APENDICE MATEMÁTICO. Decimos que el conjunto D tiene un máximo (mínimo) З una cota superior (inferior) del conjunto D que pertenece al conjunto D
|
|
- Nicolás Gutiérrez García
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Extremos de una función: Máximo, mínimo, cotas, supremo e ínfimo Definiciones: APENDICE MATEMÁTICO Decimos que D R es un conjunto acotado superiormente З k, k Є R / para todo x Є D se cumple que x k. k se denomina cota superior del conjunto D. Decimos que D R es un conjunto acotado inferiormente З h, h Є R / para todo x Є D se cumple que h x. h se denomina cota inferior del conjunto D. Definiciones: Supremo e ínfimo Decimos que k es el supremo ( o extremo superior) del conjunto D conjunto D y para todo δ > 0, З x, x Є D / k δ < x k. Decimos que h es el ínfimo ( o extremo inferior) del conjunto D conjunto D y para todo δ > 0, З x, x Є D / h x < h + δ. Definiciones: (Máximo i mínimo de un conjunto) R k es cota superior del R h es cota inferior del Decimos que el conjunto D tiene un máximo (mínimo) З una cota superior (inferior) del conjunto D que pertenece al conjunto D Máximo y mínimo de una función en un conjunto que pertenece a R d Definiciones: (Máximo de una función en un conjunto) Sea ƒ : A = R d R / C A, diremos que el real M es el máximo de la función ƒ en el conjunto C, З un x M Є C / ƒ(x M ) = M y M f(x) para todo x Є C Esto significa que el conjunto de reales ƒ(c) = { ƒ(x) / x Є C } tiene un máximo. Definiciones: (mínimo de una función en un conjunto) Sea ƒ : A = R d R / C A, diremos que el real m es el mínimo de la función ƒ en el conjunto C, З un x m Є C / ƒ(x m ) = m y m f(x) para todo x Є C Esto significa que el conjunto de reales ƒ(c) = { ƒ(x) / x Є C } tiene un mínimo
2 Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Ejemplo: Sea: ƒ : A = R 2 R / ƒ(x, y) = x 2 + y 2. Hallar, si З máximo y mínimo de ƒ en R 2. 1º Observar que ƒ(x, y) = x 2 + y 2 0. Para todo (x,y) Є R 2, luego 0 = ƒ(0, 0) = mín. R 2 ƒ. 2º Observar que ƒ (R 2 ) = [0, ) por lo que el mín. R 2 ƒ = mín. ƒ (R 2 ) = 0 3º En esta función no existe máx.ƒ (R 2 ) pues el conjunto ƒ (R 2 ) no tiene máximo. Definiciones: Conjuntos de nivel Se considera la función ƒ: A R d R, llamamos conjunto de nivel α Є R de la función ƒ, al conjunto C ƒ, α = { x Є A: ƒ(x)= α } ; o sea, que C ƒ, α se compone de todos los puntos del dominio de ƒ donde la función ƒ alcanza el valor α. Ejemplo:Sea ƒ: R 2 R / ƒ(x, y) = x + y. Hallar el conjunto de nivel α de ƒ para cada α Є R. Primero, planteamos el conjunto: C ƒ, α = { (x,y) Є R 2 : ƒ(x,y) = α } = { (x,y) Є R 2 : x + y = α} Entonces, para cada α Є R, el conjunto de nivel α de ƒ es una recta de coeficiente angular 1 que corta al eje vertical en y = α Por ejemplo: C ƒ, 0 = { (x,y) Є R 2 : ƒ(x,y) = 0 } = { (x,y) Є R 2 : x + y = 0} conjunto de nivel 0 de ƒ C ƒ, 1 = { (x,y) Є R 2 : ƒ(x,y) = 1 } = { (x,y) Є R 2 : x + y = 1} conjunto de nivel 1 de ƒ z = 2 z = 1 Y-x=0 = z z = - 1
3 Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Continuidad de una función: Definición: Función continua en un punto. Decimos que ƒ: R 2 R es continua en (a.b) Є Dom (ƒ) sii dado ε > 0, cualquiera, З δ > 0 / sii (x,y)є [B ((a,b),δ) Dom( ƒ )] ƒ(x,y) Є [ƒ (a,b) ε, ƒ (a,b) + ε ] B (ƒ(a,b),ε) Ejemplo: Sea ƒ: R 2 R / xy 2 (x,y) (0,0) ƒ(x, y) = x 2 +y 4 Estudiar si es continua en (0,0) 0 (x,y) = (0,0) Cuando hay un punto de discontinuidad, podemos intentar ver que pasa si nos acercamos a la función por diferentes caminos. R y=0 con x 0 + R x=0 con y 0 + R1:y = x Rm:y = mx R 1: y =x con x 0 R m: y = mx con x 0 Veamos que: ƒ R y=0 : ƒ(x, 0) = x0 2 = 0 = 0 0 = ƒ(0, 0) x x 2 ƒ R x=0 : ƒ(0, y) = 0y 2 = 0 = 0 0 = ƒ(0, 0) 0 2 +y 4 y 4 ƒ R 1 : ƒ(x, y) = ƒ(x, x) = xx 2 = x 3 = x = 0 0 = ƒ(0, 0) x 2 +x 4 x 2 (1+ x 2 ) (1+ x 2 ) (1+0) ƒ R m : ƒ(x, y) = ƒ(x,mx) = x(mx) 2 = m 2 x 3 = m 2 x = 0 = ƒ(0, 0) x 2 +(mx) 4 x 2 (1+ m 4 x 2 ) (1+ m 4 x 2 ) Deberíamos probar otro tipo de acercamiento al punto: Tomemos R 3: y = x 1/2 ; y 2 = x con x 0 ƒ R m : ƒ(x, y) = ƒ(x, x) = x( x) 2 = x 2 = 1 0 Con esto alcanza para decir que la x 2 +( x) 4 2x 2 2 función no es continua en el punto (0,0), porque existe al menos un camino, por el cual no tiende a 0.
4 Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Decimos que ƒ:a R, Dom (ƒ) = A R 2 : Extremos Absolutos:Teorema de Weierstrass i) tiene un máximo absoluto en (a,b) si se cumple que ƒ (x,y) ƒ (a,b), para todo (x,y) Є A. ii) tiene un mínimo absoluto en (c,d) si se cumple que ƒ (c,d) ƒ (x,y), para todo (x,y) Є A. Definiciones: (Conjuntos acotados en R d ) Diremos que C R d es un conjunto acotado k > 0 / cualquiera sea x Є C se cumple que x k También se puede afirmar que C R d es un conjunto acotado З B (0,δ) / C B (0,δ). Teorema de Wierstrass: Si ƒ: C entonces, R d, con D = Dom ( ƒ ) es cerrado, acotado (Compacto) y la función ƒ es contínua en C, Existen máximos y mínimos en el dominio C = Dom ( ƒ) ( ƒ en C tiene máximo y mínimo ) Lema: con igual Hipótesis concluimos que f acotada en C. Ejemplo: abstracto, en R 2. z=f(x,y) (a,b)
5 Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Ejemplo: Sea ƒ: R 2 R / ƒ(x, y) = x 2 + y 2. Hallar si existen máximo y mínimo de ƒ en C={ (x,y) Є R 2 : x 2 + y 2 1 } = B (0,1) Sup z=1 Entonces, aquí vemos que la función es continua en R 2, en particular es continua en C que es un conjunto compacto (cerrado y acotado). El teorema de Weierstrass nos asegura que, aquí, existen un máximo y un mínimo de ƒ en C. Observemos que: 0 ƒ(x, y) = x 2 + y 2 1 para todo (x,y) Є C. De aquí se concluye que 0 = ƒ(0, 0) = mín. C ƒ y 1 = máx. C ƒ. El valor máximo de ƒ se alcanza en todos los puntos de la frontera del conjunto C. Cuando una función es diferenciable: Definiciones: Una función ƒ (x,y) se dice diferenciable en (a,b) sii existen dos reales A,B Є R / ƒ (x,y) = ƒ (a,b) + A (x a) + B(y b) + R(x, y) y además lím R(x,y) = 0 (x,y) (a,b) (x-a),(y-b) Teorema: H) ƒ es diferenciable en (a,b) T) i) ƒ es continua en (a,b) ii) З las derivadas parciales y son: D 1 ƒ(a,b) = A D 2 ƒ(a,b) = B iii) З las derivadas direccionales y vale D μ ƒ(a,b) = D ƒ(a,b) μ Recordar que: Una función es diferenciable entonces es continua Si una función NO es continua entonces, no es diferenciable!!! Importante: que una función continua no implica la diferenciabilidad Es condicion suficiente de diferenciabilidad: Sea ƒ / З las Di ƒ (x,y) para todo (x,y) Є B ((a,b),δ) y además dichas derivadas parciales son continuas en (a,b) ƒ es diferenciable en (a,b) Esta condición, es suficiente, pero no es necesaria. Existen funciones derivables con derivadas parciales discontínuas.
6 Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci Extremos en funciones de Varias Variables: Definiciones: Decimos que ƒ: D R 2 : R, tiene: i) tiene un Máximo Absoluto (MA) en (a,b) sii ƒ (x,y) ƒ (a,b), para todo (x,y) Є D. ii) tiene un mínimo Absoluto (ma) en (a,b) sii ƒ (x,y) ƒ (a,b), para todo (x,y) Є D. iii) tiene un Máximo Relativo (MR) en (c,d) sii ƒ (x,y) ƒ (c,d), para todo (x,y) Є B ((c,d),δ) iii) tiene un mínimo Relativo (mr) en (c,d) sii ƒ (x,y) ƒ (c,d), para todo (x,y) Є B ((c,d),δ). Definición: Llamamos puntos estacionarios (P.E.) a aquellos puntos donde el gradiente es nulo. Definición: Si en un punto no existe alguna de las derivadas parciales y las que existen son nulas, ese punto se llama punto crítico (P.C) Definición: Decimos que (a,b) es un punto de silla, si Diƒ (a,b) = 0 para todo i Existen ƒ (x',y') ƒ (a,b) y ƒ (x'',y'') ƒ (a,b) con (x',y'),(x'',y'') Є B ((a,b),δ) Ejemplo: ƒ (x,y) = x 2 y (8 x y ) Estudiar extremos 1º - buscamos puntos de no existencia, en este caso, no existen puntos críticos, porque la función es pólinómica, por lo que existen infinitas derivadas parciales. La función es contínua. 2º - buscamos puntos estacionarios de la función: Esto es Jƒ (x,y) = σ D x ƒ (x,y) = [ 8x 2 y x 3 y x 2 y 2 ]' x = 16xy 3x 2 y 2xy 2 = 0 (1) D y ƒ (x,y) = [ 8x 2 y x 3 y x 2 y 2 ]' y = 8x 2 x 3 2 x 2 y = 0 (2) En (1), xy( 16 3x 2y) = 0 : Posibles sol: x = 0; y = 0 ; 3x+2y = 16 En (2), x 2 ( 8 x 2 y) = 0 : Posibles sol: x = 0; x + 2y = 8 Nuestros puntos estacionarios serán: x = 0, x = 0 Eje Oy x = 0, x + 2y = 8 (0,4) Є eje Oy y = 0, x = 0 (0,0) Є eje Oy y = 0, x + 2 y = 8 (8,0) 3x+2y = 16 ; x= 0 (0,8) 3x+2y = 16 ; x + 2 y = 8 (4,2) Todos estos puntos, son candidatos a extremos: todos los (0,y) Є eje Oy ( 8, 0 ) ( 4, 2 ) Ahora planteamos el signo de la función: ƒ (x,y) = x 2 y (8 x y )
7 Microeconomía Avanzada I Apéndices Matemáticos - Tania Larrainci T De los candidatos, vemos pto (8,0) es un punto silla, por lo que no será no máximo ni minimo. El punto (4,2) queda en el interior del área triangular positiva Llamemos T a este triángulo, es un conjunto cerrado y acotado y f es polinómica y contínua, por lo cual por Weierstrass, existe un máximo o un mínimo absoluto en T. Como el área es positiva, por lo tanto, los valores al interior de T son mayores que en su frontera, donde los valores son 0, en el punto (4,2) encontramos un máximo absoluto en T. Si observamos detenidamente el dibujo del signo de f, podremos ver que, para los puntos estacionarios que teníamos, obtenemos la siguiente información: Ptos. Estacionarios (8,0); (0,0) ; (0,8) = punto silla (4,2) = Máximo Relativo, Máximo absoluto en T (0,y) = con y < 0, y > 8 tenémos Máximos relativos con y Є ( 0, 8 ) obtenemos mínimos relativos.
8 Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Consideramos: Extremos condicionados (restricciones de igualdad) ƒ : A = R d R y el conjunto S A, donde se quieren determinar los máximos i mínimos relativos de la restricción ƒ s Sean las funciones g: A = R d R m con m<d siendo g i las funciones componentes. El conjunto S = {x Є A/ g i (x) = 0 } que se puede expresar también como: S = { x Є A / g i = 0} S = { x Є A / g i = 0 } siendo g i las funciones de restricción. Busquemos los extremos relativos de la restricción de ƒ en el conjunto S. Teorema: Sean las funciones ƒ: A = R 2 R, g : A = R 2 R de clase C1 en una bola B (a,b),r / g(a,b)=0, D 2 g(a,b) = 0. Se sabe que la restricción de ƒ al conjunto S = {(x,y) Є A / g(x,y)=0} tiene un extremo relativo en (a,b) (diremos que ƒ tiene en (a,b) un extremo relativo condicionado por S ), entonces, З λ Є R / F:F(x,y) = ƒ(x,y) + g(x,y) tiene un punto estacionario en (a,b) OBSERVACIONES: El λ! (es único) y se denomina multiplicador de Lagrange. La función F λ se le llama Función Lagrangiana. Este teorema, nos plantea una condición necesaria, para la existencia de puntos ó conjuntos candidatos a extremos relativos. Los candidatos a extremos son, los puntos que verifican: Jƒ (x,y) + λ Jg(x,y) = (0,0) g(x,y) = 0 Ejemplo: Sea ƒ: ƒ(x,y) = x 2 + (y-1) 2 con S = {(x,y) Є R 2 / 4 y -x 2 = 0} Lo primero es visualizar que es: x 2 + (y-1) 2 = z.= r 2 Es una circunferencia, de centro (0,1) y radio z. Lo que también puede interpretarse como la distancia (z), del puto (0,1) al conjunto S. Gráficamente: g(x,y) = 4 y -x 2 = 0 que es: y = x 2 /4 parábola con vertice en (0,0) Entonces, si lo que intentamos es hallar el mínimo de la distancia del punto (0,1) a S, buscamos los candidatos a extremo, utilizando el teorema anterior: D x ƒ(x,y) + λ g x (x,y) = 2 x + λ (-2x) = 0 (1) D y ƒ(x,y) + λ g y (x,y) = 2( y 1) + λ (4) = 0 (2) g(x,y) = 4 y -x 2 = 0 (3) De (1) despejando: 2 x = 2x λ 2x / 2x = 1 = λ De (2) sustituyo λ= 1 2( y 1) + 1 (4) = 2y 2 +4= 2 y +2 = 0 y = - 1 De (3), sustituyo y = -1-4 x 2 = 0-4 = x 2 imposible x 2 > 0 para todo x
9 Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Nos queda ver que pasa cuando la función g(x,y)=0, esto es en (0,0), vemos que el valor de ƒ(x,y)=1. Entonces verificamos que 1, es la distancia mínima de ƒ(x,y) a S. Existe otra manera de visualizar el mismo resultado, que consiste en extraer una relación entre x e y del conjunto S. De manera tal que a través del teorema de la función implicita se susttuyen los valores y se realiza el estudio de una función φ(x) de manera tal, que cuando φ(x) = 0, se encuentra la distancia mínima. Extremos condicionados: (Con restricciones de desigualdad) Sea ƒ : A = R d R, g: A = R d R m siendo g i las funciones componentes de g y el conjunto S A, S = {x Є A/ g i (x) 0 }; pudiéndose expresar S de diferentes maneras. Notación: i=m S = i=1 {x Є A/ g i (x) 0 } o S = {x Є A/ g 1 (x) 0, g 2 (x) 0,..., g m (x) 0 } El Problema se plantea como, encontrar el mínimo (absoluto) de la función ƒ en S. Que puede existir o no. Sii existe, será xˆ Є S, óptimo / ƒ(xˆ) ƒ(x), para todo x Є S. El Problema se plantea: (P) mín ƒ(x) ó (P) mín ƒ(x) x Є S. g(x) 0, para todo x Є A Si quisiéramos hallar un máximo, tan sólo basta con dar vuelta el signo de la función. Cómo se procede: Se construye una familia de funciones que se llaman funciones de Lagrange / (F λ ) 0 λ con λ Є R m y F λ :F λ (x) = ƒ(x) + λ tr g(x) entonces, 0 λ, con λ Є R m decimos que las componentes de dicho vector son no negativas. Plantemos: F λ :F λ (x) = ƒ(x) + 1 m λ i g i (x) Entonces, es condición suficiente para la existencia de óptimo: Teorema: H) З λ 0 / x λ es óptimo de P λ g i (x) 0 ; λ i g i (x λ ) = 0 x λ Є C con i = 1,2,..., m. T) x λ es óptimo de P λ. Sabremos que P será convexo, si f, gi son convexas. En este caso, sabemos que si x λ es óptimo de P λ Entonces, x λ es un punto estacionario y por lo tanto J Fλ (x λ ) = 0 Ejemplo: Se ve en el ejemplo siguiente.
10 Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Condiciones de Kuhn-Tucker Asociadas al problema (P) Sean ƒ : A = R d R, diferenciable en el abierto A. Las condiciones de K-T asociadas a P son: K-T = Jƒ(x) + 1 m λ i Jg i (x) = 0 λ i g i (x) = 0 para i = 1,2,...,m ; x Є A g i (x) 0 con i = 1,2,..., m. 0 λ i Si se agrega la hipótesis de que las funciones son convexas, para todo (x,λ) que verifica K-T, x λ es óptimo de P. En el caso convexo, las condiciones de K-T son suficientes para la existencia de un óptimo: Ejemplo: P mín ƒ(x 2 + y 2 ) s.a. 2 x y 0 Veamos que minimizar ƒ, equivale a hallar la mínima distancia de ƒ(x,y) restringida al conjunto S. Aquí, S tiene una restricción, que es 2 x y 0 Si planteamos el problema según K T, nos quedaría: mín x 2 + y 2 P 2 x y 0 - x 0 y 0 x + y > 2 La primera restricción nos ubica sobre la recta. Las tercera y cuarta restricción, nos ubican en el 1er cuadrante. Hora planteamos las condiciones de K T: F λ : F λ = (x 2 + y 2 ) + λ 1 (2 x y ) + λ 2 ( x ) + λ 3 ( y) Planteamos: δ F λ = 0 2 x λ 1 - λ 2 = 0 δ x δ F λ = 0 2 y λ 1 - λ 3 = 0 δ y δ F λ = 0 2 x y = 0 δ λ
11 Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Ahora plantemos todas las condiciones: Veamos: 2 x λ 1 λ 2 = 0 2 x λ 2 = λ 1 de aquí, 2 x λ 2 = 2 y λ 3? 2 y λ 1 λ 3 = 0 2 y λ 3 = λ 1 λ 1 (2 x y ) = 0 2 x y = 0 x = 1 λ 2 ( x ) = 0 x = 0 y = 1 Ahora se prueba si (1,1) λ 3 ( y) = 0 y = 0 verifica K-T, en las condiciones con λ i > 0 para todo i antes planteadas. (x,y) Є S Entonces: 2.1 λ 1 0 = 0 λ 1 = λ 1 0 = 0 0 ( - 1) = 0 y cumple con λ i > 0 para todo i ; (x,y) Є S 0 ( -1 ) = 0 2 ( ) = 0 Entonces, (1,1) es el punto que optimiza la distancia mínima a S. En un punto regular, K T es necesario. Definiciones: Se llama restricción activa o saturada en a Є S, a c/u de las restricciones de S que cumple g i (a) = 0. Se llama restricción inactiva o insaturada en a Є S, a c/u de las restricciones de S que cumple g i (a) 0. Si Ia = {conjunto de los índices de restricciones saturadas}, entonces, decimos que a es un punto regular de S sii Jg i (a) / i Є Ia es L.I. Ejemplo: Si tomamos un conjunto S = { (x,y) Є R 2 / 0 y, x 3 y 0, x y 2 0} Si observamos el dibujo, podemos ver, que en el punto (0,0) hay dos restricciones activas y una que no lo es. En los puntos donde las dos restriciones son activas los Jacobianos o gradientes de la función, son L.D. De ahí, se concluye que el punto no es un punto regular de las restricciones. 0 < y Ahora, si tomamos el punto (-1,0), vemos que hay una única restricción activa, de donde se concluye que es punto regular de la restricciones de S. Ahora tomamoes el punto (-2,0) por donde pasan dos restricciones, pero al calcular los gradientes y evaluarlos en dicho punto, descubrimos que son linealmente independientes, por lo que el punto es un punto reglar de las restricciones de S.
12 Microeconomía Avanzada I Tania Larrainci Apendices Matemáticos (Parte II) Teorema: Sea ƒ : A = R d R, g: A = R d R m diferenciables, con S = {x Є A/ g i (x) 0 } y x^ es óptimo de (P) { mín ƒ(x) con x Є S, un punto regular de las restricciones de S, entonces, x^ verifica las condiciones de K-T asociadas al problema P.
13 Microecnomía Avanzada I Apendices Matemáticos - Tania Larrainci MATRICES. PROPIEDADES OPERACIONES CON MATRICES. NOTACION MATRICIAL. Definición: Sea A mxn / A= (a ij ) mn y se escribe como: Y A mxn cumple las propiedades : 1) asociativa respecto a la suma y la multiplicación. 2) Conmutativa respecto a la suma y la multiplicación. 3) Distributiva respecto a la suma por la derecha (o por la izquierda) 1) nos dice que si existen dos matrices A y B, del mismo orden, sus miembros se suman uno a uno: a11 K a1 n b11 K b1 n a11 + b11 K a 1n + b1 n M O M + M O M = M O M a L a b L b a + b L a + b m1 mn m1 mn m1 m1 mn mn la multiplicación se da con A mxn y B nxp : b11 K b 1p M O M bn 1 b L np a K a M O M am 1 L a 11 1n mn = C m x p = ( a i1 b 1j ) mxp 2) A + B = B + A A B B A 3) (A + B) C = AC + AB CA + BA AB + AC A ( B + C) = AB + AC ( ABC) = (AB) C = A (BC)
14 Microecnomía Avanzada I Apendices Matemáticos - Tania Larrainci Ahora con esta notación, se puede escribir un sistema de ecuaciones de forma matricial. Si partimos del siguiente sistema: Recordando que al sumar una componente escalar ( que es como tener una matriz 1 x 1), obtenemos el siguiente resultado: Aplicando álgebra de matrices a nuestro anterior sistema, obtenemos: nos queda el sistema resumido a la siguiente expresión:
Algebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesMay 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN
May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p
Más detallesLección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos
Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto
Más detalles1 Números reales. Funciones y continuidad.
1 Números reales. Funciones y continuidad. En este tema nos centraremos en el estudio de la continuidad de funciones reales, es decir, funciones de variable real y valor real. Por ello es esencial en primer
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
Más detallesTeorema del valor medio
Práctica 6 - Parte 1 Teorema del valor medio El teorema del valor medio para derivadas (o teorema de Lagrange) es un resultado central en la teoría de funciones reales. Este teorema relaciona valores de
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo. Contenidos
Cálculo Coordinación de Matemática I MAT021 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo Contenidos Clase 1: La Ecuación Cuadrática. Inecuaciones de grado 2, con y sin valor absoluto. Clase
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesMatriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a
Más detallesTEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 1.1 DEFINICIÓN AXIOMATICA DE LOS NÚMEROS REALES 1.1.1 Axiomas de cuerpo En admitimos la existencia de dos operaciones internas la suma y el producto, con estas operaciones
Más detallesALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.
ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA 520135, 522115 Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K
Más detallesEn la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253
Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían
Más detallesCapítulo 8: Vectores
Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no
Más detallesProblema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y),
Problema. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x + y cos(xy), (b) f(x, y) = x x + y, (c) f(x, y) = log x + y x y, (d) f(x, y) = arctan x + y x y, (e) f(x, y) = cos(3x)
Más detallesBLOQUE 1. LOS NÚMEROS
BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números
Más detallesUNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL
UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que en forma reducida se puede expresar de la siguiente forma:
Más detallesTEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y
Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos
Más detalles2. El conjunto de los números complejos
Números complejos 1 Introducción El nacimiento de los números complejos se debió a la necesidad de dar solución a un problema: no todas las ecuaciones polinómicas poseen una solución real El ejemplo más
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,
Más detallesMATEMÁTICAS II CC III PARCIAL
UNIDAD DIDÁCTICA #3 CONTENIDO ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA TIPOS DE ECUACIONES RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES INECUACIONES LINEALES 1 ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA Una ecuación es una
Más detallesMÉTODOS MATEMÁTICOS DE LA ECONOMÍA
Universidad de Valladolid Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Subsección de Matemáticas Esquemas teóricos de la asignatura de las licenciaturas en Economía
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesFunciones convexas Definición de función convexa. Tema 10
Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detalles1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como:
Más detalles1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.
. Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesFUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO
FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesUNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesEn las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x 0. (en este caso, para x 0 =2)
UNIVERSIDAD DEL VALLE PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO CONTINUIDAD. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral..- Continuidad en un intervalo. 3.- Operaciones con funciones continuas 4.- Discontinuidades.
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesModelización por medio de sistemas
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Modelización por medio de sistemas d y dy Ecuaciones autónomas de segundo orden: = f ( y, ) Una variable independiente. Una variable dependiente. La variable
Más detallesTeoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detallesCurso Curso
Problema 84. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de radio R y sea O el punto medio del segmento AB. Con centro en A y radio OA se traza el arco de circunferencia OM. Calcular, en función de R,
Más detallesNotas sobre el teorema minimax
Notas sobre el teorema mini Antonio Martinón Abril de 2012 1 Teoremas mini Sean X e Y dos conjuntos no vacíos y consideremos una función Se verifica sup inf efectivamente, dado x X resulta claro que f
Más detallesCOL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que
Más detallesSESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio opción A, modelo de año 200 [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función a maximizar A (/2)(x)(y)
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesÁreas entre curvas. Ejercicios resueltos
Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular
Más detallesCÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II
CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesALGEBRA y ALGEBRA LINEAL. Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE.
ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 Primer Semestre CAPITULO 6. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K (Q,
Más detallesCurso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad
y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales
Más detallesCAPÍTULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n.
April 15, 2009 En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n. 1. Introducción Definición 1.1. Dada una aplicación f : D R, definimos la derivada parcial segunda de f como D ij f = 2 f = ( ) x
Más detallesIES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina
Más detallesSemana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos
Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.
Más detallesLímite de una función
Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden
Más detallesCuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 IDEAS SOBRE CONJUNTOS Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto. Los conjuntos se pueden
Más detalles1.3.- V A L O R A B S O L U T O
1.3.- V A L O R A B S O L U T O OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de Valor Absoluto y sepa emplearlo en la resolución de desigualdades. 1.3.1.- Definición de Valor Absoluto. El valor absoluto
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesI.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1
PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número
Más detallesLímites y Continuidad de funciones de varias variables
1- Se construe un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro de su altura h - Determinar
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 4. Números reales y números complejos
NÚMEROS REALES Como se ha señalado anteriormente la necesidad de resolver diversos problemas de origen aritmético y geométrico lleva a ir ampliando sucesivamente los conjuntos numéricos, N Z Q, y a definir
Más detallesProblema a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente.
Problema 717.- a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente. Hallar el lugar geométrico de los puntos comunes a
Más detallesTema 7.0. Repaso de números reales y de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números
Más detallesCálculo II. Tijani Pakhrou
Cálculo II Tijani Pakhrou Índice general 1. Nociones topológicas en R n 1 1.1. Distancia y norma euclídea en R n.................... 1 1.2. Bolas abiertas y cerradas en R n..................... 3 1.3.
Más detallesJesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014
Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj 1 / 18 Jesús Getán y Eva Boj 2 / 18 Un Programa lineal consta de: Función objetivo. Modeliza
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Una matriz A m n es un arreglo
Más detallesSemana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones
Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,
Más detallesTema 2.- Formas Cuadráticas.
Álgebra. 004 005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema.- Formas Cuadráticas. Definición y representación matricial. Clasificación de las formas
Más detallesECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos Para tomar el curso de ecuaciones en derivadas parciales es importante la familiaridad del alumno con los conceptos que se detallan a continuación. Sugerimos
Más detallesTeorema del valor medio
Tema 10 Teorema del valor medio Podría decirse que hasta ahora sólo hemos sentado las bases para el estudio del cálculo diferencial en varias variables. Hemos introducido el concepto general o abstracto
Más detallesLUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS
9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS Página PARA EMPEZAR, RELEXIONA Y RESUELVE Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatrices con el
Más detallesUnidad 3: Razones trigonométricas.
Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define
Más detalles1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)
Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas
Más detallesTema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.
TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1
Más detalles4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios
Más detallesVARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL
VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL (Curso 00-00) HOJA Ejercicio. Determina en qué recintos es holomorfa la siguiente función: f(x + iy) x + ay + i(bx + cy) En este caso consideramos: u(x, y) x + ay
Más detalles«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»
TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento
Más detalles1 Funciones de Varias Variables
EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3,
Más detallesMatemáticas Aplicadas a los Negocios
LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:
Más detalles1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Más detallesLa variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesMATRICES. M(n) ó M nxn A =
MTRICES Definición de matriz. Una matriz de orden m n es un conjunto de m n elementos pertenecientes a un conjunto, que para nosotros tendrá estructura de cuerpo conmutativo y lo denotaremos por K, dispuestos
Más detallesIntegrales dobles. Integrales dobles
Integrales dobles Integrales iteradas b g2 (x) a g 1 (x) f(x, y) dydx ó d h2 (y) c h 1 (y) f(x, y) dxdy Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración,
Más detalles