Tesis defendida por Adrián Misael León Sánchez y aprobada por el siguiente comité. Dr. Rogelio Vázquez González Director del Comité

Transcripción

1 Tesis defendida por Adrián Misael León Sánchez y aprobada por el siguiente comité Dr. Rogelio Vázquez González Director del Comité Dr. José Manuel Romo Jones Miembro del Comité Dr. Silvio Guido Lorenzo Marinone Moscheto Miembro del Comité Dr. Thomas Gunter Kretzschmar Miembro del Comité Dr. Antonio González Fernández Coordinador del programa del Posgrado en Ciencias de la Tierra Dr. David Hilario Covarrubias Rosales Director de la Dirección de Estudios de Posgrado 25 de Abril de 2013

2 CENTRO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA Y DE EDUCACIÓN SUPERIOR DE ENSENADA Programa de Posgrado en Ciencias en Ciencias de la Tierra Modelación en 3-D de acuíferos utilizando el método de las diferencias finitas Tesis para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias Presenta: Adrián Misael León Sánchez Ensenada, Baja California, México 2013

3 I Resumen de la tesis de Adrián Misael León Sánchez, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en Ciencias de la Tierra con orientación en Geociencias Ambientales Modelación en 3-D de acuíferos utilizando el método de las diferencias finitas Resumen aprobado por: Dr. Rogelio Vázquez González El agua es un recurso vital que requiere la atención inmediata para asegurar su conservación en términos de cantidad y calidad. Dado que las fuentes de agua superficial son muy limitadas, los recursos hidráulicos subterráneos son muy importantes; por lo que el estudio de estos recursos es necesario, empleando comúnmente para ello el modelado numérico de flujo de agua subterránea. Esta propuesta pretende implementar la generación de un algoritmo de modelado directo, basado en el esquema de discretización de diferencias finitas en tres-dimensiones (3-D) de las ecuaciones que gobiernan el flujo de agua subterránea, con la intención de simular y predecir el comportamiento de un acuífero, de flujo transitorio y flujo estacionario, así como la determinación de los parámetros geohidrológicos (por ejemplo, nivel freático del acuífero, dirección y magnitud del flujo de agua subterránea), todo lo anterior a partir de un modelo sintético del acuífero. Se hace uso del lenguaje de programación FORTRAN y se tiene contemplado el uso de visualizadores capaces de mostrar animaciones del comportamiento del acuífero en tiempo y en espacio. Este desarrollo no pretende competir con software comercial existente, sino proporcionar una herramienta propia, abierta a modificaciones, adaptaciones, etc., que pueda utilizarse por cualesquiera usuarios sin constituir una caja negra. Por otra parte el desarrollo del algoritmo pondrá de manifiesto las limitaciones y los problemas de la implementación numérica de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales con variaciones temporales y espaciales, así como con distintas condiciones de frontera. Palabras clave: Recursos Hidráulicos Subterráneos, Modelado Directo, Diferencias Finitas en Tres-Dimensiones.

4 II Abstract of the thesis presented by Adrián Misael León Sánchez, as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Earth Sciences with orientation in Environmental Geosciencies. Abstract approved by 3-D modeling of aquifers using the finite difference method Dr. Rogelio Vázquez González Water is a vital resource that requires immediate attention to ensure their conservation in terms of quantity and quality. As surface water sources are very limited, groundwater resources are very important, so the study of these resources is necessary, thereby commonly using numerical modeling of groundwater flow. This proposal aims to implement an algorithm to generate direct modeling, scheme based on the finite difference discretization of three-dimensional (3-D) of the equations governing the groundwater, with the aim to simulate and predict the behavior of an aquifer, of transient flow and steady flow, and the determination of the geohydrological parameters (for example, the water table aquifer, direction and magnitude of groundwater flow), all this from a synthetic model of aquifer. We used the FORTRAN programming language and it is planned to use software capable of displaying animations of the aquifer behavior in time and space. This development is not intended to compete with existing commercial software, but to provide a proprietary tool, opened to modifications, adaptations, etc., that can be used by others without constituting a black box. Moreover the development of the algorithm will highlight the limitations and problems of the numerical implementation of the solution of a system of differential equations with temporal and spatial variations, and with different boundary conditions. Key Words: Groundwater resources, Direct Modeling, Three-Dimensional Finite Differences.

5 III Dedicatoria A mis padres, Daniel Misael León Chávez y María Dolores Sánchez Fuentes, quienes poseen todo mi amor, respeto, reconocimiento y lealtad. A mis hermanos: Claudia y Héctor Rossana Paul y Mirla A mis sobrinos: Sebastián Esteban Héctor A toda mi familia. A todos ellos les agradezco infinitamente su cariño, comprensión, respeto y apoyo.

6 IV Agradecimientos Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económico que me brindó para realizar mis estudios de posgrado. Al Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada, Baja California (CICESE), por la formación académica y recursos que me proporcionó. Al Dr. Rogelio Vázquez González por haberme acogido en su grupo de trabajo y dedicarme parte de su valioso tiempo. A mi Comité de Tesis por el tiempo otorgado a este trabajo. Dr. José Manuel Romo Jones Dr. Silvio Guido Lorenzo Marinone Moscheto Dr. Thomas Gunter Kretzschmar Al personal académico de la División de Ciencias de la Tierra de CICESE por su total disposición en la transmisión de conocimiento. Al personal administrativo y técnico, cuyo arduo trabajo y dedicación son dignos de reconocer. Especialmente a Salvador, Nelly, Minerva, Ludmila, Anaid y Amalia, por haberme brindado su amistad y su tiempo. A mis amigos y compañeros de CICESE por los buenos momentos.

7 V Tabla de contenido Resumen... I Abstract... II Dedicatoria... III Agradecimientos... IV Tabla de contenido... V Lista de figuras... VIII Lista de tablas... XIII Capitulo 1. Introducción... 1 Capitulo 2. Metodología Física del flujo de agua subterránea Ley de Darcy Ley de Darcy en tres dimensiones Problemas dependientes del tiempo Acuíferos confinados Acuíferos no confinados Aspectos relevantes del método de diferencias finitas Diferencias finitas en una dimensión Aproximación por líneas rectas Aproximación por series de Taylor Aproximación en diferencias finitas en dos o tres dimensiones Modelo matemático analítico Convención de la discretización Ecuación en diferencias finitas 22

8 VI Aproximación explícita en diferencias finitas para la variación con respecto al tiempo Aspectos generales sobre los métodos iterativos Método iterativo de Gauss - Seidel Sobre Relajamiento Sucesivo (SOR) Iteraciones en la modelación desarrollada Simulaciones del estado estacionario Tipos de celdas y simulación de fronteras Simulación de los estreses Simulación de pozos de extracción o inyección de agua Simulación de recargas verticales (precipitación) Simulación de recargas laterales Simulación de la presencia de ríos Simulación de la presencia de drenajes Simulación del proceso de evapotranspiración (ET) Cálculo de gradiente hidráulico Diagrama de flujo 44 Capitulo 3. Resultados Pruebas con resultado previamente conocido Modelo con valores de PH constante en la frontera Simetría Modelo con frontera impermeable Prueba con las entradas al sistema iguales a las salidas del mismo Comparación con una solución analítica sencilla Comparación del algoritmo propuesto con MODFLOW Modelo con presencia de pozos de extracción de agua (Modelo 1) Modelo con la adición de la presencia de un río (Modelo 2)

9 VII Modelo con la adición de la presencia de un drenaje (Modelo 3) Modelo con la adición de la recarga por precipitación (Modelo 4) Modelo con la adición del proceso de evapotranspiración (Modelo 5) Resumen de diferencias relativas y tiempos de proceso Visualización de la información en tres-dimensiones Visualización del gradiente hidráulico Visualización 3-D del cambio de PH Modelo sintético del acuífero del Valle de Guadalupe, B. C., México Capitulo 4. Conclusiones ANEXOS. Uso del algoritmo desarrollado Archivo de parámetros de entrada Especificación del modelo a usar (flujo estacionario o de flujo transitorio) Especificación del número de renglones, de columnas y de capas del modelo Especificación de las dimensiones tiene cada celda Especificación de la posición espacial de cada celda Especificación de las celdas activas, cuales son las celdas inactivas y cuáles son las celdas con PH constante Especificación del modelo inicial de PH Especificación del modelo de conductividades hidráulicas Especificación de los estreses a los que será sometido el modelo Especificación de archivos con información de estreses para el caso estacionario.. 90 Especificación de archivos con información de estreses para el caso transitorio Otros archivos de entrada necesarios Salida de la información Salida de la información para el caso estacionario Salida de la información para el caso transitorio Referencias bibliográficas

10 VIII Lista de figuras Figura Pág. 1 Recipiente de sección constante por el que se hace circular agua 7 enchufándolo a un recipiente situado a un nivel de altura superior y constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en el experimento mantiene el caudal constante. Modificado de Wang (1982, p. 6). 2 Flujo para un volumen elemental de fluido. Modificado de Rushton, et 8 al. (1979, p. 13) 3 Representación gráfica del efecto de almacenamiento para acuíferos 11 confinados (a) y no confinados (b). Modificado de Rushton, et al. (1979, p. 16). 4 Variación representativa del PH en una sección de acuífero como a) 14 función continua y b) aproximación en diferencias finitas. Tomado de Rushton, et al. (1979, p. 27). 5 a) Rejilla en Tres-Dimensiones y b) determinación de coeficientes de 17 ecuaciones en diferencias finitas. Tomado de Rushton, et al. (1979, p. 31). 6 Discretización de un acuífero hipotético. Modificado de Harbaugh 21 (2005, p. 21) 7 Índices para las seis celdas adyacentes y que rodean a la celda i,j,k 24 (oculta). Modificado de McDonald et al. (1984, p. 14). 8 Flujo que entra a la celda i,j,k y que procede de la celda i,j-1,k. 24 Modificado de Harbaugh (2005, p. 23). 9 Hidrógrafo para la celda i,j,k. Modificado de Harbaugh (2005, p. 27) 29

11 IX 10 Iteración Gauss-Seidel. Las flechas indican el orden de iteración. Los 33 superíndices indican el número de iteración en el que se encuentra el proceso. Tomado de Wang, et al. (1982, p. 26). 11 Cálculos iterativos y distribución del PH. Modificado de Harbaugh 35 (2005, p. 30). 12 Acuífero discretizado, mostrando fronteras y designación de celdas. 38 Tomado de Harbaugh (2005, p. 33). 13 Discretización de dos ríos en segmentos. Algunos segmentos pequeños 42 son ignorados. Tomado de Harbaugh (2005, p. 81) 14 Diagrama de flujo del algoritmo desarrollado Modelo inicial cuya frontera tiene valores de PH constante. Solo se 48 muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro son idénticas. 16 Modelo conformado en su totalidad por el valor 100. Ver escala de 49 color. 17 Modelo inicial con la ubicación de un pozo (celda color amarillo). Solo 50 se muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro son idénticas. 18 Resultados arrojados por el algoritmo propuesto donde se aprecia la 51 simetría que guarda la información con respecto a los ejes de simetría 19 Modelo con frontera impermeable, celda con PH constante (celda color 52 rojo) y geometría irregular. Solo se muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro tienen la misma configuración. 20 Resultado del proceso iterativo del modelo con frontera impermeable y 53 geometría irregular. 21 a) Ubicación de las celdas donde se asignaron las recargas laterales 54 (celdas color amarillo) y de las celdas donde llevó a cabo el cálculo del volumen que sale del sistema (celdas color rojo). b) Parte del archivo de control donde se muestra el cálculo de las entradas y el cálculo de las salidas (Recuadro rojo). 22 Modelo en 2-D con solución analítica simple (Ecuación 48) 55

12 X 23 Modelo inicial que representa un cambio en el PH y cuyos resultados 56 finales se compararon con los datos de la Tabla 1. Solo se muestra la primera capa del modelo 24 Resultados de la versión 3-D del modelo con solución analítica sencilla Modelo inicial y ubicación de pozos de extracción de agua Modelo que muestra la posición del río en celdas color azul Modelo que muestra la posición del drenaje en celdas color gris Modelo inicial usado para mostrar la variación del gradiente hidráulico 64 generado a partir de un pozo de extracción de agua 29 a) Dirección del gradiente hidráulico debido a la presencia de un pozo 65 de extracción de agua y de dos zonas impermeables (Vista superior). b) Dirección del gradiente hidráulico debido a la presencia de un pozo de extracción de agua y de dos zonas impermeables (Vista lateral). 30 Dirección del gradiente hidráulico para cada uno de los 12 periodos de 66 estrés a los que fue sometido el modelo. 31 Modelo inicial usado para la demostración de los cambios en el PH 67 debido a los diferentes periodos de estrés a los que fue sometido el modelo. Celdas color gris representan celdas con PH constante, la celda amarilla muestra la posición del pozo. 32 a) Estrés 01: 00 días 04 hrs 48 min; b) Estrés 02: 00 días 07 hrs 41 min; 68 c) Estrés 03: 00 días 12 hrs 12 min; d) Estrés 04: 00 días 19 hrs 42 min; e) Estrés 05: 01 días 07 hrs 26 min; f) Estrés 06: 02 días 02 hrs 24 min; g) Estrés 07: 03 días 08 hrs 38 min; h) Estrés 08: 05 días 08 hrs 53 min 33 Modelo de conductividades hidráulicas [LT -1 ]. a) Vista superior, b) 70 Vista inferior, c) Vista frontal, d) Vista trasera, e) Vista lateral izquierda, f) Vista lateral derecha 34 Diferentes ángulos, vistas y perspectivas del modelo de conductividades 71 hidráulicas [LT -1 ]. 35 Avistamiento de la información gracias a cortes, planos y acercamientos del modelo 72

13 XI 36 PH del modelo estacionario. Este modelo será usado como inicial para cuando inicie el cálculo del modelo de flujo transitorio. 37 Cambio de los niveles de PH. Notese como los niveles disminuyen conforme pasa el tiempo. a) Estrés 30: 60 meses; b) Estrés 60: 120 meses; c) Estrés 90: 180 meses; d) Estrés 120: 240 meses. 38 Cambio en los niveles de PH y cambio en la dirección del gradietne hidráulico. a) Estrés 30: 60 meses; b) Estrés 60: 120 meses; c) Estrés 90: 180 meses; d) Estrés 120: 240 meses. 39 Contenido del archivo INPUT.TXT, el cual contiene todos los parámetros de entrada de un modelo. 40 Información contenida en el archivo GX.txt. El tamaño de todas las celdas en la dirección X es de 500 metros. Solo se muestra la primer capa del modelo. 41 Información contenida en el archivo GY.txt. El tamaño de todas las celdas en la dirección Y es de 500 metros. Solo se muestra la primer capa del modelo 42 Información contenida en el archivo GZ.txt. El tamaño de todas las celdas en la dirección Z es de 20 metros. Solo se muestra la primer capa del modelo 43 Primera capa del archivo GPOSX.TXT. Las restantes 8 capas son idénticas 44 Primera capa del archivo GPOSY.TXT. Las restantes 8 capas son idénticas 45 Primeras dos capas del archivo GPOSZ.TXT. Nótese que la posición de las capas está referenciada con respecto al nivel medio del mar 46 Actividad o inactividad de las celdas del modelo. El caracter 0 indica la inactividad de la celda, mientras que el carácter 2 indica que la celda es activa. Poner atención en los tres caracteres 1 ubicados en la esquina inferior izquierda de la figura. Esta figura representa a la capa número cuatro del modelo

14 XII 47 Modelo inicial de PH. Poner atención en los tres valores de ubicados en la esquina inferior izquierda. Los valores 100 serán modificados, dado que corresponden a celdas activas 48 Modelo de conductividades hidráulicas. Se puede observar la 89 heterogeneidad del medio. Se muestra solamente la capa 4 del modelo 49 Configuración de los archivos que contienen la información para los 91 estreses: Recarga lateral, presencia de pozos, evapotranspiración, presencia de ríos, presencia de drenajes 50 Interior del archivo GSTR.TXT Capas 2 y 3 del modelo utilizado. Las celdas amarillas representan 93 aquellas celdas que están expuestas a la intemperie en cada capa 52 Configuración interna del archivo GFLUJO.TXT establecido en la línea del archivo INPUT.TXT 53 Primera capa del archivo GS.TXT que especifica los valores del coeficiente de almacenamiento del modelo 96

15 XIII Lista de tablas Tabla Pág. 1 Resultados obtenidos a partir de la evaluación de la ecuación (48) 55 2 Diferencias relativas máximas encontradas y tiempos de proceso de 62 MODFLOW y del algoritmo desarrollado.

16 1 Capitulo 1. Introducción En muchas regiones del planeta, el abastecimiento de agua potable para los diferentes usos está condicionado al buen manejo de los recursos hidráulicos subterráneos, debido a que, por sus características climáticas y/o geográficas, éstos no disponen de fuentes de agua superficial en cantidad suficiente para satisfacer la demanda. La importancia del agua subterránea ha inducido el desarrollo de investigación científica y tecnológica para entender los fenómenos relacionados con este tema; y para disponer de metodologías que aporten soluciones a los problemas de flujo, el almacenamiento y la calidad del agua en el subsuelo (Vázquez, 2002). Las herramientas tradicionales para estudiar el flujo de agua subterránea, como la mayoría de las transformaciones de materia y energía en las ciencias naturales, son las leyes de la física, que se deducen de la observación sistemática del fenómeno. A éstas, se les da forma para su cuantificación mediante ecuaciones matemáticas y son validadas en casos reales con mediciones de campo. El estudio del agua subterránea no ha quedado fuera de la generación de modelos matemáticos y físicos. En general un modelo matemático que representa a un sistema geohidrológico consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen la relación entre las propiedades físicas del sistema y su respuesta a las modificaciones en las condiciones de operación. El modelo se define en forma particular al establecer las condiciones de frontera, que representan la interacción del sistema con su entorno. La repuesta a los cambios en las condiciones de operación del acuífero, se manifiesta a través de variables medibles, tales como el nivel del agua en los pozos, también llamado en la literatura potencial hidráulico (PH) o nivel piezométrico (que es función de la conductividad hidráulica del medio poroso), la precipitación, porcentaje de infiltración del agua al subsuelo, entre otras. Las modificaciones pueden producirse por causas naturales, como el efecto de un periodo de sequías, disminuyendo así el nivel freático, o inducidas por el manejo y aprovechamiento de los recursos hidráulicos mediante pozos de bombeo (Vázquez, 2002).

17 2 En la construcción de un modelo, siempre es necesario hacer suposiciones para simplificar la representación matemática de las condiciones de campo que, para un caso real, son demasiado complicadas para ser representadas exactamente por el modelo. Usualmente, las suposiciones necesarias para resolver un modelo matemático con soluciones analíticas, son válidas solamente para casos particulares caracterizados por su simplicidad y de aplicación limitada a condiciones reales. Con el uso de las computadoras digitales de alta velocidad se han desarrollado lo que se conoce como simuladores o modelos numéricos del flujo de agua subterránea. En un sentido amplio, un modelo numérico es un conjunto de elementos estructurados para representar una versión simplificada del sistema real. Para el caso del agua subterránea, un modelo numérico del flujo es una representación, por medio de elementos interpretables por la computadora, de la geometría del sistema geohidrológico, las propiedades físicas de los materiales que lo integran y las ecuaciones del modelo físico que lo gobierna. Los modelos numéricos han ganado popularidad debido a la versatilidad para adaptarse a diferentes tipos de condiciones de campo. La simulación numérica del flujo de agua subterránea se usa extensivamente para estudiar los efectos de decisiones de manejo y aportar elementos de juicio para decidir las acciones tendientes a conservar la cantidad y calidad del agua subterránea. Se puede utilizar un modelo numérico para predecir y evaluar los posibles efectos de diferentes programas de manejo y las condiciones del acuífero, por ejemplo, la ubicación de una zona de pozos de bombeo y el volumen extraído. La confiabilidad de las predicciones que puedan obtenerse mediante la modelación en computadora de un acuífero, dependerá de qué tan bien represente el modelo a las condiciones de campo. Los simuladores de flujo requieren, en todos los casos, la información sobre las propiedades físicas del sistema geohidrológico que se pretende estudiar, tales como la conductividad hidráulica y el coeficiente de almacenamiento de los materiales del medio natural. Es esencial contar con datos de campo suficientes, en cantidad y calidad, cuando se utiliza un modelo para hacer proyecciones de la evolución del sistema geohidrlógico a futuro (Wang y Anderson, 1982). Para estudiar los problemas relacionados al manejo de acuíferos en casos reales, por lo general, se utilizan métodos numéricos para implementar la solución del modelo

18 3 matemático en los simuladores del flujo de agua subterránea. Los métodos más utilizados para la simulación son el de diferencias finitas y el de elementos finitos. En ambos casos se requiere subdividir la región que ocupa el acuífero (el dominio del problema) en celdas o elementos definidos por líneas que unen puntos nodales. En el método de diferencias finitas se utilizan celdas rectangulares y se supone que las propiedades del acuífero son constantes dentro de cada celda y están definidas por un valor asignado en el punto nodal que define la celda. El método de elementos finitos utiliza diferentes formas geométricas para discretizar el medio, siendo los triángulos el caso más simple. El objetivo de la modelación es calcular el valor de las variables que representan la respuesta del sistema a un cambio de estado en las condiciones de operación del acuífero. La solución se obtiene en los puntos nodales previamente establecidos en el proceso de la discretización del dominio de flujo. Esto es lo que se entiende como la solución de sistemas con parámetros distribuidos en forma discreta (Vázquez, 2002). Cuando se usa la aproximación en diferencias finitas para la implementación de simuladores numéricos del flujo de agua subterránea, la geometría del acuífero se discretiza en celdas o bloques homogéneos. Los criterios para la selección del tamaño de las celdas son, por un lado, la cantidad y distribución de información disponible, en cuanto a las propiedades físicas y condiciones de operación del acuífero y, por otro, el tipo y la densidad de información que se pretende generar mediante la simulación del sistema geohidrológico. Una vez hecha la selección del tamaño de las celdas, no necesariamente constante en todo el dominio del flujo, se fija la escala de la discretización, esto es, la resolución espacial de la respuesta del modelo. Esta resolución determina el tamaño mínimo que debe tener la manifestación de algún fenómeno para que pueda ser reproducido por el modelo (Bierkens y Henk, 1994). Se han realizado trabajos, tales como el de Campos (2008) y Gil (2010), donde se aborda la problemática de la modelación de acuíferos en dos dimensiones (2-D) a partir del esquema de discretización de diferencias finitas. En ambos trabajos la generación de un algoritmo de modelación ha sido necesaria para el desarrollo de los mismos. Dicho esquema en 2-D ha resultado de mucha utilidad dado que ha permitido generar resultados acordes con la

19 4 realidad, debido a que los acuíferos modelados generalmente son espacialmente mucho más extensos en su dimensiones horizontales que en sus dimensiones verticales. Sin embargo, la velocidad y capacidad de las computadoras actuales permiten generar algoritmos capaces de llevar a cabo una modelación de acuíferos en tres dimensiones (3-D) bajo el mismo esquema de diferencias finitas. Existen aplicaciones comerciales, tales como MODFLOW, software generado y utilizado por el Servicio Geológico de los Estados Unidos, con el cual es posible resolver modelos bajo el esquema de las diferencias finitas en 3-D. En este trabajo se generó un algoritmo numérico que utiliza parámetros geohidrológicos para construir simulaciones numéricas en 3-D del flujo de agua subterránea, para acuíferos confinados y no confinados, tanto para el caso de flujo transitorio como para el caso de flujo estacionario. Se utiliza un esquema de discretización de diferencias finitas para la solución del problema directo. La implementación de este algoritmo permite llevar a cabo modificaciones e implementar módulos capaces de incorporar nuevos parámetros, simulaciones y/o nuevas problemáticas. El algoritmo se prueba haciendo uso de modelos sintéticos, los resultados de nuestra modelación se comparan con los resultados de la modelación a partir de software comercial, específicamente comparaciones con MODFLOW. La presentación de los resultados se lleva a cabo en visualizadores 3-D, capaces de mostrar la geometría, propiedades del medio poroso con diferentes perspectivas o ángulos de visualización, además del uso de animaciones del comportamiento del acuífero tanto en tiempo como en espacio. El Capítulo 2 de éste documento inicia con la presentación los aspectos teóricos, las ecuaciones fundamentales y la solución numérica en la cual está basado el algoritmo desarrollado. También se presentan las condiciones que se deben cumplir para simular los diferentes tipos de estrés (precipitación, inyección o extracción de agua por medio de pozos de bombeo, recargas laterales, presencia de ríos, presencia de drenajes y procesos de evapotranspiración), así como el cálculo del gradiente hidráulico. En el Capítulo 3 se presentan todas las pruebas a las que fue sometido el algoritmo propuesto, con las cuales se valida su funcionamiento. Al inicio del capítulo las pruebas

20 5 que se llevaron a cabo corresponden a situaciones que podrían denominarse de resultado previamente conocido o esperado, según la situación. El capítulo continúa con la comparación de los resultados arrojados por el algoritmo desarrollado y los resultados arrojados por MODFLOW. Dicha comparación arroja una diferencia relativa (en %) entre ambos resultados, el cual ayuda a validar también el buen funcionamiento del algoritmo propuesto. En la parte final del capítulo se modela la respuesta en tiempo y en espacio de un acuífero con geometría y propiedades físicas, que pueden considerarse semi-reales, que es sometido a diferentes tipos de estrés. El Capítulo 4 presenta las conclusiones finales obtenidas a partir del desarrollo de este trabajo. En ANEXO de este documento se incorpora un manual de usuario del algoritmo desarrollado, en el cual se indica la manera correcta de ingresar la información así como los archivos que serán creados por el mismo.

21 6 Capitulo 2. Metodología 2.1 Física del flujo de agua subterránea Ley de Darcy Henry Philibert Gaspard Darcy fue un ingeniero francés que hizo varias contribuciones a la Hidráulica. Darcy se propuso encontrar experimentalmente los factores que gobiernan el flujo de agua a través de un filtro de arena (Figura 1). Él midió la descarga cronometrando la velocidad a la que el agua llena una pileta de un metro cuadrado, y midió la caída de PH en la arena. Darcy definió PH a la altura, relativa a la elevación de la parte más baja de la arena, en la cual el agua se eleva en cada tubo en forma de U. Aunque Darcy usó manómetros llenos de mercurio, él siempre reportó sus datos de PH en términos de la altura equivalente de agua Por una serie de experimentos, Darcy estableció que, para un tipo de arena, el volumen de la descarga Q es directamente proporcional a la caída de PH, h 2 -h 1, y al área de la sección transversal A, pero inversamente proporcional a la diferencia de longitudes l 2 l 1. Llamando a la constante de proporcionalidad K, conductividad hidráulica, la Ley de Darcy está dada por: = h h. (1) El signo negativo significa que el agua fluye en la dirección de la pérdida de PH (Wang, 1982) Ley de Darcy en tres dimensiones Es necesario generalizar el PH en función de las tres coordenadas espaciales, esto es, h=h(x, y, z), y también generalizar dh/dl, la razón de cambio de PH con la posición, a las tres dimensiones. Se supone un medio poroso isotrópico y se supone también que la razón de descarga Q no es dependiente del tiempo.

22 7 Figura 1. Recipiente de sección constante por el que se hace circular agua enchufándolo a un recipiente situado a un nivel de altura superior y constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en el experimento mantiene el caudal constante. Modificado de Wang (1982, p. 6). Se define q=q/a como la razón volumétrica de flujo por unidad de área. La cantidad q es llamada descarga específica. En el límite, cuando la caída de PH, h 2 -h 1, ocurre sobre un intervalo l 2 -l 1 cada vez más pequeño, se puede escribir la ley de Darcy en la forma diferencial: = h. (2) La descarga específica q tiene unidades de velocidad y es conocida también como la velocidad de Darcy. La generalización en 3-D de la Ley de Darcy requiere que la forma en una dimensión, ecuación (2), sea verdadera para cada uno de los componentes de flujo, x, y y z:

23 8 = h, = h, = h. (3) Hay que notar que las derivadas espaciales son derivadas parciales, debido a que el PH es ahora función de las tres coordenadas espaciales. La ecuación (3) puede ser escrita en notación vectorial como: = h. (4) El vector velocidad q tiene componentes q x, q y y q z, y el vector gradiente grad h tiene componentes h/, h/ y h/. Dado que cada componente de q es el mismo múltiple escalar, K, del componente correspondiente de (- grad h), los vectores q y (-grad h), ambos apuntan en la misma dirección. Esta conclusión sigue de la suposición de isotropía (Wang, 1982) Flujo en estado estacionario Considerando el flujo en estado estacionario a través de un volumen elemental de espacio (Figura 2) y asumiendo que el fluido es incompresible y que se filtra de tal manera que los poros en el subsuelo son incompresibles, el principio de conservación de la masa estipula que la suma del flujo de masa entrando al cubo es igual a la suma del flujo de masa que sale del cubo. Figura 2. Flujo para un volumen elemental de fluido. Modificado de Rushton, et al. (1979, p. 13)

24 9 En el punto central P(x = y = z = 0) de un elemento (Figura 2), las velocidades son q x, q y y q z. Consecuentemente en el plano =, la velocidad en la dirección x es: La razón de volumen total de flujo de agua que entra al elemento a través del plano, está dada por la velocidad multiplicada por el área, De forma similar, la razón de volumen total de flujo que abandona el elemento a través del plano =+ está dada por +. 2 De esta manera la razón neta de volumen total de flujo que hay en el elemento debido al flujo en la dirección x es. Expresiones similares pueden obtenerse para las direcciones y y z, y por lo tanto la razón de volumen total de flujo que deja el elemento es + +. (5a) De acuerdo al principio de conservación esto debe ser igual a cero, por lo tanto: + + =0. Esta es la ecuación de continuidad para el estado estacionario. Diferenciando cada una de las ecuaciones (3) con respecto a x, y y z respectivamente y sustituyendo en la ecuación (5b), se tiene (Rushton et al., 1979): (5b) h + h + h =0. (6)

25 Condiciones de frontera Los diferentes tipos de condiciones de frontera que pueden aplicar en estado estacionario pueden ser agrupadas como sigue (Rushton et al., 1979): a) El PH toma valores conocidos en la frontera. b) Para una frontera impermeable no hay cruce de agua por la frontera. Dado que el flujo es proporcional al gradiente de potencial, esta condición se satisface al establecer h/ =0, donde n apunta en dirección normal a la frontera. c) Una condición similar aplica cuando la magnitud del flujo que cruza la frontera es conocida. Esto es representado por el gradiente normal h/ = - (velocidad normal a la frontera dividido por la permeabilidad normal a la frontera). d) En una superficie libre estacionaria, la posición actual de la frontera es conocida, pero dos condiciones deber ser satisfechas simultáneamente en la frontera. La primera condición es que ningún flujo cruza la frontera, puesto que h/ =0; y la segunda es que la presión es atmosférica, h = z. Algunas de estas condiciones pueden mantenerse tanto en fronteras internas como externas. Condiciones a), b) y c) también aplican para problemas dependientes del tiempo, pero superficies libres dependientes del tiempo requieren una definición más compleja que la que se dio en d) Problemas dependientes del tiempo En muchos problemas de flujo de agua subterránea, la variación del PH con el tiempo es de significancia considerable. Al considerar problemas dependientes del tiempo, es importante tomar en cuenta de forma separada los dos mecanismos alternativos para acuíferos confinados y acuíferos no confinados.

26 Acuíferos confinados Para acuíferos confinados, Figura 3a, una caída en el PH del agua subterránea de h resulta en una reducción de la presión. El volumen de agua liberado por unidad de volumen del acuífero debido a un decremento en el PH es denominado el coeficiente de almacenamiento específico, S s (Rushton et al., 1979). Figura 3. Representación gráfica del efecto de almacenamiento para acuíferos confinados (a) y no confinados (b). Modificado de Rushton, et al. (1979, p. 16). Al examinar el balance de masa para un elemento saturado en un acuífero confinado, indica que ambos, la compresibilidad del agua y el cambio en el volumen del poro, debido a la compresión vertical del acuífero, contribuyen al almacenamiento específico. Así el almacenamiento específico es función de la densidad del agua, la porosidad, el volumen de compresibilidad del poro y la compresibilidad del agua. Aunque se puede escribir una expresión para el almacenamiento específico, su magnitud es usualmente determinada por pruebas de campo. Usualmente S s se encuentra en el rango 10-5 a 10-7 [m -1 ]. Hay que notar que el almacenamiento específico aplica a todo el volumen saturado del acuífero. La ecuación diferencial que incluye el efecto del almacenamiento específico puede ser derivada al extender la formulación hecha para el estado estacionario. Dado que los efectos

27 12 de la compresibilidad y cambios de densidad son incluidos en el coeficiente de almacenamiento específico, es permisible continuar trabajando en términos de la conservación de volumen. Siguiendo la derivación de la ecuación (5a), el volumen neto que deja el elemento del acuífero durante un tiempo δt debido al cambio de velocidades es igual a: + +. Durante el incremento de tiempo δt, el potencial del agua subterránea en el punto P se incrementa por un δh, así el volumen de agua tomado en almacenamiento debido a este incremento en el potencial es: h. Por el principio de continuidad estas dos cantidades deben sumar cero, por lo tanto en el límite: + + = h. Substituyendo por q x, q y y q z de la ecuación (3) lleva a la ecuación diferencial h + h + h = h. (7) Note que esta ecuación se mantiene para cualquier elemento dentro del acuífero saturado (Rushton et al., 1979) Acuíferos no confinados En un acuífero no confinado, Figura 3b, dos mecanismos aplican. Debido a la compresibilidad del acuífero y del agua, el coeficiente de almacenamiento específico aplica a todos los elementos dentro de la porción saturada del acuífero. Además, la caída de la superficie libre de agua lleva a una desecación del acuífero. Una unidad de caída en la superficie libre resulta en una liberación de agua del almacenamiento igual a S y por unidad de área plana, donde S y es el rendimiento específico. El rendimiento específico es a veces conocido como la porosidad efectiva. Debido a efectos complejos cuando la capa de agua

28 13 se mueve, tales como el borde de capilaridad y el aire atrapado, es recomendable estimar el rendimiento específico a partir de observaciones en la respuesta del acuífero. La liberación de agua debido al rendimiento específico ocurre en la superficie libre, a diferencia del efecto del almacenamiento específico el cual es distribuido uniformemente a través del volumen saturado del acuífero. De los dos mecanismos, solo el almacenamiento específico es incluido en la ecuación diferencial que describe la conservación de volumen, [ecuación (7)]. El rendimiento específico, el cual resulta del movimiento de la superficie libre, está incluido como una condición de frontera (Rushton et al., 1979). 2.2 Aspectos relevantes del método de diferencias finitas Las ecuaciones que describen a los problemas más prácticos de movimiento de agua subterránea no pueden ser resueltas por medios analíticos, a menos de que se introduzcan simplificaciones considerables. Sin embargo, pueden obtenerse soluciones numéricas para esas ecuaciones. Uno de los métodos numéricos primeramente usados con éxito fue la aproximación por diferencias finitas (Richardson, 1911). Aunque otros métodos, como el elemento finito (Zienkiewicz, 1977) y elemento en la frontera (Liggett, 1977), han sido introducidos, la simplicidad y flexibilidad del método de las diferencias finitas hace confiable el uso de éste método para aquellos que no son especialistas en el análisis numérico. Otra característica favorable del método de las diferencias finitas es que las nolinealidades que surgen a partir de cambios en los valores de los parámetros, tal como el cambio entre los estados confinados y no confinados, pueden ser incluidas sin dificultad Diferencias finitas en una dimensión Si el flujo es predominante en una dirección, entonces la idealización en una dimensión es usada y la ecuación básica para acuíferos confinados y no confinados se puede reescribir como:

29 14 h(, ) h(, ) = (, ), (8) donde W(x,t) es flujo de entrada al acuífero debido a recargas y movimiento de agua en la superficie. Por lo tanto, puede derivarse de (8) que el flujo estacionario en un acuífero de conductividad hidráulica constante que se incrementa debido a recargas en una dimensión es: h( ) = ( ), (9) donde h(x) es el PH, K es la conductividad hidráulica, y W(x) es el flujo por unidad de área. Para establecer la aproximación en diferencias finitas de las ecuaciones anteriores, se consideran dos métodos: 1) por líneas rectas y 2) por Series de Taylor (Rushton, et al., 1979) Aproximación por líneas rectas Una variación representativa de PH en una sección del acuífero está representada en la Figura 4. La función se representa por puntos discretos de PH, posicionados a intervalos de x (Figura 4b). Los PH desconocidos son escritos como h -1, h 0, h 1, etc. Figura 4. Variación representativa del PH en una sección de acuífero como a) función continua y b) aproximación en diferencias finitas. Tomado de Rushton, et al. (1979, p. 27).

30 15 La aproximación de los valores de las pendientes en puntos intermedios pueden ser calculados como: h = h h, h = h h, donde los sufijos +1/2 y -1/2 significan distancias de a cada lado del nodo O. La segunda diferencial puede ser escrita como h = h = h h = (h 2h +h ). (10) Por lo que, la ecuación diferencial (9) puede ser escrita según la ecuación algebraica (Rushton, et al., 1979): h 2h +h =. (11) Aproximación por series de Taylor La aproximación por diferencias finitas puede ser identificada al considerar series de Taylor: h =h + 1! h + h 2! + h 3! + h 4! + (12) h =h 1! h + h 2! h 3! + h 4! + (13) sumando se tiene que: por lo tanto: Los términos: h 2h +h = h + h 12 +, h = 1 (h 2h +h ) h (14)

31 16 h 12 + son denominados error de truncado, para ciertos problemas el error de truncado es igual a cero; entonces la solución en diferencias finitas es idéntica a la solución teórica. (Rushton, et al., 1979) Aproximación en diferencias finitas en dos o tres dimensiones Aproximaciones en dos o tres dimensiones pueden ser derivadas directamente usando las series de Taylor y tomando el caso general de las tres dimensiones mostrado en la Figura 5a) se tiene que h h h + + = 1 (h 2h +h )+ 1 (h 2h +h )+ + 1 (h 2h +h ). Los puntos nodales no están siempre uniformemente espaciados, por lo que se requiere un tratamiento especial en diferencias finitas. Varias aproximaciones son posibles. El objetivo es crear una solución aproximada en diferencias finitas para la expresión general en 3-D del flujo en un acuífero de conductividad hidráulica constante, cuya expresión es: (15) h h h + + =. (16) Usando el área sombreada de la Figura 5b) y las pendientes en la mitad de los nodos 3 y 0, y 0 y 1 son respectivamente (h 0 -h 3 )/ x b y (h 1 -h 0 )/ x a. Por lo tanto, se tiene que: h 2 = h h h h, + h 2 = h h h h, + (17) h 2 = h h h h, +

32 17 Figura 5. a) Rejilla en Tres-Dimensiones y b) determinación de coeficientes de ecuaciones en diferencias finitas. Tomado de Rushton, et al. (1979, p. 31). Multiplicando estos términos por 0.25( x a + x b )( y a + y b )( z a + z b ) y sustituyendo en la ecuación (16) queda (Rushton, et al., 1979): ( + )( + ) h h h h ( + )( + ) h h h h ( + )( + ) h h h h = 2 = 0.25 ( + )( + )( + ) Estas expresiones tienen significado físico. Considerando el área sombreada de la figura 5b); para los nodos 0 1, la expresión (h 1 h 0 ) área sombreada / distancia entre nodos, donde el área sombreada es igual a 0.5( y a + y b ) y la distancia entre los nodos es igual a x a, es equivalente al primer término de la ecuación en diferencias finitas [ecuación (18)]. De esta manera los coeficientes para problemas en una, dos o tres dimensiones pueden ser deducidas a partir del área de la sección y la distancia entre nodos.. (18)

33 Modelo matemático analítico El movimiento en tres-dimensiones de agua de densidad constante a través de un material poroso en el interior de la tierra pude ser descrito por la ecuación diferencial parcial siguiente (Harbaugh, 2005): donde: K x, K y y K z h W h + h + h + = h, (19) son valores de conductividad hidráulica a lo largo de los ejes coordenados x, y y z, los cuales se suponen paralelos a los ejes principales de anisotropía de la conductividad hidráulica (LT -1 ); es el PH (L); es un flujo volumétrico por unidad de volumen que representa fuentes o sumideros de agua, con W<0 para flujos que salen del sistema agua-tierra, y W>0 para flujos que entran al sistema (T -1 ); es el almacenamiento específico del material poroso (L -1 ); t es tiempo (T). A diferencia de la ecuación (7), la cual considera solamente el flujo de agua que entra y salé de la celda unitaria y que proviene de las celdas circundantes, la ecuación (19) considera los volúmenes de agua que entran y salen del sistema debido a los diferentes estreses a los que es expuesto el modelo (precipitación, ríos, drenajes, pozos, etc.). En general, S s, K x, K y y K z pueden ser funciones del espacio (S s = S s (x,y,z), K x = K x (x,y,z), K y = K y (x,y,z), K z = K z (x,y,z)) y W puede ser función de tiempo y espacio (W = W(x,y,z,t)). La ecuación (19) describe el flujo de agua subterránea bajo condiciones de no equilibrio en un medio heterogéneo y anisotrópico, siempre que los ejes principales de conductividad hidráulica estén alineados con los ejes coordenados del sistema de referencia utilizado. La ecuación (19), junto con la especificación de las condiciones de flujo y/o PH, constituye una representación matemática del un sistema de flujo de agua subterránea. Una solución de la ecuación (19), en un sentido analítico, es una expresión algebraica, dada h(x,y,z,t) tal que, cuando se sustituyen en la ecuación (19) las derivadas de h con respecto al espacio y

34 19 tiempo, se satisfacen la ecuación y sus condiciones iniciales y de frontera. Una distribución de PH de esta naturaleza, y que varía en el tiempo, caracteriza el sistema de flujo, el cual mide tanto la energía del flujo y el volumen de agua almacenada, y pude ser usado para calcular direcciones y tasas de movimiento. Exceptuando a sistemas muy simples, las soluciones analíticas de la ecuación (19) son raramente posibles, así que algún método numérico debe emplearse para obtener soluciones aproximadas. Uno de ellos es el método de diferencias finitas, donde el sistema continuo descrito por la ecuación (19) es remplazado por un grupo finito de puntos discretos en el espacio y tiempo, y las derivadas parciales son reemplazadas por términos calculados a partir del las diferencias en valores de PH en dichos puntos. El proceso lleva a sistemas de ecuaciones simultáneas en diferencias, algebraicas y lineales; su solución ofrece valores de PH en puntos y tiempos específicos. Estos valores constituyen una aproximación a la variación con el tiempo de la distribución del PH que sería dada por una solución analítica de la ecuación diferencial parcial de flujo. La diferencia finita análoga de la ecuación (19) puede ser derivada aplicando las reglas del cálculo diferencial, sin embargo, se usa un método alternativo para ayudar a simplificar el tratamiento matemático y explicar el procedimiento computacional en términos de conceptos físicos familiares relacionados con el sistema de flujo (Harbaugh, 2005). 2.4 Convención de la discretización La Figura 6 muestra una discretización parcial de un sistema-acuífero con una rejilla de bloques llamados celdas, cuyas localizaciones están descritas en términos de renglones, columnas y capas. Se usa un sistema indexado i, j, k. Para un sistema que consiste de N renglones, M columnas y O capas, i es el índice para las renglones, i = 1,2,.,N; j es el índice para las columnas, j = 1,2,., M; k es el índice para las capas; k = 1,2,., O. Por ejemplo, la Figura 6 muestra un sistema con N = 5, M= 9, y O= 5. En la formulación de las ecuaciones del modelo, se hace una suposición, que las capas generalmente corresponden a unidades de horizontes geológicos. Así, en términos de coordenadas cartesianas, el índice k denota cambios a lo largo de la vertical, z; porque la convención seguida en este modelo es

35 20 nombrar capas de arriba hacia abajo, un incremento en el índice k corresponde a un decremento en la elevación. Similarmente, los renglones se consideran paralelos al eje x, así que incrementos en el índice de renglones, i, correspondería a decrementos en y; y las columnas son consideradas paralelas al eje y, así que incrementos en el índice de columnas, j, corresponde a incrementos en x. Estas convenciones fueron seguidas en la construcción de la Figura 6, si solo se requiere que los renglones y columnas caigan a lo largo de direcciones ortogonales consistentes con las capas, y no se requiere la designación de ejes coordenados, x, y y z (Harbaugh, 2005). Dentro de cada celda hay un punto llamado nodo en el cual el PH debe ser calculado. Puede usarse muchos esquemas para localizar los nodos en las celdas, sin embargo, la ecuación de diferencias finitas que se desarrolla en las siguientes secciones, usa la formulación de bloque-centralizado, en la cual los nodos están localizados en el centro de la celda. Siguiendo las convenciones usadas en la Figura 6, el ancho de las celdas en dirección de los renglones, en una columna dada, j, es designado r j ;, el ancho de las celdas en la dirección de las columnas en un renglón dado, i, se designa c i ; y el espesor de la celda en una capa dada, k, se designa v k. Así, una celda con coordenadas (i,j,k)=(4,8,3) tiene un volumen de r 8 c 4 v 3. Hay que hacer notar que en coordenadas cartesianas con renglones paralelos a al eje x y columnas paralelas al eje y, r j corresponde a x j y c i corresponde a y i. En la ecuación (19), h (PH) es una función del tiempo tanto como del espacio, así que, en la formulación de las diferencias finitas, se requiere una discretización del tiempo. El tiempo es discretizado en pasos, y el PH es calculado en cada paso (Harbaugh, 2005).

36 21 EXPLICACIÓN Frontera del acuífero Celda activa Celda inactiva r j Dimensión de la celda a lo largo de la dirección de los renglones (Subíndice j indica el número de columna) c i Dimensión de la celda a lo largo de la dirección de las columnas (Subíndice i indica el número de renglón) v k Dimensión de la celda a lo largo de la dirección vertical (Subíndice k indica el número de capa) Figura 6. Discretización de un acuífero hipotético. Modificado de Harbaugh (2005, p. 21)

37 Ecuación en diferencias finitas El desarrollo de la ecuación de flujo de agua subterránea en la forma de las diferencias finitas sigue a la aplicación de la ecuación de continuidad: la suma de todos los flujos que entran y salen de una celda deben ser iguales a la razón de cambio de almacenamiento en la celda. Bajo la suposición de que la densidad del agua subterránea es constante, la ecuación de continuidad que expresa el balance de flujo por celda es (Harbaugh, 2005): donde: = h, (20) Q i es una razón de flujo que entra a la celda (L 3 T -1 ); SS V h ha sido introducido como la notación de almacenamiento específico en la formulación de diferencias finitas; su definición es equivalente a S s de la ecuación (19), esto es, SS es el volumen de agua que puede ser inyectada por unidad de volumen del material del acuífero por unidad de cambio en el PH (L -1 ); es el volumen de la celda (L 3 ); y es el cambio en el PH en un intervalo de tiempo de longitud t. El término del lado derecho es equivalente al volumen de agua almacenada en un intervalo de tiempo t al darse un cambio en el PH de h. La ecuación (20) se formula en términos de la entrada de flujo a la celda y ganancia en el almacenamiento. La salida de flujo y las pérdidas son representadas al definir salida de flujo como el negativo de la entrada de flujo y la pérdida como ganancia negativa en el almacenamiento. La Figura 7 representa seis celdas del acuífero adyacentes a la celda i,j,k (i-1,j,k; i+1,j,k; i,j-1,k; i,j+1,k; i,j,k-1; e i,j,k+1). Para simplificar el siguiente desarrollo, los flujos han sido considerados positivos si ellos entran a la celda i,j,k; el signo negativo que usualmente se incorpora en la ley de Darcy ha sido eliminado en todos los términos. Siguiendo estas convenciones, el flujo hacia dentro de la celda i,j,k que viene de la celda i,j-1,k (Figura 8) está dado por la ley de Darcy como (Harbaugh, 2005):

38 23, /, =, /, h,, h,, /, (21) donde h i,j,k q i,j-1/2,k KR i,j-1/2,k Es el PH en el nodo i,j,k, y h i,j-1,k es el PH en el nodo i,j-1,k; es la razón de flujo volumétrico a través de la cara entre las celdas i,j,k e i,j-1,k (L 3 T -1 ); Es la conductividad hidráulica a lo largo del renglón y se calcula como una media armónica entre los nodos i,j,k e i,j-1,k, es decir:, /, =,,,,,,,,, (LT -1 ); c i v k es el área de la celda que es normal al dirección del renglón (L 2 ); r j-1/2 es la distancia entre los nodos i,j,k e i,j-1,k (L). La ecuación (21) proporciona el flujo exacto para el caso estacionario en una-dimensión a través de un bloque de acuífero que se extiende desde el nodo i,j-1,k hasta el nodo i,j,k y teniendo un área común de c i v k. KR i,j-1/2,k es la conductividad hidráulica del material entre los nodos i,j,k e i,j-1,k, la cual es la conductividad hidráulica efectiva para la región entera entre los nodos, normalmente calculada como una media armónica en el sentido descrito por Collins (1961).

39 24 Figura 7. Índices para las seis celdas adyacentes y que rodean a la celda i,j,k (oculta). Modificado de McDonald et al. (1984, p. 14). Figura 8. Flujo que entra a la celda i,j,k y que procede de la celda i,j-1,k. Modificado de Harbaugh (2005, p. 23). El subíndice i,j-1/2,k es usado en la ecuación (21) para designar la región entre los nodos i,j-1,k e i,j,k. El 1/2 no indica un punto especificado a la mitad de entre los nodos. Así,

40 25 q i,j-1/2,k indica que el flujo que va de i,j-1,k al nodo i,j,k; r j-1/2 es la distancia entre los nodos i,j,k e i,j-1,k, y KR i,j-1/2,k es la conductividad hidráulica efectiva entre nodos. El término 1/2 es usado en la misma manera para indicar la región entre nodos en muchas de las ecuaciones de este documento. Expresiones similares puede ser escritas para aproximar el flujo hacia dentro de la celda a través de las restantes cinco caras, por ejemplo, para el flujo in la dirección de los renglones a través de la cara entre las celdas i,j,k e i,j+1,k (Harbaugh, 2005),, /, =, /, h,, h,, /. (22) Mientras que para la dirección de los renglones, el flujo hacia dentro del bloque a través de la cara frontal es: /,, = /,, h,, h,, /, (23) y el flujo dentro de la celda a través de la cara trasera es: /,, = /,, h,, h,, /. (24) Para la dirección vertical, el flujo a través de la cara inferior es,, / =,, / h,, h,, /, (25) mientras que el flujo a través de la cara superior esta dado por,, / =,, / h,, h,, /. (26) De la ecuación (21) hasta la (26), cada una de ellas expresa flujo que entra a la celda i,j,k a través de cada una de sus caras en términos de potenciales hidráulicos, dimensiones de la rejilla y conductividad hidráulica. La notación puede ser simplificada al combinar dimensiones de la rejilla y conductividad hidráulica dentro de una sola constante, la conductancia hidráulica o, simplemente, la conductancia. Por ejemplo, donde, /, =, /, /, (27)

41 26 CR i,j-1/2,k es la conductancia en el renglón i y la capa k entre los nodos i,j-1,k e i,j,k (L 2 T -1 ) Así, la conductancia es el producto de la conductividad hidráulica por el área por la que pasa el flujo, dividido entre la longitud de la trayectoria de flujo (en este caso, la distancia entre nodos). Substituyendo la conductancia de la ecuación (27) dentro de la ecuación (21) da como resultado (Harbaugh, 2005):, /, =, /, h,, h,,. (28) Similarmente, de la ecuación (22) a la (26) pueden ser reescritas de la siguiente forma, /, =, /, h,, h,,, (29) /,, = /,, h,, h,,, (30) /,, = /,, h,, h,,, (31),, / =,, / h,, h,,, (32),, / =,, / h,, h,,, (33) donde las conductancias son definidas análogamente a CR en la ecuación (27). Las ecuaciones (28) a la (33) se toman en cuenta para el cálculo del flujo hacia dentro de la celda i,j,k que viene de las seis celdas adyacentes. Para contabilizar el flujo que entra a la celda por procesos externos al acuífero, tales como ríos, drenajes, recarga aérea, evapotranspiración, o pozos, se requieren términos adicionales. Estos flujos pueden ser dependientes al PH en la celda que recibe pero independientes de todos los otros potenciales hidráulicos del acuífero, o pueden ser totalmente independientes del PH de la celda que recibe el flujo. Flujo que viene de fuentes externas al acuífero pueden ser expresados por la expresión (Harbaugh, 2005):,,, =,,, h,, +,,,, (34) donde a i,j,k,n p i,j,k,n y q i,j,k,n Representa flujo desde n fuentes externas, cuyo flujo entra a la celda i,j,k (L 3 T -1 ), y Son constantes ((L 2 T -1 ) y (L 3 L -1 ), respectivamente).

42 27 De forma similar, todas las demás fuentes externas o tipos de estrés que sufra el acuífero pueden ser representados por una expresión de la forma de la ecuación (34). En general, si hay N fuentes externas o tipos de estrés que afectan una sola celda, el flujo combinado puede ser expresado como,,, =,,, h,, Definiendo P i,j,k y Q i,j,k por las expresiones y +,,,,, =,,,,, =,,,. El término general para flujo externo para la celda i,j,k es. (35),,, =,, h,, +,,. (36) Aplicando la ecuación de continuidad (20) a la celda i,j,k tomando en cuenta los flujos que vienen de las seis caras adyacentes, cambio en almacenamiento y flujos externos da como resultado (Harbaugh, 2005): donde, /, +, /, + /,, + /,, +,, / +,, / + h i,j,k / t SS i,j,k +,, h,, +,, =,, h,,, (37) Es una aproximación en diferencias finitas para la derivada del PH con respecto al tiempo (LT -1 ); Representa el almacenamiento específico de la celda i,j,k (L -1 ); y r j c i v k Es el volumen de la celda i,j,k (L 3 ). Las ecuaciones (28) a la (33) pueden ser sustituidas dentro de la ecuación (37) para dar una aproximación en diferencias finitas para la celda i,j,k, dando como resultado (Harbaugh, 2005):

43 28, /, h,, h,, +, /, h,, h,, + /,, h,, h,, + /,, h,, h,, +,, h,, h,, +,, h,, h,, + (38) +,, h,, +,, =,, h,, Aproximación explícita en diferencias finitas para la variación con respecto al tiempo La aproximación en diferencias finitas para la derivada del PH con respecto al tiempo, h i,j,k / t debe ser expresada en términos de potenciales hidráulicos específicos y tiempos. La Figura 9 muestra un hidrógrafo de valores de PH en el nodo i,j,k. Se muestran dos valores en el eje horizontal: t m, el tiempo en el cual los términos de flujo de la ecuación (37) son evaluados; y t m-1, un tiempo que precede a t m. Los valores de PH en el nodo i,j,k asociados con estos tiempos son designados por el subíndice h,, y h,,, respectivamente. Una aproximación a la derivada con respecto al tiempo en el tiempo t m es obtenida al dividir la diferencia de potencial h,, - h,, entre el intervalo de tiempo t m - t m-1, esto es, h,, = h,, h,,. Así la pendiente del hidrógrafo, o derivada con respecto al tiempo, se aproxima usando el cambio en PH en el nodo en un intervalo de tiempo que precede, y termina con el tiempo en el cual el flujo es evaluado. Así, este término es denominado aproximación de diferencias hacia atrás, en el cual h/ t es aproximado sobre un intervalo de tiempo que se extiende hacia atrás en tiempo desde t m, el tiempo en el cual los términos de flujo son calculados. La aproximación de diferencias hacia atrás es siempre numéricamente estable, esto es, los errores introducidos en cualquier tiempo disminuyen progresivamente en tiempos sucesivos. Por esta razón, se prefiere la aproximación de diferencias hacia atrás, aún

44 29 cuando esta aproximación lleva a sistemas de ecuaciones más grandes que deben ser resueltos simultáneamente para cada paso en el tiempo (Harbaugh, 2005). t m h,, EXPLICACIÓN Tiempo al final del periodo de tiempo m PH en el nodo i,j,k al tiempo t m Aproximación en diferencias hacia atrás de la pendiente del hidrógrafo al tiempo t m Figura 9. Hidrógrafo para la celda i,j,k. Modificado de Harbaugh (2005, p. 27). La ecuación (38) puede ser reescrita en la forma de las diferencias hacia atrás al especificar los términos del flujo al tiempo t m, el final del intervalo de tiempo, y aproximando la derivada con respecto al tiempo del PH sobre el intervalo t m-1 a t m, esto es

45 30, /, h,, h,, +, /, h,, h,, + /,, h,,,, / h,, h,, + /,, h,, h,, + h,, +,, / h,, h,, + (39) +,, h,, +,, =,, h,, h,,. La ecuación (39) es una ecuación de diferencias hacia atrás que puede ser usada como una base para la simulación de la ecuación diferencial parcial del flujo de agua subterránea [ecuación (19)]. Al igual que el término Q i,j,k, los coeficientes de los potenciales hidráulicos en la ecuación (39) son todos conocidos, al igual que el PH al inicio del tiempo en el que se evalúa h,,. Los siete potenciales al tiempo t m, el final del tiempo en el que se evalúa, son todos desconocidos; esto es, son parte de la distribución de PH que será predicha. Así, la ecuación (39) no puede ser resuelta independientemente, porque representa una sola ecuación con siete incógnitas. Una ecuación de este tipo, sin embargo, puede ser escrita para cada celda activa en la rejilla; y, dado que solo un PH desconocido existe para cada celda, queda un sistema de ecuaciones de n ecuaciones con n incógnitas. Tal sistema puede ser resuelto simultáneamente. El objetivo de la simulación transitoria es generalmente predecir distribuciones de PH en tiempos sucesivos, dada una distribución inicial de PH, condiciones de frontera, parámetros hidráulicos y eventos de estrés externos. La distribución inicial de PH provee un valor de h,, en cada punto de la rejilla, esto es, el PH inicial provee los valores de PH al inicio del primer tiempo discreto en el que se hará la evaluación, dado que el proceso de diferencias finitas necesita que el tiempo sea divido en tiempos de evaluación. El primer paso en el proceso de solución es calcular valores de h,, (que es el PH al tiempo t 1, el cual marca el final del primer tiempo de evaluación). En la ecuación (39), por eso, el superíndice m es tomado como 1, mientras que el superíndice m-1, que aparece en solo un término de PH, es tomado como 0. La ecuación (39) se convierte en (Harbaugh, 2005):

46 31, /, h,, h,, +, /, h,, h,, + /,, h,,,, / h,, h,, + /,, h,, h,, + h,, +,, / h,, h,, + (40) +,, h,, +,, =,, h,, h,,, donde, otra vez, los superíndices 0 y 1 se refieren al tiempo en el cual los potenciales hidráulicos son tomados y no deben ser interpretados como exponentes. Una ecuación de este tipo es escrita para cada celda en la rejilla en la cual el PH es libre para variar con el tiempo (celdas de PH variables), y el sistema de ecuaciones es resuelto simultáneamente para los potenciales hidráulicos al tiempo t 1. Cuando éstos han sido obtenidos, el procese se repite para obtener los potenciales hidráulicos al tiempo t 2, el final del segundo tiempo en el que se hará la evaluación. Para hacer esto, la ecuación (39) se vuelve a aplicar, ahora usando 1 como superíndice del tiempo m-1 y 2 como superíndice del tiempo m. Otra vez, se formula el sistema de ecuaciones, donde las incógnitas son ahora los potenciales hidráulicos al tiempo t 2 ; y este grupo de ecuaciones se resuelve simultáneamente para obtener la distribución de potenciales hidráulicos al tiempo t 2. Este proceso se lleva a cabo en todos los tiempos de evaluación especificados, hasta que se ha cubierto todo el periodo de tiempo de interés. El grupo de ecuaciones en diferencias finitas se formula en cada tiempo de evaluación; esto es, en cada tiempo de evaluación debe resolverse un nuevo sistema de ecuaciones simultáneas. Los potenciales hidráulicos al final de cada tiempo de evaluación representan las incógnitas para las cuales el sistema debe ser resuelto; los potenciales hidráulicos al inicio del tiempo de evaluación están entre los términos conocidos en las ecuaciones. El proceso de solución se repite a cada tiempo de evaluación, lo cual genera un nuevo arreglo de potenciales hidráulicos al final de cada tiempo de evaluación. La ecuación de flujo en diferencias finitas para cada celda es una representación del flujo volumétrico que viene de todas las fuentes en unidades de volumen entre tiempo [L 3 /T]. Garantizando consistencia en las unidades de longitud y tiempo que son usadas para cada término, cualquier unidad específica puede ser utilizada (Harbaugh, 2005).

47 Aspectos generales sobre los métodos iterativos En casos sencillos las soluciones de la ecuación de continuidad se pueden encontrar resolviendo simultáneamente un sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, en problemas que contienen gran número de nodos, las soluciones simultáneas son imprácticas. En vez de eso, se suponen grupos de soluciones de prueba y sucesivamente se van mejorando las suposiciones hasta conseguir la solución correcta. En pocas palabras, los métodos iterativos consisten en suponer y ajustar. En el desarrollo de este trabajo se hace uso de la técnica iterativa Gauss-Seidel, la cual es un caso particular de la técnica de iteración denominada Sobre Relajamiento Sucesivo (SOR, por sus siglas en inglés) Método iterativo de Gauss - Seidel En este método se hace uso de los puntos nodales en forma ordenada, esto es (ver Figura 10), se empieza en i =2 y j = 2 y el modo de moverse es de izquierda a derecha y el siguiente movimiento es una línea hacia abajo (como si se estuviera leyendo la página de un libro). De esta manera siempre se hará uso de nuevos valores calculados. En general, para problemas con gran cantidad de nodos, los PH en los nodos que se encuentran arriba, al norte y al oeste del nodo (i,j,k) serán calculados antes de que el PH sea calculado en el nodo (i,j,k). En otras palabras, h i-1,j,k, h i,j-1,k y h i,j,k-1 serán conocidos a la iteración m+1 cuando sea momento de calcular h i,j,k a la iteración m+1 (Wang et al., 1982).

48 33 Figura 10. Iteración Gauss-Seidel. Las flechas indican el orden de iteración. Los superíndices indican el número de iteración en el que se encuentra el proceso. Tomado de Wang, et al. (1982, p. 26) Sobre Relajamiento Sucesivo (SOR) El cambio entre dos iteraciones sucesivas es llamado residual c. El residual c está definido por =h,, h,,. (41) Al remplazar h,, por h,, después de cada cálculo, el procedimiento Gauss-Seidel reduce o relaja el residual en cada nodo y de esta manera lleva a una solución de cada ecuación algebráica. En el método de SOR, el residual del método Gauss-Seidel es multiplicado por un factor de relajamiento ω donde ω 1, y el nuevo valor h,, está dado por la ecuación: h,, =h,, +. (42) Esta es la ecuación en SOR para actualizar h i,j,k en la iteración m+1. En el método de SOR, se adiciona un mayor residual a h,, que en el método de Gauss- Seidel, por lo que el h,, calculado se dice que está sobre relajado. Si 0 < ω < 1, el valor actualizado de PH se dice que está sub-relajado. Si ω = 1, la ecuación de SOR se convierte en el método de Gauss-Seidel. Existen métodos para seleccionar el mejor valor de ω para un problema en particular (Remson et al., 1971), pero, dada la complejidad de los procedimientos, es mucho más

49 34 fácil encontrar un valor óptimo de ω por prueba y error. En general 1 ω 2 (Wang et al., 1982) Iteraciones en la modelación desarrollada En el desarrollo del algoritmo propuesto, se utiliza un método iterativo para obtener la solución de un sistema de ecuaciones en diferencias finitas para cada intervalo de tiempo (el cual puede ser variable). En este método, el cálculo de los valores de PH al fin de cada intervalo de tiempo se inicia asignando arbitrariamente un valor de prueba, o estimado, para el PH en cada nodo. Se inicia entonces un procedimiento de cálculo que altera estos valores estimados, produciendo un nuevo grupo de valores de PH que están más cerca de satisfacer el sistema de ecuaciones. Este nuevo grupo de valores de PH toman el lugar de los valores iniciales, y el proceso se repite produciendo nuevos grupos de valores de PH que cada vez satisfacen más el sistema de ecuaciones. Cada repetición de cálculo es llamado iteración. Después de cierto número de iteraciones los cambios son muy pequeños. Este comportamiento se usa para determinar cuándo detener el proceso de cálculo, como se describe a continuación. Así, durante los cálculos para cada intervalo de tiempo, se generan sucesivamente valores de PH en cada iteración, cada arreglo contiene un valor de PH por cada nodo activo de la rejilla. En la Figura 11, estos arreglos se representan como rejillas en tres-dimensiones, cada uno identificado por un símbolo de arreglo, h, el cual porta dos superíndices. El primer superíndice indica la etapa de tiempo para la cual se calculan los potenciales hidráulicos en el arreglo, mientras que el segundo superíndice indica el número de iteración que produce el arreglo de potenciales hidráulicos. Así h m,1 representa el arreglo de variables calculadas en la etapa de tiempo m para la primera iteración, y así sucesivamente. Los valores de PH que fueron inicialmente supuestos para la etapa de tiempo m, aparecen en el arreglo h m,0 (Harbaugh, 2005).

50 35 Figura 11. Cálculos iterativos y distribución del PH. Modificado de Harbaugh (2005, p. 30). Sería ideal que se pudiera especificar el número exacto de iteración en la cual debe detenerse el proceso y que al mismo tiempo los valores de PH calculados son cercanos a la solución exacta. Dado que la solución real es desconocida, es necesario usar un método indirecto que indique cuando hay que detener las iteraciones. El método más comúnmente usado es especificar qué el cambio en los potenciales hidráulicos calculados que ocurren de una iteración a la siguiente sean menores que una cierta cantidad, denominada criterio de cierre o criterio de convergencia, el cual es especificado por el usuario. Después de cada iteración, se examina el valor absoluto del PH para todos los nodos de la rejilla. El mayor cambio en valor absoluto se compara con el criterio de convergencia. Si este valor es

51 36 menor que el criterio de convergencia se dice que las iteraciones han convergido, y el proceso es finalizado para esa etapa de tiempo. Normalmente, este método para determinar cuándo detener las iteraciones es adecuado. Este algoritmo también incorpora un número máximo permisible de iteraciones por etapa de tiempo. Si la convergencia no es alcanzada dentro de este máximo número de iteraciones, entonces el proceso iterativo es finalizado. Los valores iniciales estimados de PH del arreglo h m,0 de la Figura 11, pueden ser asignados arbitrariamente. Teóricamente, el proceso iterativo eventualmente convergerá al mismo resultado no importando los valores iniciales de PH escogidos, aunque los cálculos pueden aumentar más en un caso que en otro. En este algoritmo los PH calculados para el final de cada etapa de tiempo se usan como valores iniciales del PH para la siguiente etapa. Un proceso iterativo da solamente una aproximación a la solución del sistema de ecuaciones en diferencias finitas para cada etapa de tiempo; la exactitud de esta aproximación depende de varios factores, incluyendo el criterio de convergencia empleado. Incluso si se obtuvieran soluciones exactas al de ecuaciones diferenciales en diferencias finitas, en cada etapa de tiempo, estas soluciones serían solamente una aproximación a la solución de la ecuación diferencial de flujo (19). La discrepancia entre el PH, h,,, dado por la solución de ecuaciones diferenciales para un nodo y tiempo, y el PH h(x,y,z,t), el cual está dado por la solución formal de la ecuación diferencial para el correspondiente punto y tiempo, es denominado error de truncado. En general, este error tiende a aumentar cuando el espaciamiento entre nodos de la rejilla y el espaciamiento en tiempo son mayores. También hay que hacer notar que si pudiera obtenerse una solución formal de la ecuación diferencial, ésta sería solamente una aproximación a las condiciones de campo, en el cual la conductividad hidráulica y almacenamiento específico son raramente conocidas con exactitud, además de las incertidumbres con respecto a los límites hidrológicos que generalmente están presentes (Harbaugh, 2005).

52 Simulaciones del estado estacionario La ecuación de flujo, (38), fue desarrollada suponiendo condiciones transitorias; sin embargo, la ecuación de flujo transitorio se convierte en ecuación de flujo estacionario cuando el término de almacenamiento es cero. La ecuación resultante, específica que la suma de flujos, hacia dentro de la celda, que viene de las celdas adyacentes y de eventos de estrés externos debe ser cero para cada celda en el modelo. Un problema estacionario requiere solamente una solución de ecuaciones simultáneas, en vez de soluciones múltiples para múltiples etapas de tiempo. En la simulación transitoria se requiere de un modelo inicial de PH para calcular la derivada con respecto al tiempo la primera etapa de tiempo. Para el caso estacionario, no se requiere un modelo inicial de PH, dado que la derivada con respecto al tiempo no existe en la ecuación de flujo. En la práctica, sin embargo, se usa un modelo inicial de PH para simulaciones del estado estacionario, cuando se usa una solución iterada. Como ya se describió, las soluciones iteradas funcionan al mejorar sucesivamente la respuesta estimada, por eso, se requiere un modelo inicial para iniciar el proceso iterativo. El modelo inicial normalmente no debe tener efecto en la solución de la ecuación de flujo del estado estacionario, pero podría afectar el número de iteraciones requeridas para obtener una aproximación aceptable de la solución (Harbaugh, 2005). 2.8 Tipos de celdas y simulación de fronteras En la práctica, formular una ecuación de la forma (38) para cada celda en una rejilla es generalmente innecesario, porque el estatus de ciertas celdas está especificado con anterioridad para simular las condiciones de frontera del problema. En el algoritmo desarrollado las celdas que se usan para simular condiciones de frontera son de dos tipos: celdas de PH constante y celdas que no permiten el paso de flujo. En las celdas de PH constante, el PH está especificado para cada tiempo y éste no cambia como resultado de resolver el sistema de ecuaciones. Las celdas que no permiten el paso de flujo son aquellas para las cuales no se permite que haya flujo hacía dentro o fuera de ellas. Todas las demás celdas de la rejilla que no pertenecen a estos dos grupos se denominan celdas de PH

53 38 variable, en las cuales el valor de PH no está especificado y es libre de variar con el tiempo. Una ecuación de la forma (38) debe formularse para cada celda de PH variable de la rejilla, y el sistema resultante de ecuaciones debe resolverse simultáneamentee para cada etapa de tiempo en la simulación. Las celdas de PH constante y las celdas de que no permiten el paso de flujo son usadas para representar condiciones a lo largo de varias fronteras hidrológicas en el interior de la rejilla, por ejemplo, la Figura 12 muestra el mapa de la frontera de un acuífero sobrepuesta en una rejilla de celdas que representa el modelo. El acuífero es de forma irregular, mientras que la rejilla es siempre de contorno rectangular (Harbaugh, 2005). EXPLICACIÓN Celdas con PH constante Celdas con PH variable Celdas sin flujo Frontera del acuífero Figura 12. Acuífero discretizado, mostrando fronteras y designación de celdas. Tomado de Harbaugh (2005, p. 33).

54 Simulación de los estreses. En esta sección se muestra la implementación de los diferentes tipos de estrés hidrológico que afectan a un sistema de agua subterránea y que pueden ser simulados en el algoritmo propuesto. Los estreses hidrológicos representan entradas y salidas del sistema y matemáticamente son condiciones de frontera. En términos generales es posible simular 1) la presencia de pozos de extracción o inyección de agua, 2) recargas verticales (precipitación), 3) recargas laterales, 4) presencia de ríos, 5) presencia de drenajes y 6) procesos de evapotranspiración Simulación de pozos de extracción o inyección de agua El algoritmo propuesto tiene la capacidad de simular características tales como la presencia de pozos que pueden ser utilizados tanto para la extracción como para la inyección de agua en el sistema, y donde la razón de extracción o inyección es totalmente independiente del área y PH de la celda. La razón de flujo para un pozo es especificada por el usuario como un volumen por unidad de tiempo. Valores negativos de flujo son usados para indicar descarga del pozo, es decir bombeo, mientras que valores positivos de flujo indican recarga del pozo. Son necesarios cuatro datos para llevar a cabo esta simulación para cada pozo (el número de la columna, del renglón y de la capa de la celda en la cual está localizado el pozo, y la razón de recarga del pozo). Cada pozo se redefine en cada periodo de estrés. Cuando exista la posibilidad de que un pozo atraviese más de una celda será necesario considerar a cada celda involucrada como un pozo individual, es decir, que la razón de flujo tendrá que ser repartida equitativamente para cada pozo y se deberá especificar la posición de las celdas involucradas. Todo lo anterior deberá ser especificado para cada periodo de estrés.

55 Simulación de recargas verticales (precipitación) El algoritmo desarrollado tiene la capacidad de considerar las recargas generadas a partir del volumen de agua adicionado sobre el terreno. Este efecto ocurre como resultado de la precipitación que se infiltra hacia el sistema de agua subterránea. Los valores de flujo de recarga son especificados por el usuario en cada periodo de estrés (y se consideran independientes del valor de PH específico para la celda en cuestión) y son aplicados solamente en las celdas que se encuentran en contacto con el sistema aire, puesto que es precisamente ahí donde la recarga natural ocurre. En la situación más sencilla, la parte superior del sistema de agua subterránea ocurriría en la capa número 1 del modelo, sin embargo, la posición vertical del sistema podría variar con la posición horizontal y con el tiempo cuando el PH ascienda Simulación de recargas laterales Las recargas laterales son el resultado del movimiento de agua subterránea a través del medio poroso y que adicionan un volumen de agua al acuífero. Este fenómeno natural se ha incorporado a la simulación como si se trataran de pozos de inyección de agua, por lo que el volumen adicionado siempre será positivo. Son necesarios cuatro datos para llevar a cabo esta simulación para cada celda que se considere que recibe la recarga lateral (el número de la columna, del renglón y de la capa de la celda en la cual está localizada la recarga lateral, y la razón de recarga), por lo que cada celda debe redefinirse para cada periodo de estrés Simulación de la presencia de ríos Los ríos contribuyen a aportar o extraer agua del subsuelo, dependiendo del gradiente de PH que exista entre el rio y el sistema de agua subterránea. Por lo que se ha incorporado en la simulación la presencia de ríos con el objetivo de simular los efectos que pudieran existir entre el sistema de agua superficial y el sistema de agua subterránea.

56 41 En la Figura 13 se muestran dos ríos divididos en segmentos, y cada segmento esta contenido completamente en una celda. La simulación se lleva a cabo entre cada segmento y la celda que lo contenga, por lo que la infiltración será calculada para cada segmento. Existen dos situaciones que se toman en cuenta para el cálculo de los efectos que produce la presencia de ríos en el sistema de agua subterránea. La primera situación implica que el PH tiene una elevación mayor que la del fondo del río. La segunda situación se presenta cuando el PH tiene una elevación menor a la del fondo del río. El cálculo de las mismas se lleva a cabo según las siguientes ecuaciones (Harbaugh, 2005): = h,,, h,, > (43a) = ( ), h,, (43b) donde QRIV n HRIV n RBOT n CRIV n Es el flujo entre el río y el acuífero, tomado como positivo si el flujo se dirige al acuífero (L 3 T -1 ) Es el elevación del río (L) Es la elevación del fondo del río (L) Es la conductancia hidráulica de la interconección entre el río y el acuífero (L 2 T 1 ) donde donde = K aq Conductividad hidráulica del acuífero (LT -1 ) L n W n HRIV n RBOT n, (44) La longitud del segmento que cruza la celda (L) Es el ancho del río (L) Elevación de la superficie del rio (L) Es la elevación del fondo del río (L)

57 42 Cada uno de los datos anteriores debe ser especificado para cada periodo de estrés. Figura 13. Discretización de dos ríos en segmentos. Algunos segmentos pequeños son ignorados. Tomado de Harbaugh (2005, p. 81) Simulación de la presencia de drenajes Durante la simulación es posible calcular los efectos de drenajes agrícolas, los cuales remueven agua del acuífero a una razón proporcional entre el PH del acuífero y alguna elevación, denominada elevación de drenaje, siempre y cuando, el PH se encuentre por arriba de esta elevación. Si por alguna razón, el PH del acuífero cayera por debajo de la elevación de drenaje, entonces el drenaje no tiene efecto sobre el acuífero. La constante de proporcionalidad se llama conductancia de drenaje. La expresión matemática que representa lo anterior es (Harbaugh, 2005): QD n = CD n (HD n h i,j,k ), h i,j,k > HD (45a) QD n = 0, h i,j,k HD (45b) donde QD n Es el flujo de agua que va del acuífero al drenaje (L 3 T -1 ) CD Es la conductancia de drenaje (L 2 T -1 )

58 43 HD h i,j,k Elevación de drenaje (L) Es el PH en la celda que contiene al drenaje (L) Desde la perspectiva del modelo, el flujo de drenaje siempre será negativo o cero Simulación del proceso de evapotranspiración (ET) El fenómeno de traspiración de las plantas y evaporación directa, los cuales remueven agua del subsuelo, también es incluido en el algoritmo de modelación propuesto. Esta aproximación está basada en las siguientes suposiciones: (1) cuando el nivel del agua está por encima de una elevación especificada, denominada superficie de ET, la pérdida por ET ocurre en la columna de agua a una razón especificada por el usuario; (2) cuando la profundidad de la columna de agua por debajo de la superficie de ET excede un valor especificado, al cual se le denomina profundidad de extinción, la ET procedente de la columna de agua cesa; y (3) entre estos límites, la ET de la columna de agua varía linealmente con la elevación de la columna de agua. La expresión matemática que representa lo anterior es (Harbaugh, 2005): QET i,j,k = -QETM i,j h i,j,k > SUFR i,j (46a),, =,, h,,, +,,, (SURF i,j EXDP i,j ) h i,j,k SURF i,j (46b) QET i,j,k = 0 h i,j,k < SURF i,j EXDP i,j (46c) El valor de SURF, que es el valor de PH donde la ET es máxima, a veces se toma como la superficie del terreno, sin embargo, la máxima ET usualmente ocurre a una cierta distancia por debajo de la superficie del terreno, puesto que las plantas generalmente toman una cantidad máxima de agua del subsuelo cuando una fracción de las raíces de éstas está en

59 44 contacto con el agua subterránea. La profundidad de extinción, EXDP, se supone frecuentemente como la distancia desde SURF hasta la punta de las raíces más profundas. Se pueden incluir variaciones considerables por factores climáticos y por tipos de plantas Cálculo de gradiente hidráulico Una característica que fue agregada al algoritmo desarrollado fue el cálculo del gradiente hidráulico, el cual permite llevar a cabo animaciones de los cambios internos de la dirección de flujo de agua subterránea que sufre el acuífero (cambios que son generados a partir de las distintas entradas y salidas del sistema, es decir, los distintos estreses que pueden simularse). Las expresiones matemáticas utilizadas para el cálculo de las componentes del gradiente hidráulico son las siguientes (Golden Software, 2002). Se recomienda ver la Figura 7 para una mejor comprensión.,, = h,, h,,,,,,,,, = h,, h,,,,,,,,, = h,, h,,,,,,, (47a) (47b) (47c) donde Gx, Gy, Gz Son las componentes del gradiente hidráulico h Es el PH x, y y z Posición espacial de las celdas que rodean a la celda i,j,k 2.11 Diagrama de flujo La figura 14 muestra un diagrama de flujo muy general de todos los procesos internos más importantes que son llevados a cabo por el algoritmo propuesto.

60 45 Estacionario o Transitorio? # Renglones # Columnas #Capas,, h,,,,,,,, Iteraciones Criterio de Convergencia # Periodos de Estrés Ciclo Iteraciones Ciclos i,j,k Celdas activas SI NO Cálculo de nuevo valor de h i,j,k por el método iterativo Gauss Seidel Actualización del error Fin de ciclos i,j,k Criterio de convergencia NO SI Fin Ciclo Iteraciones Figura 14. Diagrama de flujo del algoritmo desarrollado. En términos generales los procesos internos se pueden resumir en los siguientes pasos: 1) Lectura de todos parámetros de entrada. 2) Determinación de la actividad o inactividad de la celda en cuestión. a. Si la celda es inactiva el algoritmo vuelve al paso 2. b. Si la celda es activa el algoritmo continúa con el paso 3.

61 46 3) Cálculo del nuevo valor de h i,j,k por el método iterativo de Gauss-Seidel. 4) Cálculo del error que existe entre el nuevo valor de h i,j,k (calculado en el paso 3) y el valor de h i,j,k de la iteración anterior. 5) Comparación con el criterio de convergencia con el error calculado en el paso 4. a. Si el error calculado (paso 4) no es menor al criterio de convergencia el algoritmo vuelve al paso 2. b. Si el error calculado (paso 4) es menor al criterio de convergencia el continua con el paso 6. 6) Impresión de la información de salida del algoritmo. Para una mejor comprensión del formato que debe tener cada archivo especificado en el paso 1 de la lista anterior, se recomienda revisar el Anexo de este documento.

62 47 Capitulo 3. Resultados Para la validación del algoritmo desarrollado se llevaron a cabo varias pruebas, algunas de ellas que podrían considerarse de resultado previamente conocido a la realización del experimento, otra que involucra la comparación de los resultados obtenidos por el algoritmo con los resultados de un sistema que tiene una solución analítica sencilla y la comparación entre los resultados obtenidos a partir del programa MODFLOW y la respuesta del algoritmo propuesto. 3.1 Pruebas con resultado previamente conocido. Con estas pruebas se procuró comprobar la respuesta del algoritmo a situaciones que se consideran predecibles, conocidas o esperadas. Todos los modelos que a continuación se presentan están formados por 21 renglones, 21 columnas y 5 capas; las dimensiones asignadas a cada celda fueron de 10 x 10 x 10 metros, sin embargo, tienen geometrías muy diferentes. Las figuras que muestran los resultados obtenidos a partir del algoritmo desarrollado están graficadas en un visualizador 3-D, sin embargo, algunas de las figuras muestran una vista en planta o lateral de los datos, esto con el objetivo de visualizar mejor la información Modelo con valores de PH constante en la frontera. El modelo inicial utilizado para esta prueba se muestra en la Figura 15 (Solo se muestra la capa 1 del modelo, las cuatro capas inferiores son iguales). Como se puede distinguir en la Figura 15, a las celdas exteriores (color gris) se les considera con PH constante y se les asignó arbitrariamente el valor de 100 metros. A las celdas que componen el interior del modelo (color blanco) se les asignó los valores iniciales de 10 metros y se les considera activas (por lo que su valor cambiará). Cabe hacer notar que no importa qué valor de PH sea asignado a las celdas activas del modelo inicial,

63 48 dado que éstas serán modificadas y al final del proceso iterativo deben tomar el mismo valor que el asignado a las celdas con PH constante. Este modelo podría compararse con un cuerpo poroso que es sumergido en un lago, la lógica diría que al llenarse de agua los poros del cuerpo, en el interior de éste se alcanzarán los mismos valores de PH que existen a su alrededor. Por lo que es de esperarse que todas las celdas que tienen un valor inicial de 10 metros, al final del proceso iterativo alcancen un valor final de 100 metros, resultado que se cumple satisfactoriamente. Figura 15. Modelo inicial cuya frontera tiene valores de PH constante. Solo se muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro son idénticas. En la Figura 16 se muestran los resultados arrojados por el algoritmo propuesto. Como puede observarse en la escala de color, ésta solo tiene el mismo valor (100) para todas las celdas, el cual corresponde con la frontera de PH constante. Con la ayuda del software de visualización se manipuló la información final arrojada por el algoritmo y se eliminó parte de dicha información, esto con el objetivo de mostrar el interior del modelo y de esta manera comprobar también que todos los datos alcanzaron el valor 100, como previamente se dijo.

64 49 Figura 16. Modelo conformado en su totalidad por el valor 100. Ver escala de color Simetría Para esta prueba se hizo uso del mismo modelo usado en la sección 3.1.1, con la adición de un pozo en la celda (i,j,k) = (11,11,1), como se muestra en la Figura 17. Al ser un modelo con forma cuadrada y con un pozo ubicado en la celda central del mismo, es de esperarse que los valores resultantes sean simétricos con respecto a unos ejes de simetría, los cuales podrían ubicarse en todo el renglón 11 y toda la columna 11.

65 50 Figura 17. Modelo inicial con la ubicación de un pozo (celda color amarillo). Solo se muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro son idénticas. Los resultados obtenidos al final del proceso iterativo se muestran en la Figura 18, en la cual se observa una simetría en cualquier dirección con respecto a la ubicación del pozo, tanto hacia arriba y hacia abajo, como hacía los lados y en diagonal. El visualizador 3-D permite ver la información desde varios ángulos. En este caso se está usando una visualización en planta de la información, es decir, como si el espectador se encontrara suspendido en el aire.

66 51 Figura 18. Resultados arrojados por el algoritmo propuesto donde se aprecia la simetría que guarda la información con respecto a los ejes de simetría Modelo con frontera impermeable Este modelo tiene similitud con el expuesto en la sección 3.1.1, con la diferencia de que ahora toda la frontera se considera impermeable y solo una celda permanece con PH constante. El modelo inicial utilizado es el que se muestra en la Figura 19 y se observa que éste tiene una geometría irregular.

67 52 Figura 19. Modelo con frontera impermeable, celda con PH constante (celda color rojo) y geometría irregular. Solo se muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro tienen la misma configuración. No importando el valor dado a las celdas interiores del modelo, al final del proceso iterativo todas éstas deberán arrojar el mismo valor que el asignado a la celda con PH constante (295 para este caso). Esto se muestra en la siguiente Figura 20, donde al observar la escala de color se confirma lo predicho anteriormente. La figura 20 también muestra un corte el cual permite ver el interior del modelo, con lo cual también es posible demostrar que el modelo final está conformado solamente por el valor 295.

68 53 Figura 20. Resultado del proceso iterativo del modelo con frontera impermeable y geometría irregular Prueba con las entradas al sistema iguales a las salidas del mismo Esta prueba tuvo por objetivo contabilizar el volumen de agua que entra y que sale del sistema, y que por la ecuación de continuidad deben ser cantidades iguales. El modelo utilizado para esta prueba se muestra en la Figura 21a. Para simular la entrada de agua al sistema solo se hace uso de las recargas laterales las cuales se ubicaron en las celdas color amarillo. El cálculo de las salidas se llevó a cabo en las celdas color rojo. Durante la construcción del algoritmo se hizo uso de archivos de control, los cuales tienen el objetivo de ir guardando información que le permita al programador comprobar que los procesos internos del programa se están desarrollando de una manera correcta. Esta prueba se confirmó gracias a uno de estos archivos. Parte de este archivo se muestra en la Figura 21b, donde se observa los valores 1000 y -1000, que corresponden, respectivamente, a las entradas y a las salidas de volúmenes de agua. Por lo que la prueba se acepta al ser las cantidades de entrada y de salida de agua iguales, pero de signo contrario.

69 54 a) b) Figura 21. a) Ubicación de las celdas donde se asignaron las recargas laterales (celdas color amarillo) y de las celdas donde llevó a cabo el cálculo del volumen que sale del sistema (celdas color rojo). b) Parte del archivo de control donde se muestra el cálculo de las entradas y el cálculo de las salidas (Recuadro rojo). 3.2 Comparación con una solución analítica sencilla Esta prueba consistió en generar un modelo en 3-D que pudiera ser comparado con un sistema que tenga una solución analítica sencilla. Uno de estos sistemas se muestra en la Figura 22. Para un sistema en dos-dimensiones como el mostrado en la Figura 22, la solución analítica es una línea recta y su expresión matemática es: h( )= + (48)

70 55 Figura 22. Modelo en 2-D con solución analítica simple (Ecuación 48). Al evaluar la ecuación (48) se obtiene la tabla 1. Tabla 1. Resultados obtenidos a partir de la evaluación de la ecuación (48) x h(x) x h(x)

71 56 Para generar una versión en 3-D de la Figura 22, se usó como modelo inicial el mostrado en la Figura 23. Figura 23. Modelo inicial que representa un cambio en el PH y cuyos resultados finales se compararon con los datos de la Tabla 1. Solo se muestra la primera capa del modelo. En la Figura 23 las celdas en color rojo y azul representan celdas de PH constante con valor igual a 100 y 80, respectivamente, las celdas color verde son inactivas (representan una barrera impermeable) y las celdas color blanco se consideran activas. Los resultados obtenidos después del proceso iterativo del algoritmo propuesto se muestran en la Figura 24. Solo se muestra la capa superior, el resto son idénticas. Al comparar los resultados graficados en la Figura 24 (ver escala de color) con los datos de la Tabla 1 puede observarse que éstos son iguales, lo que confirma el buen funcionamiento del algoritmo propuesto.

72 57 Figura 24.Resultados de la versión 3-D del modelo con solución analítica sencilla. 3.3 Comparación del algoritmo propuesto con MODFLOW. Continuando con el objetivo de validar el algoritmo presentado en este trabajo, se crearon y corrieron los mismos modelos tanto en MODFLOW como en el algoritmo desarrollado en este trabajo, con el propósito de comparar los resultados arrojados por ambos. La comparación se llevó a cabo entre los valores de cada celda para así obtener la diferencia relativa que existe entre ambas. Dicho de otra manera si se denomina PHM i,j,k al valor de PH arrojado por MODFLOW y se denomina PHA i,j,k al valor de PH arrojado por el algoritmo propuesto, el cálculo de la diferencia relativa (en %) entre cada celda se lleva a cabo de la siguiente manera (considerando a PHM i,j,k como el valor real y a PHA i,j,k como el valor calculado): ( %)=,,,, 100,,

73 58 De esta manera se reporta la máxima diferencia relativa (en %) que existe entre nuestros resultados y los obtenidos con MODFLOW. Todas las siguientes pruebas se llevaron a cabo con un modelo de acuífero bastante sencillo (el usado en la sección 3.2), al cual se le van agregando nuevas entradas y salidas de volúmenes de agua (es decir, se aumenta cada vez el número de estreses). Cabe señalar que el último modelo corrido contiene todas las características y estreses a los que puede ser expuesto el modelo (a excepción de las recargas laterales), es decir, celdas activas, celdas inactivas (o impermeables), celdas con PH constante, presencia de pozos de extracción de agua, ríos, drenajes, recarga por precipitación y evapotranspiración. Para todos los modelos que a continuación se presentan, las celdas de color rojo se especificaron como celdas con PH constante, asignando a las que se encuentran en el renglón 1 (superior) el valor de 100 metros; a las celdas del renglón 21 (inferior) se les asignó el valor de 80 metros. Las celdas color verde representan celdas no activas y se consideran impermeables. El modelo consta de 21 renglones, 21 columnas y 5 capas; y sus dimensiones son de 10 x 10 x 10 metros. El número total de celdas que se comparan es de Al final de esta sección se muestra un resumen de Las máximas diferencias relativas obtenidas al comparar con resultados de MODFLOW Modelo con presencia de pozos de extracción de agua (Modelo 1). El modelo inicial utilizado es el que se muestra en la Figura 25. La ubicación de los pozos es la siguiente: Pozo 1: Celda (i,j,k) = (11,11,2) Pozo 2: Celda (i,j,k) = (5,3,4) Pozo 3: Celda (i,j,k) = (16,5,3) Pozo 4: Celda (i,j,k) = (7,16,3) Pozo 5: Celda (i,j,k) = (18,15,4) La extracción de agua en cada pozo fue de 5000 m 3 /día.

74 59 Figura 25. Modelo inicial y ubicación de pozos de extracción de agua. Al comparar resultados entre MODFLOW y el algoritmo desarrollado se tiene que la máxima diferencia relativa encontrada fue de 0.006% Modelo con la adición de la presencia de un río (Modelo 2). El modelo se muestra en la Figura 26. Es el mismo modelo que se presentó en la sección con adición de los efectos causados por la presencia de un río. El río se ubica en toda la columna 19 (celdas color azul) y en la capa 1 del modelo.

75 60 Figura 26. Modelo que muestra la posición del río en celdas color azul. Al comparar resultados entre MODFLOW y el algoritmo desarrollado se tiene que la máxima diferencia relativa encontrada fue de 0.051% Modelo con la adición de la presencia de un drenaje (Modelo 3) El modelo usado es el mismo que se usó en la sección 3.3.2, adicionando la presencia de un drenaje. La ubicación de éste se muestra en la Figura 27. El drenaje se ubicó en toda la columna 8 (celdas color gris) y en la capa 1 del modelo. Figura 27. Modelo que muestra la posición del drenaje en celdas color gris.

76 61 Al comparar resultados entre MODFLOW y el algoritmo desarrollado se tiene que la máxima diferencia relativa encontrada fue de 0.083% Modelo con la adición de la recarga por precipitación (Modelo 4). El modelo utilizado fue el mismo que se presentó en la sección 3.3.3, con la adición de recarga por precipitación en todas y cada una de las celdas de la capa 1 del modelo (puesto que la recarga por precipitación se da solamente en la superficie del terreno). La máxima diferencia relativa encontrada fue de 0.079% Modelo con la adición del proceso de evapotranspiración (Modelo 5). Este modelo incluye todos los estreses mencionados en las 4 secciones anteriores más la adición de la pérdida de agua por el proceso de evapotranspiración. Un volumen de agua, perdida por evapotranspiración, se asignó a cada celda de la capa 1 del modelo (dado que sólo en esa capa es donde se produce la pérdida de agua por evapotranspiración). La máxima diferencia relativa encontrada fue de 0.078% Resumen de diferencias relativas y tiempos de proceso. La siguiente tabla muestra un resumen de diferencias relativas obtenidas en cada uno de los modelos descritos en las secciones anteriores, así como los estreses a los que fue sometido cada uno. También muestra los tiempos requeridos por MODFLOW y el algoritmo desarrollado en este trabajo para la entrega de resultados.

77 62 Tabla 2. Diferencias relativas máximas encontradas y tiempos de proceso de MODFLOW y del algoritmo desarrollado. Modelo Pozos Río Drenaje Precipitación ET % Tiempo MODFLOW [s] Tiempo Algoritmo [s] 1 X X X X X X X X X X X X X X X De la tabla 2 anterior puede observarse claramente que en cuestión numérica ambos algoritmos entregan resultados muy similares (debido a que los porcentajes tienden a cero), sin embargo, el tiempo de proceso que le toma a cada algoritmo para converger es bastante diferente. 3.4 Visualización de la información en tres-dimensiones. Con el objetivo de que los resultados se\ más entendibles a un público no-especialista en la modelación del agua subterránea (llámese autoridades gubernamentales, empresarios, profesionistas, académicos, ciudadanía en general, estudiantes, etc., etc.), es necesario presentar la información de la forma más explícita y sencilla posible. El avance tecnológico de los últimos años ha permitido que la velocidad en los procesos computacionales sea mayor; de la misma manera la visualización de la información puede llevarse a cabo de formas que podrían sorprender a cualquiera. En este trabajo se ha presentado la teoría y la puesta en práctica de técnicas que permiten simular el comportamiento espacial y temporal de un acuífero en 3-D, por lo que, es

78 63 conveniente presentar también en 3-D la información que se obtiene como resultado de la simulación. Existen programas comerciales capaces de llevar a cabo la presentación de la información de los diferentes modelos del interior de la Tierra, algunos ejemplos son: Avizo Earth (Visualization science group, 2013). Oasis Montaj (Geosoft, 2013). GeoExpress 3D (GeoExpress, 2011). Voxler 3 (Golden Software, 2013). En este trabajo hacemos uso del Software Voxler 3, con el objetivo de que la presentación final de la información sea lo más clara y concisa posible. En secciones anteriores de este documento ya se han presentado algunos resultados haciendo uso de la visualización en 3-D, sin embargo, no se han mostrado muchas de las bondades que dicho software tiene (y de las que el autor de este documento quiere hacer uso). Además, tampoco se ha mostrado la aplicación y la información que sale del algoritmo propuesto en un caso que podría considerarse real. Por tal motivo se diseñaron tres modelos sintéticos de acuíferos de flujo transitorio. Con los dos primeros modelos se pretenden mostrar los cambios internos que sufre la dirección del flujo de agua y los cambios en PH al ser encendido un pozo de bombeo en un acuífero, esto a partir del cálculo del gradiente hidráulico (Sección 2.10 descrita arriba). El tercer modelo sintético es un modelo con características similares a las del acuífero del Valle de Guadalupe (ubicado a 15 km al norte de la Cd. de Ensenada, Baja California, México). La información en la cual está basado este último modelo sintético se tomó de lo presentado por Campos (2008) Visualización del gradiente hidráulico El modelo inicial se muestra en la Figura 28. Las celdas color gris son celdas con valor de potencial hidráulico constante, las celdas color verde son celdas inactivas (que se consideran impermeables) y la celda color amarillo es la posición del pozo de bombeo con el cual se simuló una extracción de 2500 m 3 /día (i,j,k = 14,5,2). El modelo consiste de 18

79 64 renglones, 21 columnas y 6 capas. En la Figura 28 solo se muestra la capa 1, las 5 restantes son iguales. Se simularon las mismas condiciones de operación del pozo durante 12 periodos de estrés que abarcan un periodo total de 30 días, tiempo en el cual el acuífero adquiere condiciones estacionarias nuevamente. La unidad temporal fue el día y los intervalos de tiempo utilizados entre un periodo de estrés y el anterior fueron respectivamente: 0.20, 0.12, 0.19, 0.31, 0.49, 0.79, 1.26, 2.01, 3.22, 5.15, 8.25, 8.01 días. Figura 28. Modelo inicial usado para mostrar la variación del gradiente hidráulico generado a partir de un pozo de extracción de agua. La Figura 29a y 29b muestran claramente cómo la simulación responde a la presencia del pozo de extracción y a las zonas impermeables. Ambas figuras corresponden al primer periodo de estrés al que fue sometido el modelo. La Figura 29a es una vista aérea del modelo y se pueden observar perfectamente las direcciones del gradiente hidráulico en cada celda, las cuales apuntan hacia la celda en la cual está colocado el pozo de extracción. Además, también se pueden observar los cambios en la dirección que sufre el flujo de agua al encontrarse con zonas impermeables. La Figura 29b es una vista lateral del modelo, en ella se observa claramente como la dirección del flujo de agua varía más en su componente vertical, dependiendo de la cercanía de la celda con el pozo de extracción.

80 65 Figura 29. a) Dirección del gradiente hidráulico debido a la presencia de un pozo de extracción de agua y de dos zonas impermeables (Vista superior). b) Dirección del gradiente hidráulico debido a la presencia de un pozo de extracción de agua y de dos zonas impermeables (Vista lateral). Como se mencionó anteriormente, para este modelo se calcularon los valores de PH para 12 periodos de estrés. Al mismo tiempo se calculó la magnitud y dirección del gradiente hidráulico. Dicho gradiente será cambiante conforme avanza el tiempo hasta alcanzar un nuevo estado de equilibrio en los valores de PH. En la Figura 30 se muestran el acercamiento de una celda (círculo rojo) de las 2268 que conforman el modelo. Se observa cómo cambia la dirección del gradiente hidráulico para cada uno de los periodos de estrés a los que fue sometido el modelo. Como puede observarse para los periodos 10 al 12 la dirección del gradiente hidráulico ya no cambia, por lo que se ha llegado a la nueva condición de equilibrio en el PH.

81 66 Figura 30. Dirección del gradiente hidráulico para cada uno de los 12 periodos de estrés a los que fue sometido el modelo Visualización 3-D del cambio de PH Los cambios en la dirección del flujo de agua pueden llegar a ser muy pequeños, por lo que, para poder apreciar realmente los cambios que sufre el acuífero, debido a los diferentes estreses a los que se somete el modelo, es necesario tener una perspectiva más amplia o un ángulo de vista diferente. En esta sección se generó un modelo donde se observan los cambios que sufre el PH de un acuífero debido a la extracción de agua, mediante un pozo de bombeo. El modelo inicial de PH se muestra en la Figura 31 y fue sometido a 12 periodos de estrés. El modelo consta de 11 renglones, 11 columnas y 5 capas. Las dimensiones de las celdas son de 10x10x10 metros. El pozo de extracción se ubicó en la celda (i,j,k=6,6,3) y se simuló una extracción de 5000 m 3 /día. De los 12 periodos de estrés que se simularon, solo en los primeros 7 se produce algún cambio significativo en los niveles de PH. A partir del octavo periodo ya no se observan

82 67 cambios, por lo que, se considera que el acuífero llegó a un estado de equilibrio. Esto se muestra gráficamente en la Figura 32. Figura 31. Modelo inicial usado para la demostración de los cambios en el PH debido a los diferentes periodos de estrés a los que fue sometido el modelo. Celdas color gris representan celdas con PH constante, la celda amarilla muestra la posición del pozo.

83 Figura 32 a) Estrés 01: 00 días 04 hrs 48 min; b) Estrés 02: 00 días 07 hrs 41 min; c) Estrés 03: 00 días 12 hrs 12 min; d) Estrés 04: 00 días 19 hrs 42 min; e) Estrés 05: 01 días 07 hrs 26 min; f) Estrés 06: 02 días 02 hrs 24 min; g) Estrés 07: 03 días 08 hrs 38 min; h) Estrés 08: 05 días 08 hrs 53 min 68

84 Modelo sintético del acuífero del Valle de Guadalupe, B. C., México. Tomando como base los datos y resultados de Campos (2008) se generó un modelo sintético con características similares a las que tiene el acuífero del Valle de Guadalupe. Cabe señalar que no es el objetivo de esta tesis evaluar el comportamiento de dicho acuífero, sino mostrar las ventajas de mostrar la información desde una perspectiva en 3-D haciendo uso de un caso semi-real. Como se ha visto anteriormente los programas comerciales de visualización en 3-D tienen varias opciones que permiten ver la información en diferentes vistas y ángulos. A continuación se presentan varias figuras en 2-D (Figura 33a 33f) con el modelo de conductividades hidráulicas utilizadas durante la simulación. En ellas puede observarse que el modelo tiene una geometría totalmente irregular, dado que éste toma en cuenta a la topografía superficial, la topografía del basamento impermeable y los límites laterales del valle. La heterogeneidad del medio está representada por los distintos colores y como se muestra, ésta es variable tanto horizontal como verticalmente.

85 70 Figura 33. Modelo de conductividades hidráulicas [LT -1 ]. a) Vista superior, b) Vista inferior, c) Vista frontal, d) Vista trasera, e) Vista lateral izquierda, f) Vista lateral derecha A continuación se presentan 4 vistas diferentes del modelo de conductividades hidráulicas en 3-D (Figura 34). Si se comparan las Figuras 33 y 34, es clara la diferencia que existe entre ellas debido a la forma en que se presenta la información. Las sombras, los ángulos o puntos de vista, las perspectivas de las figuras en 3-D permiten ver rasgos del modelo que no son perceptibles en las figuras en 2-D.

86 71 Figura 34. Diferentes ángulos, vistas y perspectivas del modelo de conductividades hidráulicas [LT -1 ]. Los programas comerciales de visualización en 3-D ayudan a ver información que está oculta dentro de los mismos modelos. Esto gracias a la posibilidad que ellos tienen de hacer cortes, dibujar planos (con diferentes rumbos y echados) y acercamientos de la información. Una muestra de esto se puede ver en la Figura 35, done se observa claramente la información que está oculta dentro del mismo modelo gracias a algunas de las opciones antes mencionadas.

87 72 Figura 35. Avistamiento de la información gracias a cortes, planos y acercamientos del modelo. Con este modelo sintético semi-real del acuífero del Valle de Guadalupe se creó una simulación de flujo de agua en estado transitorio. Se utilizaron 120 periodos de estrés con un intervalo de tiempo de 60 días entre cada uno, para un total de 20 años de simulación. La simulación de flujo transitorio se inició tomando como modelo inicial un modelo de flujo estacionario, el cual fue expuesto a recargas laterales solamente (20 Mm 3 /año) y tratando de recrear los niveles de PH reportados por Campos (2008). Una vez obtenidos dichos niveles se inició la simulación de los 120 periodos de estrés, los cuales incluyeron la simulación de extracción excesiva de agua por pozos de bombeo, disminución de la recarga lateral y recarga por precipitación. La extracción excesiva de agua tuvo por objeto el observar cómo, con el paso del tiempo, los niveles de PH disminuyen debido a dicha extracción. En la Figura 36 se muestra el modelo estacionario, que se tomó como modelo inicial del transitorio. En la figura 37 se muestran 4 de los 120 periodos de estrés a los que fue sometido el modelo también puede observarse claramente, haciendo uso de la escala de

88 73 color, cómo los niveles de agua van disminuyendo (tendiendo éstos a los colores violetas) conforme avanza el tiempo. Figura 36. PH del modelo estacionario. Este modelo será usado como inicial para cuando inicie el cálculo del modelo de flujo transitorio.

89 a) b) c) d) Figura 37. Cambio de los niveles de PH. Notese como los niveles disminuyen conforme pasa el tiempo. a) Estrés 30: 60 meses; b) Estrés 60: 120 meses; c) Estrés 90: 180 meses; d) Estrés 120: 240 meses. 74

90 75 También es posible generar figuras similares a la Figura 37 a partir de la información del gradiente hidráulico, con las cuales se puede ver cómo cambia la dirección del flujo de agua en cada periodo de estrés. En la Figura 38 se muestra cómo cambian los niveles de agua en todo el acuífero, así como las direcciones en el flujo de agua en el interior del mismo. Se sugiere tomar como referencia una de las flechas y ver cómo ésta va cambiando su dirección en las siguientes figuras, lo que permite ver la nueva dirección del flujo de agua, debida a la nueva condición de estrés.

91 a) b) c) d) Figura 38. Cambio en los niveles de PH y cambio en la dirección del gradietne hidráulico. a) Estrés 30: 60 meses; b) Estrés 60: 120 meses; c) Estrés 90: 180 meses; d) Estrés 120: 240 meses. 76

92 77 Con imágenes como las que muestran las Figuras 37 y 38 se pueden generar animaciones con los 120 periodos de estrés, y de esta manera ver los cambios en los niveles de PH y dirección del flujo de agua a través de los 20 años de simulación. De esta manera es posible dar una predicción de los posibles niveles de PH a determinado tiempo y también mostrar al público no-conocedor de temas de modelación del flujo de agua subterránea cómo las entradas y salidas de agua del sistema provocan disminución o aumento en los niveles de agua, lo cual puede ayudar en la planeación de la extracción de agua para los distintos centros agrícolas y urbanos.

93 78 Capitulo 4. Conclusiones Este trabajo consistió en el desarrollo de un algoritmo de modelación directa con el cual es posible simular la respuesta de un sistema geohidrológico (es decir, acuíferos confinados y no confinados de flujo tanto estacionario como transitorio) a todos los cambios que pudieran existir en los volúmenes de agua que entran y salen del sistema (Recargas laterales, Precipitación, Pozos de extracción e inyección de agua, Ríos, Drenajes y Evapotranspiración). El algoritmo respondió satisfactoriamente a todas las pruebas de comportamiento conocido o esperado a las que fue expuesto, lo que muestra la confiabilidad en su desempeño. MODFLOW es considerado el software de modelación 3-D de agua subterránea más usado en el mundo. El hecho de que diferencias relativas entre nuestros resultados y los obtenidos con este software comercial sean cercanas a cero, da otra pauta para afirmar que el algoritmo propuesto puede competir con la resolución proporcionada por MODFLOW. Por lo que es posible afirmar que el Departamento de Geofísica Aplicada de CICESE ahora cuenta con un algoritmo de modelación del flujo de agua subterránea que tiene las características de ser modesto, sencillo, entendible para el usuario, eficiente en sus tiempos de procesamiento y que puede ser modificado por los usuarios según las necesidades de cada uno. Hasta ahora solo se contaba con algoritmos de modelación en 2-D para llevar a cabo tanto trabajos de investigación como de desarrollo de tesis de posgrado (Maestría y Doctorado). Ahora, con el algoritmo desarrollado en este trabajo, será posible incorporar la tercera dimensión, así como mejorar la presentación visual de los resultados de las simulaciones. De la misma manera puede ser usado con objetivos 100% académicos, es decir, como una herramienta práctica que ayude a los estudiantes a tener un mejor entendimiento del fenómeno de movimiento de agua en el subsuelo, así como de las ecuaciones que rigen a dicho fenómeno y los métodos numéricos más comunes que le dan solución a dichas ecuaciones.

94 79 ANEXOS. Uso del algoritmo desarrollado. Para poder generar un modelo numérico de un acuífero como el mostrado en la Figura 6 es necesario ingresar la información con la cual el algoritmo propuesto pueda dar respuesta a las siguientes interrogantes: a) El modelo es de flujo estacionario o flujo transitorio? b) Cuál es el número de renglones, número de columnas y número de capas? c) Cuáles son las dimensiones de las celdas y la posición espacial de las mismas? d) Cuáles son las celdas activas, cuáles son las celdas inactivas y cuáles son las celdas con PH constante? e) Cuál es el modelo inicial de PH y cuál es el modelo de conductividades hidráulicas? f) Tanto para el caso estacionario como para el caso transitorio Cómo se tiene acceso a la información de los estreses a los que será sometido el modelo? g) Cuál es el criterio de convergencia, el número de iteraciones máximas, el coeficiente de sobrerrelajamiento y el número de periodos de estrés a simular? A continuación se muestra la forma correcta en la cual se le da respuesta a las interrogantes anteriores. Archivo de parámetros de entrada Para que el algoritmo sea capaz de reconocer la información mencionada en el punto anterior es necesario generar un archivo de texto (que a partir de este momento se le denominará archivo INPUT.TXT) que contenga todos y cada uno de los parámetros de entrada. En la Figura 39 se muestra un ejemplo del archivo INPUT.TXT y de la información contenida en éste.

95 80 Figura 39. Contenido del archivo INPUT.TXT, el cual contiene todos los parámetros de entrada de un modelo. Como puede observarse en la Figura 39, el archivo INPUT.TXT consta en su totalidad de caracteres alfanuméricos, los cuales dan respuesta a cada una de las interrogantes mencionadas en el punto anterior. Los parámetros de entrada pueden ser letras, el nombre de un archivo de texto, números reales, números enteros y las rutas completas de las carpetas en la que será guardada la información de salida del algoritmo. Para la creación del archivo INPUT.TXT es necesario respetar el número de caracteres que hay en cada renglón. Es decir, todos los renglones deben tener una extensión máxima de 70 caracteres, con la excepción de los renglones 23 y 27, los cuales pueden llegar a tener hasta 100 caracteres. Por diseño del algoritmo, los dos puntos (:) deben localizarse exactamente en el caracter número 49 de cada renglón. Después de éste se pueden utilizar 21 caracteres más para especificar el parámetro de entrada (no importando que se trate de un número entero, número real, letras, etc.). La excepción la tienen los renglones 23 y 27, en los cuales se pueden utilizar 51 caracteres más después de los dos puntos (dado que en estos

96 81 renglones se especifican las rutas en las cuales será guardada la información, las cuales pueden llegar a extenderse bastante). Especificación del modelo a usar (flujo estacionario o de flujo transitorio) En el renglón 1 del archivo INPUT.TXT (Figura 39) se le especifica al programa si el modelo será de flujo estacionario o transitorio. Cuando sea necesario modelar un flujo estacionario, simplemente se escribe después de los dos puntos cualesquiera de los caracteres e o E. En caso de que el modelo sea de tipo transitorio se escribe después de los dos puntos cualesquiera de los caracteres t o T. Especificación del número de renglones, de columnas y de capas del modelo La asignación de esta información se lleva a cabo en los renglones 2, 3 y 4 del archivo INPUT.TXT (Figura 39). Consiste simplemente de la especificación de números enteros para cada uno de los parámetros. El número asignado a cada parámetro dependerá de que tanta resolución requiera cada modelo, además de las dimensiones reales del acuífero a modelar. Para el caso mostrado en la Figura 39 el número de renglones es 24, el número de columnas es 35 y el número de capas es 9. Especificación de las dimensiones tiene cada celda Al tratarse de un modelo en 3-D es necesario especificar las dimensiones que tendrá cada celda. Esto se especifica en los renglones 6, 7 y 8 del archivo INPUT.TXT (Figura 39). Como puede observarse es necesario leer tres archivos diferentes para poder obtener toda esta información. Para el ejemplo mostrado en la Figura 39 el archivo GX.txt contiene la información de todas las dimensiones celdas en la dirección X. Las dimensiones de las celdas en la dirección Y se pueden obtener a partir del archivo GY.txt. De la misma manera, las dimensiones de las celdas en la dirección Z se especifican en el archivo GZ.txt.

97 82 A continuación en las Figura 40, 41 y 42 se presenta un ejemplo de la información contenida en el archivo GX.txt, GY.txt y GZ.txt, respectivamente. En cada figura solo se muestra la primera capa de las 9 que conforman el modelo, dado que las restantes 8 son totalmente iguales a la primera. Figura 40. Información contenida en el archivo GX.txt. El tamaño de todas las celdas en la dirección X es de 500 metros. Solo se muestra la primer capa del modelo.

98 83 Figura 41. Información contenida en el archivo GY.txt. El tamaño de todas las celdas en la dirección Y es de 500 metros. Solo se muestra la primer capa del modelo. Figura 42. Información contenida en el archivo GZ.txt. El tamaño de todas las celdas en la dirección Z es de 20 metros. Solo se muestra la primer capa del modelo.

99 84 Especificación de la posición espacial de cada celda Durante los procesos iterativos internos del algoritmo desarrollado es necesaria la posición espacial de cada una de las celdas, es decir, las coordenadas X, Y y Z del centro de la celda. Se puede tener acceso a esta información en el las líneas 9, 10 y 11 del archivo INPUT.TXT. Para el ejemplo mostrado en la Figura 39, la coordenada X de cada celda se encuentra especificada en el archivo GPOSX.TXT, de la misma manera las coordenadas Y de cada celda del modelo se encuentran en el archivo GPOSY.TXT y las coordenadas Z de las celdas se encuentran en el archivo GPOSZ.TXT. En las siguientes Figuras 43, 44 y 45 se puede apreciar, respectivamente, parte de los archivos mencionados anteriormente. Figura 43. Primera capa del archivo GPOSX.TXT. Las restantes 8 capas son idénticas. Figura 44. Primera capa del archivo GPOSY.TXT. Las restantes 8 capas son idénticas.

100 85 Capa 1 Capa 2 Figura 45. Primeras dos capas del archivo GPOSZ.TXT. Nótese que la posición de las capas está referenciada con respecto al nivel medio del mar. Especificación de las celdas activas, cuales son las celdas inactivas y cuáles son las celdas con PH constante La actividad, inactividad o valor constante de PH de cada celda es de suma importancia, puesto que existe la posibilidad de que no todas las celdas sean de utilidad en la ejecución del algoritmo. En este documento el hecho de afirmar que una celda es activa se refiere a que ésta sufrirá cambios en el valor de PH, de acuerdo a la solución de la ecuación de balance en esa celda (que se obtiene en los procesos iterativos internos del algoritmo), mientras que la inactividad de la celda indica que ésta no será tomada para calcular la ecuación de balance.

101 86 Las celdas con valor constante de PH, que corresponden a la implementación de condiciones de frontera impuestas al modelo, serán utilizadas en los procesos iterativos pero su valor de PH no será modificado durante toda la ejecución del algoritmo. Esta información se puede obtener a partir de la lectura del archivo GCARAC.TXT, el cual se especifica en la línea 14 del archivo INPUT.TXT (Figura 39). Para asignar la actividad, inactividad o valor constante de PH a cada celda, se hace uso de los caracteres 0, 1 y 2. Siendo 0 el caracter que indica que la celda es inactiva, 1 se usará para indicar que la celda será considerada con valor de PH constante, y el caracter 2 se usará para indicar que la celda debe considerarse como activa. La siguiente Figura 46, muestra la capa 4 del modelo tomado como ejemplo. Para este modelo en particular se observan, en su mayoría, los caracteres 0 y 2, y solo tres caracteres 1 en la esquina inferior izquierda de la figura. Figura 46. Actividad o inactividad de las celdas del modelo. El caracter 0 indica la inactividad de la celda, mientras que el carácter 2 indica que la celda es activa. Poner atención en los tres caracteres 1 ubicados en la esquina inferior izquierda de la figura. Esta figura representa a la capa número cuatro del modelo.

102 87 Especificación del modelo inicial de PH Siempre será necesario ingresar un modelo inicial de PH, que corresponde a la iteración cero, el cual será modificado en el proceso iterativo interno del algoritmo. Este modelo inicial es proporcionado al algoritmo mediante el archivo GH.TXT, el cual se especifica en el renglón 15 del archivo INPUT.TXT (Figura 39). En la Figura 47 se muestra la capa 4 del modelo que se ha venido usando como ejemplo. Hay que hacer notar que existen tres celdas, a los cuales se les asignó el valor de PH de 295 metros (Esquina inferior izquierda de la Figura 47) y que también corresponden a los tres caracteres 1 (valor constante de PH) de la Figura 46. Esto significa que los valores de PH de 295 metros no serán modificados durante el proceso iterativo, además de que éstos servirán para iniciar la modificación del modelo inicial. Cabe señalar que los valores 0 y 100 metros asignados a las celdas (Figura 47), son valores arbitrarios, por lo que es posible asignar cualquier otro valor que se deseé, dado que el algoritmo modificará y actualizará sólo el valor de PH de las celdas consideradas como activas; esto se llevará a cabo hasta que se haya alcanzado el criterio de convergencia o se alcance el número máximo de iteraciones especificadas. En la Figura 47 se presenta solamente la capa 4 de modelo de PH inicial.

103 88 Figura 47. Modelo inicial de PH. Poner atención en los tres valores de 295 ubicados en la esquina inferior izquierda. Los valores 100 serán modificados, dado que corresponden a celdas activas. Especificación del modelo de conductividades hidráulicas El modelo de conductividades hidráulicas es el que indicará los límites laterales (geometría lateral) y verticales (topografía superficial y topografía del fondo impermeable) del acuífero a modelar. Para el ejemplo especificado por la Figura 39, se puede tener acceso a estos datos al leer la información contenida en el archivo GK.TXT (especificado en la línea 16 del archivo INPUT.TXT). La Figura 48 muestra la capa 4 del modelo que se ha venido tomando como ejemplo; en dicha figura el valor cero es de suma importancia, dado que un valor cero indica que la velocidad a la que se mueve el agua en el interior de esa celda es de cero [0 LT -1 ], o dicho de en otras palabras, que esa celda no permite el flujo de agua en su interior, ya que es impermeable. Es a partir de los valores cero de conductividad hidráulica que se forman las barreras impermeables del modelo. También de la Figura 48 se pueden observar los valores 150, 120, 110 y 80 [LT -1 ], los cuales indican que el modelo es heterogéneo en su constitución. Un acuífero heterogéneo (es decir, formado por diferentes conductividades hidráulicas) implica que el agua se moverá a diferentes velocidades en el interior del acuífero. Los incrementos del PH serán

104 89 provocados cuando los valores de conductividad hidráulica disminuyen, dado que disminuye la velocidad en el medio poroso, lo cual fomenta la acumulación y, por lo tanto, incrementos en los niveles de PH. De manera contraría, los valores altos de conductividad hidráulica fomentarán mayor flujo del agua, por lo tanto, los niveles de PH tardarán más tiempo en incrementarse. Figura 48. Modelo de conductividades hidráulicas. Se puede observar la heterogeneidad del medio. Se muestra solamente la capa 4 del modelo. Especificación de los estreses a los que será sometido el modelo La manera en la que la información de cada uno de los diferentes estreses entra al algoritmo de modelación desarrollado (llámense pozos de extracción o inyección de agua, recargas laterales, precipitación, presencia de ríos, presencia de drenajes, procesos de evapotranspiración) depende si la simulación es hecha para un flujo estacionario o para un flujo transitorio. Esto es debido a que para el caso estacionario los volúmenes de agua que entran o salen del sistema son utilizados una sola vez en el proceso de obtención del modelo estacionario. Por su parte, los volúmenes de agua que entran y salen del sistema para el caso transitorio son muy variables, dado que dependen de las temporadas del año, y a veces serán dependientes y/o independientes del valor de PH que ha sido calculado en el tiempo (iteración) anterior, por lo que, el tratamiento y acceso a toda esta información es diferente.

105 90 Especificación de archivos con información de estreses para el caso estacionario La información de los diferentes estreses para el caso estacionario es ingresada a través de archivos, cuyos nombres serán especificados en las líneas 17 a 22 del archivo INPUT.TXT. En el ejemplo mostrado en la Figura 39 se puede observar que todos los estreses, a excepción del las recargas laterales, tienen especificados na o NA (siglas de No Aplica), lo cual indica que para el cálculo del modelo estacionario no serán utilizados dichos estreses. Para el caso de las recargas laterales, se accederá a la información de este tipo de estrés a través del archivo GRLE.TXT (Figura 39, línea 19). La Figura 49 muestra la configuración interna de dicho archivo. A continuación se muestran figuras que ejemplifican la forma en que debe ser ingresada la información para cada uno de los diferentes estreses del caso estacionario. Los archivos que contienen la información de las recargas verticales (precipitación) y evapotranspiración son idénticos al que se muestra en la Figura 51. Dado que la infiltración de agua, que proviene de la precipitación, y la pérdida de agua, por el fenómeno de evapotranspiración, solo se dan en la superficie del terreno, es necesario que los archivos de entrada tomen en cuenta esta característica, por lo que, sólo las celdas que están en contacto con el aire son las que deben contener valores diferentes de cero, indicando de esta manera el volumen de agua que ingresa (valores positivos) y el volumen de agua que sale (valores negativos) del sistema a través de esas celdas (celdas color amarillo de la Figura 51). Los archivos que contienen la información de los estreses generados por pozos, recargas laterales, presencia de ríos y presencia de drenajes, tienen una configuración idéntica en su interior, ésta se muestra en la Figura 49. En el ejemplo mostrado en la Figura 49, en el renglón 1 se indica el número de celdas que serán expuestas al estrés en cuestión (es decir, 9 celdas serán afectadas para el ejemplo mostrado). A partir del segundo hasta el décimo renglón se escribirá la posición y volumen de agua (que será extraído o ingresado al sistema) de cada celda. Por lo tanto es necesario especificar 4 columnas; siendo las primeras tres los índices i, j y k, respectivamente, que indican la posición espacial de la celda a la cual se le aplicará el estrés; la cuarta columna corresponde al volumen de agua

106 91 que será extraído (valor negativo) o ingresado al sistema (valor positivo) según el tipo de estrés que se esté especificando. Figura 49. Configuración de los archivos que contienen la información para los estreses: Recarga lateral, presencia de pozos, evapotranspiración, presencia de ríos, presencia de drenajes. Especificación de archivos con información de estreses para el caso transitorio Para el caso en el que el flujo es de tipo transitorio, los archivos pueden ser muy numerosos, en función de la complejidad y variación del programas de bombeo, variaciones en la precipitación, etc., por lo que, la lectura de cada uno es diferente y la configuración interior de éstos también. La línea 26 del archivo INPUT.TXT se especifica el archivo GSTR.TXT, donde parte de su contenido se muestra en la Figura 50. Figura 50. Interior del archivo GSTR.TXT. En la Figura 50 se observan solamente 10 renglones de los 120 con los que cuenta el archivo; cada renglón representa a cada periodo de estrés y las columnas del archivo indican lo siguiente:

107 92 Columna 1: Intervalo de tiempo entre la iteración actual y la iteración anterior. Columna 2: Archivo que contiene la localización de los pozos de bombeo o inyección de agua (Archivo PABR2.TXT, para este ejemplo). La estructura de este archivo es idéntica a la estructura del archivo de la Figura 49. El primer renglón para especificar el número de celdas afectadas por pozos, y a partir del renglón 2 se especifican 4 columnas, las cuales indican respectivamente los índices i, j y k y el volumen de agua extraída (valor negativo) o inyectada (valor positivo). Columna 3: Archivo que contiene la información de la precipitación (Archivo ene.txt, para este ejemplo). Este archivo tiene la peculiaridad de que solo debe tener valores de volumen de agua en las celdas que estén consideradas como expuestas a la intemperie, es decir, las celdas que formen parte de la interface tierra-aire, dado que es en estas celdas donde ocurre la adición del volumen de agua por precipitación al subsuelo. En la Figura 51 se muestran las capas 2 y 3 del modelo que se ha venido usando como ejemplo. En dicha figura las celdas color amarillo representan aquellas celdas que están expuestas a la intemperie.

108 93 Figura 51. Capas 2 y 3 del modelo utilizado. Las celdas amarillas representan aquellas celdas que están expuestas a la intemperie en cada capa. Columna 4: Archivo que contiene la información de la recarga lateral (Archivo GRLT.TXT). Este archivo tiene la misma configuración que se muestra en la Figura 49. El primer renglón es utilizado para la especificación del número de celdas que serán utilizadas y a partir del segundo renglón se especifican 4 columnas, las cuales corresponden respectivamente a los índices i, j y k y el valor de volumen de agua que será adicionado al sistema. Columna 5: Archivo que contiene la ubicación de las celdas que serán consideradas como parte de un río. La configuración de este archivo es similar a la que se muestra en la Figura 49, solo que para este archivo es necesario la

109 94 inclusión de 2 columnas más a partir del segundo renglón. El primer renglón será utilizado para especificar el número de celdas afectadas por la presencia del rio, y a partir del segundo reglón se especificarán 6 columnas las cuales corresponden, respectivamente, a los índices i, j, k, la elevación de las superficie del río [HRIV], la conductancia de la interface rio-acuífero [CRIV], y la elevación del fondo del río [RBOT] (Ver sección 2.9.4). Columna 6: Archivo con la información correspondiente a la evapotranspiración. Este archivo tiene una configuración similar a la estructura mostrada en la Figura 49. Sólo que habrá la necesidad de agregar dos columnas mas a partir del segundo reglón. El primer renglón especifica el número de celdas que serán afectadas por el fenómeno de evapotranspiración y a partir del segundo renglón se generan 6 columnas, las cuales especifican, respectivamente, los índices i, j, k, la máxima pérdida de volumen de agua por evapotranspiración [QETM], la elevación del nivel del agua en la cual ocurre la pérdida máxima por evapotranspiración [SURF] y la profundidad donde cesa la evapotranspiración [EXDP] (Ver sección 2.9.6). Columna 7: Archivo que contiene la información de la presencia de drenajes. Archivo similar en su estructura a los antes mencionados, con la diferencia de que a partir del segundo renglón hay que especificar 5 columnas solamente, las cuales especifican respectivamente, los índices i, j, k, la conductancia de drenaje [CD] y la elevación del drenaje [HD] (Ver sección 2.9.5). El ejemplo presentado en la Figura 50 muestra los caracteres NA en las columnas 5, 6 y 7, lo cual indica que para esos periodos de estrés, la presencia de ríos, el fenómeno de evapotranspiración y la presencia de drenajes no tienen efecto sobre el modelo. En caso de que sea necesario no tomar en cuenta un estrés cualquiera para un periodo de estrés en particular, esto simplemente se especifica con los caracteres NA o na.

110 95 Otros archivos de entrada necesarios En los renglones 24 y 25 del archivo INPUT.TXT es necesario especificar dos archivos más, respectivamente. El primero de ellos, es decir, el archivo GFLUJO.TXT (renglón 24) contiene la información de las celdas en las cuales se puede calcular el volumen de agua que atraviesa por ellas. La Figura 52 muestra un ejemplo de la configuración interna que debe tener el archivo GFLUJO.TXT. En el primer renglón de este archivo se debe especificar el número de celdas en las cuales se quiere calcular el volumen de agua. A partir del segundo renglón se deben especificar 6 columnas, las cuales indican los índices i, j, k de dos celdas, que son la celda que contienen el volumen de agua y la celda a la cual se moverá dicho volumen. De la Figura 52, en el renglón 2, las primeras tres columnas (i = 21, j = 2, k = 5) indican la localización de la celda que contiene el volumen de agua que se moverá; las últimas tres columnas del renglón 2 (i = 21, j = 1, k = 5) indican la localización de la celda que recibirá el volumen de agua. Figura 52. Configuración interna del archivo GFLUJO.TXT establecido en la línea 24 del archivo INPUT.TXT. El archivo especificado en la línea 25 (GS.TXT) contiene la información del coeficiente de almacenamiento asignado a cada celda. Una muestra de cómo se conforma este archivo se muestra en la Figura 53, solo se muestra la primera capa del archivo, las restantes 8 son idénticas.

111 96 Figura 53. Primera capa del archivo GS.TXT que especifica los valores del coeficiente de almacenamiento del modelo. Es necesario especificar otros parámetros importantes de entrada, éstos se especifican en las siguientes líneas del archivo INPUT.TXT: Línea 5: Se indica el límite máximo de iteraciones. Sirve como medio para parar la ejecución del algoritmo en caso de que nunca se alcance el criterio de convergencia. Línea 12: Se especifica el criterio de convergencia que se usará para detener el proceso iterativo. Línea 13: Se debe establecer el coeficiente de sobrerrelajamiento, que como se indico en la sección debe ser un valor entre 1 y 2. Línea 23: Indica la ubicación de la carpeta donde serán guardados los archivos resultantes del modelo estacionario. Línea 27: Indica la ubicación de la carpeta donde serán guardados los archivos resultantes del modelo transitorio. Línea 28: indica el número total de periodos de estrés a utilizar durante la modelación.