2.Estado del arte 2. ESTADO DEL ARTE

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1 2.Estado del arte 2. ESTADO DEL ARTE En este capítulo se desarrollarán las contrbucones más destacables relaconadas con la localzacón de termnales de consoldacón de carga o hubs y las metodologías exstentes para el envío y asgnacón de mercancía a las rutas de una red de transporte de muchos orígenes a muchos destnos. La produccón centífca para la resolucón de este tpo de problemas se puede dvdr en tres famlas de metodologías de resolucón: Aproxmacones contnuas. Esta metodología de resolucón analza los sstemas logístcos a partr de las varables más relevantes, suponendo que éstas no sufren varacones mportantes en la regón de estudo. El método de las aproxmacones contnuas (AC) se realza reemplazando la nformacón partcular de cada elemento del sstema por funcones agregadas de la demanda y funcones sobre de la dstrbucón espacal de termnales sobre la regón de servco. Con ello se logra reducr el tamaño del problema a un número acotado de varables que permten resolverlo analítcamente. En el modelo se ntenta manejar funcones contnuas fáclmente resolubles medante cálculo elemental. El desarrollo de estas técncas de análss aplcadas a sstemas logístcos son atrbubles al Prof. C. Daganzo y Prof. G. Newell y se recogen en Daganzo (2005) y Robusté (2005). Esta metodología se desarrollará en el subcapítulo 2.1. Programacón matemátca. Los métodos pertenecentes a este grupo tratan de desarrollar un modelo matemátco para la optmzacón del sstema logístco. Las contrbucones en este campo empezan en 1950 s ben su ampla dfusón se alcanzó en el perodo Medante la defncón de un conjunto de varables de decsón del problema, se trata de formular una funcón objetvo a mnmzar (s se trata de costes) o a maxmzar (s se habla de nvel de servco) con una sere de restrccones sobre las varables. En funcón del objetvo, las característcas de las varables y su relacón, se pueden encontrar un M. Estrada (2007) 35

2 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería amplo espectro problemas de programacón matemátca lneal o no lneal, problemas con varables reales o enteras, etc. El gran número de varables y ecuacones empleadas produce que la solucón exacta de algunos problemas de tamaño sgnfcatvo (100 nodos o superor) no haya sdo alcanzada por los altos requermentos de memora y tempo de computacón. Algortmos heurístcos y meta-heurístcos. Debdo a la alta complejdad del problema de dstrbucón de muchos orígenes a muchos destnos y a la nexstenca de herramentas que puedan calcular la solucón exacta o el óptmo global del problema en un tempo razonable, se ha desarrollado un conjunto de métodos denomnados algortmos heurístcos. Éstos llegan a un razonable equlbro entre el tempo de resolucón y la caldad del resultado obtendo. Sn embargo, estos procedmentos de cálculo aproxmado han resultado ser nefectvos o nefcentes en algunos problemas NP-Hard por lo que ha sdo necesaro su perfecconamento. De este modo se han desarrollado los algortmos metaheurístcos, procesos teratvos que guían la búsqueda de la solucón con un heurístco subordnado. En el proceso de búsqueda, se aplcan cambos, transcones o perturbacones a la solucón actual y estrategas para su aceptacón sguendo unos crteros probablístcos según se detalla en Golden y Assad (1998). El balance ntelgente de estos procedmentos debe llevar a cubrr el espaco de solucones y encontrar resultados o subdomnos de solucones cerca del óptmo global del sstema APROXIMACIONES CONTÍNUAS La metodología de las aproxmacones contnuas aplcada al problema de muchos orígenes a muchos destnos se desarrolla en Daganzo (2005). Esta contrbucón no sólo trata el problema de dseño topológco de la red sno que tambén fa la operatva temporal óptma de gestón de los envíos. Se parte de una regón de servco de área R s con una sere de termnales que tenen asocados unos envíos de carga entre ellas. Adconalmente, un subconjunto de estas termnales actúan tambén como centros de rotura y consoldacón de carga (termnales hub). En una prmera etapa, s ben exsten dstntas termnales de consoldacón, se analzará el problema de transporte de envíos de muchos orígenes a muchos destnos permténdose que cada envío pase exclusvamente por una termnal de consoldacón de carga. En partcular, el método de análss propuesto se descompone en tres nveles de análss dferencados: 36 M. Estrada (2007)

3 2.Estado del arte Nvel operaconal. El problema se centra en la confguracón y organzacón de rutas de vehículos entre las termnales hub y el resto de delegacones, determnando una cadena ordenada de nodos de vsta asocadas a un vehículo partcular. La localzacón de la termnal de consoldacón hub así como la frecuenca de servco entre el resto de delegacones (entregas o recogdas) y las termnales hub están fadas en otros nveles de análss. Nvel táctco: Se parte de las localzacones de las termnales como datos de entrada y se pretende coordnar las frecuencas de envío de todos los puntos servdos por el msmo hub. Nvel estratégco: El problema se basa en defnr la localzacón óptma de las termnales de rotura de carga a partr de los flujos agregados entre orígenes y destnos de la regón de servco Problema operaconal Se parte de que cada termnal hub tene asgnado un conjunto de pares orgen-destno a servr con una frecuenca de envío 1/P f común para todos ellos, y con una demanda agregada de mercancía de valor λ en toda la zona de servco R s. Esta consderacón determnará un ntervalo de envíos en la regón gual a P f. De este modo, el número de paradas realzadas por los vehículos en las rutas debe ser ajustado por la localzacón relatva a cada termnal hub en relacón con los rtmos de varacón espacal de la demanda y de abastecmento. Adconalmente, se asume que: - P f es común para todas las termnales, para smplfcar la operatva y los horaros - los costes de nventaro en ruta pueden suponerse neglgbles - los vehículos crculan llenos - cada orgen genera una carga a transportar nferor a la capacdad de un vehículo (el vehículo de recogda de una termnal úncamente realza una parada en aquel orgen). Suponendo un análss un-dmensonal y bajo estos supuestos, el número de paradas de 0 recogda efectuadas por dstntos vehículos en un tempo P f en un orgen, m, es gual al número de termnales hub a las que se encamna su carga. Es decr, se asgna un vehículo para cada termnal que vsta los puntos a los que se debe recoger mercancía. En el msmo d sentdo, el número de paradas de entrega en un tempo P f en un destno, m, tambén equvale al número de hubs desde las que se srve la mercancía a la termnal estándar. De este modo, el número de paradas realzadas en un tempo P f en una subregón de la zona de M. Estrada (2007) 37

4 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería o 0 d d servco de extensón untara es: δ m + δ m, donde δ o d y δ son respectvamente las densdades de termnales orgen y destno de los envíos en la subregón de servco. En este caso se puede defnr una dstanca de acceso a la subregón de servco en la recogda (o entrega) como la dstanca meda entre la termnal desde (o haca) la que se encamna la mercancía a todos los puntos de recogda (o entrega) multplcada por el número de cclos que empezan en la termnal de consoldacón. S cada vehículo realzara úncamente una parada de reparto o de entrega, la dstanca de acceso a la subregón sería gual a la dstanca total recorrda (s se realza el estudo en una dmensón). De este modo, para comprobar la efcaca de dstntas estrategas de asgnacón de puntos de servco a termnales de consoldacón basta con analzar el número de paradas y la dstanca meda de acceso a la subregón. Una posble estratega que se puede establecer para optmzar la dstrbucón y reducr costes es defnr una zona de nfluenca de recogda alrededor de la ubcacón de una termnal (Fgura 2.1), de forma que toda la mercancía de los puntos contendos en esta área sea encamnada a través de la termnal hub en cuestón ndependentemente de su destno. En este sentdo, los envíos que tengan como orgen la delegacón P 1 de la Fgura 2.1a) serían gestonados por la termnal hub A, mentras que la mercancía con orgen en la delegacón P 2 sería consoldada en la termnal hub B. Fg Esquema del sstema de termnales con estructura estándar o jerarquzada en una dmensón. Fuente: Daganzo (2005) S todas las termnales de la zona de servco operan de la msma forma, la determnacón de las zonas de nfluenca se realza a través de una partcón de la zona de servco. De este modo, s se consdera h el número total de termnales de consoldacón en servco o termnales hub, se tendría que: m 0 = 1, m d = h ; de forma que el número de paradas por cada franja de reparto y por undad de longtud (o superfce en el caso bdmensonal) es o d δ + δ h. S el número de destnos es superor al de los puntos de orgen, resulta mejor 38 M. Estrada (2007)

5 2.Estado del arte defnr zonas de nfluenca de reparto, de forma que el número de paradas resulte menor δ o h + δ d. Sn embargo, esta estratega presenta el nconvenente que en algunos pares de puntos orgendestno, la dstanca meda de acceso a la zona supera la dstanca mínma que los une a través de una ruta drecta sn pasar por la termnal. Este efecto se puede constatar en los envíos entre P 1 y P 2. S se realza el envío a través de las termnales de consoldacón A y B asocadas a las zonas de nfluenca de la Fgura 2.1 se recorre más dstanca que en un envío drecto entre puntos. Una forma alternatva de servco que elmna este efecto es determnar dstntas zonas de nfluenca asocadas a una termnal hub, como sucede con la termnal B de la Fgura 2.1 a). La zona de nfluenca stuada a la zquerda de B úncamente envía mercancía a través de B s sus destnos están stuados al este de B así como los puntos de destno entre B y el orgen dentro de la zona de nfluenca. Por otro lado, la zona de nfluenca de la zquerda úncamente envía mercancía a través de B para destnos stuados al oeste. Esta estratega elmna el efecto de recorrer dos veces certos tramos de la ruta (bactracng) para la mayoría de pares de orígenes y destnos, a excepcón de los pares de puntos stuados entre dos termnales de consoldacón adyacentes. Estos ahorros en la dstanca de acceso se consguen a expensas de añadr una parada más en la recogda en cada orgen, ya que m 0 = 2. S r max es la longtud del segmento de servco de la Fgura 2.1 a), el hecho de pasar de la prmera estratega a la estratega alternatva supone ahorrarse r max /4h undades de dstanca al recorrer la dstanca de acceso (en la prmera estratega la mtad del lometraje desde los puntos orgen a la termnal hub se realzan haca atrás, mentras que en la segunda o es práctcamente 0), pero se añaden δ paradas por undad de longtud y por franja horara de servco Jerarquía de las termnales Hasta el momento, se ha consderado que todas las termnales de consoldacón hub tenen las msmas característcas de funconamento y de tamaño para poder servr cualquer punto del terrtoro, de modo que la asgnacón de los puntos a cada termnal hub se ha realzado por crteros de dstanca. Sn embargo, se puede demostrar que ncrementando en poca medda el número de paradas de recogda en delegacones, se pueden reducr sgnfcatvamente las paradas de entrega de mercancías. M. Estrada (2007) 39

6 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería Sguendo con el análss undmensonal, se puede establecer una jerarquía de termnales hub de forma que a la termnal hub más cercana al centro de la zona de servco se la consdere pertenecente al nvel l=1. De las dos subpartcones guales de R s que se generan en el segmento de servco, se determnan las 2 termnales hub centrales de cada subpartcón y se consderan pertenecentes al nvel l=2, procedendo de esta forma hasta que no queden termnales hub sn asgnarles un nvel de jerarquía (Fgura 2.1 b). Un sstema de dstrbucón con un conjunto completo de termnales jerárqucas de nveles l=1,,l deberá tener un L número de termnales gual a ( 2 1) y un total de 2 l 1 termnales en cada nvel l. De este modo, la estratega de ruteo que puede ahorrar el recorrer dos veces un msmo tramo es la sguente: se srve cada par de delgacones O-D a través de la termnal hub de mayor nvel jerárquco localzada entre el orgen y el punto de destno. S no se encuentra nnguna termnal entre los puntos se usa aquella stuada más cerca de los puntos que pueda ser vstada desde los dos puntos con la menor dstanca combnada. Con esta estratega, cada punto recbe la mercancía de L termnales hub de la msma forma que encamna la mercancía a través de L termnales hub. Con este procedmento, sn ncrementar la dstanca de acceso en el reparto o recogda, el número de paradas puede ser reducdo de ( o δ d o d 2 δ + h ) a ( Lδ + Lδ ). En Daganzo (2005) se o d estma que el ahorro en el número de paradas puede ser substancal s δ δ, ya que se 0 pasaría de m m d 0 d + h a m + m 2L = 2log 2 ( h + 1). Por lo tanto, con la estratega jerárquca el número de paradas crece de forma logarítmca con el número de termnales hub. Se debe constatar que los flujos a través de varas termnales son radcalmente dferentes ncluso s los orígenes y los destnos son unformemente dstrbudos. La forma de operacón en termnales jerarquzadas es un sstema logístco muy común en dstntas empresas de transporte, de forma que se consttuye un hub de prmer nvel y posterormente se desarrollan termnales hub de menor jerarquía. La extensón del análss en dos dmensones se puede resumr en la Fgura 2.2, donde las termnales se deben localzar en la nterseccón de dos líneas de la msma jerarquía. En este L caso, s L=3, el número máxmo de termnales es ( 2 1) 2 cada jerarquía. L debdo que hay ( 2 1) líneas de De forma general, en el estudo en el plano en métrca L 1 (métrca de red mallada, grd o Manhattan), úncamente los desplazamentos en los que el segmento que une los puntos orgen y destno no cruza a nnguna línea de termnal comportan un certo retroceso de dstanca en la ruta. 40 M. Estrada (2007)

7 2.Estado del arte Fg Esquema del sstema de termnales con estructura jerarquzada en dos dmensones. Fuente: Daganzo (2005) S los orígenes y destnos están ndependentemente dstrbudos y h>>1, la probabldad de que la ruta de un envío cometa un certo retroceso en una dreccón es del orden de ( ) 1/ 2 la dstanca meda adconal debda al retroceso es 1/3( / h) 1 / 2 dstanca entre termnales). Debdo que la probabldad de retroceso en cada dreccón es ( / h) 1/ h y R s (la tercera parte de la 1, la dstanca esperada adconal d a entre todos los pares de puntos O-D se puede explctar por la ecuacón (2.1). 1/ 2 d a = 2 Rs /(3h) (2.1) Para la métrca Euclídea ó L 2 la expresón sería más compleja pero relatvamente smlar a la ecuacón anteror. El número de paradas en la métrca L 2 utlzando para L la solucón real de L ( 2 1) 2 2 h = y L = log ( h 1/ 1), se encuentra determnado por la ecuacón (2.2). 2 + m 0 2 [ log ( ] 1/ + 1) 2 d = m h (2.2) 2 La ecuacón anteror es exacta s el valor del térmno entre paréntess es entero, en otros casos la ecuacón tende a nfravalorar el valor medo alrededor de un 10%. Por esta razón se tende a adoptar la ecuacón (2.3) para compensar la nfravaloracón. 2 [ 3h ] 1/ 0 m + m d (2.3) M. Estrada (2007) 41

8 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería Problema táctco y estratégco En Daganzo (2005), el problema táctco y estratégco se resuelve utlzando la solucón óptma del problema operaconal deal. Se supone que la flota de vehículos es homogénea y de capacdad gual a C undades de mercancía y un número de termnales hub gual a h. El coste untaro de recogda c PU asocado al número de paradas está basado en la ecuacón (2.3) y en la consderacón que el número de paradas en cada orgen es puede expresar por la expresón (2.4). 3 h 2 m 0 = 1/ 2, de modo que se δ 0 3 1/ 2 cpu = α 2 h λpf Rs 2 2 sendo α = ( c δ 1/ + c ) 2 d p (2.4) La cantdad entre paréntess de la ecuacón (2.4) corresponde al recíproco de la cantdad recogda en una zona orgen en un ntervalo. De este modo, el coste de recogda y reparto c PUD asocado a la parada por undad transportada se puede evaluar según la ecuacón (2.5.a) s se asume que las densdades de reparto y recogda son smlares e guales a δ. c PUD 3 Pf R α 2δ 0 = λ s 2 ( h 1/ ) (2.5.a) A partr de la ecuacón (2.1) en la que se estma la dstanca extra por vehículo debdo a la vsta del hub, se puede determnar el coste de crcuto c c (coste asocado al doble recorrdo de un tramo de la ruta) por mercancía transportada en el envío sn paradas en el que se asume que los vehículos crculan llenos. 1/ 2 c 2 R d s c = c (2.5.b) C 3h El coste es proporconal a la dstanca meda entre los orígenes y destnos (coste básco aproxmadamente gual a c d / C Rs 1/ 2 ). Adconalmente, se deberá consderar el coste de operacón de la termnal c OT por undad de mercancía transportada, evaluado en la ecuacón (2.5c); y el coste de nventaro estaconaro en los orígenes y destnos c I determnado en (2.5.d). 42 M. Estrada (2007)

9 2.Estado del arte cot = α 5 + α 6 h R t l u sendo α 5 = ( ct + c Pf + cr ( τ + τ ) o o α = ( c + c )/ λ 6 I r t f s (2.5.c) c = c P (2.5.d) La suma de las cuatro ecuacones anterores confgura en este caso la funcón de coste logístco. Una vez establecda esta funcón de costes, pueden aparecer dstntas decsones estratégcas a soluconar. Por un lado, dado un ntervalo de envío, se podría plantear el número óptmo de termnales hub con el que operar para una empresa de transporte que quere empezar a servr un ncho de mercado. Otra tpología de problemas podría aparecer cuando se pretende determnar el mejor ntervalo de envío para un valor dado de h. En estos casos, los costes de crcuto y de termnal son fos y úncamente se deben balancear los costes locales de parada y de nventaro, con lo que se obtene un valor óptmo del ntervalo de envío defndo en la ecuacón (2.6). 3 2δ Pl * h λc Rs 1/ 2 1/ 2 α (2.6) En este caso, el coste total c T por undad de mercancía transportada, sn nclur el coste de acceso a la zona sn realzar paradas, se puede expresar por la ecuacón (2.7). c T 1/ 2 h c 2 R d s 3α 2δc 1/ 2 = α α 3 h Rs C h λ Rs 1/ 2 (2.7) S se analza el caso partcular en que los costes fos de termnal son desprecables y los 2 costes de parada c p son sgnfcatvamente nferores a la componente de dstanca c, dδ 1/ el coste por objeto transportado se puede determnar medante la expresón (2.8), donde N o es el número de orígenes (o destnos), K una constante admensonal y asumendo que 2 2 ( 3 ) 1/ 1 : c T 1/ 2 c d R 1 K 2 + h C 3h N o 1/ 4 (2.8) M. Estrada (2007) 43

10 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería En este contexto, el valor mínmo del número de termnales hub (h*) que optmza la ecuacón (2.8) se determna por la expresón (2.9): h * 4 3 N K o 4 / 5 (2.9) Las formulacones anterores han sdo desarrolladas bajo la perspectva que todas las rutas no tenen nnguna restrccón en su longtud n en el número de paradas máxmo. De forma adconal, las ecuacones (2.5.a), (2.5.b), (2.5.c), (2.5.d) fueron desarrolladas para mercancías baratas y vehículos déntcos, pero se puede dseñar un sstema de confguracón para stuacones dferentes, ncluso con P f varante según la jerarquía de la termnal de consoldacón de cargas. S algunos de los puntos O-D de servco tenen asocados unos volúmenes de carga muy superores al resto de puntos, se pueden plantear estrategas de dscrmnacón que consderen envíos drectos entre estos puntos mentras que el resto de puntos sean servdos a través de la termnal hub. Los dos sstemas (puntos servdos por envíos drectos y puntos pertenecentes a los envíos vía hub) tenen costes ndependentes de las accones tomadas para controlar los envíos del otro sstema y por tanto pueden ser optmzados de forma separada Extensón a sstemas con varas termnales y dos transferencas En los sstemas de dstrbucón con dos transferencas en termnales hub, los problemas organzados de forma no jerarquzada son asmétrcos con respecto a la recogda y dstrbucón y por tanto requeren menores paradas en cada fnalzacón del vaje. En este sentdo, los sstemas de termnales jerarquzados no son utlzados para selecconar la ruta de las mercancías a través de las termnales; cada par de puntos O-D es asgnado al par de termnales hub con menor coste de crcuto, consderando úncamente termnales en la nmedata vecndad de los orígenes y destnos. S asummos como termnales potencales las stuadas en las esqunas de la celda de termnales que contene el punto orgen y destno de la Fgura 2.2., exsten 16 posbldades de determnacón de las 2 termnales de encamnamento del flujo, de la que se escogerá el par que añada la menor dstanca. Se asume que: Los vehículos que llegan y abandonan la termnal se desplazan a plena carga. 44 M. Estrada (2007)

11 2.Estado del arte El sstema está regulado con un ntervalo de envío común P f para todas las termnales. Cada par de termnales hub está comuncado por un vehículo que se desplaza sn realzar paradas (úncamente srvendo estas dos termnales). En relacón a los costes, se debe consderar: El coste de nventaro no es ncrementado por la segunda transferenca y se mantene en c P f. S se defne el desplazamento entre termnales hub como envío de larga dstanca sn paradas (lne-haul), el coste total de larga dstanca expresado en veh-m todavía es gual al lometraje total de los vehículos dvddo por la capacdad del vehículo C. Para la estratega de ruteo, el sobrecoste de dstanca asocado a la vsta de una termnal hub (2.1) es gual a la dstanca añadda por la vsta de 2 termnales. De este modo, el coste de crcuto por undad transportada todavía está determnado por la ecuacón (2.5. b). Los costes de transporte local son todavía proporconales al número de paradas, con el msmo coefcente de proporconaldad. El número de paradas por termnal orgen o destno es gual al número de termnales que srven a la delegacón en las dos dreccones. Sn embargo, el número determnado en la ecuacón (2.3) para una transferenca se reduce en este caso a 4+4=8. De este modo, el coste de paradas por undad transportada, asumendo que la densdad de recogdas es aproxmadamente gual a la asocada a entregas es α δ /( ) 8 2 λp f R s. El coste de nventaro en tránsto puede ser desprecado en relacón a los costes de transporte. Los costes fos de termnal no varían de la dstrbucón con una termnal para un valor dado de h y demanda total λ, pero en este caso los costes de termnal proporconales al flujo son aproxmadamente el doble. De este modo, la mercancía se manpula dos veces y se requere el doble de tempo para moverla dentro de las termnales. De esta manera el coste de termnal por undad de mercancía es 2α h / 5 + α 6 Rs. En este caso, el problema táctco y estratégco se desarrolla de forma análoga al problema de mnmzacón de la ecuacón (2.7) establecendo una restrccón de conservacón de flujo. En la organzacón de los envíos medante programacón (sncronzacón) y bajo los supuestos de este apartado, el número de vehículos de recogda que llegan a la termnal es h. Se debe constatar que el número de vehículos que llegan a una termnal para realzar una transferenca debe ser gual al número de vehículos de salda haca otras termnales, que es gual a h 1. Debdo que una fraccón gual a 1 / h de toda la carga recogda es local, el número de paradas para recoger carga de cada vehículo es h (de forma smlar se calcula el proceso de dstrbucón). De esta forma se puede calcular el número de termnales por la expresón (2.10). M. Estrada (2007) 45

12 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería 2 λ Rs Pf h = hc (2.10) S el coste asocado a la termnal es desprecable y se adopta un valor de K=0.5 en la expresón para α 2, el valor óptmo de termnales y el número de paradas puede ser expresado 2 úncamente en funcón de N o y K. S se determna un valor de N o > 10 K, se pueden adoptar los valores de las varables de decsón defndos en las expresones (2.11a) y (2.11b). h * n * s N o ( 8N ) o 1/ 4 1/ 2 2 K N o N o K 1/ 2 (2.11.a) (2.11.b) En térmnos generales, la máxma dferenca entre un sstema con 1 y 2 transferencas es del orden del 7% del coste de transporte de una mercancía a lo largo de una regón de servco en vehículo a carga completa Generalzacones. Stuacones alejadas de las hpótess de partda En el desarrollo de esta metodología se han realzado un conjunto de hpótess que han permtdo smplfcar sgnfcatvamente el problema de dstrbucón y llegar a fórmulas compactas capaces de estmar el coste logístco total lgado a un problema de transporte. Sn embargo, los problemas de dstrbucón reales presentan una sere de partcularzacones que se alejan relatvamente de las consderacones efectuadas en la metodología propuesta por Daganzo (2005) y por tanto, precsan la adaptacón o reformulacón de las funcones de coste. Los prncpales puntos en que los problemas reales se alejan de las hpótess efectuadas se podrían resumr en: Dstrbucón no unforme de la demanda. La ubcacón de los clentes potencales en el terrtoro no es homogénea ya que exsten múltples crteros de localzacón de las actvdades o empresas solctantes de servcos de paquetería como el potencal económco de una zona, su dotacón nfraestructural, etc. 46 M. Estrada (2007)

13 2.Estado del arte Retornos en vacío. Las confguracones de la red de dstrbucón efcente desarrolladas contemplan de forma segregada el reparto y la recogda de mercancías de una zona. Sn embargo, uno de los puntos de mayor capacdad de optmzacón del sstema es la reduccón de los retornos haca termnales en vacío (sn carga). En Daganzo (2005) y Hall (1990) se amplía el cuerpo metodológco desarrollado dentfcando las prncpales estrategas de optmzacón MODELOS BASADOS EN PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Y ALGORITMOS HEURÍSTICOS ASOCIADOS Las aproxmacones contnuas de las varables del problema de dstrbucón físca desarrolladas en el capítulo anteror han permtdo dentfcar las varables de decsón sobre las que se debe actuar para optmzar la confguracón logístca actual. Sn embargo, la mayoría de modelos de localzacón de almacenes o termnales de consoldacón de la lteratura centífca se han basado en problemas con varables dscretas en los que se conocía exactamente la demanda de cada clente de la zona de servco y su ubcacón. En este sentdo, a dferenca de las aproxmacones contnuas, exsten modelos en los que se plantea una funcón objetvo de costes logístcos a mnmzar (prncpalmente en funcón de la dstanca recorrda) en los que se debe tener como nformacón de partda la localzacón exacta de los puntos de demanda de servco (delegacones-clentes-nodos), la red físca que los comunca (arcos) y la dentfcacón detallada de las flujos de carga o rutas logístcas de transporte. S ben estos métodos proporconan una solucón más ajustada a la realdad, presentan como un punto débl la ncapacdad de traslacón de la solucón a otros problemas parecdos así como la falta de dentfcacón de las varables o subsstemas estratégcos del problema. El desarrollo de las herramentas metodológcas de localzacón de centros de consoldacón o termnales jerárqucas en problemas dscretos se han formulado como un problema de programacón matemátca aunque ha sdo ncapaz de resolver confguracones de tamaño relatvamente pequeño debdo a la complejdad del problema (Tabla 2.1). Dentro de la optmzacón combnatora, esta tpología de problemas es NP-Hard por lo que en muchos casos ha sdo necesaro el desarrollo de algortmos heurístcos de solucón que aunque no proporconen una solucón óptma, tenen un tempo computaconal acotado. M. Estrada (2007) 47

14 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería Tabla 2.1. Resumen de las contrbucones centífcas en la localzacón de hubs Autor Etapas del modelo Hubs Capacdad de hubs Domno de solucones en Localzacón Estrategas de envo contempladas Método de solucón Costes consderados Observacones Perl (1985) Localzacón de hubs, determnacón tamaño de hubs y ruteo Número ndetermnado, tamaño ndetermnado lmtada Dscreto (domno de solucones mayor al número de hubs detemrnado) One-to-many Campbell (1986) Localzacón de hubs Número determnado lmtada Contínuo Hub más cercano Analítco Localzacón y tamaño de hubs con heurístcos. Costes untaros de Transporte fos y costes de nversón en almacenes Costes de Transporte constantes Varacón temporal de la demanda O'Kelly (1987) Localzacón de hubs y asgnacón de flujos a la red Número determnado lmtada Dscreto Todos los envíos a través de hub (envío drecto no permtdo) Localzacón: Programacón entera cuadrátca que se resuelve con algortmos heurístcos Asgnacón: 1 nodo al hub más cercano. Costes guales a la dstanca recorrda Ayn (1990) Asgnacón de flujos a la red Número y localzacón determnada lmtada Dscreto Todos los envíos a través de hub (envío drecto no permtdo) Asgnacón: 1 nodo al hub de menor coste (no menor dstanca) Costes untaros de Transporte fos Klncewcz (1991) Asgnacón de flujos a la red Número y localzacón determnada lmtada Dscreta Heurístcos de asgnacón por dstanca o multcrtero Costes untaros de Transporte fos Parte del modelo de O'Kelly 1987 Ayn y Brown (1992) Localzacón de hubs y asgnacón de flujos a la red Desconocdos lmtada Contínua Todos los envíos a través de hub (envío drecto no permtdo) Asgnacón: 1 nodo al hub de menor coste (no menor dstanca) Costes untaros de Transporte fos Se consdera un flujo smétrco Ayn (1994) Localzacón de hubs Número determnado lmtada Dscreto (domno de solucones mayor al número de hubs determnado) Envío drecto o a través de 1 o 2 hubs Programacón matemátca entera y relajacón Lagrangeana Costes untaros de Transporte fos Ayn (1995a) Localzacón de hubs y asgnacón de flujos a la red Número determnado Contínua Envío drecto (fados de antemano) o a través de 1 o 2 hubs Programacón matemátca entera Costes untaros de Transporte fos O'Kelly (1986) Localzacón de hubs y asgnacón de flujos a la red Número determnado lmtada Dscreto Todos los envíos a través de 2 hubs Asgnacón: 1 nodo a más de un hub Costes untaros de Transporte fos y costes de nversón en almacenes Comparatva de escenaros con un número menor de hubs con asgnacón múltple a escenaros con más hubs sn asgnacón múltple O'Kelly (1998) Ernst (1998) Localzacón de hubs y asgnacón de flujos a la red Localzacón de hubs y asgnacón de flujos a la red Número determnado lmtada Dscreto Número determnado lmtada Dscreto (domno de solucones mayor al número de hubs detemrnado) Todos los envíos a través de 2 hubs Envíosatravésdeun hub Asgnacón: 1 nodo a más de un hub Programacón matemátca no lneal. Método del branch & bound y heurístcos (SA y descenso aleatoro) Costes de Transporte varables con el flujo (no lneales) Costes untaros de Transporte fos Comparatva de métodos para la dstrbucón de servcos postales en Australa Abdnnour-Helun (1999) Localzacón de hubs y asgnacón de flujos a la red Número ndetermnado lmtada Dscreta (entre nodos) Envíos a través de hub Metodología del Branch & Bound y algortmos genétcos Costes untaros de Transporte fos y costes de nversón en almacenes Wasner (2004) Localzacón de hubs y ruteo Número ndetermnado, tamaño determnado lmtada Contínua Envíos drectos o a través de hubs Localzacón y asgnacón medante algortmo heurístco Costes untaros de transporte entre hubs y de reparto fos, costes de nstalacones no lneales con el flujo Propuesta teórca más caso práctco de aplcacón en Austra. Determna los límtes de las zonas de reparto y entrega de cada ruta 48 M. Estrada (2007)

15 2.Estado del arte Los conceptos báscos que permten una comparacón de las prestacones dferencales de cada modelo se basan en los sguentes puntos: Etapas del modelo: Los modelos desarrollados se basan en la resolucón de dstntas fases de los sstemas de dstrbucón físca: el proceso de localzacón de las termnales, la asgnacón a la red (entre termnales) de la mercancía asocada a cada par orgen-destno y el proceso de determnacón de rutas desde las termnales secundaras hasta los clentes. Los modelos presentados se focalzarán en una de estas fases o podrán dar solucón a más de una fase a la vez. Hubs: El sstema logístco consderado puede partr de un número y localzacón de hubs prefados a partr de los cuales se analza el proceso de asgnacón de flujos a la red. Otra posbldad es determnar de antemano el número de hubs que se utlzarán para realzar la dstrbucón y calcular su localzacón óptma en el terrtoro. Capacdad de hubs: Un aspecto básco es la consderacón de la capacdad de las termnales para dar servco a toda la mercancía que se clasfca y se encamna a través de ella. La mayoría de modelos no consderan la capacdad de las nstalacones, y úncamente unos pocos llegan a defnr un sstema capactado. Domno de solucones en localzacón: Los modelos que ncluyen la etapa de localzacón de las termnales en su desarrollo pueden permtr que éstas se efectúen en cualquer punto del terrtoro (contnua) u oblgar que la ubcacón de las termnales se efectúe en un número de puntos sngulares fados de antemano (localzacón dscreta en nodos especales, delegacones, puntos cercanos al mercado o a nfraestructuras, etc.). Estrategas de envío contempladas: Los análss centífcos de los autores determnan dstntas posbldades de encamnamento de la carga que se dferencan en envíos exclusvamente a través de hubs o la smultanedad de envíos drectos y a través de hubs (se suele far el número máxmo de 2 paradas en hubs). Métodos de solucón: Uno de los puntos más mportantes de dferencacón de los dstntos modelos que se han analzado ha sdo las metodologías de resolucón de los problemas. La mayor parte de los modelos han desarrollado la programacón matemátca del problema logístco expresada como una funcón objetvo de costes a mnmzar sujeta a unas restrccones y lmtacones. Sn embargo, la resolucón del problema en programacón matemátca úncamente se ha poddo desarrollar en un tempo computaconal asumble en problemas de tamaño lmtado. Este hecho ha oblgado a aplcar una relajacón de las varables del problema para poder determnar solucones a M. Estrada (2007) 49

16 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería problemas de mayor tamaño o la adopcón de técncas heurístcas que s ben no aseguran que la solucón sea óptma, realzan los cálculos en un tempo acotado. Por últmo, las contrbucones centífcas al problema más recentes han desarrollado algortmos metaheurístcos o heurístcos combnados con técncas de fne-tunng, que a partr de una confguracón exstente sub-óptma realzan un proceso de refnamento y optmzacón de la solucón. Costes consderados: La nclusón de los dstntos elementos de transporte varía en los modelos analzados. En este sentdo, exsten unos modelos que úncamente consderan los costes de transporte proporconales a la dstanca y otro grupo que ncluye los costes de las nstalacones fas (manpulacón de la mercancía y amortzacón del coste de la nstalacón). Sn embargo, exste otro grupo que consdera que los costes de transporte varían lnealmente con el flujo de la mercancía transportada en cada arco Programacón matemátca y heurístcos para la localzacón de termnales hub En O Kelly (1987) se plantea una programacón entera cuadrátca para la resolucón de problemas de localzacón de hubs basado en los flujos entre orígenes y destnos. El problema vene defndo por N T puntos de servco (nodos), el flujo W entre cada par de nodo termnal (,j), el coste untaro de transporte c específco para cada par de nodos y un número h de centros de consoldacón que deben ser ubcados en el terrtoro (h<n T ). Por otro lado, el coste de transporte entre dos termnales que sean hubs se multplca por un parámetro a (0<a<1) para reflejar las economías de escala exstentes debdo a los menores costes untaros al utlzar vehículos de mayor capacdad. Paralelamente, se defne una varable de decsón X a la que se da valor gual a la undad s el nodo es servdo a través del hub y valor gual a 0 en caso contraro. Adconalmente se consdera X =1 s el nodo es un hub y 0 en caso contraro. Se puede comprobar que, en un caso general, todo punto debe estar servdo por un hub, no permténdose el envío drecto entre dos puntos de servco. La solucón del problema dscreto recae en encontrar localzacones de hubs y la asgnacón de los nodos al servco de los hub que mnmcen el coste total de transporte. La funcón objetvo del problema se detalla en la ecuacón (2.12). W [ X X jm ( c + acm + c jm ] Mn Z = ) m j (2.12) 50 M. Estrada (2007)

17 2.Estado del arte sujeto a: X X X 0 X ( N T = 1 = h 1 h + 1) X X varable entera La herramenta propuesta por O Kelly (1987) para resolver la ecuacón (2.12) son algortmos heurístcos que deben ser utlzados sstemátcamente para determnar la asgnacón de los dferentes nodos al conjunto de hubs. Se plantean dos algortmos heurístcos (HEUR1 y HEUR 2) que realzan una enumeracón completa de todas las confguracones posbles del problema. El problema consderado se caracterza porque los hubs no tenen nteraccón entre sí y por que se adopta una asgnacón basada en que cada nodo es servdo por el hub stuado más próxmo. En Ayn (1990) y Ayn y Brown (1992) se analza crítcamente el método propuesto en O Kelly. En prmer lugar, O Kelly plantea la evaluacón de todas las posbles solucones de asgnar los N T nodos (delegacones) del problema a los h hubs. De forma partcular, como consdera en una prmera aproxmacón dos hubs, exsten N T (N T -1)/2 posbldades de asgnacón a tener en cuenta. Este hecho ncrementa sgnfcatvamente el tempo computaconal en el caso de encontrarnos en problemas de gran tamaño y en problemas con un número sgnfcatvo de hubs. Adconalmente, el método propuesto por O Kelly propone una partcón de los nodos en h grupos de forma que las subregones no se solapen como crtero de optmaldad ya que cada nodo se asgna al hub más próxmo. Sn embargo, puede haber problemas en que el método de O Kelly de asgnacón de nodos termnales por crteros de proxmdad a los hubs no contenga la confguracón óptma, caracterzada por uno o más nodos no asgnados a su hub más próxmo. De este modo, en Ayn (1990) se plantea una solucón partcular de la ecuacón (2.12), defnda por el conjunto de nodos delegacones Z r que son asgnados al hub r: Z r ={j: X jr =1}, r=(n T -h+1),, N T. El cambo de asgnacón de un nodo delegacón cualquera que actualmente es servdo por el hub t ( ) a otro hub produce una dferenca en el valor de la funcón objetvo que se cuantfca por la expresón (2.13). Z t M. Estrada (2007) 51

18 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería 2 ' j Z 2 W ( C h Z t W h ( C + C t j + C ) + ht ' h Z t ) + W j Z h ( C W ( C + ac j t + ac + C t ht + C ) + t ) + r, t, l Zr r, t, l Zr W ( C l l W ( C + ac t r + ac tr + C lr + C ) lr ) (2.13) donde Z ' ' { j : j Z o j = } y Z = { j : j Z j } = y t t De este modo, el valor de la funcón objetvo puede ser mejorado s se reasgna el nodo a servr al hub, t, cuando se cumple la expresón (2.14). ΔS = r j Z W ( ) ( ) C Ct + W W act + Wa Cr Ctr 0 j Z t j Z r t j Z r (2.14) S los nodos son asgnados a los hubs en base a su proxmdad, no se consdera el flujo de objetos entre hubs. De este modo, s se defne una constante postva e, la condcón anteror se puede reformular asgnando el nodo al hub en lugar de t cuando se cumpla la expresón (2.15). e ( C C ) 0 (2.15) t Para el caso de estudo de nteraccón entre hubs, en Ayn (1990) y Ayn y Brown (1992) se plantea una metodología de solucón que determna la asgnacón de un nodo a un hub cuando se cumpla la ecuacón (2.16) equvalente a que el valor A calculado por la expresón (2.17) sea el mínmo global del sstema. t p { } A = mn A (2.16) 1 t A t = W Ct a + r j Z r r t j Z r W C tr t = 1,..., h (2.17) La ecuacón (2.17) resuelve el problema de asgnacón de nodos para una localzacón de hubs dada (problema dscreto). Sn embargo, se pretende afrontar a la vez la determnacón de una localzacón de hubs óptma con una asgnacón óptma de nodos termnales a estos hubs. Por lo tanto, en Ayn y Brown (1992) se analza el problema nverso, en el que dada una asgnacón de los dstntos nodos delegacones a hubs (agrupacón de nodos por zonas 52 M. Estrada (2007)

19 2.Estado del arte asocadas a un hub) se pretende determnar la localzacón óptma de éstos. En este sentdo, para determnar el problema de localzacón se reformula la funcón objetvo (2.12) y se establece la ecuacón (2.18) a mnmzar. mn + 2X W C awu j t j U jt C t (2.18) S se asume que el flujo entre nodos es smétrco, la ecuacón (2.18) se puede smplfcar y obtener la ecuacón (2.19), donde G = 2 U W, L = 2a WU U. j t j jt mn ( G ) + C LtCt 1 < t p (2.19) Se puede comprobar que los valores de G y L t son conocdos s se dspone de la asgnacón de nodos a los dstntos hubs. De esta forma se plantea un procedmento teratvo para determnar el vector de coordenadas Q del hub utlzado para resolver el problema de localzacón de multplcdad de almacenes o termnales en dstanca Euclídea, medante la formulacón de la expresón (2.20). Q h+ 1 h = h h h ( LtQt / Ct ) + ( G P / C ) t h h ( Lt / Ct ) + ( G / C ) t = 1,...,h (2.20) Los superíndces de la ecuacón (2.20) representan el número de la teracón en la que se encuentra el proceso teratvo. Con todo, Ayn y Brown (1992) formulan un algortmo para soluconar el problema global de localzacón de hubs y asgnacón de nodos termnales a los hubs. Este algortmo resuelve el subproblema de localzacón de hubs y el de asgnacón de forma separada. La asgnacón a hubs se realza medante la ecuacón (2.16) analzando úncamente la ubcacón de los dstntos nodos termnales del problema. De esta forma la nterrelacón entre hubs se mantene constante y úncamente se necesta determnar el coste asocado a los nodos exstentes. Las localzacones de los hubs son sstemátcamente actualzadas medante la ecuacón (2.20). El algortmo propuesto para resolver el problema de localzacón y asgnacón procede de la sguente forma: M. Estrada (2007) 53

20 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería 0 Paso 0. Se desgna un localzacón ncal de hubs con los vectores de poscón Q t, t=1,,h. Se fa b=0 y un número escalar de termnacón del proceso teratvo v 0. Por 0 otro lado, se determna una asgnacón ncal X t, =1,,N T y t=1,..,h. Paso 1. Se reasgnan los nodos termnales a los hubs utlzando la ecuacón (2.16). Se repetrá la aplcacón de (2.16) hasta que no se consgan mejores cambos de b+1 asgnacón en los X t, =1,.., N T y t=1,..,h. Paso 2. Se aplcará la ecuacón (2.20) una vez para cada hub para actualzar la b+1 localzacón de los hubs, Q t, t=1,..,h. Paso 3. Parar s d( Q, b+1 t b Q t ) v para todo hub t y contraro, far b=b+1 y drgrse al paso 1. X = U b+1 t b t para todo y t. En caso Heurístcos para el problema de localzacón de h-hubs En Klncewcz (1991) se analza el problema de la localzacón de h hubs dentro de un conjunto de posbles solucones ya defndas (dentfcacón de las delegacones canddatas a ser un hub). Se utlzan algortmos heurístcos para su posble comparacón sn la pretensón de encontrar la solucón óptma dada la dfcultad del problema. El punto de partda del problema es el msmo defndo en O Kelly (1987). S se evalúa la suma total del flujo generado o atraído por un nodo termnal genérco ( O = W, j, D = W j, ), la funcón objetvo (2.12) se puede reformular por la ecuacón (2.21). j j X C O + D + X jm Mn Z = ) j m [ X aw C ] ( (2.21) m En la referenca anteror se analzan dstntos métodos de asgnacón de cada nodo a la regón servda por cada hub: a) Asgnacones basadas en la dstanca A nvel general, se asume que los costes por undad de mercancía transportada son proporconales a la dstanca y por tanto se puede hablar ndstntamente de asgnacón por dstanca o por costes. Un ejemplo de este tpo de asgnacones es el propuesto en el heurístco propuesto en O Kelly (1987) donde se enumeran todas las posbles confguracones de hubs, asgnando los nodos a un hub en base al crtero de mínma dstanca. Sn embargo, este 54 M. Estrada (2007)

21 2.Estado del arte procedmento es computaconalmente nabordable para aquellos problemas con un número de nodos sgnfcatvo. b) Asgnacones multcrtero Para reducr la cantdad de mercancía a transportar entre hubs, aquellos pares de nodos que tengan entre ellos un flujo mportante de objetos, deben ser transportados por el msmo hub. Por lo tanto, se debe nclur un crtero de asgnacón que contemple esta estratega en el proceso. En este sentdo se defne un crtero de asgnacón multcrtero que ntegre un crtero de tráfco entre nodos y el crtero de dstanca o proxmdad. Se debe tener en cuenta en este proceso que los h hubs ya están localzados en la zona de servco y que úncamente el problema resde en asgnar los nodos a los hubs ya conocdos. La asgnacón se realza por una suma ponderada del tráfco del hub (mercancía de las delegacones ya asgnadas a ) y el valor de la varable defnda por el nverso de la dstanca del nodo al hub, de forma que la delegacón más próxma tenga el máxmo valor de esta varable. En todos los casos, el valor de la varable de tráfco y de la dstanca más próxma al hub se normalzará de forma que el valor máxmo sea gual a 1. La asgnacón por dstanca tende a mnmzar el coste de transporte entre los nodos y el hub mentras que la medda de tráfco tende a mnmzar el coste de transporte de los desplazamentos entre hubs. La asgnacón sgue un proceso teratvo, en el que hay una asgnacón grosera en las prmeras etapas que posterormente se va revaluando para reducr el valor de la funcón objetvo. Heurístcos de ntercambo Las técncas descrtas anterormente evalúan todas las posbles confguracones de asgnacón de nodos a los h hubs determnados. Sn embargo, se pueden plantear algortmos heurístcos que úncamente examnen confguracones que potencalmente produzcan alguna mejora sobre la mejor solucón actual encontrada en el proceso de optmzacón. En este caso se permte el cambo de las delegacones que actúan como hub. Las úncas confguracones que se evalúan son aquellas que dferen en la localzacón de uno o dos hubs en relacón a la mejor solucón actual adoptada. La decsón de ntercambar nodos que actúen como hubs se basa en una varable de mejora local. Esta varable local determna el ahorro en la funcón objetvo s algún nodo q H reemplaza smplemente otro nodo r H como hub (o q 1, q 2 H remplazan r 1 y r 2 H ), mantenendo la msma asgnacón para el resto de nodos. Se parte de la evaluacón del tráfco total nterhub para la solucón actual. El tráfco desde el hub al hub l queda determnado por la expresón (2.22). M. Estrada (2007) 55

22 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería I l = W (2.22) { = 1}{ j X = 1} X jl S se asume que H 0 es el conjunto de hubs de la confguracón de la solucón actual, los ahorros producdos por el reemplazo del nodo r por el nodo q se puede evaluar por la expresón (2.23). R qr = O ( C { X } r C ) + D ( C { X } r q = 1 = 1 r r C q ) + I r 0 H r a( C r C q ) + I r 0 K r a( C r C q ) (2.23) El reemplazo de un nodo que actúe como hub por otro mplca que se debe aplcar un algortmo de asgnacón de nodos a los hubs en cada teracón de cambo. Heurístcos de zonfcacón-agrupacón Los heurístcos de ntercambo y el de enumeracón propuesto por O Kelly (1987) determnan en prmer lugar h puntos potencales de funconar como hub y posterormente asgnan los restantes nodos al servco de cada hub. Sn embargo, los algortmos de zonfcacónagrupacón en prmer lugar establecen h grupos de nodos y posterormente escogen la localzacón del nodo de cada grupo que actuará como hub. Se destaca el estudo realzado por Monma y Sheng (1986) en el que se propone un método de asgnacón de los nodos a las h partcones del terrtoro (clusters) basado en la asgnacón multcrtero desarrollada anterormente. En este caso, debdo que las localzacones de los hubs no se conocen de antemano, la medda del crtero de dstanca del heurístco de zonfcacón se realza en el centro de gravedad de cada partcón (cluster). Conocendo las coordenadas de cada nodo, el centro de gravedad de la partcón l tene las coordenadas calculadas por la expresón (2.24). El centro de gravedad mnmza las dstancas al cuadrado pero se consdera una aproxmacón sufcente del problema de las medanas. ( X G, Y G ) = en cluster l (O (O en cluster l + D ) x + D ) (O en cluster l, (O en cluster l + D ) y + D ) (2.24) 56 M. Estrada (2007)

23 2.Estado del arte El algortmo se basa en los sguentes pasos: Paso 0. Incalzacón. Se empeza con p nodos llamados semllas para las h partcones realzadas, por ejemplo los nodos con mayor O +D, determnando unos pesos de la asgnacón por dstanca w 1, w 2 tal que w 1 +w 2 =1. Paso 1. Asgnacón. Se repte para cada nodo el sguente proceso: o Para cada cluster, se calcula el nverso de la dstanca des del nodo hasta el centro de gravedad de. Se normalzan las dstancas nversas que se expresan como D para =1,,h. o Para cada cluster, se calcula el tráfco total ntercambado con los nodos ya presentes en ( W + ), normalzando la medda para que el máxmo sea j en cluster W j gual a la undad y denomnándolos T, para =1,,h. o Para cada cluster, calcular G =w 1 D +w 2 T o Asgnar al cluster con un valor máxmo de G. Paso 2. Estudo de asgnacón. Para cada nodo se debe realzar el sguente cálculo: Para cada cluster, se calculan los ahorros S que resultarían s es reasgnado a en lugar del cluster actual, asumendo que el hub estaría localzado en el centro de gravedad. Paso 3. Adopcón del mejor canddato para la reasgnacón. Se escoge el máxmo S de entre todos los nodos y todos los clusters. Paso 4. Reasgnacón. S S >0, se reasgna el nodo al cluster y se repte el paso 2. En caso contraro pasar al punto 5. Paso 5. Eleccón de hubs. Para cada cluster se escoge el nodo más cercano al centro de gravedad para ser el hub de la partcón. De este modo, se asgnarán todos los nodos de aquella partcón a su hub. En Klncewcz (1991) se realza adconalmente un análss comparatvo de los resultados de aplcacón de los heurístcos detallados a un conjunto de problemas. Una parte de estos problemas dervan de confguracones de aeropuertos de EE.UU. y otras de ejemplos hpotétcos de dstrbucones logístcas. A nvel general, los mejores resultados se obtenen con los heurístcos de enumeracón, sn embargo el gran requermento de tempo computaconal para llegar a la solucón lo desaconsejan para problemas de gran tamaño. En partcular, para confguracones superores a los 25 nodos y 4 hubs ya no se opta por este cálculo. Para casos que deben ser soluconados repetdamente o para problemas de gran tamaño se propone el heurístco de doble ntercambo como técnca de solucón para la localzacón de h-hubs. La caldad de la solucón es buena y el tempo computaconal se mantene en valores asumbles. Adconalmente se ha realzado un análss de sensbldad de los pesos w 1 y w 2 utlzados en el algortmo de ntercambo de asgnacón multcrtero y el de asgnacón de clusters. Se M. Estrada (2007) 57

24 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería constata que no hay un domno de aplcacón general de valores de w 1 y w 2 que produzca solucones cas-óptmas, s ben los valores (w 1 ;w 2 )= (0,7;0,3) producen solucones aceptables Programacón matemátca para la localzacón de termnales hub y asgnacón de envíos a rutas En Ayn (1995a) se analza el problema de la localzacón de hubs y de rutas en el plano permtendo que los flujos de carga a transportar entre dos puntos se consolden en uno o dos hubs o que sean entregados drectamente sn realzar nnguna parada para la consoldacón de carga. En este problema se consdera que las rutas en las que se permte el envío drecto (sn pasar por nngún hub) son conocdas de antemano. 2 R En este contexto el problema se basa en determnar el tpo de servco (drecto, con parada en un hub o en dos) entre los puntos de demanda y la localzacón de cada hub, de forma que se mnmcen los costes de transporte. Se propone un algortmo de resolucón basado en 4 métodos de determnacón de la solucón ncal. La localzacón de los hubs se permte en todo el espaco de solucones. Se consderan las sguentes varables y parámetros: 2 P R, coordenadas de localzacón del punto de demanda (=1,,N T ), c, coste de transporte drecto de a por undad de flujo y dstanca ( /m 3 -m) W, flujo total entre y j 2 Q R, coordenadas de localzacón del hub (=1, h) [ 0,1] a 1, a, a2, constantes de proporconaldad que determnan respectvamente las economías de escala para los segmentos de la cadena de transporte orgen de ruta-hub, conexón hub-hub y hub-fnal de ruta respectvamente ( a a, a ) 1 2 F D, conjunto de rutas (,j) en las que es permtdo un servco drecto sn paradas en hub. En este sentdo, se defne la varable dscreta O que toma valores guales a 1 s (, j) FD y 0 en caso contraro. Las varables de decsón que determnan s un envío es realzado a través de uno o dos hubs se detallan en las expresones (2.25) y (2.26). 58 M. Estrada (2007)

25 2.Estado del arte 1 s el flujo de a j es envado drectamente X = 0 en caso contraro (2.25) 1 s el flujo de a j es envado de hub hub t j X tj = 0 en caso contraro (2.26) La varable de decsón X tj es defnda para los puntos de demanda,j=1, N T, j, y para los hubs,t=1,, h. El caso que t=, representa que el envío úncamente realza una parada en el hub. En esta stuacón, el problema de transporte se puede formular de la forma sguente: Problema P1 Mn Z = + t j sujeto a: j W d( P, Pj ) X + ( a1c d( P, Q ) + actd( Q, Qt ) + a2ctjd( Qt, Pj ) X tj O W c, X, X [ 0,1] (2.27) O X X = 1, j (2.28) Q R + 2 t tj tj (2.29) El prmer térmno de la funcón objetvo (2.27) representa el coste de los envíos drectos, mentras que el segundo dentfca el coste de los envíos realzados a través de uno o dos hubs. S se defne el número total de pares de puntos en el que se permte un envío drecto por F D = d *, el número total de varables con valor 0-1 utlzadas en el problema es de 2 h NT ( NT 1) + d * y el número de varables de decsón contnuas es de 2h. Este hecho mplca que para valores razonablemente altos de puntos de servco y hubs la resolucón del problema mplca un tempo computaconal prohbtvo. Sn embargo, Ayn (1995a) plantea que el problema se puede descomponer en un número de subproblemas de camnos mínmos que mplcan decsones de servco s se permte far la localzacón del hub. En este sentdo, s la localzacón de los hubs es conocda, el problema se reduce a resolver con programacón matemátca entera las varables de decsón sobre tpo de servco (envío drecto o a través de hub): M. Estrada (2007) 59

26 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería Problema P2 Mn Z OWC X + j = W C X (2.30) t j tj tj sujeto a: O X X = 1, j (2.31) [ 0,1] + t X, X tj varables enteras, j,, t tj (2.32) donde C c d( P, P ) = y C = a c d( P, Q ) + ac d( Q, Q ) + a c d( Q, P )). Conocendo j tj ( 1 t t 2 tj t j la poscón de los hubs, la determnacón de la dstanca entre puntos de demanda y hubs es drecta. La solucón para el problema P2 se puede obtener descomponéndolo en problemas de camnos mínmos de menor tamaño, uno para cada ruta y posterormente escoger el servco de menor coste según las varables dscretas defndas en (2.33a) y (2.33b). X { C, C } 1 s (, j) FD y C = mn uvj u, v X = (2.33a) 0 en caso contraro tj 1 = 1 0 s (, j) F D s (, j) F D y y en caso contraro C C tj tj = mn u, v = mn u, v { C, Cuvj } { C } uvj (2.33b) De esta forma, dada una solucón del problema P2, con un conjunto de rutas drectas S {(, j) : X = 1} y un conjunto de rutas entre hubs S {(, j) : X = 1} oo = t = tj objetvo del Problema P1 puede rescrbrse medante la ecuacón (2.34)., la funcón Mn Z = W c d ( P Pj ) +, W ( a c d( P, Q ) + ac d( Q, Q ) + a c d( Q, P )) (2.34) (, j) S t (, j) St 1 t t 2 tj t j Analzando la ecuacón anteror se deduce que el prmer térmno es constante ya que úncamente representa las rutas drectas. De este modo, s se defne μ w como el prmer térmno, y se reescrbe el segundo térmno, el problema P1 se puede reescrbr medante las expresones (2.35) y (2.36). 60 M. Estrada (2007)

27 2.Estado del arte Problema P3 donde: V t Mn Z = = a c Vtd Q, Qt ) + U d( P, Q ) + t (, j) S t W t ( μ (2.35) y U = a cw + a2 cw (2.36) 1 j t (, j) St t ( j, ) St W El problema P3 es del tpo de localzacón de dversas nstalacones con localzacones desconocdas de los hubs Q 2 E, = 1,.., h. Para soluconar el problema P3 en métrca Euclídea, se propone un método teratvo basado en el procedmento de Weszfeld detallado b+1 en Ballou (1991) que utlza la ecuacón (2.37) para determnar las coordenadas Q de la termnal en la teracón b+1. ( V + V ) t t b U Qt + P b h b t Q Qt Q P b+ 1 Q = = 1,.., h ( Vt + Vt ) U + b b b Q Q Q P t t (2.37) En este sentdo, en Ayn (1995a) se propone el algortmo Locaton-Routng basado en un procedmento teratvo a partr de una solucón ncal que se puede resumr en los sguentes pasos: Paso 0. Se determna un conjunto de localzacones ncales de hubs { Q 0 } tolerancas υ, ε > 0 y b = 0. b Paso 1. Dadas las localzacones de hubs { Q,...,Q } Q 0,..., 1 p y unas b 1 p, resolver el problema P2 utlzando b b (2.33a) y (2.33b) para determnar S 00 y S t, t. S b=0, r al paso 2. S b>0 y b b 1 S = S, t, entonces parar b Paso 2. Utlzando S 00 r b r=1 y Q = Q, =1,..,h. y b S t ( +1) Paso 3. Calcular Q r, =1,..,h, utlzando (2.37). del paso 1, reducr el problema al Problema 3. Establecer r+ r Paso 4. S Q ( 1) Q > υ para algún, establecer r=r+1 e r al paso 3. En caso contraro ( b+ 1) ( r+ 1) Q = Q, =1,..,h, b=b+1, e r al paso 1. M. Estrada (2007) 61

28 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería Los procedmentos menconados para los subproblemas P2 y P3 garantzan una solucón óptma. Sn embargo, la solucón encontrada con el algortmo Locaton-Routng no garantza la solucón óptma del problema P1 ya que las localzacones de hubs y la estructura de la ruta no se determnan conjuntamente, por lo que el resultado fnal depende de la solucón ncal de partda Extensón de los modelos de programacón matemátca Capacdad lmtada En Ayn (1994) se plantea el problema de localzacón de servcos e nfraestructuras (hubs) de capacdad lmtada con nteraccón entre hubs, además de admtr una polítca de envío drecto entre puntos de servco y polítcas de parada múltple en uno o más hubs. Los hubs se asumen que tenen una capacdad lmtada de encamnar los flujos haca su destno. De este modo, el problema se basa en determnar para cada par de delegacones el tpo de servco (drecto, vía hub) y la localzacón de los hubs de forma que se mnmce el coste total de la dstrbucón. S Y es una varable entera (0-1) que toma el valor de 1 cuando la termnal es hub y 0 en caso contraro, se defne la varable r ( Y Y, Y ), como la capacdad necesara en el hub s el flujo de a j es envado desde al hub y posterormente al hub t (sendo el prmer hub en la ruta). De la msma forma, ( Y Y Y ) flujo de a j es envado desde al hub t y posterormente al hub. t j s, t, j es la capacdad necesara en s el Las capacdades r y s están expresadas en funcón de Y ya que dependen de s los nodos, j ya son propamente un hub y s concden con los hubs de análss (=, =t, j= o j=t). De este modo, se añade a la formulacón de Ayn (1995a) una restrccón adconal en la que la valoracón de r ( Y, Y, Y ) y ( Y Y Y ) nomnal del hub. t j s, t, j para j N; t H, no debe superar la capacdad En el artículo en cuestón se plantean dstntas técncas de resolucón que smplfcan el modelo y pueden evaluar una solucón óptma. La técnca de Relajacón Lagrangeana del problema permte artcular en dos partes su resolucón: la determnacón de las localzacones de los hubs y los tpos de servco o envío de cada par de nodos. En este sentdo, s la localzacón de los hubs es conocda, el problema se reduce a resolver con programacón matemátca entera el tpo de servco (envío drecto o a través de hub). 62 M. Estrada (2007)

29 2.Estado del arte Asgnacón múltple En O Kelly et al (1996) se analzan las propedades de las redes entre termnales y, medante un conjunto de ejemplos numércos, dfundr una sere de propedades de estas redes. Se parte del problema propuesto en O Kelly (1987) asumendo que todos los hubs están nterconectados, que no se permte el envío drecto entre clentes y que se permte tanto la asgnacón smple de un punto a un sólo hub o la asgnacón múltple en la que un punto puede ser servdo por 2 o más hubs (Fgura 2.3). El estudo teórco analítco de asgnacón múltple está extensamente desarrollado en Campbell (1997). a b Fg Ejemplos de redes hub & spoe. a) Asgnacón smple de los nodos a un solo hub. b) Asgnacón múltple de un nodo a más de 1 hub. Fuente: O Kelly et al (1996) Costes no lneales En O Kelly y Bryan (1998) se propone una modelzacón analítca de los costes en la red con hubs que permta consderar costes untaros varables. En este sentdo, los coefcentes de coste se multplcan por un factor Ω (ecuacón 2.38) que decrece a medda que el flujo en el arco es mayor. La base de la metodología es hacer depender los costes de los arcos entre hubs con el flujo que crcula a través de ellos, y reproducr la reduccón de costes untaros por efecto de la consoldacón de carga en los arcos nterhub tal como muestra la Fgura 2.4. donde W qr X qrm θ, β Ω = 1 θ j W j X W m β Flujo total que se transporta entre los nodos q y r (2.38) Varable que toma el valor de 1 s los flujos entre el nodo q y r son envados vía el hub y m, 0 en caso contraro Parámetros; θ > 0, β > 0 M. Estrada (2007) 63

30 Análss de estrategas efcentes en la logístca de dstrbucón de paquetería j j W W X m Flujo total transportado a través del arco nterhub (,m) Flujo total de la red Evolucón de costes untaros nterhub Coste lométrco ( /m) Modelo HUBLOC Funcón no lneal Flujo nterhub (q) Fg. 2.4 Funcón de coste por dstanca no lneal y modelo HUBLOC. Fuente: O Kelly y Bryan (1998) Algortmos metaheurístcos para el problema de localzacón y asgnacón a rutas Los algortmos metaheurístcos son unos métodos matemátcos de resolucón de problemas de optmzacón combnatora de ampla utlzacón en problemas de ruteo (como el Vehcle Routng Problem, VRP, o el Travellng Salesman Problem, TSP) o en la asgnacón y gestón de flotas. Partendo de una funcón objetvo a optmzar, los algortmos metaheurístcos realzan un procedmento de búsqueda de solucones o estados. Al conjunto de todos los estados o solucones canddatas se les llama espaco de búsqueda. Este grupo de algortmos se caracterza por trabajar en un nstante de ejecucón con un estado actual que es varado por uno nuevo por medo de una transcón de estado, movmento o perturbacón. La transcón de estado o movmento tene como objetvo explorar nuevas confguracones que aporten ahorros sgnfcatvos en la funcón de coste en el subdomno de solucones próxmo al estado actual. Los algortmos metaheurístcos varían y aceptan las confguracones asocadas a los cambos de estado según procedmentos probablístcos. En la mayoría de casos, los algortmos permten un ncremento postvo en la funcón de coste a 64 M. Estrada (2007)