Modelos para Variables Censuradas y Truncadas

Transcripción

1 Modelos para Variables Censuradas y Truncadas Javier Alejo Maestría en Economía UNLP Agosto 2017 Javier Alejo Econometría Avanzada 1

2 Temario de la clase Javier Alejo Econometría Avanzada 2

3 Motivación Variables aleatorias discretas: los valores del soporte pueden ocurrir con probabilidad no nula. Ejemplos: ocupado o desocupado, numero de hijos, etc. (Bernoulli, Poisson, etc.) Variables aleatorias continuas: si bien cada punto del soporte ocurre con probabilidad cero, intervalos del soporte ocurren con probabilidad no nula. Ejemplos: ingresos, llegada a clase, etc. (normal, chi2, etc.) Variables aleatorias parcialmente continuas: ciertos valores pueden ocurrir con probabilidad no nula. Ejemplos: gasto en seguro de vida, re-nanciamiento de deuda, ingresos de fuentes tributarias, etc. Javier Alejo Econometría Avanzada 3

4 ¾Por qué? En Economía es usual trabajar con variables Y cuya carácter continuo ha sido modicado por alguna razón: 1 Razones administrativas: existe algún mecanismo institucional que altera la información (encuestas de ingresos, datos tributarios, etc.). 2 Soluciones de esquina: típicas de los modelos con agentes que optimizan (gasto en bienes durables, horas de trabajo, restricciones de capacidad, liquidez, etc.). Javier Alejo Econometría Avanzada 4

5 ¾Censura o truncamiento? La diferencia es sutil: Censura: la información es completa, pero una parte de la muestra ha sido alterada. Truncamiento: la información es parcial, es decir solo contamos con una submuestra. Ejemplos: Gastos relacionados con la vivienda con datos de todos los hogares (censura). Horas trabajadas con datos de individuos ocupados (truncamiento). Javier Alejo Econometría Avanzada 5

6 Situación Consideremos el siguiente modelo: { y i = x i β + u i y i = max(c,y i ) con E(u i x i ) = 0. Por simplicidad, supongamos que c = 0. Si contáramos con una muestra aleatoria de (y i,x i) podríamos estimar consistentemente a β (¾cómo?). ¾Qué pasa si sólo observamos una muestra (y i,x i )? Opciones: MCO de y i en función de x i. MCO de y i en función de x i solo con i:y i > 0. Javier Alejo Econometría Avanzada 6

7 Ilustración: sin censura Javier Alejo Econometría Avanzada 7

8 Ilustración: datos censurados Javier Alejo Econometría Avanzada 8

9 Ilustración: datos truncados Javier Alejo Econometría Avanzada 9

10 Ilustración: estimación MCO (si observáramos y ) Javier Alejo Econometría Avanzada 10

11 Ilustración: estimación MCO, datos censurados Javier Alejo Econometría Avanzada 11

12 Ilustración: estimación MCO, muestra truncada Javier Alejo Econometría Avanzada 12

13 Ejemplo: consumo de un bien durable Objetivo: estimar el efecto parcial en un modelo de consumo de un bien durable. Variables:. ci = consumo del bien en el hogar i, en pesos. si = stock disponible en el hogar i, en pesos. gi = ci si variación deseada en el stock. g i =gasto observado { g g i = i si g i > 0 0 si g i 0 } = max(0,g i ) Es decir, hay un proceso de censura inferior. (*) (*) Por simplicidad, seguiremos con este tipo de censura. El tratamiento para censura superior es extremadamente análogo. Javier Alejo Econometría Avanzada 13

14 Ejemplo: consumo de un bien durable Modelo: sea x i los determinantes del consumo { g i = x i β + u i g i = max(0,g i ) Lo usual: las encuestas tienen datos de g i y x i, pero no de g i. Es frecuente encontrar familias con g i = 0. Importante: las x i se observan, aún en el caso de hogares en donde g i = 0. Si la encuesta solo publica los hogares con g i > 0, entonces la muestra está truncada (no observamos las x i ). Ya discutimos que estimar β por MCO con estos datos no funciona. ¾Qué hacemos? Javier Alejo Econometría Avanzada 14

15 Distribuciones truncadas Necesitamos darle más estructura al modelo. En particular, supondremos u i N(0,σ 2 ). ¾Cómo afecta el truncamiento a una distribución? En términos generales, si Y es una variable aleatoria continua, la densidad de la distribución truncada es: f (y y > a) = f (y) Pr(y>a) donde a es el punto del soporte donde se da el truncamiento y f (y) es la densidad de Y. Javier Alejo Econometría Avanzada 15

16 Distribución Caso particular: Y N(µ,σ 2 ) f (y y > a) = y µ (1/σ)φ( σ ) 1 Φ( a µ σ donde z (y µ)/σ y α (a µ)/σ. La notación es la usual: ) = (1/σ)φ(z) 1 Φ(α) φ (b): es la densidad de una distribución normal estándar evaluada en un punto b del soporte. Φ (b): es la probabilidad acumulada (desde la izquierda) en una normal estándar hasta un punto b del soporte. Javier Alejo Econometría Avanzada 16

17 Distribución Javier Alejo Econometría Avanzada 17

18 Distribución Se puede demostrar que si Y N(µ,σ 2 ), entonces: donde α (a µ)/σ. E(Y Y > a) = µ + σ φ(α) 1 Φ(α) Resultado muy importante ya que informa sobre distintos aspectos del truncamiento. Nos dice: Dirección: si el truncamiento es a la izquierda, la media se corre a la derecha. Magnitud: mide el tamaño exacto del corrimiento. Factores: depende del punto de truncamiento a y de σ 2. Javier Alejo Econometría Avanzada 18

19 Distribución Javier Alejo Econometría Avanzada 19

20 Sesgo de MCO Consideremos el modelo lineal: y i = x i β + u i La insesgadez de MCO depende del supuesto de que E(u i x i ) = 0, o de forma similar de que: E(y i x i ) = x i β ¾Qué ocurre si estimamos sólo con las observaciones que cumplen y i > 0 (muestra truncada)? Pregunta equivalente: ¾qué ocurre con E(y i x i,y i > 0)? Javier Alejo Econometría Avanzada 20

21 Sesgo de MCO con truncamiento Supongamos que u i x i N(0,σ 2 ). Luego, E(y i x i,y i > 0) = E(x i β + u i x i,y i > 0) = x i β + E(u i x i,y i > 0) = x i β + E(u i x i,u i > x i β) = x i β + σ φ( x β/σ) i 1 Φ( x i β/σ) = x i β + σ φ(x β/σ) i Φ(x i β/σ) = x i β + σλ(x i β/σ) x i β Inversa del ratio de Mills: λ(z) φ(z) Φ(z) Javier Alejo Econometría Avanzada 21

22 Sesgo de MCO con censura Algo similar ocurre con el problema de censura en la variable dependiente. Consideremos el modelo de la variable latente: { y i = x i β + u i y i = max(0,y i ) Es decir: { y y i = i si y i > 0 0 si y i 0 Detalle: es fácil notar que si u i x i N(0,σ 2 ), entonces y i x i N(x i β,σ2 ). Javier Alejo Econometría Avanzada 22

23 Sesgo de MCO con censura Probabilidad de censura: Pr(y i = 0 x i ) = Pr(yi 0 x i ) = Pr(x i β + u i 0 x i ) = Pr(u i /σ x i β/σ x i) = 1 Φ ( x i β σ ) Complemento: es obvio Pr(y i > 0 x i ) = Φ ( ) x i β σ Javier Alejo Econometría Avanzada 23

24 Sesgo de MCO con censura Resultado útil: E(y x) = E(y x,y = 0) Pr(y = 0 x) + E(y x,y > 0) Pr(y > 0 x) = E(y x,y > 0) Pr(y > 0 x) Uniendo todos los resultados, E(y x) = [x i β + σλ(x i β/σ)]φ ( x i β σ ) x i β Notar que En el fondo, hay problema de especicación del modelo. En ambos casos (truncamiento y censura) la esperanza condicional es no lineal en x i. Javier Alejo Econometría Avanzada 24

25 Esperanza condicional (1) = x i β (2) = x i β + σλ(x i β/σ) (3) = [ x i β + σλ(x i β/σ)] Φ(x i β/σ) Javier Alejo Econometría Avanzada 25

26 El modelo Tobit Es un modelo para datos censurados. En realidad hay toda una familia de modelos para datos censurados (Amemiya, 1984). Información: contamos con (y i,x i ) para i = 1,...,n, que representa una muestra aleatoria independiente. Dos grupos: podemos particionar la muestra en aquellos con y i = 0 y los que tienen y i > 0. Importante: en ambos grupos x i es observable. Supuesto: normalidad. Sabemos que MCO sesgado. ¾Podemos pensar en alguna estrategia consistente? Javier Alejo Econometría Avanzada 26

27 Recordemos que: { 0 si y y i = y i i 0 si yi > 0 En realidad, y i x i es lo que se conoce como variable aleatoria mixta, donde el soporte tiene tramos continuos y discretos. Normalidad: suponiendo y i x i N(x i β,σ2 ), entonces: Tramo Tipo de VA Probabilidad/Densidad y i = 0 Discreta 1 Φ(x i β/σ) y i > 0 Continua (1/σ)φ(x i β/σ) Javier Alejo Econometría Avanzada 27

28 Estimación MV Construyamos la verosimilitud: L(β) = [1 Φ(x i β/σ)] (1/σ)φ(x i β/σ) i:y i =0 i:y i >0 = n [1 Φ(x i β/σ)](1 w i ) [(1/σ)φ(x i β/σ)]w i i=1 donde w i 1(y i > 0) es una función indicadora del argumento. Luego, la log-verosimilitud es: l(β) = n (1 w i )ln [1 Φ(x i β/σ)] + w iln [(1/σ)φ(x i β/σ)] i=1 que, bajo condiciones estándar, produce un máximo único utilizando métodos numéricos simples. Javier Alejo Econometría Avanzada 28

29 Regresión truncada En este caso no hay datos para las unidades censuradas (y i = 0). Por lo tanto, no es posible incluirlas en la regresión. Aún es posible construir una estrategia máximo verosímil. En este caso, la verosimilitud utiliza la densidad truncada: [ L(β) = n (1/σ)φ(x ] i β/σ) wi i=1 Φ(x i β/σ) donde, trivialmente, w i 1(y i > 0) = 1 para toda la muestra. El método de MV nos dará estimadores consistentes de los parámetros β y σ 2. La inferencia estadística se realiza con los procedimientos asintóticos usuales. Javier Alejo Econometría Avanzada 29

30 Tobit y Probit Notar que si multiplicamos y dividimos Φ(x i β/σ) en la L(β) del modelo Tobit obtenemos lo siguiente: L(β) = n i=1 [ 1 Φ(x i β/σ) ] [ (1 w i ) Φ(x i β/σ) w i (1/σ)φ(x i β/σ) }{{} Φ(x i β/σ) (1) ] wi } {{ } (2) con w i 1(y i > 0). Luego, pareciera que el Tobit es una suerte de combinación de dos modelos: Un Probit para la probabilidad de observar a y sin censura, dado por el segmento (1). Un modelo de regresión truncada solo con datos no censurados, dado por el segmento (2). Javier Alejo Econometría Avanzada 30

31 Coecientes El modelo Tobit da estimaciones consistentes de: β = E(y x) x Esto nos provee una interpretación de las derivadas parciales de la variable latente. No siempre la variable latente es interpretable (o interesante) y puede que el objetivo sea computar los efectos parciales sobre el promedio de la variable observada (censurada o truncada). Javier Alejo Econometría Avanzada 31

32 Esperanza truncada y censurada Esperanza de y truncada: en el caso de que u i N(0,σ 2 ), vimos que: E(y x,y > 0) = x β + σλ (x β/σ) Esperanza de y censurada: E(y x) = E(y x,y > 0)Pr(y > 0 x) Que bajo normalidad, esta expresión queda: E(y x) = Φ (x β/σ)[x β + σλ (x β/σ)] Javier Alejo Econometría Avanzada 32

33 Efectos parciales (regresores continuos) Noten que las derivadas parciales de E(y x) y E(y x,y > 0) no son constantes. Supongamos un x k continuo. En el caso de la esperanza con censura: E(y x) x k = Φ (x β/σ)β k Mientras que para la esperanza truncada: E(y x,y>0) x k = {1 λ (x β/σ)[x β + σλ (x β/σ)]}β k Javier Alejo Econometría Avanzada 33

34 Descomposición de McDonald y Mott Retomando el resultado anterior: E(y x) = Pr(y > 0 x)e(y x,y > 0) Derivemos usando la regla del producto: E(y x) x k = Pr(y>0 x) x k E(y x,y > 0) + Pr(y > 0 x) E(y x,y>0) x k Es decir, el efecto sobre variable censurada tiene dos componentes: Pr(y>0 x) 1 x k E(y x,y > 0): efecto de los que cambian de estado. 2 Pr(y > 0 x) E(y x,y>0) x : efecto de la distribución truncada. k Javier Alejo Econometría Avanzada 34

35 Ejemplo: modelo para las horas trabajadas Variable dependiente: horas trabajadas en todas las ocupaciones. Regresores: edad, educación, estado civil, cantidad de hijos menores y si es jefa del hogar. Muestra: datos de 6633 mujeres entre 15 y 60 años de edad, extraidas de la EPH 2014 (segundo semestre) para el Gran Buenos Aires. Censura: hay 3339 casos con horas igual a cero. Referencia: Gasparini, Marchionni y Sosa Escudero (2004). Javier Alejo Econometría Avanzada 35

36 Datos censurados en Stata El comando tobit permite estimar modelos de regresión con variable dependiente censurada. La sintaxis general es: tobit depvar [indepvars] [if], ll[(#)] ul[(#)] [options] La opción clave es: ll(#): indica el valor en donde la variable dependiente tiene censura inferior. ul(#): indica el valor en donde la variable dependiente tiene censura superior. Javier Alejo Econometría Avanzada 36

37 Estimación MCO Javier Alejo Econometría Avanzada 37

38 Javier Alejo Econometría Avanzada 38

39 Efectos parciales: sobre E(y x) Javier Alejo Econometría Avanzada 39

40 Efectos parciales: sobre E(y x,y > 0) Javier Alejo Econometría Avanzada 40

41 Descomposición de McDonald y Mott Javier Alejo Econometría Avanzada 41

42 Referencias Wooldridge, J. (2002) Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data, MIT Press. 1a. Edición. Capítulo 16 (16.1 a 16.4). 2a. Edición: Capítulo 17 (17.1 a 17.4). Cameron y Trivedi (2009), Microeconometrics Using Stata, Stata Press. Capítulo 16. Amemiya, T. (1984) Tobit models: A survey. Journal of Econometrics Volume 24, Issues 12, (pp. 3-61). Gasparini, L., Marchionni, M. y Sosa Escudero, W. (2004) Characterization of inequality changes through microeconometric decompositions. The case of Greater Buenos Aires, en Bourguignon, F., Lustig, N y Ferreira, F. (eds.), 2004 (pp ). Javier Alejo Econometría Avanzada 42