3.1Conceptosgenerales 3.2Operacionesmatriciales 3.3 Tipos de matrices 3.4Determinantes 3.5 Matriz inversa 3.6Rangoytraza 3.7Matricesparticionadas 3.

Transcripción

1 32 Tema 3. MTRIES Y DETERMINNTES 3.onceptosgenerales 3.2Operacionesmatriciales 3.3 Tipos de matrices 3.4Determinantes 3.5 Matriz inversa 3.6Rangoytraza 3.7Matricesparticionadas 3.8 Sistemasde ecuacioneslineales

2 Matem aticas Matrices ydeterminantes 33 3 MTRIES Y DETERMINNTES 3. ONEPTOS GENERLES 3.. DEFINII ON Una matriz de m las y n columnassobreuncuerpo IK esuna aplicaci on: :f;:::;mg f;:::;ng La matriz suele representarse por =(a ij ) i m j n = ysedicequeesdeorden m n.!ik (i;j) 7!a ij : a a 2 a n a 2 a 22 a 2n... a m a m2 a mn ² La la i- esima de la matriz es la formada por los elementos a i ;a i2 ;:::;a in. ² La columna j- esima de la matriz es la formada por los elementos a j ;a 2j ;:::;a mj. ²Elt ermino (i;j) delamatriz es a ij. NOTI ON: Sedenotapor M m n (IK) elconjuntodelasmatrices deorden m n conelementosen IK.

3 Matem aticas Matrices ydeterminantes 34 Sean ; 2 M m n (IR); = (a ij ) ; = (b ij ). i m i m j n j n Se dice que y son iguales si y s olo si 8i 2 f;:::;mg 8j 2 f;:::;nga ij =b ij. 3.2 OPERIONES MTRIILES 3.2. SUM DE MTRIES Sean ; 2 M m n (IK);=(a ij ) i m j n ;=(b ij ) i m j n de ne += 2 M m n (IK),con =(c ij ) i m j n 8i 2 f;:::;mg 8j 2 f;:::;ng c ij =a ij +b ij :. Se talque PROPIEDDES DEL SUM DEMTRIES. 8;; 2 M m n (IK) (+)+=+(+) O = ( ij ) 2 M m n (IK) (matriz nula), tal que i m j n 8 2 M m n (IK) +O=O+= M m m (IK) 9 2 M m n (IK) talque ( =( a ij ) i m j n +( )=( )+=O: ).

4 Matem aticas Matrices ydeterminantes ; 2 M m n (IK) += PRODUTO DEUN ESLR POR UN MTRIZ Sean 2 M m n (IK); = (a ij ), y 2 IK. Se de ne i m j n = 2 M m n (IK),con =(c ij ),talque i m j n 8i 2 f;:::;mg 8j 2 f;:::;ng c ij = a ij : PROPIEDDES DEL PRODUTO PORESLRES 8; 2 M m n (IK) 8 ;¹ 2IK. (+)= ( +¹) = +¹. 3. ( ¹)= (¹). 4. =( es la unidad del cuerpo IK) OSERVI ON: (M m n (IK);+; ) esunespaciovectorialsobre IK dedimensi on mn.

5 Matem aticas Matrices ydeterminantes PRODUTO DEMTRIES Sean 2 M m n (IK); 2 M n p (IK),donde =(a ij ), i m j n. Sede ne = 2 M m p (IK); con = =(b ij ) i n j p (c ij ) i m j p talque: 8i 2 f;:::;mg 8j 2 f;:::;pg c ij = n X k= a ik b kj : PROPIEDDES DEL PRODUTO DE MTRIES. 8 2 M m n (IK);8 2 M n p (IK); 8 2 M p q (IK) () =(): 2. 8;; 2 M n n (IK) (+)=+ (+)=+: 3. 9I n 2 M n n (IK),talque 8 2 M n n (IK) I n =I n =; donde: I n =... :

6 Matem aticas Matrices ydeterminantes M m n (IK);8 2 M n p (IK); 8 ;¹ 2IK ( )(¹)=( ¹)(): TRSPOSII ONDE MTRIES Sea 2 M m n (IK),con =(a ij ). Sede ne matriz traspuesta de, y se denota por t 2 M n m (IK), como t = i m j n µ a ij j n i m talque 8i 2 f;:::;mg 8j 2 f;:::;ng a ij=a ji : PROPIEDDES DEL TRSPOSII ONDE MTRIES Sean 2 M m n (IK) y 2IK.. (I n ) t =I n. 2. ( t ) t =. 3. ( ) t = t. 4.Si 2 M m n (IK),entonces (+) t = t + t. 5.Si 2 M n p (IK),entonces () t = t t.

7 Matem aticas Matrices ydeterminantes TIPOS DE MTRIES 3.3. DEFINIIONES. Matriz la: posee una unica la. (a a 2 :::a n ) 2 M n (IK): 2. Matriz columna: posee una unica columna. a a 2. a m 2 M m (IK): 3. Matriz cuadrada de orden n: tieneel mismon umerode las quedecolumnas, m=n. = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n... a n a n2 a nn ² a ii ; i=;:::;n,sedenominan elementos diagonales. ² esuna matriz diagonalsiys olosiloselementosnodiagonalessonnulos: i 6=j ) a ij =. ²Unamatrizes escalarsiys olosi esdiagonalytodoslos elementosdiagonalessonigualesentre s ³. ² Una matriz es triangular inferior si y s olo si los elementos porencimadeladiagonalsonnulos: i<j ) a ij =. :

8 Matem aticas Matrices ydeterminantes 39 ² Una matriz es triangular superior si y s olo si los elementos pordebajodeladiagonalsonnulos: i>j ) a ij = M n n (IK) es idempotentesiys olosi 2 = M n n (IK) es nilpotentesiys olosiexiste m 2IN tal que m =O. 6.2M n n (IK) es sim etricasiys olosi t =,esdecir,si =(a ij ) i n j n : 8i;j 2 f;:::;ng a ij =a ji : 7. 2 M n n (IK) es antisim etrica si y s olo si t =, es decir,si =(a ij ) i n j n : 8i;j 2 f;:::;ng a ij = a ji : 3.4 DETERMINNTES El determinante es una aplicaci on det:m n n (IK)!IK 7!det talque ²Para n= y =(a): det=a.

9 Matem aticas Matrices ydeterminantes 4 ²Para n=2 y = ²Para n=3 y = a a 2 a 2 a 22 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 : det=a a 22 a 2 a 2. det=a a 22 a 33 +a 2 a 32 a 3 +a 3 a 23 a 2 a 3 a 22 a 3 a 23 a 32 a a 33 a 2 a 2 : : 3.4. DEFINIIONES ² Los menores de una matriz cuadradasonlosdeterminantesde las submatrices que se obtieneneliminando varias las yel mismon umerode columnas. ²Sellama menor complementario del elemento a ij deunamatrizcuadrada,quedenotamospor M ij,aldeterminantedela matriz resultante de suprimir la la i y la columna j. ²Sedenomina adjunto del elemento a ij a ij =( ) i+j M ij. ²Sellama matriz adjuntade 2 M n n (IK) alamatriz? 2 M n n (IK) quetieneporelementoslosadjuntosdeloselementosde DESRROLLODEDETERMINNTESPORLOSELEMENTOSDE UN FIL O OLUMN Sea =(a ij ) i n j n vienedadopor: 2 M n n (IK). Para n>3 eldeterminante

10 Matem aticas Matrices ydeterminantes 4 ²Desarrolloporloselementosdela la i: det= n X k= ²Desarrolloporloselementosdelacolumnaj: det= n X a ik ik. k= a kj kj PROPIEDDES Sean ; 2 M n n (IK).. det()=det( t ). 2.Siseintercambianentres ³dos las(ocolumnas),eldeterminantecambiadesigno. 3.Si una matriz tiene dos las(columnas) iguales, su determinante es cero. 4.Sisemultiplicaauna la(ocolumna)de porunescalar, el determinantede lamatriz resultanteesigual a por det. 5.Si 2IK,entonces det( )= ndet. 6.Eldeterminantedeunamatriznovar ³asiauna la(ocolumna) selesumaunacombinaci onlinealdelasrestantes. 7. Si una matriz tiene una la(o columna) nula, su determinante esnulo. 8. det()=detdet. NOT: Habitualmente, det(+ ) 6= det + det.

11 Matem aticas Matrices ydeterminantes MTRIZ INVERS 3.5. DEFINII ON Sea 2 M n n (IK). Sediceque es inversibleoregularsiexiste 2 M n n (IK) deformaque ==I n. Enesecaso, sellama matriz inversade ysedenotapor. Sital noexiste,sediceque noesinversibleoqueessingular PROPIEDDES Sean ; 2 M n n (IK).. esinversiblesiys olosi det 6=. 2.Si esinversible,entoncesdet( )= det. 3.Si esinversible,entonces es unicayvienedadapor = det (? ) t. 4. I n esinversibley I n =I n. 5.Si esinversible,entonces esinversibley ( ) =. 6.Sea 2 IK fg. Si es inversible, entonces es inversibley ( ) =. 7.Si y soninversibles, entonces esinversible y () =. 8.Si es inversible, entonces t es inversible y ( t ) = ( ) t.

12 Matem aticas Matrices ydeterminantes DEFINII ON 2 M n n (IK) es ortogonalsiys olosiesinversibley = t. 3.6 RNGOYTRZ 3.6. DEFINII ON Sean 2 M m n (IK); con = (a ij ) ;i 2 f;:::;mg; i m j n j 2 f;:::;ng.seconsideranlosvectores f ¹ i =(a i ;a i2 ;:::;a in ); vector lai- esimadey¹c j =(a j ;a 2j ;:::;a mj ); vectorcolumna j- esimade. Sedenomina rango de por lasaln umerom aximodevectores la linealmente independientes. n alogamente se denomina rango de por columnas al n umero m aximo de vectores columna linealmente independientes TEOREM DELRNGO Encualquiermatrizelrangopor lasesigualalrangoporcolumnas. NOT: Elrangodeunamatriz,sedenotapor rg() TEOREM (aracterizaci on delrango mediantedeterminantes) Elrangodeunamatrizeselordendelmayormenornonulo.

13 Matem aticas Matrices ydeterminantes OROLRIO Sean ¹u ;:::;¹u n 2IK n.. ¹u ;:::;¹u k, con k n, son linealmente independientes si y s olo si rg() = k, donde tiene como vectores la (o columna)a ¹u ;:::;¹u k. 2. ¹u ;:::;¹u k,con k n,sonlinealmentedependientessiys olo si rg()<k,donde tienecomovectores la(ocolumna) a ¹u ;:::;¹u k. 3. ¹u ;:::;¹u n sonvectoreslinealmentedependientessiys olosi det=,donde tienecomovectores la(ocolumna)a ¹u ;:::;¹u n PROPIEDDES.ambiosenunamatrizquenovar ³anelrango: (a)intercambiar lasentres ³(columnas). (b) Suprimir una la(columna) cuyoselementos seannulos. (c)suprimiruna la(columna)queseacombinaci onlinealde otras. (d)multiplicartodosloselementosdeuna la(columna)por un n umerodistinto de cero. (e)sumarauna la(columna)unacombinaci onlinealdelas restantes. 2.Si 2 M m n (IK),entonces rg() minfm;ng.

14 Matem aticas Matrices ydeterminantes 45 3.Si 2 M n n (IK) y esinversibleentonces rg()=n. 4. rg(i n )=n. 5. rg(o)=. 6.Si 2 M m n (IK);entonces rg()=rg( t ). 7.Si 2 M m n (IK)y 2 M n p (IK),entonces rg() minfrg();rg()g: DEFINII ON Sea 2 M n n (IK),donde=(a ij ). Sede netrazade i n j n,ysedenotapor tr(),alasumadeloselementosdeladiagonal de,esdecir, X tr()= n a ii : i= PROPIEDDES Sean ; 2 M n n (IK) y 2IK.. tr( t )=tr(). 2.Si 2IK,entonces tr( )= tr(). 3. tr(+)=tr()+tr(). 4. tr()=tr().

15 Matem aticas Matrices ydeterminantes MTRIES PRTIIONDS Sean 2 M m n (IK),m ;:::;m r ;n ;:::;n s 2INcon r X y s X j= n j =n. Lamatriz puederepresentarsecomo: = donde ij 2 M mi n j (IK). s r rs Sediceque est aparticionadaen rs bloquespor (m ;:::;m r ;n ;:::;n s ): i= m i =m 3.7. OPERIONES ON MTRIES PRTIIONDS ²Suma: Sean ; 2 M m n (IK) matricesparticionadaspor (m ;:::;m r ;n ;:::;n s ), = Entonces, += s r rs ;= s r rs + s + s r + r rs + rs :

16 Matem aticas Matrices ydeterminantes 47 ²Productoporescalares: Sean 2 M m n (IK) matrizparticionadapor (m ;:::;m r ; n ;:::;n s ) y 2IK,entonces = ²Productodematrices: s r rs Sean 2 M m n (IK) y 2 M n p (IK) matrices particionadaspor(m ;:::;m r ;n ;:::;n s )y(n ;:::;n s ;p ;:::;p k ), respectivamente,entonces est aparticionadapor(m ;:::;m r ; p ;:::;p k ) donde ij = s X l= == il lj. k r rk : ; PROPOSII ON Sea 2 M n n (IK) particionadapor (n ;n 2 ;n ;n 2 ), = Si 2 =O2M n n 2 (IK) o 2 =O 2 M n2 n (IK),entonces det=det det 22. :

17 Matem aticas Matrices ydeterminantes INVERS PRTIIOND Sea 2 M n n (IK) particionadapor (n ;n 2 ;n ;n 2 ) = Si 22 esregular,entonces donde: = Si esregular,entonces donde: : ; =( ) ; 2 = 22 2 ; 2 = 2 22; 22 = : = ; = = 2 22 ; 2 = 22 2 ; 22 =( ) : ;

18 Matem aticas Matrices ydeterminantes SISTEMS DE EUIONES LINELES 3.8. DEFINII ON Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc ognitasa unconjuntode ecuaciones de la forma: a x +a 2 x 2 + +a n x n = b a 2 x +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a m x +a m2 x 2 + +a mn x n = b m donde 8i 2 f;:::;mg 8j 2 f;:::;ng a ij ;b i 2IR. ² a ij sonlos coe cientes del sistema. ² b i sonlos t erminos independientes del sistema. ² x j sonlas inc ognitas del sistema. Sedenominasoluci on del sistemaatodovector(s ;s 2 ;:::;s n )que veri calassiguientesigualdades: a s +a 2 s 2 + +a n s n = b a 2 s +a 22 s 2 + +a 2n s n = b 2 a m s +a m2 s 2 + +a mn s n = b m Forma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc ognitas: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n... a m a m2 a mn x x 2 x m = b b 2 b m ; obien ¹x= ¹ b;

19 Matem aticas Matrices ydeterminantes 5 donde 2 M m n (IK) es la matriz de los coe cientes del sistema, ¹x 2 M n (IK) el vector de las inc ognitas del sistema y ¹ b 2 Mm (IK) elvectordet erminosindependientesdelsistema. lasi caci onde los sistemas de ecuaciones en funci ondel conjunto desoluciones:. Incompatible: cuando no admite soluci on. 2. ompatible: cuando admite soluci on. su vez puede ser: (a) Determinado: cuandoadmite una unica soluci on. (b) Indeterminado: cuando admite m asde una soluci on. lasi caci on de los sistemasde ecuaciones atendiendo a sust erminos independientes:. Homog eneo: elvector ¹ b esnulo. 2. No homog eneo: almenosalgunadelascomponentesde ¹ b es distinta de cero. Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se representapor (j ¹ b),alamatrizqueseobtienealaadiralamatriz lamatrizcolumna ¹ b. Portanto, (j ¹ b) 2 M m (n+) (IK) ytoma laforma: a a 2 a n b (j ¹ a b)= 2 a 22 a 2n b 2 :... a m a m2 a mn b m

20 Matem aticas Matrices ydeterminantes TEOREM DE ROUH E-FROENIUS Unsistemade mecuacioneslinealesconn inc ognitases:.ompatiblesiys olosi rg()=rg(j ¹ b). dem as, (a) Si rg() =n, entoncesel sistema esdeterminado. (b) Si rg() <n, entoncesel sistema esindeterminado. 2.Incompatiblesiys olosi rg()<rg(j¹b) OSERVI ON Todos lossistemas homog eneosde laforma ¹x =¹ soncompatibles, rg() =rg(j¹), ysiempre admitencomo soluci on: denominada soluci on trivial. x =;x 2 =;:::;x n =; El sistema homog eneo ¹x = ¹ de m ecuaciones lineales con n inc ognitas: ²S olotienesoluci ontrivialsi rg()=n. ² dmite in nitas soluciones si rg() <n.