CIRCUNFERENCIA. 1. Definiciones

Transcripción

1 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 IRUNFERENI istintas estructuras de ruedas La rueda, considerada uno de los inventos más importantes de la historia, tiene más de años de antigüedad, y desde su nacimiento ha sido crucial para los dispositivos mecánicos. Las ruedas que vemos aquí son relativamente complejas en comparación con los primeros modelos. Los primeros rodamientos, que hacen que las ruedas giren con más suavidad, aparecieron alrededor de 100 a.. Las primeras ruedas eran discos macizos; después surgió el diseño de radios, resistente y más ligero. Giróscopo Este giróscopo está diseñado de forma que el volante y el eje puedan apuntar en cualquier dirección. Los giróscopos son útiles en navegación porque poseen rigidez espacial: un giróscopo en rotación montado en un vehículo siempre apunta en la misma dirección, por lo que permite determinar la orientación sin recurrir a referencias visuales, no siempre disponibles (de noche o con niebla, por ejemplo). 1. efiniciones ircunferencia, es la curva plana en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. írculo, es la superficie plana limitada por una circunferencia. IRUNFERENI 1

2 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M Elementos ualquier segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina. Un es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una es cualquier segmento cuyos extremos están en la circunferencia. Un de circunferencia es la parte de esta, delimitada por dos puntos. Un es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios. La razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante, representada por la letra griega (pi). es una de las constantes matemáticas más importantes y juega un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. es aproximadamente 3, El matemático griego rquímedes encontró que el 1 10 valor de estaba entre 3 7 y rquímedes ( a.c.) 3. Medida de un arco de circunferencia Un arco de circunferencia se mide en grados: 4. Propiedades importantes 1. Toda recta tangente a una circunferencia, es perpendicular al radio en el punto de tangencia. En la figura, m es tangente, luego: m OT IRUNFERENI. 2

3 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M Un diámetro perpendicular a una cuerda de una circunferencia, biseca a la cuerda y a los arcos que subtiende. 3. Si se trazan dos cuerdas paralelas E y GF, los arcos G y EF son congruentes. 4. os cuerdas de una circunferencia, que equidistan del centro, son congruentes. IRUNFERENI. 3

4 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 Longitud de una circunferencia y longitud de un arco de circunferencia omprueba: Mida con un centímetro la circunferencia de cualquier objeto y su respectivo diámetro, comprobará que el cociente de estas dos cantidades es:. La longitud de la circunferencia se denota por y es proporcional a su diámetro, es decir, es igual al producto del diámetro por la constante (3,14159 ). L 2R Un arco de circunferencia se mide en grados. La medida del arco correspondiente a una circunferencia es 360 y el correspondiente a una semicircunferencia es 180. La longitud de un arco de circunferencia será proporcional a la fracción de circunferencia que representa dicho arco. IRUNFERENI. 4

5 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 Para calcular la longitud de un arco de circunferencia, basta con aplicar una regla de tres simple: Ángulo central Longitud de arco 360 2R x L o 2 R 360 Ejemplo: Para una circunferencia de 5cm de radio, calcule la longitud de un arco de 30. ÁRE E UN ÍRULO Y ÁRE E UN SETOR IRULR El área de un círculo se denota por y es proporcional al cuadrado de su radio. = R 2 El área de un sector circular se denota por S. S = R Ejemplos de clase: 1. Se tiene una circunferencia de 5cm de radio; calcule la longitud de un arco de Se tiene un círculo de 24m de radio; calcule el área de un sector circular de Se tiene una circunferencia de 18m de radio; calcule la longitud de un arco de Se tiene un círculo de 93,1cm de radio; calcule el área de un sector circular de Un sector circular con un área de m 2 tiene un ángulo central de 49 ; calcule el radio. 6. etermine el número de vueltas que recorre una de las ruedas de una bicicleta, en una pista horizontal, al desplazarse 11m. El radio de la rueda es de 25cm. 7. alcule el perímetro de un sector circular de 6cm de radio y 3 cm 2 de área. 8. Un atleta debe recorrer 1 200m en una pista circular de 15m de radio. uál es el menor número de vueltas que debe dar a la pista para cumplir con su meta? Una tangente a una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia en uno y sólo un punto. Propiedad de las tangentes P Los segmentos tangentes a un círculo desde un punto exterior son congruentes. IRUNFERENI. 5

6 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 Un polígono inscrito es un polígono tal que todos sus lados son cuerdas de una circunferencia. Una circunferencia circunscrita es una circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono. sí, en la siguiente figura, los triángulos, y el cuadrilátero son polígonos inscritos en la circunferencia. La circunferencia es una circunferencia circunscrita sobre el cuadrilátero. Polígonos inscritos ircunferencia circunscrita Un polígono circunscrito es un polígono tal que todos sus lados son tangentes a una circunferencia. Una circunferencia inscrita es aquella que es tangente a todos los lados de un polígono. sí, el triángulo es un polígono circunscrito a la circunferencia. La circunferencia es una circunferencia inscrita en el triángulo. Ejercicios Polígono circunscrito ircunferencia inscrita 1) Si P, P y P son tangentes, siendo, y los puntos de tangencia, se sabe que P 10cm. alcule la medida del segmento P P IRUNFERENI. 6

7 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 2) En la siguiente figura, P es el punto de tangencia, calcule la longitud del segmento P. 2 P ) En la figura mostrada P 5 y P 15, calcule la distancia entre los puntos y. P 4) Los lados, y de un triángulo son tangentes a la circunferencia inscrita en los puntos P, Q y S respectivamente, y miden 13cm, 14cm y 15cm respectivamente. alcule la longitud del segmento P. 5) En un triángulo se inscribe una circunferencia, siendo H el punto de tangencia en el lado. alcule la longitud del segmento H sabiendo que el lado mide 10cm y el perímetro del triángulo es 42cm. 6) Se tiene un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia. Si tres de sus lados consecutivos miden 5cm, 6cm y 11cm, calcule el perímetro del cuadrilátero. 7) La figura muestra dos circunferencias tangente exteriores. Si O1 y O2 son los centros de las circunferencias, y la tangente común interior corta a la tangente común exterior en P, calcule la medida del ángulo O 1PO2. ircunferencias tangentes exteriores Tangente común interior Tangente común exterior IRUNFERENI. 7

8 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 8) O 1 y O 2 son los centros de dos circunferencias tangentes exteriores. La tangente común interior corta a la tangente común exterior en el punto P, siendo y los puntos de tangencia de la tangente común exterior con las circunferencias, y T el punto de tangencia de la tangente común interior con las circunferencias. alcule la medida del ángulo T. 9) En el triángulo rectángulo, recto en,, y son tangentes. Si mide 6cm, mide 8cm y mide 10cm. calcule la longitud del radio (r). Puede plantear alguna conclusión? r 10) En un triángulo rectángulo de altura H h ( = 90 ), calcule la suma de los radios de las circunferencias inscritas al triángulo y a los triángulos parciales obtenidos al trazar la altura H. Respuestas 1. 10cm cm 5. 11cm 6. 32cm cm 10. h IRUNFERENI. 8

9 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 ÁNGULOS EN L IRUNFERENI Ángulo central Es aquel que tiene como vértice el centro de la circunferencia. Observación: Se suele decir que un arco mide, asociándolo al ángulo central. Ángulo inscrito Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas de la misma y su medida es la mitad del arco comprendido. Nota: La medida del ángulo central es 2 veces la medida del ángulo inscrito En los siguientes ejercicios, determine x: Ejercicio 1: Ejercicio 2: Ejercicio 3: x x E E m=60 ; me =150 y m =150 x es bisectriz del E 9

10 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 Ejercicio En la circunferencia mostrada trace un diámetro, y luego escoja cualquier punto de la circunferencia y únalo con los extremos del diámetro. a. uánto mide el ángulo inscrito así formado? b. Qué tipo de triángulo se forma? c. Explique porqué siempre sucede lo mismo. ngulo interior Es aquel que tiene su vértice en el interior de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas de la misma circunferencia. E X ómo calcularía la medida de dicho ángulo usando los arcos y? Qué trazo haría aparecer un ángulo inscrito? ngulo seminscrito Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia, uno de sus lados contiene una cuerda de la misma circunferencia, mientras el otro lado es una recta tangente. m T X ómo calcularía la medida de dicho ángulo usando el arco T (más pequeño)? Qué trazo haría aparecer a un ángulo inscrito? 10

11 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M 111 Ejercicio En la siguiente figura calcule la medida del ángulo x x E 1) Trace la cuerda E. 2) Identifique qué triángulo aparece 3) Identifique qué ángulos inscritos aparecen, cuál es la medida de cada uno de ellos? 4) El ángulo x es un ángulo interior de algún triángulo? 5) Qué propiedad relacionada con los ángulos internos de un triángulo puede plantearse para calcular x? 6) Entonces, cuánto vale x? 7) hora, si en lugar de 60 el arco mide 80, y en lugar de 100 el arco E mide 150, podrías calcular el mismo valor de x? Ejercicios 1. alcule las medidas de los ángulos interiores del triángulo alcule las medidas de los ángulos internos del cuadrilátero alcule las medidas de los arcos, y

12 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M En la figura =, además la medida del ángulo ˆ es 40. alcule las medidas de los arcos y. 5. En la figura: i. uántos ángulos inscritos existen? ii. uánto mide cada uno de ellos? iii. uánto(s) ángulos internos respecto iv.de la circunferencia existen? v. uánto mide cada uno de ellos? 45 m( NP) 3 m( MP) 4 6. ado: y m( MN) m( NP) 2 3 M N P Encuentre la medida de los ángulos M, N y P. 7. Si m() = 30 y m() = 20, calcule la medida del ángulo x. X 12

13 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M En la figura la medida del arco X es 190, el ángulo mide 107,5. alcule la medida del arco. X 9. Se trazan las cuerdas y perpendiculares, de tal manera que el punto de corte M se encuentra en el interior de la circunferencia si se cumple: m () = 20 y m() = 80 uánto mide el arco? 10. En la siguiente figura es tangente al círculo de centro O ( es punto de tangencia). Las medidas de los arcos E, y son 160, 50 y 60 respectivamente. Encuentre las medidas de los ángulos y E O 11. En la figura se cumple que MN es tangente a la circunferencia de centro O, además m(pq) = 100 y m (MXQ) = 150. M es punto de tangencia. N M P O X Halle las medidas de los ángulos: MNP ˆ Q PQM ˆ, MPQ ˆ PMQ ˆ 13

14 Universidad Peruana de iencias plicadas (UP) Matemáticas 2 M Si y son puntos de tangencia, calcule la medida del ángulo Se traza un ángulo exterior a una circunferencia, de tal manera que los lados de dicho ángulo son tangentes a la circunferencia. Si dicho ángulo mide 80 uánto miden los arcos subtendidos? Respuestas m 80 m 55 m 45 m 50 m 110 m 130 m y Medida del arco : 100 Medida del arco : 140 Medida del arco : Medida del arco : 80 Medida del arco : mm mn mp mmnp 20 mpqm 55 mmpq 75 mpmq 50 14