Funciones reales de una variable real

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Milagros Córdoba Aguirre
hace 6 años
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1 Funciones reales de una variable real Funciones Definición (informal): Sean A y B dos conjuntos, una función f de A en B es una correspondencia que a cada elemento de A le asigna un y sólo un elemento de B. ) Determine, justificando la respuesta, si las siguientes relaciones definen en cada caso una función f: A B. a) A representa el conjunto de padres de Argentina, B representa el conjunto de niños de Argentina y la relación f es Es padre de... b) A representa el conjunto de niños de Argentina, B representa el conjunto de madres de Argentina y la relación f es Es hijo de... c) A representa el conjunto de días del año, B representa el conjunto de estaciones del año y la relación es Pertenece a la estación... ) Indique si los siguientes diagramas definen una función f: A B justificando la respuesta. En caso afirmativo determine el dominio, D(f), y la imagen, Im(f). 3) Indique si la siguiente tabla define una función f : A B justificando la respuesta. En caso afirmativo determine D(f) e Im(f). A= {q,w,e,r} B= {q,w,t,r} q w r w f q r w t 4) Indique si los siguientes gráficos definen una función f : A B. 5) La Figura muestra el gráfico de una función y= f. a) Estime, de ser posible, el valor de la función en los siguientes puntos: =, = 4, = 0. b) Indique D(f) e Im(f) usando notación de intervalo. c) Estime el valor de para el cual f=.

6) Indique, justificando la respuesta, si las siguientes funciones son iguales. a) f = ; g = b) f = - + ; g= + 7) a) Halle el área de un: i) Triángulo equilátero en función del lado l.

2 6) Indique, justificando la respuesta, si las siguientes funciones son iguales. a) f = ; g = b) f = - + ; g= + 7) a) Halle el área de un: i) Triángulo equilátero en función del lado l. ii) Círculo en función de su diámetro d. b) Usando la función hallada en i) encuentre el área cuando l = 3. 8) a) Halle la superficie lateral y el volumen de: i) Un cubo en función de su arista a. ii) Una esfera en función de su diámetro. b) Usando la función hallada en i) encuentre la superficie lateral cuando a = 5. 9) a) La altura h de un rectángulo es el triple de su base. Halle en cada caso, el área del rectángulo en función de: i) la altura h, ii) la diagonal d. b) Si la diagonal mide 5 unidades, cuál es el área del rectángulo? Ejemplo a) ii). Si es la base del rectángulo y h la altura, el área del rectángulo es A = h. () Sabemos que h = 3, reemplazando en () resulta que el área en función de la base es A = 3, por lo tanto, basta hallar en función de la diagonal d para resolver el problema. De la figura podemos afirmar que d = + ( 3) d = + 9 d d = 0 = 0 3 Por lo tanto, A(d) = 3 d 0 0) Un árbol de,50 m de altura está cerca de un farol de 3,6 m de altura, como muestra la figura. Eprese la longitud L de su sombra en función de la distancia D del pie del árbol a la base del farol. ) Eprese: a) El área A de un rectángulo de base b y altura h en función de b sabiendo que el perímetro es de 48cm. i) Halle el dominio ii) Calcule el valor de A para algún valor del dominio. b) El área de un triángulo rectángulo en función de la base sabiendo que la suma de las longitudes de los catetos es 80 cm. Determine el

3 dominio de la función hallada. c) El área de una ventana normanda la cual tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto, en función de su ancho, sabiendo que el perímetro de la ventana es de 0 cm. Determine el dominio de la función hallada. Ejemplo b). Sea la base del triángulo e y su altura. Entonces, y A = () Como queremos hallar A en función de, es suficiente hallar y en función de. Como dato tenemos que la suma de los catetos es 80; por lo tanto, + y = 80 y = 80 ; Reemplazando y en () resulta: (80 - ) A =. El dominio de A queda determinado por los valores para los cuales: 0 e y = 80 0, por lo tanto, D(f) = { R : 0 80}. Dominio, imagen y gráfico de una función real ) Halle el dominio de las siguientes funciones y escríbalo utilizando la notación de intervalo. 3 a) f = b) f = - c) f = c) f = d) f = Ejemplo d) El dominio de f = es, D(f) = R : Para determinarlo resolvemos, factorizando el numerador, la inecuación equivalente: ( - )( + ) 0. - Estudiamos el signo de la misma a partir de la siguiente representación gráfica: Vemos entonces que D(f) = [-, ) [,+ ). ) La Figura corresponde al gráfico de una función f. A partir de él y sin intentar hallar la epresión de la función, grafique e indique dominio e imagen de las siguientes funciones: a) f = f( ) b) f = f

4 c) f 3 = f( +) d) f 4 = f( 3)+ Ejemplo d). Paso. Graficamos f( 3) desplazando el gráfico de f tres unidades a la derecha (ver Figura 3). Paso. Construimos el gráfico de f( 3)+ desplazando el gráfico de f( 3) dos unidades hacia arriba (ver Figura 4). 3 D(f 4) =, 6, Im(f 4) =,. 3) A partir de los gráficos de gráficamente las siguientes funciones, indique su dominio e imagen. y =, y =, y = 3, y = (ver figura 5) represente a) y = + b) y = - 3 c) y = - d) y = ( - ) e) y = + 3 f) y = si g) y = ( + ) - h) y = - si > ( + 3) - si < -3 i) y = 0 si 3 4) Dada f = +, determine gráfica y analíticamente los valores D(f) para los cuales: -

5 a) f = 0 b) f < 0 c) f - d) f > 3. 5) La Fig. 7 es el gráfico de una función f. Las figuras 8, 9 y 0 corresponden a los gráficos de funciones g, g y g3 respectivamente, epresables en términos de f. a) Indique el dominio y la imagen de f. b) Halle la epresión de g i,i =,, 3 e indique en cada caso el dominio y la imagen. Ejemplo b). Trabajamos con g. Su epresión en términos de f es: g = f +3. D(g )= [,4], I(g ) = [0,4]. Operaciones entre funciones Dadas dos funciones f y g, para todo perteneciente a D(f) D(g) se definen las siguientes funciones: la suma, denotada f + g la diferencia, denotada f g el producto, denotado f g si g 0, el cociente, denotado por Composición de funciones (f + g) = f + g (f g) = f g (f g) = f g f f f = g g g Dadas dos funciones f y g, si Im(g) D(f)= la función compuesta, representada por f o g está definida por: y su dominio es: (f o g) = f(g ) D(f o g )= { D(g): g D(f)} ) Dadas f = + 3y g=, halle las funciones: +

6 f a) f + g b) f g c) g En cada caso indique el dominio de la función hallada. ) Dadas f = y g =, a) Indique el dominio e imagen de ambas funciones. b) Verifique que están definidas las funciones h = f o g y h = g o f. c) Encuentre las epresiones de h y h. 3) Sean f = y g = +3 definidas en [,] y [0,7] respectivamente. a) A partir de los gráficos de f y g, halle Im(f) e Im(g). b) Indique si están definidas las funciones h = f o g y h = g o f. c) Si es posible, calcule: h (5), h (), h (0) y h (). 4) Dadas las funciones 3-5 f = 3, g = - h = Halle, si es posible, (g o f)( ), (f o g)(4), (h o g)(0), (g o h)(). 5) Sean f = 3 + y g = Compruebe que la composición de funciones no verifica la propiedad conmutativa, es decir, f o g g o f. 6) Halle en cada caso, dos funciones f y g de modo que la composición, f o g sea la función h indicada ( ) a) h = + b) h = c) h = - d) h = - Ejemplo c). Definiendo 5 f = y g = -, resulta 5 h = (f o g) = f (g ), pues f (g ) = f = -. ( - ) Cabe señalar que también hubiéramos podido definir 5 f = - y g = y el resultado sería el mismo, con lo que queremos destacar que hay más de una manera de resolver este ejercicio. Compruébelo.

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