracción fija β, con0 < β < 1, de la demanda durante el periodo sin existencias es servida tarde. En Abad (001) se considera el problema del inventario de un bien perecedero con retropedidos parciales. El retropedido parcial se modela usando un enfoue en el ue los clientes son considerados impacientes. Es decir, si nos encontramos en un periodo sin existencias sólo se sirve tarde una fracción de la demanda no satisfeca. Esta fracción es, además, una función decreciente del tiempo de espera. Sin embargo, Abad no incluye ni los costes de pérdida de confianza debido a la pérdida de ventas ni los costes de retropedidos debido ala escasez. Si en lafunciónde beneficios totales no se incluyen los costes anteriores, la solución óptima ue maximiza el beneficio total tendrá un número elevado de ventas perdidas y retropedidos, lo ue implica un coste también elevado. En este trabajo extendemos y modificamos el modelo de Abad (001) para un producto no perecedero en dos sentidos. En primer lugar, suponemos ue la impaciencia de los clientes es descrita por una función no creciente con valores en el intervalo [0,1]. Es importante señalar ue la función de impaciencia del modelo de Abad (001) es estrictamente decreciente, diferenciable al menos una vez y con valores menores ue uno. Con estas condiciones, el problema del sistema de inventario en el ue los clientes están dispuestos a esperar un tiempo fijo no puede tratarse con el modelo propuesto por Abad. De igual forma, tampoco se puede estudiar el modelo ue considera una mixtura fija de retropedidos y pérdida de ventas, caso ue nosotros estudiaremos en este trabajo. En segundo lugar, nosotros añadimos los costes de pérdida de confianza por una venta perdida y los costes de escasez asociados al retropedido. Como consecuencia, el modelo auí propuesto constituye un marco general para artículos no perecederos con precio de venta constante, ue incluye numerosos modelos previos como casos particulares (Hadley (1963)), Montgomery (1973), Rosenberg (1979), Park (198), Abad(001)). Además, damos un enfoue general para resolver el modelo. Para la función de impaciencia considerada en la Sección 4, deducimos algunos resultados ue aseguran la existencia de una política óptima. Este trabajo está estructurado de la siguiente forma. En la Sección se dan las

3 ipótesis y la notación ue se utilizará a lo largo del trabajo. En la Sección 3 se formula el modelo matemático. En la Sección 4 se presenta un enfoue general para resolver el problema. En la Sección 5, aplicando el procedimiento propuesto en la Sección 4, se da la política óptima cuando la función de impaciencia es constante. El trabajo finaliza con las conclusiones recogidas en la Sección 6. Hipótesis y notación Consideraremos las siguientes ipótesis: (1) El inventario es de un solo producto con demanda independiente. () El orizonte de planificación es infinito. (3) La tasa de demanda es conocida, constante y continua. (4) El abastecimiento es instantáneo. (5) El costo de reposición es fijo y no depende del tamaño del lote. El coste de almacenamiento es una función lineal del inventario medio. (6) Se permite escasez, ue es retropedida parcialmente. La fracción de demanda retropedida es B(τ), siendoτ is el tiempo ue el cliente espera asta ue recibe el artículo; es decir, los clientes son impacientes. (7) El coste de un retropedido incluye un coste fijo y un coste proporcional al tiempo ue se espera asta ue se recibe el artículo. (8) El coste de una venta perdida sin incluir la pérdida de beneficios es constante (coste de pérdida de confianza). Utilizaremos la siguiente notación: D : demanda por unidad de tiempo (> 0). K : coste de pedir por lote (> 0). p : coste unitario de compra (> 0). s : precio unitario de venta (s >p). : coste unitario de almacenamiento por unidad de tiempo. ω o : coste fijo de retropedido por unidad servida tarde, independiente del tiempo ( 0). ω : coste unitario y por unidad de tiempo de retropedido ( 0). Es decir, ω o +ωt es el coste unitario de retropedido cuando el tiempo de escasez es t. Consideraremos ue ω o + ω > 0, es decir, supondremos ue ambos costes unitarios no pueden ser simultáneamente nulos. π o : coste de pérdida de confianza de una venta perdida, es decir, coste debido a unaventaperdidasinincluirlapérdidadebeneficios ( 0). π : coste de una pérdida de ventas, incluyendo la pérdida de beneficios y de confianza; π = π o + s p (> 0). ξ o : coste medio fijo por escasez de una unidad, incluyendo el coste fijo de retropedido, la pérdida de beneficios y de confianza; es decir, ξ o = ρω o +(1 ρ)π. I(t) :nivel neto de inventario en el tiempo t. T : duración del ciclo de inventario con existencias ( 0). 3

4 Ψ : tiempo,encadaciclo,enelueelinventarionetoesnegativo( 0). : tamaño del lote ( 0). b : nivel de reabastecimiento ( 0). Consideraremos ue I(t) es una función periódica de periodo (T + Ψ) ycontinuaen el intervalo (0,T + Ψ). El sistema de inventario tiene demanda uniforme y su nivel decrece linealmente cuando es positivo, es decir, I(t) =D(T t) para t [0,T). Se supone ue los clientes son impacientes y en un momento dado t [T,T + Ψ) sólo se satisface una fracción de la demanda. Denotaremos por B(τ) esta fracción, siendo τ = T + Ψ t>0el tiempo ue los clientes esperan asta ue reciben el artículo solicitado. Supondremos ue B(τ) es una función no creciente y ue 0 B(τ) 1. Por tanto, para t [T,T + Ψ) se tiene Z Ψ Z Ψ I(t) =I(T + Ψ τ) = D B(r)dr = D B(r)dr. (1) τ T +Ψ t Además también existe lim t (T +Ψ) I(t), ue denotaremos por I T +Ψ, ysetiene: I T +Ψ = DM(Ψ), donde M(Ψ) = Z Ψ 0 B(r)dr. () 3 Formulación del modelo matemático Consideraremos un sistema de inventario de revisión continua con demanda determinista, escasez parcialmente retropedida y clientes impacientes. Por tanto, los ingresosyloscostesencadacicloson: Ingresos: sd(t + M(Ψ)). Costedecompra:pD(T + M(Ψ)). Costedereposición:K. Coste de almacenamiento: DT. Coste fijo de retropedido: ω o DM(Ψ). Coste de retropedido dependiente del tiempo: ωd R Ψ 0 τb(τ)dτ. Coste de pérdida de confianza: π o D(Ψ M(Ψ)). Portanto,elbeneficio en el intervalo [0,T + Ψ) es F (T,Ψ) = (s p)d(t + M(Ψ)) K DT ω o DM(Ψ) ωd Z Ψ 0 τb(τ)dτ π o D(Ψ M(Ψ)) = (s p)d(t + Ψ) K DT G(Ψ) 4

5 donde µz Ψ G(Ψ) =ω o DM(Ψ)+ωD es el coste de escasez por ciclo. En consecuencia, el beneficio medio por unidad de tiempo es 0 τb(τ)dτ + πd(ψ M(Ψ)) (3) siendo B(T,Ψ) = F (T,Ψ) T + Ψ =(s p)d C(T,Ψ) (4) C(T,Ψ) = 1 K + DT + G(Ψ). (5) T + Ψ Por tanto, maximizar B(T,Ψ) es euivalente a minimizar C(T,Ψ). En consecuencia, el problema es determinar las variables T y Ψ, cont 0, Ψ 0 y T + Ψ > 0, ue minimizan C(T,Ψ) en (5). Nota. Obsérvese ue si se consideran como variables de decisión a la cantidad económica de pedido y al nivel de reabastecimiento b, entonces = D(T + M(Ψ)) y b = DΨ. 4 Enfoue general para resolver el problema Podemos reformular el problema anterior como minimizar C(α, e Ψ) = 1 (α Ψ) K + D α sujeta a : 0 Ψ α, α > 0 + G(Ψ) (6) siendo α = T + Ψ la duración del ciclo de inventario. Si fijamos la variable Ψ, entonces la función C(α, e Ψ) es similar a la función objetivo del modelo EOQ de Harris-Wilson. En consecuencia, es una función convexa ue alcanza su mínimo en el punto ysuvalores r K +G(Ψ)+DΨ αψ = D > Ψ (7) ec(α Ψ, Ψ) = p KD +DG(Ψ)+(DΨ) DΨ = D(α Ψ Ψ) > 0. (8) Es claro ue si Ψ =0entonces G(Ψ) =0y recaemos en las fórmulas conocidas de Wilson para el modelo EOQ sin escasez: α Ψ = p K/D y e C(α Ψ, Ψ) = KD. Algunas propiedades importantes de la función e C(α Ψ, Ψ) son las siguientes: 5

6 a) Es continua en [0, ). b) lim Ψ ec(α Ψ, K Ψ) = lim Ψ Ψ + G(Ψ) Ψ K DΨ + G(Ψ) DΨ sin dificultad cuando conocemos o(g(ψ)). c) d ec(α Ψ,Ψ) = D L(Ψ), con dψ U(Ψ)V (Ψ) +1+1, luego el primer límite se calcula L(Ψ) = (G 0 (Ψ)) +D [ΨG 0 (Ψ) G(Ψ)] KD, (9) U(Ψ) = p KD +DG(Ψ)+(DΨ) y V (Ψ) = ³G 0 (Ψ)+DΨ + p KD +DG(Ψ)+(DΨ). Además, como U(Ψ) y V (Ψ) son positivas en [0, ), setieneue signo d ec(α Ψ, Ψ) = signol(ψ). dψ Teniendo en cuenta las propiedades anteriores, podemos dar el siguiente método para resolver el modelo propuesto en este trabajo: Método 1. Evaluar G(Ψ) utilizando (3).. Obtener G 0 (Ψ) y L(Ψ). 3. Resolver, si es posible, la ecuación L(Ψ) =0para encontrar Ψ.Enotrocaso, determinar el valor óptimo de Ψ estudiando directamente la función ec(α Ψ, Ψ). 4. Calcular el valor óptimo de α mediante (7) y acer lo mismo con ec(α, Ψ )= ec(t, Ψ ) de (8). 5 Resolución del problema para una función constantedeimpacienciadeclientes En esta sección consideraremos ue los retropedidos vienen determinados por una función constante de impaciencia. Es decir, supondremos ue B(τ) =ρ con τ > 0 y 0 ρ 1. Esta situación corresponde a los modelos de inventario ue consideran una mixtura fija de retropedidos y pérdida de ventas para artículos no perecederos señalada en la introducción. Teniendo en cuenta el método expuesto en la sección anterior, se tiene el siguiente Teorema 1. Si la función de impaciencia viene determinada por B(τ) =ρ con τ > 0 y 0 ρ 1, entonces el valor mínimo de ec(α Ψ, Ψ) se obtiene en el punto Ψ dado en la siguiente tabla: > 0 =0 < 0 ρω > 0 Ψ =0 Ψ =0 Ψ = Ψ o ρω =0 Ψ =0 todo Ψ [0, ) Ψ = siendo =(ξ o D) KD y Ψ o = K Dρω ξ o ρω(+ρω) ξo. +ρω +ρω 6

7 Demostración 1. Evaluación de G(Ψ): Por (), M(Ψ) =ρψ. Además, R Ψ Ψ τb(τ)dτ = ρ o y, por tanto, G(Ψ) = ξ o DΨ + ρωdψ /. Además, ½ si ρω > 0 lim Ψ ec(α Ψ, Ψ) = ξ o D si ρω =0.. Obtención de G 0 (Ψ) y L(Ψ): Como G 0 (Ψ) =ξ o D + ρωdψ, sustituyendo G(Ψ) y G 0 (Ψ) en (9), se tiene L(Ψ) =ρω( + ρω)d Ψ +ξ o ρωd Ψ +(ξ o D) KD. 3. Determinación de Ψ : (a) Si ρω > 0 entonces L(Ψ) es una función cuadrática con L(0) =. Por tanto: i. Si 0, L(Ψ) > 0 para Ψ > 0 y, por tanto, ec(α Ψ, Ψ) alcanza su mínimo en Ψ =0, α K = con valor D C(α, Ψ )= KD. Además, T = α,b =0y KD =. Es decir, retornamos al modelo EOQ sin escasez. ii. Si < 0, entoncesψ K = ξ o ξ o es la única Dρω ρω(+ρω) +ρω +ρω raíz de L(Ψ) =0con Ψ > 0 y ec(α Ψ, Ψ) alcanzasumínimoglobal en este punto. Usando (7) se tiene αψ = K ξo +ρω, D (+ρω) ρω de donde Ψ = ξo + +ρω +ρω α y, por (8), C(αΨ, Ψ ) = ξod + +ρω KD (ξ od) +ρω ρω. +ρω Además, b = DΨ = KD (ξod) ρω ρω(+ρω) D(T + ρψ )=D(α (1 ρ)ψ )=D = ρ(+ω) +ρω KD (ξod) (+ρω) +ρω ρω ξo(1 ρ) +ωρ + (1 ρ)ξod +ωρ. ξ od +ρω +ρω yde = i + ρ(+ω) +ωρ α se sigue Es decir, retornamos a los resultados conocidos para el modelo EOQ mixto con retropedidos y pérdida de ventas (Montgomery (1973), Rosenberg (1979), Park (198) y Laguna (00)). (b) Si ρω =0entonces L(Ψ) =. Por tanto: i. Si > 0 entonces ec(α Ψ, Ψ) alcanzasumínimoenψ =0con valor KD. ii. Si =0entonces ec(α Ψ, Ψ) es constante en el intervalo [0, ), es decir, alcanza el mínimo en todos los puntos de ese intervalo con valor KD. 7

8 Observaciones iii. Si < 0 entonces ec(α Ψ, Ψ) alcanza el mínimo en Ψ = con valor ξ o D. 1. Considerando ue b = DΨ y = DT + ρb se tiene D(T + Ψ) =DT + b = +(1 ρ)b, dedondec(α, e Ψ) =C(T,Ψ) = 1 DT (K + +ρξ T +Ψ o DΨ+ρωD Ψ ) = K D + ( ρb) + ξ D +(1 ρ)b (+(1 ρ)b) ob + ρω b +(1 ρ)b (+(1 ρ)b) ue corresponde a la función de coste para el modelo auí estudiado, cuando se consideran como variables el tamaño del lote de pedido yelnivelde reabastecimiento b (Montgomery (1973), Rosenberg (1979), Park (198), Mak (1987), Laguna (00)). La representaremos por C o (, b).. Si ρω =0, entonces el último término de la función de coste C o (, b) desaparece, manteniéndose el resto. En efecto: (a) Si ρ =0retornamos al modelo EOQ en el ue toda la escasez son ventas perdidas y ξ o = π > 0. En este caso no tiene sentido considerar los costes ω o ni ω, por lo ue la ipótesis ω o + ω > 0 no es necesaria. (b) Si ω =0, por la ipótesis ω o + ω > 0, se tiene ω o > 0 y ξ o > Si ρ = 1 y ω > 0 retornamos al modelo EOQ en ue toda la escasez es retropedida (Hadley (1963), Jonson (1974), Laguna (00)). 6 Conclusiones En este trabajo se presenta una nueva perspectiva para el estudio del modelo EOQ con mixtura de retropedidos y pérdida de ventas. Se considera ue los clientes son impacientes frente al servicio y ue cuando ay escasez ciertos clientes están dispuestos a esperar la llegada del próximo pedido, mientras ue otros desecan la compra del artículo. En particular se analiza la situación de una fracción fija de clientes ue no están dispuestos a esperar la llegada de un nuevo pedido. Se consideran costes de compra, de reposición, de mantenimiento y otros costes de escasez significativos. Con esta nueva perspectiva, se determinan el tamaño del lote óptimo y el coste mínimo. 7 Agradecimientos El autor Joauín Sicilia agradece a la Dirección Gral. de Universidades e Investigación del Gobierno de Canarias la concesión de una Beca de estancia en la Universidad de Valladolid, la cual permitió financiar la elaboración del presente trabajo. 8

9 Así mismo, los otros dos autores agradecen a la Dirección Gral. de Universidades e Investigación de la Consejería de Ecucación y Cultura de la Junta de Catilla y León la concesión del proyecto UV34/0 ue a servido para facilitar la realización de este trabajo. Referencias Abad, P.L. (001): Optimal price and order size for a reseller under partial backordering. Computers and Operations Researc 8, Hadley, G. and Witin, T.M. (1963). Analysis of Inventory Systems. Prentice-Hall. Jonson, L.A. and Montgomery, D.C. (1974). Operations Researc in Production Planning, Sceduling and Inventory Control. Jon Wiley. Laguna, J.G. y San José, L.A. (00): Modelos EOQ determinísticos. Working paper. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universidad de Valladolid. Mak, K.L. (1987): Determining optimal production-inventory control policies for an inventory system wit partial backlogging. Computers and Operations Researc 14, Montgomery, D.C., Bazaraa, M.S. and Keswani, A.K. (1973): Inventory models wit a mixture of backorders and lost sales. Naval Researc Logistics Quaterly 0, Park, K.S. (198): Inventory model wit partial backorders. International Journal of Systems Sciences 13, Rosenberg, D. (1979): A new analysis of a lot size model wit partial backlogging. Naval Researc Logistics Quaterly 6,