ETSII UPM DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA E

Transcripción

1 ETSII UPM DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA E INGENIERÍA DE MATERIALES GUIÓN DE PRÁCTICA DE FÍSICA PRIMER CURSO PRÁCTICA Nº : DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO DE DISTINTOS MATERIALES PROFESORES GITI: Dª María Fe Laguna Heras (coordinadora de prácticas) D. Juan Antonio Porro González D. Rafael Muñoz D. Ignacio Angulo PROFESOR GIQ y GIO: D. Marcos Díaz Muñoz (coordinador de prácticas) MADRID, SEPTIEMBRE DE 17 Página 1 de 38

2 ÍNDICE 1. OBJETIVOS FUNDAMENTO TEÓRICO MATERIAL Y EQUIPO UTILIZADOS PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL ANEXO 1. RESULTADOS... 5 ANEXO. COPIA DEL ANEXO 1 PARA ENTREGAR COMO RESULTADO DE LA PRÁCTICA... 7 ANEXO 3. LEY DE PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y ALGUNAS DEFICIONES ESTADÍSTICAS... 9 ANEXO 4. INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LAS MASAS DE LOS BLOQUES DE FRICCIÓN ANEXO 5. INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LAS PESAS DE RANURA ANEXO 6. CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIÓN DEL COEF. DE ROZAMIENTO ANEXO 7. NORMA DE EXPRESIÓN DEL RESULTADO DE UNA MEDIDA Página de 38

3 GUIÓN DE PRÁCTICA DE FÍSICA DETERMINACION EXPERIMENTAL DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO DE DISTINTOS MATERIALES 1. OBJETIVO Deterinar experientalente el coeficiente de rozaiento estático µe de distintos ateriales aplicando la Segunda Ley de Newton por tres étodos distintos: 1. Realizar la edida con el plano en posición horizontal utilizando A) un dinaóetro y B) un contrapeso. Coparar el valor obtenido realizando la edida en plano horizontal por dos étodos: a) con dinaóetro y b) con pesas. 3. Para un ángulo fijo del plano inclinado evaluar el coeficiente de rozaiento estático con un contrapeso.. FUNDAMENTO TEÓRICO Cuando las superficies de dos cuerpos entran en contacto directo aparecen unas fuerzas denoinadas de contacto, debidas fundaentalente a interacciones de tipo electrostático entre los átoos o oléculas que constituyen abos cuerpos. Un ejeplo de Página 3 de 38

4 fuerza de contacto es la fuerza noral que ejerce la superficie de un cuerpo coo reacción al peso de otro objeto que descansa sobre aquella. Otra fuerza de contacto uy iportante es la fuerza de fricción o rozaiento, que aparece cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie y que es la responsable de que disinuya su velocidad y finalente se pare tras el ipulso inicial, si no se sigue aplicando ninguna fuerza sobre él. Si un cuerpo descansa o se desliza por una superficie la fuerza de contacto que la superficie ejerce sobre el cuerpo se puede representar en térinos de una coponente perpendicular a la superficie, la fuerza noral, y otra paralela a dicha superficie y, por tanto, perpendicular a la noral, denoinada fuerza de fricción (figura 1). Figura 1 Ésta siepre se opone al oviiento del cuerpo que se desliza, por lo que su dirección es la opuesta a la de la velocidad del iso. Página 4 de 38

5 El fenóeno del rozaiento entre dos cuerpos es bastante coplejo porque depende de varios factores, coo la rugosidad y naturaleza de las superficies en fricción, la velocidad relativa de deslizaiento, etc. No obstante, para uchos propósitos prácticos puede verificarse experientalente que la agnitud de la fuerza de rozaiento, FF rr, es proporcional a la fuerza noral, N: FF rr = μμ dd NN (1) donde la constante de proporcionalidad, μμ dd, se denoina coeficiente de rozaiento cinético o dináico, para el caso en el que se produzca deslizaiento. La expresión (1) no es una ecuación vectorial, puesto que FF rr y NN son siepre perpendiculares, sino una relación escalar entre las agnitudes de las dos fuerzas que nos da la fuerza necesaria para antener dos cuerpos en oviiento relativo con velocidad unifore. Coo se dijo al principio, el rozaiento o fricción tiene su origen en el gran núero de interacciones que se producen a nivel icroscópico entre las oléculas de los dos cuerpos en contacto. Desde este punto de vista, se debe tratar coo un concepto estadístico y considerar la fuerza FF rr coo una agnitud acroscópica que representa la sua de todas esas interacciones. Coo es iposible considerarlas individualente se deterinan de anera colectiva ediante Página 5 de 38

6 étodos experientales, quedando representadas de anera aproxiada por el coeficiente de rozaiento. Las fuerzas de fricción son disipativas, por lo que es uy iportante tenerlas en cuenta desde un punto de vista ingenieril, ya que pueden causar el desgaste de piezas óviles en las áquinas y suponer pérdidas de potencia; por ejeplo, en los coches hasta un % de la potencia se eplea en contrarrestar las fuerzas de rozaiento. Sin ebargo, gracias a ellas podeos cainar o detenernos o lograr que las ruedas de los vehículos rueden y no patinen. Las fuerzas de rozaiento tabién pueden actuar aunque no exista oviiento relativo entre los cuerpos en contacto. Para poder over un cuerpo que descansa en reposo sobre una superficie es necesario aplicar una fuerza al enos de igual agnitud que la fuerza de rozaiento que la superficie ejerce sobre el cuerpo y que se opone a su oviiento. Dicha fuerza de fricción puede tener cualquier valor entre cero (cuando no se aplica ninguna fuerza sobre el objeto) y un valor áxio que coincide con la agnitud crítica de la fuerza aplicada para poner el cuerpo en situación de deslizaiento ininente, es decir, cuando el oviiento está a punto de coenzar. Experientalente se ha observado que, en general, dicho valor, Página 6 de 38

7 llaado FF rr(), es aproxiadaente proporcional a la fuerza noral, NN, denoinándose a la constante de proporcionalidad coeficiente de rozaiento estático, μμ ee. Por tanto, podeos escribir: FF rr μμ ee NN () Al igual que la ecuación (1), esta tapoco es una expresión vectorial y la igualdad sólo se cuple cuando la fuerza aplicada paralela a la superficie alcanza el valor crítico encionado anteriorente. Una vez iniciado el deslizaiento la fuerza de fricción en general disinuye, por lo que el coeficiente de rozaiento cinético suele ser enor que el estático. En el caso de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal se podría deterinar el coeficiente de rozaiento estático idiendo la fuerza crítica paralela al plano para iniciar el oviiento ediante, por ejeplo, un dinaóetro. Otro étodo experiental consistiría en colgar una asa conocida de una cuerda sujeta al cuerpo, coo se uestra en la figura. Figura Página 7 de 38

8 A partir del diagraa de cuerpo libre de la figura se puede deducir que si es la asa que hace que el cuerpo de asa MM inicie su oviiento, en ese instante se verifica que: FF rr = gg = μμ ee MM gg (3) Y por tanto, μμ ee = MM (4) El plano inclinado proporciona otro étodo de edida de μμ ee y μμ dd. En este caso N no es igual al peso del cuerpo; así por ejeplo: si éste se encuentra sobre un plano que Figura 3 podeos inclinar y sobre él no actúan ás fuerzas que su peso, la de rozaiento y la reacción noral del plano entonces, a partir del diagraa de cuerpo libre de la figura 3 se obtiene: FF = FF xx = PP xx = MMMMMMMMMMMM FF yy = NN = PP yy = MMMMMMMMMMMM FF rr = μμμμμμμμoooooo (5) Página 8 de 38

9 siendo μμ el coeficiente estático o el dináico, según que el cuerpo inicie el deslizaiento o esté ya deslizando con oviiento unifore. En el prier caso: FF = FF xx = PP xx FF rr = PP xx μμ ee NN = MMMMMMMMMMMM = μμ ee MMMMMMMMMMMM FF yy = NN PP yy = NN = PP yy = MMMMMMMMMMMM De donde: μμ ee = tttttt (6) Cuando el cuerpo se desliza con velocidad unifore se verifica: FF = FF xx = PP xx FF rr = PP xx μμ dd NN = MMMMMMMMMMMM = μμ dd MMMMMMMMMMMM FF yy = NN PP yy = NN = PP yy = MMMMMMMMMMMM Y queda: μμ dd = tttttt (7) Por tanto, una edida precisa del ángulo de inclinación nos daría los coeficientes de rozaiento estático o dináico. En la figura 4 se ha representado la fuerza horizontal aplicada, FF, a un cuerpo en reposo sobre un plano horizontal para ponerlo en oviiento, auentándola desde cero, frente a la fuerza de rozaiento. Coo se puede observar, una vez que el cuerpo está deslizándose, para cualquier valor de la fuerza aplicada FF rr siepre será igual a μμ dd NN. Si el valor de la fuerza aplicada es FF 1, entonces el Página 9 de 38

10 cuerpo se overá con velocidad constante; si es ayor el oviiento será acelerado y si es enor será decelerado. Figura 4 El coeficiente de rozaiento no solaente depende de la naturaleza de los ateriales, tabién depende de sus condiciones, es decir, del grado de pulientación de las superficies en contacto, de la teperatura, de las películas superficiales o de la atracción olecular entre los ateriales en contacto que pueden producir icrosoldaduras que se foran y se ropen continuaente durante el deslizaiento. De ahí que la fuerza de rozaiento durante el deslizaiento no sea perfectaente constante. Página 1 de 38

11 3. MATERIAL Y EQUIPO UTILIZADOS 3.1. Plano inclinado Es un aparato (fig. 5) que sirve para el estudio de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en un plano inclinado y para deterinar la fuerza de tensión colgante en función del ángulo de inclinación. Consta de una base y un plano etálicos, con escalas para la edición del ángulo de inclinación, longitud y altura, y una polea de desviación. El ángulo de inclinación es regulable de a 45 y se puede fijar ediante un tornillo. Figura Dinaóetro de N Un dinaóetro de resorte (ver fig. 6) es un instruento que, a partir de los cabios en la elasticidad de un uelle con una deterinada calibración, perite deterinar el peso de un cuerpo o realizar la edición de una fuerza de tracción. Fue inventado por Isaac Newton y se basa en la ley de Hooke, la cual establece que la fuerza requerida para estirar o copriir un uelle es directaente proporcional a la distancia de estiraiento o copresión, x. La Página 11 de 38

12 relación entre la fuerza de restitución FFee y la elongación x, está dada por la ecuación: FF ee = kkkk donde k es la constante de elasticidad, la cual proporciona inforación sobre la rigidez del resorte. El signo enos indica que FF ee se opone al desplazaiento. Coo se aprecia en la figura, el resorte se encuentra en el interior de un cilindro hueco transparente, con una escala graduada en las unidades correspondientes, unido por su extreo superior a un gancho, y por el inferior a una varilla que terina tabién en un gancho, el cual perite colgar o tirar de los objetos. Figura 6 Página 1 de 38

13 Cuando se produce el estiraiento del resorte, un cursor unido al extreo inferior del iso se desplaza sobre la escala dando el valor de la fuerza. El capo de edida va de a N y la división de escala es. N Balanza de dos platos con brazos iguales Es un instruento para edir la asa de un objeto, constituido por una palanca con un punto de giro central y dos brazos iguales de cuyos extreos cuelgan o descansan dos platos en los que se colocan los objetos a edir y las asas patrón. La edida de la asa del objeto a deterinar se realiza ediante el equilibrio entre la fuerza que crea en el extreo de uno de los brazos la acción de la gravedad, que origina un oento de giro alrededor del punto central de la palanca, con la fuerza del iso tipo originada por una o varias asas patrón colocadas en el otro plato. La indicación del desequilibrio entre las dos fuerzas, que se traduce en la diferencia entre las asas, se puede realizar por edio de una aguja o fiel unida al punto central de la palanca. En la presente práctica se utilizará una balanza de dos platos con brazos iguales, ver figura 7, con una capacidad de kg, un único punto en su capo de edida para indicar el equilibrio, y una escala con pesa corredera sobre una regla con capo de capacidad hasta 1 g con divisiones de,1 g. En esta práctica la pesa corredera se epleará para tarar y se edirá con la balanza epleando su único punto indicativo del equilibrio entre los patrones y la asa del objeto a deterinar. Página 13 de 38

14 Figura Masas patrón (SCI M.1.1) Las asas patrón son objetos que se eplean para aterializar la unidad de asa y sus últiplos y subúltiplos, en la calibración de un gran núero de instruentos de edida, siguiendo tanto étodos diferenciales coo directos. Su noinal (la asa que representan), fora y aterial se encuentran especificados en la norativa de aplicación (R111 de la OIML), en la que tabién se establecen clases en función de la tolerancia aditida para su desviación del noinal, ver tabla del Anexo 4, con lo que se facilita su epleo sin considerar su desviación real al noinal. Se suelen utilizar en fora de juegos de asas que aterializan diversos noinales, algunos duplicados, para poder definir noinales superiores por coposición, estando dispuestos en estuches o cajas. Página 14 de 38

15 Las asas patrón que se van a eplear en esta práctica coponen un juego de Clase M1 (figura 8), copuesto por: 1 asa de 5 g, 1 asa de g asas de 1 g 1 asa de 5 g 1 asa de g asas de 1 g 1 asa de 5 g asas de g 1 asa de 1 g 1 asa de 5 g asas de g 1 asa de 1 g Figura 8 Página 15 de 38

16 3.5. Bloques para experientos de fricción Bloque de adera con recubriiento de caucho En esta práctica se utilizará un bloque de adera (ver figura 9), con una de sus caras totalente recubierta con una láina de caucho, de diensiones x6x6 3. Figura Bloque de aluinio Tabién se utilizará un bloque de aluinio (ver figura 1) cuyas diensiones son 55x5x5 3. Está provisto de dos ganchos para realizar diferentes experiencias de fricción. Figura Conjunto de pesas con ranura y portapesas Para la deterinación de la fuerza de fricción a partir de la tensión que produce una asa colgante atada a los bloques de Página 16 de 38

17 fricción, tanto en el caso del plano horizontal coo del inclinado, se usarán un conjunto de asas patrón de latón a odo de pesas junto con un portapesas de plástico (ver figura 11), cuya asa es 5 g. El juego de pesas está copuesto por: 1 asas de 1 g 1 asas de 5 g 1 asas de g 1 asas de 1 g 1 asas de 5 g 1 asas de g Anexo 5. Figura 11 Las incertidubres asociadas a todas ellas se indican en el Página 17 de 38

18 4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1) Deterinar la asa de los dos bloques de adera y del bloque de aluinio con la balanza de precisión y la caja de asas patrón siguiendo el siguiente procediiento: ) Calibrar la balanza con un tornillo que posee bajo el plato derecho, anteniendo la pesa corredera en el cero. En abos casos la asa total del bloque será la sua de las asas patrón colocadas para equilibrar la balanza. 3) Pesar los bloques para experientos de fricción ediante el étodo de la doble pesada o transposición de Gauss, que se realiza con el objeto de evitar los posibles desequilibrios de los brazos de la balanza, derivados de su fabricación. Para ello priero se coloca el bloque cuya asa se quiere deterinar priero en uno de los platos y en el otro plato se van colocando las asas patrón necesarias para equilibrar la balanza. Anotar el valor de cada una de las asas utilizadas, ya que será necesario para calcular la incertidubre asociada a la asa ás adelante. A continuación repetir el procediiento pero cabiando el bloque de plato. Se obtienen de este odo dos valores de asa: la asa obtenida en el plato derecho y la obtenida en el plato izquierdo. Las ecuaciones de los oentos que generan las asas que cargan los extreos de los brazos de la balanza, de longitudes ld y li vienen dadas por: siendo: MM ll dd = ii ll ii (8) MM ll ii = dd ll dd (9) l i = longitud del brazo izquierdo de la balanza. Página 18 de 38

19 l d = longitud del brazo derecho de la balanza. i = asa que se coloca en el plato izquierdo para equilibrar el bloque que se quiere pesar d = asa que se coloca en el plato derecho para equilibrar el bloque que se quiere pesar MM = asa del bloque (bloque de adera o de aluinio) A partir de las ecuaciones (8) y (9) y operando, la asa del bloque se calcula ediante la expresión: MM = ii dd (1) Anotar los resultados y calcular su incertidubre expandida, UM, coo se indica en el anexo 4. 4) Deterinación del coeficiente de rozaiento estático con el plano en posición horizontal Con el plano situado en posición horizontal (ángulo ) edir la fuerza de rozaiento coo la tensión T generada en los bloques de adera y de aluinio para ponerlos en situación de deslizaiento ininente. La tensión generada se edirá por dos étodos: 7.A) Con un dinaóetro En prier lugar se debe calibrar el dinaóetro ajustándolo al cero. Para ello se afloja la tuerca superior que se encuentra en la parte superior del dinaóetro y se gira el enganche superior hasta que el cursor está en cero; para fijarlo en esta arca se vuelve a apretar la tuerca encionada anteriorente (ver figura 1). Página 19 de 38

20 Figura 1 A continuación se engancha el dinaóetro al bloque y se tira lentaente del dinaóetro hasta que se observe que el bloque epieza a overse. IMPORTANTE: El dinaóetro debe antenerse horizontal en todo oento paralelo al plano, coo se uestra en la figura 13. Figura 13 edio. Se realizarán 5 edidas y se toará coo edida su valor Página de 38

21 En el oento justo en el que el bloque coienza a overse la fuerza o tensión edida con el dinaóetro, que se toará coo el valor proedio de las 5 edidas, será igual a la fuerza de rozaiento, por lo tanto: TT = FF rr = μμ ee NN μμ ee = TT NN (11) El cálculo de la incertidubre expandida del coeficiente de rozaiento, Uμe, edido ediante este étodo se desarrolla en el anexo 6 (apartado A.6.1.) 7.B) Con una asa colgante coo contrapeso Figura 14 Se ata el hilo con el portapesas al bloque procurando orientar la polea de fora que el hilo quede lo ás horizontal posible según la figura 14. Se van añadiendo pesas de ayor a enor hasta que se produzca oviiento ininente. En este instante, la fuerza de rozaiento es igual a la tensión del hilo, cuyo valor será T = g, siendo la sua de la asa de las pesas ás la del soporte (5 Página 1 de 38

22 graos). El cálculo de la incertidubre expandida en la asa de las pesas, U, se indica en el anexo 5. Por tanto, aplicando la ecuación (3) resulta: FF rr = TT = gg = μμ ee NN = μμ ee MM gg (1) con MM = asa de cada bloque obtenida con la balanza y gg el valor de la aceleración debida a la gravedad (g = 9,8 /s ). De esta fora se obtiene el valor de µe del bloque de adera y del bloque de aluinio, aplicando la ecuación (4). Anotar los resultados y calcular tabién por este étodo el coeficiente de rozaiento estático y su incertidubre expandida asociada a partir de las expresiones desarrolladas en el Anexo 6 (aptdo. A.6..). Coparar los resultados. 5) Evaluación del coeficiente de rozaiento estático con el plano inclinado a un ángulo fijo y contrapeso Figura 15 Haciendo el iso análisis para el cuerpo libre que condujo a la ecuación (6), pero ahora considerando que existe una tensión T, para el oviiento ininente hacia arriba de M se cuple: Página de 38

23 FF = FF xx = TT FF rr MM gg ssssssss = FF yy = NN MM gg cccccccc = (13) Siendo TT = gg. En el líite áxio de la fuerza de rozaiento (oviiento ininente hacia arriba) teneos: μμ ee NN MMMMMMMMMMMM = μμ ee MMMMMMMMMMMM MMMMMMMMMMMM = De donde, despejando el coeficiente de rozaiento obteneos: μμ ee = MMMM ssssssss MMMM cos φφ (14) Para realizar el experiento se fijará el plano inclinado a un ángulo de 1º. A continuación se coloca el bloque y enganchado a él el portapesas y se van colocando las pesas hasta que se produzca oviiento ininente hacia arriba. Cuando se produce ese oviiento incipiente se anota la asa de las pesas colocadas y se calcula el coeficiente de rozaiento estático de acuerdo con la expresión (14) y su incertidubre siguiendo el apartado A.6.3. del Anexo 6. Página 3 de 38

24

25 PRACTICA NOMBRE: Nº MATR.: ANEXO 1: Deterinación experiental de los coeficientes de rozaiento estático de diferentes ateriales. 1) Deterinación de la asa de los bloques con la balanza de precisión Masa plato Masa plato asa del izq. dcho. bloque UM (kg) i (kg) d (kg) M (kg) Bloque adera Bloque de aluinio ) Cálculo del coeficiente de rozaiento estático de los bloques con el plano en posición horizontal (ángulo ) A) Medida de la tensión T con el dinaóetro Bloque adera Medida 1 T 1 (N) Medida T (N) Medida 3 T 3 (N) Medida 4 T 4 (N) Medida 5 T 5(N) Media < T> ut*(n) Bloque aluinio ut*= incertidubre típica de la tensión edida con el dinaóetro Bloque adera Bloque aluinio μμ ee Uμμ ee Página 5 de 38

26 B) Medida con las pesas de ranura Bloque adera Bloque aluinio Masa colgante (kg) U(kg) μμ ee Uμμ ee 3) Cálculo del coeficiente de rozaiento estático de los bloques con plano inclinado en ángulo 1º Bloque adera Bloque aluinio Masa colgante (kg) U(kg) μμ ee Uμμ ee Pregunta: A la vista de los resultados, qué etodología te parece ás precisa para obtener el valor del coeficiente de rozaiento estático µe de los ateriales propuestos? Página 6 de 38

27 PRACTICA NOMBRE: Nº MATR.: ANEXO 1: Deterinación experiental de los coeficientes de rozaiento estático de diferentes ateriales. 4) Deterinación de la asa de los bloques con la balanza de precisión Masa plato Masa plato asa del izq. dcho. bloque UM (kg) i (kg) d (kg) M (kg) Bloque adera Bloque de aluinio 5) Cálculo del coeficiente de rozaiento estático de los bloques con el plano en posición horizontal (ángulo ) C) Medida de la tensión T con el dinaóetro Bloque adera Medida 1 T 1 (N) Medida T (N) Medida 3 T 3 (N) Medida 4 T 4 (N) Medida 5 T 5(N) Media < T> ut*(n) Bloque aluinio ut*= incertidubre típica de la tensión edida con el dinaóetro Bloque adera Bloque aluinio μμ ee Uμμ ee Página 7 de 38

28 D) Medida con las pesas de ranura Bloque adera Bloque aluinio Masa colgante (kg) U(kg) μμ ee Uμμ ee 6) Cálculo del coeficiente de rozaiento estático de los bloques con plano inclinado en ángulo 1º Bloque adera Bloque aluinio Masa colgante (kg) U(kg) μμ ee Uμμ ee Pregunta: A la vista de los resultados, qué etodología te parece ás precisa para obtener el valor del coeficiente de rozaiento estático µe de los ateriales propuestos? Página 8 de 38

29 ANEXO 3 LEY DE PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y ALGUNAS DEFINICIONES ESTADÍSTICAS Si el resultado de una edida y de una deterinada agnitud viene dado por una función de transferencia que depende de una serie de variables independientes = f x, x,... x ) la y ( 1 n incertidubre típica de y viene dada por la siguiente expresión: u y = n i= 1 y xi u x i (15) Siendo uu xxii la incertidubre típica de xx ii. Se denoinan coeficientes de sensibilidad de cada una de las variables xi a xx ii. Algunas definiciones estadísticas - Media aritética de un conjunto de J valores: jj=jj XX = 1 JJ XX jj jj=1 (16) -Varianza: -Varianza de la edia: ss = 1 JJ (xx JJ 1 ii=1 ii xx) (17) ss (xx) = JJ ii= (xx ii xx) JJ(JJ 1) = ss JJ (18) Página 9 de 38

30 Nótese que no es igual a la varianza de las edidas. Su raíz cuadrada es la desviación estándar o típica de la edia aritética de las edidas realizadas. Cálculo de la incertidubre típica de una distribución rectangular correspondiente a la división de escala f(x) 1/E -E/ +E/ X + ss (xx) = (xx μμ) ff(xx) dddd = 1 EE + EE xx EE dddd = 1 EE xx3 3 EE + EE = EE 1 () ss (XX ) = uu EE = VV(xx) JJ EE uu ee = 3 JJ = EE 1 JJ (1) () Si los líites de la distribución son ( DD áxx, +DD áxx ), su varianza viene dada por la expresión: ss (xx) = uu = ( DD áxx) 1 = DD áxx 3 (3) uu = DD áxx 3 (4) Página 3 de 38

31 Página 31 de 38 ANEXO 4 CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LA DETERMINACIÓN DE LAS MASAS DE LOS BLOQUES Su incertidubre se obtendrá al aplicar la ley de propagación de varianzas a la expresión (1), considerando que las asas son independientes: oi od M oi od u M u M u + = (5) Resulta: i i d d d i M u u u + = (6) Operando: + = 4 1 i i d d d i M u u u (7) Teniendo en cuenta que i d u u u Resulta: + = i d d i M u u 4 1 (8) con la incertidubre típica, se calculará la incertidubre expandida para un nivel de confianza del 95 %, aplicando el factor de cobertura k=, ediante la ecuación: i d d i M M u u k U 1 + = = (9)

32 Operando resulta: U M u i d = + (3) d i en donde: UM = Incertidubre expandida de la asa del bloque. u = Incertidubre típica de la asa que aterializan las j=1 a J asas patrón sobre el plato, con las incertidubres individuales de cada una de ellas, uj, de la edida (sobre el plato izquierdo o sobre el derecho) en la que se haya obtenido el ayor valor de asa; se calcula coo: J u u = j (31) j=1 Las incertidubres de cada asa patrón se deducen de la tabla 1, en función de su clase (clase M1) y su noinal ediante la ecuación: Dáxj u j = (3) 3 áx Siendo D áxj = desviación al noinal áxia adisible de la asa j-ésia, de la tabla 1. Página 3 de 38

33 TABLA 1 MASAS PATRÓN. Desviaciones al noinal áxias adisibles según calidad y noinal (R111 de la OIML) Valor noinal Clase E1 Desviación al noinal áxia adisible para asas patrón (±Dáx en g) Clase E Clase F1 Clase F Clase M1 5 kg kg kg kg kg kg kg kg kg kg kg kg g g g g g g g g g g g g g g g g g g Clase M1- Clase M Clase M-3 Clase M3 Página 33 de 38

34 ANEXO 5 INCERTIDUMBRE ASOCIADA A LAS PESAS DE RANURA La incertidubre en la asa de las pesas de ranura epleadas en los experientos de edida del coeficiente de rozaiento ediante la tensión generada por un contrapeso, se calcularán ediante la expresión: nn UU = uu ii ii=1 (33) donde uu ii es la incertidubre típica de cada pesa i-ésia utilizada para cargar el contrapeso hasta que se produce el deslizaiento del bloque, la cual se puede obtener a partir de la incertidubres expandidas que figuran en la tabla. TABLA Masa (g) U* (g) U*= Incertidubre expandida obtenida aplicando el factor de confianza habitual k= (nivel de confianza del 95%) Página 34 de 38

35 ANEXO 6 CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO A.6.1. Mediante un dinaóetro con el plano en posición horizontal La función de transferencia vendrá dada por la expresión (11): μμ ee = TT NN = TT MMMM Aplicando la ley de propagación de incertidubres (15) a esta expresión se obtiene la incertidubre típica cobinada asociada a esta edida: uu μμee = 1 MMMM uu TT + TT MM gg uu MM (33) donde uu TT es la incertidubre típica asociada a la tensión edida con el dinaóetro y uu MM es la asociada a la asa de los bloques dada por la ecuación (3). uu TT viene dada por la siguiente expresión: uu TT = ss TT JJ + EE TT 1JJ (34) donde el prier térino de la derecha es la incertidubre por repetibilidad, que procede de la reiteración de edidas y que se corresponde con la desviación típica, donde la varianza de las edidas de tensión, ss TT, está dada por la ecuación: ss TT = 1 JJ JJ 1 TT ii TT ii=1 (35) Página 35 de 38

36 Siendo JJ el núero de edidas realizadas, en este caso 5, y TT la tensión proedio. El segundo térino corresponde a la incertidubre por división de escala del dinaóetro, EE TT =. NN. La incertidubre expandida para la edida del coeficiente de rozaiento, aplicando el factor de cobertura habitual kk =, será: UU μμee = uu μμee = 1 MMgg uu TT + TT MM gg uu MM 33) A.6.. Mediante la tensión generada por una asa colgante,, (contrapeso) con el plano en posición horizontal En este caso se aplica la ley de propagación de incertidubres a la función de transferencia dada por la ecuación (3): μμ ee = MM Y se obtiene la siguiente expresión: uu μμee = 1 MM uu + MM uu MM (34) donde uu es la incertidubre asociada a la asa de las pesas de ranura que actúan coo contrapeso, cuyo cálculo se ha descrito en el anexo 5; y uu MM es la de la asa del bloque utilizado, que se calcula siguiendo el anexo 4. La incertidubre expandida, aplicando el factor de cobertura que da un nivel de confianza del 95%, kk =, viene dada por la ecuación: UU μμee = uu μμee = 1 MM uu + MM uu MM (35) Página 36 de 38

37 A.6.3. Mediante la tensión generada por una asa colgante,, (contrapeso) con el plano inclinado un ángulo de 1º Ahora aplicando la ley de propagación de incertidubres a la función de transferencia dada por la ecuación (14): se llega a la expresión: uu μμee μμ ee = MMMMMMMMMMMM MMMMMMMMMMMM 1 = MMMMMMMMMM uu + MM cccccccc uu MM (36) Y, finalente, la incertidubre expandida asociada al coeficiente de rozaiento deterinado por este étodo sería: 1 UU μμee = uu μμee = MMMMMMMMMM uu + MM cccccccc uu MM (37) Página 37 de 38

38 ANEXO 7 NORMA DE EXPRESIÓN DEL RESULTADO DE UNA MEDIDA De acuerdo con la norativa EA-4/, el resultado copleto de una edida, valor, incertidubre y unidad, debe cuplir las reglas sencillas que se exponen a continuación. 1. La incertidubre ha de expresarse ediante una o dos cifras significativas.. La incertidubre se redondeará siepre por exceso, salvo que pueda redondearse por defecto en enos o igual del 5%. 3. El valor ha de expresarse con las isas cifras significativas que la incertidubre. 4. El valor se redondeará al valor ás cercano y en caso de estar centrado (acabado en 5), al valor par. 5. Las reglas anteriores se entenderán coo aplicables a la incertidubre expandida, por lo que para obtener la expresión final del resultado copleto de la edida, el prier paso será aplicar las referentes a dicha incertidubre y después al valor. Página 38 de 38