Prof Adrián Montero Tel:

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2 Contenidos Aclaratoria... 2 ÁREA 1: GEOMETRÍA. 23 ÍTEMS... 3 Habilidad1: Representar las circunferencias de manera analítica y gráfica... 3 Habilidad 2: Analizar relaciones de posición relativa entre rectas y circunferencias... 6 Habilidad 3: Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y transformaciones Habilidad 4: Calcular áreas y perímetros de polígonos Habilidad 5: Identificar simetrías Habilidad 6: Aplicar e identificar diversas transformaciones en el plano a finas geométricas Habilidad 7: Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales ÁREA 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA. 21 ÍTEMS Habilidad 1: Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar dominio y rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones Habilidad 2: Aplicar el concepto de función en diversas situaciones Habilidad 3: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes Habilidad 4: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes ÁREA 3: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 16 ÍTEMS Habilidad 1. Valorar la importancia de las medidas de resumen (posición) para el análisis de la información estadística. Utilizar las medidas de posición para resumir y analizar la información proveniente de un grupo de datos cuantitativos Habilidad 2. Valorar la importancia de las medidas de resumen (variabilidad) para el análisis de la información estadística. Utilizar las principales medidas de variabilidad para evaluar y comparar la dispersión de los datos Habilidad 3. Utilizar diferentes representaciones para analizar la posición y variabilidad de un conjunto de datos Habilidad 4. Analizar la importancia del uso de medidas relativas de tendencia central y variabilidad dentro de los análisis comparativos de información Habilidad 5. Utilizar las probabilidades y las medidas estadísticas para favorecer la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre Habilidad 6. Emplear las propiedades básicas de la probabilidad en situaciones concretas Habilidad 7. Resolver problemas vinculados con el análisis de datos y el manejo de la aleatoriedad dentro del contexto estudiantil Respuestas

3 Aclaratoria Ésta es una práctica de bachillerato basado en la tabla de especificaciones de habilidades y conocimientos que se medirán en la pruebas de certificación de: Bachillerato por Madurez Suficiente Bachillerato de Educación Diversificada a Distancia Los ítems de este contenido son propiedad del Ministerio de Educación Pública, nuestra representada no se atribuye autoría sobre los mismos. Las preguntas, soluciones y vídeos se han elaborado y distribuido de manera gratuita con el fin de facilitar el estudio de Matemáticas en Costa Rica. Para acceder a los videos tutoriales gratuitos de éstas preguntas, deben suscribirse al canal de YouTube Cualquier consulta puede realizar por medio del WhatsApp al

4 ÁREA 1: GEOMETRÍA. 23 ÍTEMS Habilidad1: Representar las circunferencias de manera analítica y gráfica Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Geometría Analítica 1.1 Representar algebraicamente una circunferencia dada su centro y radio. 3 Circunferencia 1.2 Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus representaciones. - Centro 1.3 Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se ubica en el interior o en el - Radio exterior de una circunferencia. 1) Considere la siguiente información referida a la ecuación de una circunferencia dada por (x 4) 2 + (y + 2) 2 = 16 Cuáles son las coordenadas del centro de dicha circunferencia? A) ( 4, 2 ) B) ( 4, - 2) C) ( - 4, 2) D) ( - 4, - 2) Considere la siguiente información para responder las preguntas 2, 3 Y 4 Sea la ecuación de una circunferencia dada por (x + 5) 2 + (y + 3) 2 = 16 2) El radio de la circunferencia anterior, corresponde a A) 3 B) 4 C) 9 D) 16 3) Las coordenadas de centro de dicha circunferencia, corresponde a A) ( 5, 3 ) B) ( 3, 5 ) C) ( -3, -5 ) D) ( -5, -3 ) 3

5 4) Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. R ( 0, 0 ) es un punto exterior de la circunferencia. II. P ( -5, -5 ) es un punto interior de la circunferencia. Cuál o cuáles de ella son verdaderas? C) Solo I D) Solo II 5) Considere la ecuación de una circunferencia dada por (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 25: Cuáles son las coordenadas del centro de dicha circunferencia? A) (3, 1) B) (1, 3) C) ( 3, 1) D) ( 3, 1) Con base en la siguiente información conteste las preguntas 6 y 7: Una circunferencia está dada por x 2 + y 2 = 16 6) Considere las siguientes proposiciones: I. El radio de la circunferencia es 4. II. (0,0) es el centro de la circunferencia. 4

6 7) Considere las siguientes proposiciones: I. P (2, 3) es un punto que se ubica en el interior de la circunferencia. II. R (1, 4) es un punto que se ubica en el exterior de la circunferencia. Considere la siguiente información para responder las preguntas 8, 9 y 10: Sea la ecuación de una circunferencia dada por x y ) La longitud del radio de la circunferencia anterior, corresponde a: A) 1 B) 3 C) 5 D) 25 9) Las coordenadas del centro de dicha circunferencia, corresponde a: A) 1, 3 B) 3, 1 C) 3,1 D) 1,3 10) Considere las siguientes proposiciones: I. P 3,0 es un punto interior de la circunferencia. II. R 0,3 es un punto exterior de la circunferencia. 5

7 Habilidad 2: Analizar relaciones de posición relativa entre rectas y circunferencias Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Geometría Analítica 2.1 Determinar si un recta dada es secante, tangente o exterior. 3 Circunferencia 2.2 Representar gráfica y algebraicamente rectas secantes, tangentes y Recta exterior exteriores a una circunferencia. Rectas Paralelas 2.3 Analizar geométrica y algebraicamente la posición relativa entre rectas Rectas Perpendiculares en el plano desde el punto de vista del paralelismo y la perpendicularidad. 2.4 Aplicar la propiedad que establece que un recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia. 1) Considere la circunferencia dada por x 2 + (y 2) 2 = 4, y la siguientes rectas determinadas por: I. y = 1 II. y = 5 Con base en la información anterior, Cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? 2) Considere la circunferencia dada por x 2 + y 2 = 4, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = 3 II. y = x Con base en la información anterior, Cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia? 3) Considere la circunferencia dada por x 2 + y 2 = 9, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = 1 II. y = - x + 1 Con base en la información anterior, Cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia? 6

8 4) Considere la circunferencia dada por x 2 + (y 1) 2 = 25, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = -4 II. y = 4 Con base en la información anterior. Cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? C) Solo I D) Solo II 5) Considere la circunferencia dada por x 2 + y 2 = 8, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = 3 II. y = x Con base en la información anterior, Cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia? C) Solo I D) Solo II 6) Considere la circunferencia dada por x 2 + y 2 = 9, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = 0 II. y = -2x Con base en la información anterior, Cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia? C) Solo I D) Solo II 7

9 7) Considere la circunferencia dada por x 2 + (y + 1) 2 = 4, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = 2 II. y = 1 Con base en la información anterior, cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? 8) Considere la circunferencia dada por x 2 + y 2 = 9, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = 5 II. y = - X Con base en la información anterior, cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia? 9) Considere la circunferencia dada por x 2 + y 2 = 36, y las siguientes rectas determinadas por: I. y = 2 II. y = X + 4 Con base en la información anterior, cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia? 8

10 2 10) Considere la circunferencia dada por x y 1 2 9, y las siguientes rectas determinadas por: I. y 2 II. y 4 Con base en la información anterior, cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? 11) Considere la circunferencia dada por x y , y las siguientes rectas determinadas por: I. y 5 II. y 2x Con base en la información anterior, cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia? 12) Considere la circunferencia dada por 2 2 x y 36, y las siguientes rectas determinadas por: I. y x y 0 II. 1 Con base en la información anterior, cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia? 9

11 13) Considere las siguientes proposiciones referentes a la circunferencia C dada por x 2 + y 2 = 9 I. La recta dada por y = x es secante a esa circunferencia. II. La recta dada por y = 3 es tangente a esa circunferencia. De ellas, Cuál o cuáles son verdaderas? 14) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C cuyo centro es el punto (0, 0): De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La recta dada por y = 1 es secante a la circunferencia C. II. La recta dada por x = -3 es exterior a la circunferencia C. De ellas, Cuál o cuáles son verdaderas? 10

12 15) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P: y C P x -1 De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La recta dada por y = 3 es exterior a la circunferencia C II. La recta dada por y = x es tangente a la circunferencia C. De ellas, cuál o cuáles son verdaderas? 16) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P: y C 1 P 2 3 x De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La recta dada por y = x es secante a la circunferencia C. II. La recta dada por x = 3 es tangente a la circunferencia C. De ellas, cuál o cuáles son verdaderas? 11

13 17) Considere la siguiente gráfica, en la cual el eje x es tangente en A a la circunferencia C en el centro O: De acuerdo con la información anterior, si OB= 17, entonces cuál es la medida del radio de esa circunferencia? R/, 18) Considere la siguiente representación gráfica, en la cual el eje x es tangente en A a la circunferencia C de centro O: De acuerdo con la información anterior, Cuál es la medida de OB? 12

14 19) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O, en la cual el eje x es tangente en P a la circunferencia C: y C 9 O 10 P A 50 x De acuerdo con la información anterior, Cuál es el valor de OA? 13

15 Habilidad 3: Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y transformaciones Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Geometría Analítica 3.1 Aplicar traslaciones a una circunferencia 2 Circunferencia - Centro - Radio 1) Considere la circunferencia dada por (x + 2) 2 + (y 4) 2 = 81. Si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la izquierda (paralelo al eje x o de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) (x + 1) 2 + (y 4) 2 = 81 B) (x 5) 2 + (y 4) 2 = 81 C) (x 1) 2 + (y 4) 2 = 81 D) (x + 5) 2 + (y 4) 2 = 81 2) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P(-1,2), contiene el punto A(0,0) y la longitud de su radio es 5 : De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia abajo (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) (x + 6) 2 + (y + 1) 2 = 5 B) (x 6) 2 + (y 5) 2 = 5 C) (x 5) 2 + (y + 1) 2 = 5 D) (x 6) 2 + (y 1) 2 = 5 14

16 3) Sea la ecuación de una circunferencia dada por x 2 + (y 3) 2 = 18. Si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 2 unidades a la derecha (paralelo al eje x o de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) x 2 + (y 5) 2 = 18 B) x 2 + (y 1) 2 = 18 C) (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 18 D) (x 2) 2 + (y 3) 2 = 18 4) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P( 1, -3 ) contiene el punto A( 0, 0 ) y la longitud de su radio es 10: De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 1 unidad a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 2 unidades hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) x 2 + (y 1) 2 = 10 B) x 2 + (y + 1) 2 = 10 C) (x 2) 2 + (y + 5) 2 = 10 D) (x + 2) 2 + (y + 5) 2 = 10 15

17 5) Considere la circunferencia dada por (x + 2) 2 + (y 4) 2 = 25. Si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje x o de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) (x + 1) 2 + (y 4) 2 = 25 B) (x 5) 2 + (y 4) 2 = 25 C) (x 1) 2 + (y 4) 2 = 25 D) (x + 5) 2 + (y 4) 2 = 25 6) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P(1, 2), contiene el punto A(0, 0) y la longitud de su radio es 5 De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) (x + 4) 2 + (y 5) 2 = 5 B) (x + 6) 2 + (y 5) 2 = 5 C) (x + 4) 2 + (y + 5) 2 = 5 D) (x + 6) 2 + (y 5) 2 = 5 16

18 7) La ecuación de una circunferencia está dada por x y 2 2. Si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje " x " o al de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a: A) x y B) x y C) x y D) x y ) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto contiene el punto A 0,0 y la longitud de su radio es 10 : P 1,3, De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 2 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a: A) x y B) x y C) x y D) x y

19 Habilidad 4: Calcular áreas y perímetros de polígonos Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Polígonos 4.1 Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes 5 Lado contextos. Radio 4.2 Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos Apotema en diversos contextos. Ángulo Central 4.3 Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y Ángulo Interno aplicarlo en diferentes contextos. Ángulo Externo 4.4 Calcular perímetros y áreas de polígonos no regulares utilizando un Diagonal sistema de coordenadas rectangulares. Perímetro 4.5 Resolver problemas que involucren polígonos y sus diversos elementos. Área Relaciones métricas 1) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 60. Si la longitud del lado es 5, entonces el perímetro de ese polígono es A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 2) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo externo es 20. Si la longitud del lado es 4, entonces el perímetro de ese polígono corresponde a A) 36 B) 40 C) 72 D) 80 3) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 72. Si la longitud es 20, entonces, el perímetro de ese polígono es A) 52 B) 92 C) 100 D)

20 4) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 30. Si la longitud del lado es 3, entonces el perímetro de ese polígono es: A) 27 B) 33 C) 36 D) 90 5) En un polígono regular, la suma de las medidas de los ángulos internos y externos es Cuál es el total de diagonales de ese polígono? A) 14 B) 28 C) 44 D) 88 6) Considere la siguiente figura en la que los valores se dan en centímetros: De acuerdo con los datos de la figura, cuál es aproximadamente el perímetro del cuadrilátero ABCD? A) 15,60 cm B) 13,28 cm C) 11,84 cm D) 10,42 cm 19

21 7) Considere la información de la siguiente gráfica; Con base en la información anterior, cuál es el perímetro del triángulo ABC? A) B) C) D) ) Considere la información de la siguiente gráfica: AB = 2 10 Con base en la información anterior, Cuál es el perímetro del ABC? A) B) C) D)

22 9) Considere los datos de la siguiente figura que presenta un polígono no regular en un sistema de coordenadas rectangulares: Cuál es el perímetro del polígono ABCD? A) 14 B) 16 C) 23 D) 24 10) Considere la información de la siguiente gráfica: AB = 2 2 BC = 13 Con base en la información anterior, cuál es el perímetro de A) B) C) D) ABC? 21

23 11) Considera la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un sistema de coordenadas rectangulares: Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero ABCD corresponde a A) 9 B) 15 C) 16 D) 21 12) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponder a un cuadrilátero representado en un sistema de coordenadas rectangulares: Con base en la información anterior, al área del cuadrilátero ABCD corresponde a A) 16 B) 20 C) 24 D) 32 22

24 13) Considere la información de la siguiente representación gráfica: De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, el área del polígono ABCD es A) 27 B) 28 C) 36 D) 47 14) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un sistema de coordenadas rectangulares: Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero ABCD corresponde a: A) 7,50 B) 9,50 C) 12,00 D) 13,50 23

25 Considere la siguiente información para responder las preguntas 15 y 16: Se quiere cercar con alambre de púas un terreno, el cual tiene forma de cuadrado y la medida de su lado es 60 m. Además, un rollo de alambre de púas de 168 m cuesta 8500 (el alambre solo se vende por rollos). 15) Cuántos metros cuadrados tiene el terreno? A) 912 B) 3400 C) 3600 D) ) Si se desea cercar todo el terreno con 3 hilos de alambre, entonces, Cuánto dinero, en colones, se debe invertir como mínimo en la compra de rollos de alambre? A) B) C) D) Considere la siguiente información para responder las preguntas 17 y 18: En una urbanización se vende un lote de 30 metros de ancho y 60 metros de largo (el lote tiene forma rectangular), y el metro cuadrado del terreno vale ) Cuánto vale, en colones, ese lote? A) B) C) D) ) Si se desea colocar una mala de 2,5 metros de alto alrededor del lote, entonces, cuántos metros cuadrados de malla se necesitan, como mínimo, para cercar ese lote? A) 225 B) 450 C) 555 D)

26 Considere la siguiente información para contestar las preguntas 19 y 20: La cancha del Estadio Nacional de Costa Rica tiene forma rectangular, sus dimensiones son 105 m por 68 m y es de césped natural. 19) Cuál es el perímetro, en metros, de la cancha del Estadio Nacional? A) 173 B) 346 C) 1785 D) ) Cuando se colocó el césped de la cancha, el metro cuadrado de césped natural costó $10. Cuál fue el costo mínimo, en dólares, por concepto de compra de dicho césped? (Suponga que no hubo sobrantes o desperdicios de gramilla) A) B) C) D) Considere la siguiente información para responder las preguntas 21 y 22: Un terreno tiene forma de cuadrado y la medida de su lado es 60 m. Además, se desea construir a su alrededor una cerca con tres hilos de alambre. 21) Cuál es el área, en metros cuadrados, del terreno? A) 180 B) 240 C) 720 D) ) Cuántos metros de alambre se necesita, como mínimo, para cercar todo el terreno? A) 180 B) 540 C) 720 D)

27 Habilidad 5: Identificar simetrías Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Simetrias 5.1 Determinar ejes de simetría en figuras simétricas 2 Simetría Axial 5.2 Identificar elementos homólogos en figuras que presentan simetría axial. Imagen 5.3 Resolver problemas relacionados con la simetría axial. Preimagen 1) Considere la siguiente figura en la que e es el eje de simetría del Δ ABC y del Δ DFE, y e es el eje de simetría del Δ DEF y del Δ GIH: De acuerdo con los datos de la figura anterior, considere las siguientes proposiciones: I. A es homólogo con F, con respecto al eje de simetría e. II. D E es homólogo con G I, con respecto al eje de simetría e. Cuáles de ellas son verdaderas? C) Sola la I D) Sola II 26

28 2) Considere el siguiente contexto: El canal de agua Daniel tiene que salir de su casa (R), llenar un recipiente de agua y llevarlo a casa de sus abuelos (A), como se muestra en la figura. Tome en cuenta que el canal es el eje de simetría, R y R son puntos homólogos. De acuerdo con el contexto anterior El canal de agua, cuál es el camino más corto que puede recorrer Daniel? A) EL que va de R hasta C. B) El que va de R hasta A. C) El que va de R hasta C y de C hasta A. D) El que va de R hasta R, de R hasta C y de C hasta A. 27

29 Con base en la siguiente información conteste las preguntas 3 y 4: La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD, donde la recta l es el eje de simetría de la figura: 3) Considere las siguientes proposiciones: I. ABC es congruente con ADC II. La preimagen de A es C. 4) Considere las siguientes proposiciones: I. B es homólogo con D II. AB es homólogo con AD 28

30 Con base en la siguiente información conteste las preguntas 5 y 6: La siguiente figura muestra el cuadrilátero ACDF, donde la recta l es el eje de simetría de la figura: 5) Considere las siguientes proposiciones: I. B es homólogo con E. II. A es homólogo con C. Cuál o cuáles de ella son verdaderas? C) Solo I D) Solo II 6) Considere las siguientes proposiciones: I. BE es homólogo de AF II. Los cuadriláteros ABEF y CBED son congruentes entre sí. Cuál o cuáles de ella son verdaderas? C) Solo I D) Solo II 29

31 Con base en la siguiente información conteste las preguntas 7 y 8: La siguiente figura muestra el cuadrilátero BDCA, donde la recta l es el eje de simetría de la figura: 7) Considere las siguientes proposiciones: I. ABD es congruente con ACD. II. A es homólogo con D. 8) Considere las siguientes proposiciones: II. B es homólogo con C. II. AB es homólogo con AD. 30

32 Con base en la siguiente información conteste las preguntas 9 y 10: La siguiente figura muestra el cuadrilátero BCEF, donde la recta figura: l es el eje de simetría de la 9) Considere las siguientes proposiciones: I. B es homólogo con E. II. BF es homólogo con AD. 10) Considere las siguientes proposiciones: I. A es homólogo con C. II. Los cuadriláteros ABCD y AFED son congruente entre sí. 31

33 Habilidad 6: Aplicar e identificar diversas transformaciones en el plano a finas geométricas. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Transformaciones en el plano 6.1 Aplicar el concepto de traslación, homotecia, reflexión y rotación para 3 Traslaciones determinar qué figuras se obtienen a partir de figuras dadas. Reflexiones 6.2 Identificar elementos de las figuras geométricas que aparecen Homotecias invariantes bajo reflexiones o rotaciones. Rotaciones 6.3 Determinar el punto imagen de puntos dados mediantes una transformación. 6.4 Resolver problemas relacionados con diferentes transformaciones en el plano 1) Considere la siguiente figura: De acuerdo con los datos de la figura, el cuadrilátero EFGH con respecto al cuadrilátero ABCD presenta una homotecia de razón A) k = 2 B) k = 6 C) k = 1 2 D) k =

34 2) Considere la siguiente figura: Cada representa un cuadrado de lado 1 De acuerdo con los datos de la figura, cuál transformación presenta el Δ A B C con respecto del Δ ABC? A) rotación B) traslación C) homotecia D) reflexión con respecto al eje y. 3) Considere la siguiente figura: Cada representa un cuadrado de lado 1 unidad. Si el Δ ABC se le aplica una traslación de vector z (3, 4), entonces, cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices para el Δ A B C después de la traslación? A) A (8, 2); B (3, 4); C (7, 6) B) A (2, 8); B (4, 3); C (6, 7) C) A (5, 12); B (7, 7); C (9, 11) D) A (11, 6); B (6, 8); C (10, 10) 33

35 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 4 y 5: 4) Al realizarle una reflexión a ABC a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de los nuevos vértices, son A) (2,-3) B) (-3,3) C) (-1,3) D) (-2,-1) 5) Se realiza la traslación de ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 5 unidades hacia la izquierda. Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices? A) (3,-3) B) (4,-1) C) (-3,2) D) (-4,1) 34

36 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 6 y 7: 6) Al realizarle una reflexión al ABC a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de los nuevos vértices, corresponde a: A) (4, 2) B) (2, 4) C) (4, 2) D) (3, 4) 7) Se realiza la traslación de ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 3 unidades hacía la izquierda. Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices? A) (0, 4) B) ( 2, 1) C) ( 3, 2) D) ( 4, 2) 35

37 Con base en la siguiente información, conteste las siguientes preguntas 8 y 9: 8) Al realizarle una reflexión a ABC a través del eje de las ordenadas (eje y), las coordenadas de la imagen de A corresponden a A) (1, 1) B) (3, 1) C) (2, 3) D) (-3, 1) 9) Se realiza la traslación de ABC paralelo al eje de las ordenadas (eje y), en 5 unidades hacia abajo. Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices? A) (1, 1) B) (3, -4) C) (-3, 2) D) (-1, -4) 36

38 10) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son A (0, 0), B (0, 2) y C ( -1, 1), mediante una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón K = 3, entonces, Cuáles son las coordenadas del vértice homólogo con C (-1, 1)? A) (3, 3) B) (3, 6) C) (-3, 3) D) (-3, -3) 11) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son A 2,1, B 2,5 y C 1,1, mediante una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón las coordenadas del vértice homólogo con B? A) 6,3 B) 6,15 C) 3, 3 D) 6, 15 K 3, entonces, cuáles son 12) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son A(-1,1), B(1,3) y C(2,2), mediante una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón K=-2,entonces, cuáles son las coordenadas del vértice homólogo con A(-1,1)? A) (2,-2) B) (-2,2) C) (-4,-4) D) (-2,-6) 13) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son A (2, 3), B (1,6) y C 5, 4), mediante una homotecia centrada en el origen de las coordenadas y de razón K= 2, entonces, cuáles son las coordenadas del vértice homólogo con A? A) (4, 6) B) (12, 2) C) (8, 10) D) (10, 8) 37

39 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 14 y 15: 14) Al realizarle una reflexión a RPQ a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de los nuevos vértices, son A) 4, 2 B) 4,2 C) 2, 4 D) 4, 2 15) Se realiza la traslación de RPQ paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 2 la derecha. Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices? unidades hacia A) 0, 4 B) 2,1 C) 3, 2 D) 4, 2 38

40 Habilidad 7: Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Visualización Espacial 7.1 Identificar el radio y el diámetro de una esfera. 5 Esfera 7.2 Identificar la superficie lateral, las bases, la altura, el radio y el diámetro Cilindro circular recto de un cilindro circular recto. Base 7.3 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de una Superficie Lateral esfera o un cilindro y características métricas de ellas. Radio 7.4 Reconocer elipses en diferentes contextos. Diámetro 7.5 Identificar la superficie lateral, la base, la altura, el radio y el diámetro de Sección Plana la base y el vértice de un cono circular recto. Elipse 7.6 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un Cono Circular recto cono circular recto y características métricas de ellas. 7.7 Reconocer elipses, parábolas e hipérbolas en diferentes contextos Vértice 7.8 Plantear y resolver problemas que involucren secciones de un cono Parábola mediante planos paralelos a la base Hipérbola 1) Considere la siguiente figura que representa un cilindro circular recto: P y Q son los centros de las bases del cilindro. S Q R Si la m P Q = 10cm, la m S R = 6 y la m K Q = 109 cm, entonces, cuál es el área lateral del cilindro? A) 30π cm 2 B) 60π cm 2 C) 90π cm 2 D) 6π 109 cm 2 39

41 2) Si en un cono circular recto la medida de la altura es de 12cm y la medida del diámetro de base es 18 cm, entonces el área lateral es A) 24π cm 2 B) 135π cm 2 C) 18π 21 cm 2 D) 18π 117 cm 2 Considere la siguiente información para resolver las preguntas 3 y 4: Se le presenta una esfera de centro P que ha sido cortada por un plano π. T es un punto de la circunferencia. Q es el centro de la sección obtenida al hacer el corte. 3) Qué nombre recibe la sección plana al realizarse el corte? A) Elipse B) Parábola C) Hipérbola D) Circunferencia 4) Qué nombre recibe el P T? A) Recta B) Radio C) Cuerda D) Diámetro 40

42 5) El área lateral de un cilindro circular recto es 60 cm y la medida de su radio es 3 cm, cuál es la medida de su altura? A) 7 cm B) 18 cm C) 10 π cm D) 10 3 π π cm Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto, conteste las preguntas 6 y 7: T R - Q 6) Cuál es la medida de la altura del cono? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 7) Cuál punto representa el vértice del cono? A) T B) R C) Q D) P 8) Sea un cilindro circular recto, tal que, la medida del diámetro de la base es 12. Si un plano paralelo a la base del cilindro interseca a dicho cilindro, entonces, la longitud de la sección plana que se forma entre ellos, corresponde a A) 6π B) 12π C) 36π D) 144π 41

43 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 9 y 10: La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección de esta con un plano. Además, considere que TM = 5 y ON = 3. M: centro de la esfera O: centro de la sección plana 9) Cuál es la longitud de la sección plana? A) 6 π B) 8 π C) 9 π D) 10 π 10) Cuál es la distancia del centro de la esfera al centro de la sección plana dada? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 42

44 Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto, conteste las preguntas 11 y 12: B A G B A D C G K E C E B G, K E: Puntos del cono A D C D: centro de la base del cono 11) Cuál segmento representa la altura del cono que contiene los puntos A y C? A) DE B) BC C) AC D) BD 12) Si un plano paralelo a la base del cono contiene los puntos E, G, y K, entonces, la sección plana producto de la intersección, entre ese plano y el cono, se denomina A) elipse B) parábola C) hipérbola D) circunferencia 43

45 13) La siguiente figura ilustra una sección plana, producto de la intersección de un cilindro circular recto con el plano que contiene los puntos P y R: P Q PQ = 5 y QM = 6 P y R son centros de las bases del cilindro R M Cuál es el perímetro de la sección plana ilustrada? A) 22 B) 30 C) 32 D) 34 44

46 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 14 y 15: La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección del plano, con la superficie de una esfera. Además, considere que OB=5 y AB=8 γ O A C B A C B O: Centro de la circunferencia γ A, B, C contenidos en C: centro de la sección plana 14) Cuál es la longitud de la sección plana? A) 6π B) 8π C) 10π D) 16π 15) Cuál es la distancia del centro de la esfera al centro de la sección plana dada? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 45

47 Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto, conteste las preguntas 16 y 17: 16) Cuál segmento representa el diámetro de la base del cono? A) AB B) BC C) BD D) AC 17) Si un plano paralelo a la base del cono contiene a los puntos G y E, entonces, Cuál es la longitud de la sección plana que resulta de dicha intersección? A) 3π B) 4π C) 6π D) 8π 46

48 18) Sea un cilindro circular recto (considérese con volumen) intersecado por un plano que contiene los puntos P y Q: Cuál es el área de la sección plana que se forma producto de la intersección del cilindro con el plano? A) 30 B) 32 C) 60 D)

49 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 19 y 20: La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección de esta con un plano. Además, considere que TM= ) Cuál es la longitud de la sección plana? A) 5π B) 10π C) 20π D) 25π 20) Considere las siguientes proposiciones: I. OR= 5 II. El radio de la sección plana y de la esfera son congruentes. 48

50 Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto, conteste las preguntas 21 y 22: B A G B G H E A D C C E B BE BG A D C D: centro de la base del cono 21) Cuál segmento representa la altura del cono? A) DE B) BC C) AC D) BD 22) La sección plana que resulta de la intersección del cono que contiene a los puntos G, H E corresponde a: y A) Elipse. B) Parábola. C) Hipérbola. D) Circunferencia. 49

51 23) Considere la siguiente figura sobre un cilindro circular recto, intersecado por el plano, el cual es paralelo a la base: P O R O: centro de la circunferencia P O R Si el plano contiene a los puntos P y R, y PR 4, entonces, la longitud de la sección plana que se forma producto de la intersección de la superficie cilíndrica con el plano, corresponde a: A) 2 B) 4 C) 8 D)16 50

52 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 24 y 25: La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección de un plano con la superficie de una esfera. Además, considere que OB 5 y AB 6. A E B O: Centro de la Esfera E: centro de la sección plana 24) Cuál es la longitud de la sección plana? A) 6 B) 10 C) 11 D) 12 25) Cuál es la distancia del centro de la esfera al centro de la sección plana dada? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 51

53 ÁREA 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA. 21 ÍTEMS Habilidad 1: Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar dominio y rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Conjuntos numéricos 1.1 Analizar subconjuntos de los números reales. 4 Unión 1.2 Utilizar correctamente los símbolos de pertenencia y de subconjunto. Intersección 1.3 Representar intervalos numéricos en forma gráfica, simbólica y por Pertenencia comprensión. Subconjuntos 1.4 Determinar la unión y la intersección de conjuntos numéricos. Complementos 1.5 Determinar el complemento de un conjunto numérico dado. Intervalos 1) La expresión ] 3, 8] corresponde a A) {x/x ϵ R, -3 x 8} B) {x/x ϵ R, -3 x 8} C) {x/x ϵ R, -3 x 8} D) {x/x ϵ R, -3 x 8} 2) considere la siguiente gráfica: De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, cuál es la representación del intervalo por comprensión? A) {x/x ϵ R, -2 x 0} B) {x/x ϵ R, -2 x 0} C) {x/x ϵ R, -2 x 0} D) {x/x ϵ R, -2 x 0} 3) Dados os conjuntos A y B, con A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 5, 6, 7 }, A U B corresponde a A) { 5 } B) { 5, 6, 7 } C) { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } D) { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 52

54 4) Dados dos conjuntos A y B, con A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 }, si A es el conjunto universo, entonces el complemento «B c» de B es A) { 0, 9 } B) { 0, 2, 4, 6, 8 } C) { 0, 1, 3, 5, 7, 9 } D) { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 5, 6 y 7: Sean A y B dos conjuntos dados por A = {x / x R ; x 0} y B = {x / x R ; 3 x 5}, donde R es el universo. 5) Al realizar A U B, se obtiene A) [0, 5[ B) ] 3, 0[ C) ]5, + [ D) ] 3, + [ 6) Al realizar A ꓵ B se obtiene A) [0, 5[ B) ]0, 5] C) ] 3,5[ D) ] 3, + [ 7) Con base en el contexto anterior y en los conjuntos C = {x / x R; x 0} y D = {x / x R; x > 5}, considere las siguientes proposiciones: I. C es complemento de A. II. D es complemento de B. 53

55 8) Considere las siguientes proposiciones referidas al conjunto D dado por D = ] 4,8]: I. 0 D II. ] 3,2] D Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 9, 10, 11 y 12: m: A E, con A = [ 3, 6 ] y E = [ 1, 7 ] p: B C, con B = [ 1, + [ y C = [ 2, + [ 9) Si se define una nueva función con dominio A B, entonces, ese dominio corresponde a A) [ 3, 6 ] B) [ 1, 6 ] C) [ 1, 7 ] D) [ 2, 7 ] 10) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponde a E C, entonces, ese ámbito es A) [ 1, 7 ] B) [ 2, 7 ] C) [ 1, + [ D) [ 2, + [ 11) Si se construye una nueva función con dominio A B, entonces, ese dominio corresponde a A) [ 3, 6 ] B) [ 1, 6 ] C) [ 1, + [ D) [ 2, + [ 54

56 12) si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponde al complemento de E C, entonces, ese ámbito corresponde a A) ]1, + [ B) ] 7, + [ C) ], 1 ] ] 1, 7 [ D) ], 2[ ] 7, + [ Considere la información del siguiente contexto para responder las preguntas 13, 14, 15 y 16: En la siguiente gráfica se ilustran las condiciones de las funciones j y f, tal que: El conjunto A es el dominio de j y el conjunto E es el ámbito. El conjunto B es el dominio de f y el conjunto C es el ámbito. Además, considere a IR como el conjunto universo. 55

57 13) Si se construye una nueva función con dominio A B, entonces, ese dominio corresponde a A) [ 1, 4 ] B) [ 3, 8 ] C) [ 1, 7 ] D) [ 1, 8 ] 14) Si se defina una nueva función, de tal forma que su ámbito es E C, entonces, ese ámbito corresponde a A) [ 1, 3 ] B) [ 1, 4 ] C) [ 3, 7 ] D) [ 9, 14 ] 15) Si se construye una nueva función con dominio A B, entonces, ese dominio corresponde a A) A B = {x x ε R, 1 x 7} B) A B = {x x ε R, 3 x 8} C) A B = {x x ε R, 4 x 7} D) A B = {x x ε R, 4 x 6} 16) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de E C, entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a A) [ 1, 3 ] B) [ 1, 4 ] C) [ 3, 7 ] D) [ 9, 14 ] 56

58 Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 17, 18, 19 y 20: j: A E, con A = [3,7] y E = [1,8] f: B C, con B = [2, + [ y C = [4, + [ 17) Si se construye una nueva función con dominio A B, entonces, ese dominio corresponde a: A) 2,7 B) 3,7 C) 2, D) 3, 18) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito sea E C, entonces, ese ámbito corresponde a: A) 1,8 B) 2,7 C) 1, D) 4, 19) Si se construye una nueva función con dominio A B, entonces, ese dominio corresponde a: A) 3,7 B) 2,7 C) 2, D) 3, 20) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de C, entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a: A),4 B) 4, C), 4 D) 4, 57

59 Habilidad 2: Aplicar el concepto de función en diversas situaciones. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Funciones 5 Concepto de función y de gráfica de una función. Elementos para el análisis de una función. - Dominio - Imagen - Preimagen - Ámbito - Inyectividad - Crecimiento - Decrecimiento - Ceros - Máximo y Mínimo - Análisis de gráficas de funciones Composición de Funciones. Función Lineal. Función Cuadrática. Funciones Inversas Inversa de la función. Función raíz cuadrada 2.1Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una función. 2.2 Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en distintos puntos de su dominio. 2.3 Calcular la composición de funciones. 2.4 Identificar las condiciones para que una función tenga inversa. 2.5 Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa. 2.6 Determinar intervalos en los cuales una función representada gráficamente tiene inversa. 2.7 Determinar y graficar la función inversa de f(x)=mx+b, m Analizar gráfica y algebraicamente la función con criterio dado por f(x) = a x + b + c. 1) Considere las siguientes relaciones: I. f: { -1, 0, 2 } { 0, 1, 3 }, con f(x) = x+1. II. g: { -4, 1, 9 } { -2, 1, 3 }, con g(x) = x. Cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones? 58

60 2) Considere el siguiente contexto: Índice de Precios al Consumidor (IPC) El Índice de Precios al Consumidor (IPC), base junio 2015, se calcula mediante una investigación de los precios reportados por 3100 establecimientos sobre bienes y servicios. La recopilación de precios se realiza en las regiones de planificación del país con mayor concentración de población, según el Censo La siguiente gráfica muestra el IPC desde el año 2008 hasta el año Adaptado de: De acuerdo con el contexto Índice de Precios al Consumidor (IPC), considere las siguientes proposiciones: I. Del año 2013 al año 2015, el IPC creció. II. El IPC en el año 2012 fue inferior al 6%. Cuáles de ellas son verdaderas? 59

61 3) Si f es la función dada por f(x) = 2 3x 2, entonces f ( 1 3 ) es A) B) C) D) ) Sean f y g do funciones con f(x) 2x 3 y con g(x) = x 2. Cuál es el criterio de ( g ᴼ f )? A) ( g ᴼ f )(X) = 2x 2-3 B) ( g ᴼ f )(X) = 4x 2-9 C) ( g ᴼ f )(X) = 4x 2-6x + 9 D) ( g ᴼ f )(X) = 4x 2-12x + 9 5) Si f es la función dada por f (x) = 2 + x 3, entonces el dominio de f es A) ] - ꝏ, -2 [ B) ] - ꝏ, -2] C) [ - 2, + ꝏ[ D) ] - 2, + ꝏ[ 60

62 6) Considere la siguiente gráfica referida a la función f: De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f, donde f posee inversa, corresponde a A) ]1,4[ B) ]4,7[ C) ]6,7[ D) ] 2,4[ Considere la siguiente información para responder las preguntas 7 y 8: Sea f una función que posee inversa, tal que, f: [1, + [ P; con f(x) = x ) Cuál es el dominio de la inversa de f? A) [ 0, + [ B) [ 2, + [ C) [ 2, + [ D) [ 1, + [ 8) Cuál es el ámbito de la inversa de f? A) [1, + [ B) [2, + [ C) ], 1] D) ], 2] 61

63 9) Sean las funciones f(x) = x 2 + 3, con dominio {0,1,2}y g(x) = x + 1 con dominio {2,3,6}. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. (g f) = x II. No tiene sentido la composición (f g)(x) pues el ámbito de g no coincide con el dominio de f. 10) Considere las gráficas de las relaciones A y B: Cuál o cuáles de las anteriores gráficas corresponden a la gráfica de una función? 62

64 11) Considere la siguiente gráfica referida a la función f: De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f, donde f posee inversa, corresponde a A) [ 0, 2 ] B) [ 0, 4 ] C) [ 2, 4 ] D) [ 5, 7 ] Considere la siguiente información para responder las preguntas 12 y 13: Sea f una función que posee inversa, tal que, f: [1, + [ P; con f(x) = x ) Cuál es el dominio de la inversa de f? A) [0, + [ B) [1, + [ C) ], 0] D) ], 1] 13) Cuál es el ámbito de la inversa de f? A) [0, + [ B) [1, + [ C) ], 0] D) ], 1] 63

65 14) Sean las funciones f(x) = x 2 + 1, con dominio {0, 1, 2} y g(x) = x + 1, con dominio {1, 2, 5}. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. Es factible definir la composición (g f)(x) II. Es factible definir la composición (f g)(x) C) Solo I D) Solo II 15) Considere las siguientes gráficas de relaciones: Cuál o cuáles de las anteriores gráficas corresponden a la gráfica de una función? C) Solo I D) Solo II 64

66 16) Considere la siguiente gráfica referida a la función f: De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f, donde f posee inversa, corresponde a A) [ -4, 0] B) [-2, 3] C) [-4, 3] D) ] -2, 0 [ Considere la siguiente información para responder las preguntas 17 y 18: Sea f una función que posee inversa, tal que f: [ 1, + [ P; con f(x) = x ) Cuál es el dominio de la inversa de f? A) [0, + [ B) [1, + [ C) [ 2, + [ D) [ 1, + [ 18) Cuál es el ámbito de la inversa de f? A) [ 1, + [ B) [ 2, + [ C) ], 1 ] D) ], 2 ] 65

67 19) Considere las siguientes proposiciones referidas a las funciones f(x)= x + 1 y g (x) = x + 1: I. (g o f)(x) = (f o g)(x) II. La inversa de f es g. 20) Considere las siguientes gráficas de las relaciones A y B: Cuál o cuáles de las anteriores corresponden a la gráfica de una función? 66

68 21) Considere la siguiente gráfica referida a la función f : De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f, donde f posee inversa, corresponde a: A) 0,4 B) 0,6 C) 2,4 D) 4,6 Considere la siguiente información para responder las preguntas 22 y 23: Sea f un función que posee inversa, tal que, f: [ 2, + [ P; con f(x) = x ) Cuál es el dominio de la inversa de A) 0, B) 2, C) 2, D) 1, f? 23) Cuál es el ámbito de la inversa de A) 1, B) 2, C), 1 D), 2 f? 67

69 2 24) Sean las funciones f x x 1, con dominio ; h x x 1, con dominio 0,1,6. 0,1,3 g x x 1, con dominio 1, 2,10 ; Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. Es factible efectuar la composición II. Es factible efectuar la composición g f x h g x.. 25) Considere las siguientes gráficas de relaciones: Cuál o cuáles de las anteriores gráficas, corresponden a la gráfica de una función? 68

70 Habilidad 3: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Funciones 6 Concepto de función y de gráfica de una función. Elementos para el análisis de una función. - Dominio - Imagen - Preimagen - Ámbito - Inyectividad - Crecimiento - Decrecimiento - Ceros - Máximo y Mínimo - Análisis de gráficas Función Lineal. Función Cuadrática. Funciones Exponenciales La función a x Funciones Logarítmicas La función log a x 3.1 Analizar una función a partir de sus representaciones. 3.2 Representar gráficamente una función lineal. 3.3 Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica. 3.4 Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relaciones con ella. 3.5 Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio f(x) = ax 2 + bx + c, a Relacionar la representación gráfica con la algebraica. 3.7 Analizar gráfica, tabular y algebraicamente las funciones exponenciales. 3.8 Identificar la función logarítmica como la inversa de la función exponencial. 3.9Analizar gráfica y algebraicamente las funciones logarítmicas. 1) La pendiente de la recta que contiene los puntos (- 2, 3 ) y ( - 4, 8 ) es A) B) C) D) ) De acuerdo con los datos de la gráfica, cuál es una ecuación para la recta l A) y = x - 3 B) y = x + 3 C) y = - x + 3 D) y = - x 3 69

71 3) El eje e simetría de la gráfica de la función f dada por f(x) = x 2 6x es A) X = 3 B) X = 9 C) X = -3 D) X = -9 4) El punto donde la recta definida por 2 x 2y = 5 se interseca con el eje «X» corresponde a 3 A) (0, 15 2 ) B) ( 15 2, 0) C) (0, 5 2 ) D) ( 5 2, 0) 5) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f dada por f(x) = ( 7 6 )x : I. f es decreciente. II. El ámbito de f es ] 0, + ꝏ [ III. El punto (0,1) pertenece al gráfico de f. Cuáles de ellas son verdaderas? A) Todas B) Solo la I y la II y la III y la III 70

72 6) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la gráfica de la función logarítmica f dada por f(x) = log a x : I. 0 < a < 1. II. f es creciente. Cuáles son verdaderas? Considere la siguiente gráfica de una función exponencial f de la forma f(x) = a x, para responder las preguntas 7 y 8: 7) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f: I. El valor de a es 2. II. Si x > 0, entonces 0 f(x) 1. 71

73 8) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f: I. (0,1) pertenece al gráfico de f. II. La gráfica de f es decreciente. 9) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f don f: R R+, dada por f(x) = 2 x. I. La inversa de f está dada por f 1 (x) = log 2 (x). II. La gráfica de f interseca el eje de las abscisas (eje x) pero no interseca el eje de las ordenadas (eje y) 10) Considere la siguiente gráfica de una función con criterio f(x) = ax 2 + bx + c y a 0: Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior: I. a 0 II. C > 0 72

74 11) Sea la función lineal de la forma f(x) = mx + b, con m 0. Si m 0 y b>0, una posible gráfica para f corresponde a 73

75 12) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f, dada por f(x) = log a x, donde (9,2) es un elemento del gráfico de f: I. 0 a 1 II. f ( 1 2 ) > 0 Considere la siguiente función exponencial f dada por f(x) = 5 x, para responder las preguntas 13 y 14: 13) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f: I. f(1200) > f(1500) II. Si x < 0, entonces 0 < f(x) < 1 C) Solo I D) Solo II 14) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f: I. La gráfica de f interseca el eje x. II. (2,25) pertenece al gráfico de f C) Solo I D) Solo II 74

76 15) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f con f: R R +, dada por f(x) = 3 x : I. La inversa de f está dada por f 1 (x) = log 3 (x). II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) en (0, 1) C) Solo I D) Solo II 16) Considere la siguiente gráfica de una función f con criterio f(x) = ax 2 + bx + c, y a 0: f Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior: I. a < 0 II. c > 0 C) Solo I D) Solo II 75

77 17) Si ( 3, 4 ) es un punto contenido en la recta y = mx 23, entonces, el valor de m corresponde a A) 3 B) 4 C) 7 D) 9 18) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f, dada por f(x) = log a x, donde (16,4) es un elemento del gráfica de f: I. 0 < a < 1 II. f(64) = 6 C) Solo I D) Solo II Considere la siguiente gráfica de una función exponencial f de la forma f = a x, para responder las preguntas 19 y 20: 19) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f: I. a > 1. II. (3, 8) es un elemento del gráfico de f. 76

78 20) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f: I. (0, 1) pertenece al gráfico de f. II. Si x < 0, entonces, 0 < f(x) < 1. 21) Considere las siguiente proposiciones referidas a la función exponencial f con: R R +, dada por f(x) = 3 x. I. La inversa de f está dada por f 1 (x) = log 3 (x) II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) pero no interseca el eje de las abscisas (eje x). 22) Con base en la siguiente función f con criterio f(x) = 4x 2 + 2x, considere las siguientes proposiciones: I. f es cóncava hacia abajo. II. La gráfica de f interseca el eje y en (0, 0). 77

79 23) Cuál es la intersección de la gráfica de f(x) = 5x 10, con el eje de las abscisas (eje x)? A) (2, 0) B) (5, 0) C) ( 5, 0) D) ( 10, 0) 24) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f, dada por f(x) = log a x, donde (8, 3) es un elemento del gráfico de f: I. 0 < a < 1 II. (2, 1) es un elemento del gráfico de f. 78

80 Considere la siguiente gráfica de una función exponencial f de la forma f x a x, para responder las preguntas 25 y 26: y 9 f 1 2 x 25) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f : I. El valor de " a " es 2. II. Si x, entonces f x 26) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f : I. 2,9 pertenece al gráfico de f. II. La gráfica de f es creciente. 79

81 27) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial dada por f(x) = (0.5) x : f con f: R R +, I. La inversa de II. La gráfica de f f está dada por f 1 x x. log 0,5 interseca el eje de las ordenadas (eje y) en 0,1. 28) La siguiente gráfica de una función y f 2 tiene la forma f x ax bx c y a 0 : f x Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior: I. a 0 II. c 0 80

82 29) Si 3,4 es un punto contenido en la recta y 2x b, entonces, el valor de " b " corresponde a: A) 2 B) 3 C) D) ) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función donde 9, 2 es un elemento del gráfico de f : f, dada por f x log a x, I. 0 a 1 II. f 27 3 I 81

83 Habilidad 4: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Funciones 6 Elementos para el análisis de una función - Dominio - Imagen - Preimagen - Ámbito - Inyectividad - Crecimiento - Decrecimiento - Ceros - Máximo y Mínimo - Análisis de gráficas de funciones Función Lineal Función cuadrática Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Funciones Exponenciales La función a x Ecuaciones exponenciales Funciones Logarítmicas La función log a x Ecuaciones logarítmicas Funciones Inversas Inversa de la función lineal Función raíz cuadrada Funciones y Modelización 4.1 Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando las funciones estudiadas. 4.2 Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 4.3 Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 4.4 Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones exponenciales. 4.5 Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las funciones exponenciales. 4.6 Aplicar propiedades de los logaritmos para simplificar expresiones algebraicas. 4.7 Resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones logarítmicas. 4.8 Utilizar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales de la forma a f(x) = b g(x), a, b números reales positivos y distintos de 1, f, g polinomios de grado menor que Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las funciones logarítmicas Analizar el tipo de función que sirva de modelo para una situación dada (lineal, cuadrática, raíz cuadrada, logarítmica y exponencial). 1) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso «I(x)» en colones, por concepto de las ventas «x», corresponde a I (x) = ,08x. De cuánto debe ser la venta para poder obtener un ingreso de ? A) B) C) D)

84 2) La altura «h(t)», en metros, de un objeto está dada por h(t) = 10t 5t 2, donde «t» es el tiempo en segundos. Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? A) 1m B) 4m C) 5m D) 6m 3) Considere las siguientes proposiciones referidas al sistema de ecuaciones dado por 5x 2y = 3 { 15x + 6y = 9 I. Las rectas se intersecan en un único punto. II. La solución del sistema es {(1, 4)}. Cuáles de ellas son verdaderas? 4) Dos empleados de una misma empresa reciben sus salarios según la cantidad de años completos laborados. El empleado A recibe un salario base de y una bonificación por cada anualidad de El empleado B recibe un salario base de y una bonificación por cada anualidad de Cuántos años deben transcurrir para que ambos empleados ganen la misma cantidad de salario? A) 10 B) 12 C) 20 D) 22 5) La relación entre el tiempo «t», en horas, y el crecimiento de una población «P» de amebas, está dada por log 2 ( P ) = t, donde «k» es la población inicial de amebas. Si se observa una k población inicial de 6 amebas, entonces, Cuáles amebas habrá en 8 horas? A) 48 B) 96 C) 384 D)

85 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 6 y 7: La empresa Omega produce estuches para celulares. El costo de producir cada estuche es de 400 y cada uno de ellos se vende en ) Si en un mes Omega realiza una inversión de en la producción de estuches, entonces, cuántos estuches se produjeron en ese mes? A) 2000 B) 2400 C) 8000 D) ) Una función que modela el ingreso I(x) de la empresa en términos de la cantidad x de estuches vendidos corresponde a A) I(x) = 400x B) I(x) = 2000x C) I(x) = 400x D) I(x) = 2000x ) El precio P(t) de cierto modelo de equipo tecnológico, en dólares ($), está dado por P(t) = (0.7) t, donde t representa los años desde el momento en que el equipo salió al mercado. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El precio de un equipo al salir al mercado es de $ II. Para que un equipo tenga un precio inferior a los $1 200 deben transcurrir más de 8 años de haber salido del mercado. 84

86 9) Considere la siguiente información: Se compraron 5 kilogramos entre clavos y tornillos. Cada kilogramo de clavos vale 400, el de tornillos 550 y se pagó un total de Cuántos kilogramos de tornillos se compraron? A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 4,0 10) El rendimiento r(x) de una empresa está modelado por r(x) = 2x x, donde x representa la cantidad de empleados contratados. Cuántos empleados necesitan contratar la empresa para que su rendimiento sea el máximo? A) 100 B) 250 C) 500 D) ) La función h(t) = 20 5t 2 modela la trayectoria de un objeto lanzado hacia arriba desde el suelo, donde h(t) es la altura en que se localiza el objeto a los t segundos de haberse lanzado (suponga que el roce de objeto con el aire es despreciable). Cuántos segundos dura ese objeto desde su lanzamiento hasta el momento que regresa al suelo? A) 2 B) 4 C) 5 D) 15 85

87 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 12 y 13: En una fábrica, el costo de producir un par de zapatos es y cada par se vende en ) Cuánto es el ingreso por la venta de 200 pares de zapatos? A) B) C) D) ) Una función que modela el costo total c(x), en colones, relacionados con los x pares de zapatos producidos, corresponde a A) c(x) = x B) c(x) = x C) c(x) = x D) c(x) = x 14) En un estudio se determina que la población de cierto tipo de bacteria está modelada por p(x) = 3 x, donde p es la cantidad de bacterias en millones a los x días de iniciado el estudio. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El estudio inició con 3 millones de baterías. II. Exactamente, dos días después de iniciado el estudio, hay 6 millones de esas baterías. C) Solo I D) Solo II 86

88 15) Considere la siguiente información: Alfredo pagó por un pantalón y 3 corbatas. Una semana después pagó por 2 pantalones y una corbata Además considere que: Las corbatas tienen todas el mismo precio. Los pantalones tienen todos el mismo precio. Los precios no variaron de esa semana a la otra. Con base en la información anterior, cuánto pagó Alfredo, en colones, por un pantalón? A) B) C) D) ) Un fisiólogo establece que la función dada por r(t) = t t 20, modela la cantidad de impulsos r emitidos por un una personas a los t segundos desde que es estimulado cierto nervio (2 < t 10). Con base en la información anterior considere las siguientes proposiciones I. A los 4 segundos después de haberse estimulado ese nervio, se registraron 18 impulsos. II. La cantidad máxima de impulsos experimentados por una persona se registra a los 6 segundos de haberse estimulado ese nervio. C) Solo I D) Solo II 17) El fabricante de un artículo ha determinado que la utilidad u en dólares en función del precio de venta x está dato por u(x) = x2 2 que puede obtener el fabricante? A) 95 B) 190 C) D) x. Cuál es la máxima utilidad, en dólares, 87

89 18) La función t dada por t(x) = 1 x + 34 modela la temperatura en grados Celsius a x 100 metros de altura sobre el nivel del mar. Cuál es la temperatura a una altitud de 3000 metros sobre el nivel del mar? A) 3 C B) 4 C C) 3 C D) 4 C 19) Considere la siguiente información: Una ama de casa elabora pasteles para la venta. El costo de producir cada uno de ellos es de 125 y el precio de venta de cada pastel es de 625. Si x es la cantidad de pasteles producidos y vendidos, y g(x) es la ganancia, entonces, una función que modela la situación anterior corresponde a A) g(x) = 125x B) g(x) = 500x C) g(x) = 625x D) g(x) = 625x ) Considere la siguiente información: En un determinado estudio, se concluye que el crecimiento de un tipo de bacteria está modelado por p(x)= 5 x, donde p(x) es la cantidad de bacterias en millones a los x días de iniciado el estudio. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La población inicial es de un millón de bacterias. II. A los dos días exactos de iniciado el estudio, la cantidad de esas bacterias se ha incrementado en 25 millones. 88

90 21) Considere la siguiente información sobre un atleta que entrenó en el mes de julio corriendo en la playa o en montaña (el día que corrió en la playa no corrió en montaña): En julio realizó 14 entrenamientos en total, entre carreras en playa y en montaña. Cada recorrido en playa es de 3 km, en montaña de 5 km y durante los entrenamientos del mes de julio recorrió un total de 58 km. Cuántos kilómetros de montaña corrió la atleta en el mes de julio? A) 29 B) 36 C) 40 D) 44 22) El costo C(x) en miles de dólares por producir x unidades de relojes finos está modelado por C(x) = x 2 30x Cuántos de esos relojes se deben producir para obtener el menor costo posible? A) 15 B) 20 C) 30 D) ) La ganancia g(x) de una empresa, en dólares, por producir x unidades de un cierto artículo está modelada por g(x) = 3x x. Cuál es la máxima ganancia, en dólares, que puede obtener la empresa? A) 600 B) 5400 C) D)

91 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 24 y 25: El recorrido máximo de una motocicleta por litro de combustible es 36 Km. Además, el tanque tiene una capacidad de 10 litros y el precio de cada litro es de 579 colones. 24) Si se llena el tanque de la motocicleta (una única vez), entonces, el máximo de kilómetros que se puede recorrer en dicha motocicleta, corresponde a: A) 132 B) 136 C) 219 D) ) Una función que modela el costo "I(x)", en colones, relacionado con los "x" litros de combustibles que consume la motocicleta, corresponde a: A) I(x) = 36x B) I(x) = 579x C) I(x) = 36x + 10 D) I(x) = 579x ) El precio "P(t)" (en dólares ($)), de una propiedad está modelada porp(t) = (1.09) t, donde " t " representa los años desde el momento de su adquisición. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El precio de adquisición de la propiedad fue de $ II. A los 5 años exactos de haberse adquirido la propiedad el precio de esta es inferior a $

92 27) Considere la siguiente información: Entre alimento para perros y alimento para gatos se compró 32 kilogramos. Cada kilogramo de alimento para perros cuesta 1800, para gatos 2100 y se pagó un total de en estos alimentos. Cuántos kilogramos de alimento para perro se compró? A) 12,00 B) 20,00 C) 29,14 D) 34,00 28) El costo de producción mensual c x ", en dólares, de una fábrica de cañas para pescar está dado por 2 c x 2x 1200x, donde " 0 x 600. x " representa la cantidad de cañas producidas De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El costo máximo mensual que enfrente la fábrica es de 300 dólares. II. Los costos de producción decrecen a partir de 295 cañas de pescar producidas al mes. 29) La altura ht, en metros, que alcanza un objeto lanzado hacia arriba (el roce con el aire es despreciable) está dada por h(t) = 5t t, donde t es el tiempo en segundos. Cuál es la altura máxima, en metros, que alcanza el objeto? A) 25 B) 30 C) 35 D) 45 91

93 ÁREA 3: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 16 ÍTEMS Habilidad 1. Valorar la importancia de las medidas de resumen (posición) para el análisis de la información estadística. Utilizar las medidas de posición para resumir y analizar la información proveniente de un grupo de datos cuantitativos. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Medidas de posición 1.1 Resumir un grupo de datos mediante el uso de la moda, la media aritmética, la 4 Moda mediana, los cuartiles, el máximo y el mínimo, e interpretar la información que Media aritmética proporcionan dichas medidas. 1.2 Identificar la ubicación aproximada de las medidas de posición de acuerdo con el Mediana tipo de asimetría de la distribución de los datos. Cuartiles 1.3 Utilizar la calculadora o la computadora para calcular las medidas estadísticas Extremos correspondientes de un grupo de datos. - Mínimo 1.4 Determinar la media aritmética en grupos de datos que tienen pesos relativos (o - Máximo ponderación) diferentes entre sí. Media aritmética 1.5 Utilizar la media aritmética ponderada para determinar el promedio cuando los Ponderada datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias. 1) Considere la siguiente información sobre u estudio estadístico: Se ha registrado el peso (masa) en kilogramos de 250 estudiantes de un colegio. Al resumir los datos se obtuvo que la mediana es 67,4 kg, la moda es 65 kg y la media aritmética es 74kg. De acuerdo con la información anterior, se puede afirmar con certeza que en los 250 estudiantes, A) el peso más usual es 65kg. B) exactamente 125 pesan 74kg. C) al menos un estudiante pesa 67,5 kg. D) al menos 125 pesan menos de 65kg. 2) Si al graficar una distribución de frecuencias de un grupo de datos, se observa que tienen una asimetría negativa, entonces con certeza se cumple que A) M e < x. B) M e = x. C) M o = M e. D) M o > M e. 92

94 3) Observe la siguiente figura gráfica de una distribución de frecuencias: a b De acuerdo con la gráfica anterior, se cumple que c A) a = x. B) c = x. C) a = M e. D) b = M o. 4) En un colegio, la evaluación de Cívica en cada periodo se lleva a cabo de acuerdo con la siguiente tabla, en la que aparecen también las notas obtenidas por Andrea y Patricia en uno de los periodos: Componente a evaluar Valor porcentual Notas de Andrea Notas de Patricia Prueba escrita Trabajo cotidiano Proyecto Asistencia Concepto Total 100 Si Andrea y Patricia son estudiantes de ese colegio y necesitan una nota promedio de 70 o más para aprobar el periodo, entonces A) Andrea aprobó el periodo. B) Patricia reprobó el periodo. C) ninguna de ellas aprobó el periodo. D) Patricia tuvo una nota promedio mayor que la de Andrea. 93

95 5) Un curso universitario posee únicamente dos pruebas. La primera con un valor de 40% y la segunda de 60%. Si el estudiante obtuvo una nota de 70 en la primera y un 60 en la segunda, entonces considerando los valores porcentuales, cuál fue la nota final que obtuvo el estudiante en ese curso? A) 64,00 B) 65,00 C) 66,00 D) 57,50 6) Considere la siguiente tabla sobre calificaciones obtenidas por un estudiante en un curso: Rubro de evaluación Valor porcentual (%) Calificación obtenida por el estudiante Examen I Examen II Proyecto Final Con base en la información anterior, la nota final del estudiante es A) 52 B) 60 C) 68 D) 70 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 7 y 8: Una docente analiza los resultados de sus estudiantes en una prueba y observa que la media aritmética (promedio) de las calificaciones es de 80,67; la mediana de 68 y la moda de 100. Asimismo, por disposición de la institución, si el 45% o más de los estudiantes no logran la nota mínima de 70, se debe reprogramar una nueva prueba para esas personas. 7) Considere las siguientes proposiciones: I. La nota mínima obtenida fue superior a 68. II. El 80,67% de los estudiantes ganaron la prueba. 94

96 8) Considere las siguientes proposiciones: I. La calificación que más se repitió en la prueba fue el 100. II. La profesora tuvo que reprogramar una nueva prueba para los estudiantes que no alcanzaron una nota de 70. Con base en el siguiente contexto, conteste las preguntas 9 y 10: Al analizar las estaturas de un grupo de jóvenes aspirantes a integrar un equipo de fútbol, se obtiene que la mediana de las estaturas es 178 cm y la altura que más de repite es 188 cm. 9) La moda de las estaturas corresponde a A) 178 cm B) 183 cm C) un valor menor a 178 cm D) un valor mayor a 185 cm 10) Considere las siguientes proposiciones: I. La estatura mínima de los aspirantes es superior a 178 cm. II. 50% de los aspirantes a integrar ese equipo de fútbol miden más de 188 cm. C) Solo I D) Solo II 95

97 Con base en el siguiente contexto, conteste las preguntas 11 y 12: Un curso de inglés incluye cuatro componentes y para su aprobación se debe obtener un promedio mínimo de 70 (escala del 1 al 100). A continuación, se muestran las notas de tres estudiantes y los valores porcentuales de cada componente: Componente Valor (%) Notas de Ana Notas de Juan Notas de Luis Habla Lectura Escucha Escritura Total ) Considere las siguientes proposiciones I. Luis aprobó el curso. II. Luis obtuvo una nota final superior a 65 e inferior a 73. C) Solo I D) Solo II 12) Considere las siguientes proposiciones: I. Ana aprobó el curso. II. Juan aprobó el curso. C) Solo I D) Solo II 96

98 13) A continuación se presenta el total de hectáreas sembradas durante el periodo de 1999 al 2005 en la provincia de Limón: de banano y arroz. Año Producto Banano Arroz En promedio (media aritmética) en ese periodo cuántas hectáreas de arroz, aproximadamente, se sembró más que de banano? A) 3428,57 B) 4428,57 C) 6224,49 D) 6540,83 14) La siguiente tabla muestra las evaluaciones de Ana y Juan en un curso de inglés: Componente Valor Porcentual Notas de Ana Notas de Juan Escucha Habla Escritura Lectura Total 100 Si para aprobar el curso se necesita un promedio mínimo de 70, entonces, se concluye que A) Ana aprobó el curso. B) Juan aprobó el curso. C) Ninguno de ellos aprobó el curso. D) Ana y Juan obtuvieron el mismo promedio. 97

99 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 15 y 16: El análisis sobre las edades, en años cumplidos, de un grupo de costarricenses, muestra que la media aritmética (promedio) es de 22,67; la mediana es 17 y la edad que más se repite es 34. Además, considere que la mayoría de edad en Costa Rica se adquiere al cumplir 18 años. 15) Cuál es la moda de las edades de ese grupo de personas? A) 17 B) 18 C) 23 D) 34 16) Con base en el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones: I. Más del 50% de la personas son mayores de edad. II. La menor edad en ese grupo de personas es superior a los 17 años. 98

100 Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 17, 18 y 19: Un curso está compuesto de tres pruebas y para su aprobación se debe obtener un promedio mínimo de 65 (escala del 1 al 100). A continuación, se muestran las calificaciones de cuatro estudiantes y los valores porcentuales de cada prueba: Prueba y valor José Ana Rosa Luis Prueba I 25% Prueba II 30% Prueba III 45% Total 100% 17) Considere las siguientes proposiciones: I. Luis reprobó el curso. II. Luis obtuvo un promedio final inferior a ) Considere las siguientes proposiciones: I. Ana y Rosa reprobaron el curso. II. Ana y Rosa obtuvieron el mismo promedio final. 99

101 19) Considere las siguientes proposiciones: I. José aprobó el curso. II. José obtuvo un promedio final superior a 60 pero menor que ) Considere el siguiente contexto: El promedio de las calificaciones finales de Juan durante el periodo escolar del 2016 fue de 82,61; 100 fue la nota que más repitió y la mediana de las calificaciones fue 68. Además, considere que la nota mínima para aprobar cada asignatura es de 70. Con base en el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La moda de las calificaciones finales de Juan, en el periodo 2016, fue 82,61. II. Juan reprobó cuando mínimo la mitad de las asignaturas en el período

102 Habilidad 2. Valorar la importancia de las medidas de resumen (variabilidad) para el análisis de la información estadística. Utilizar las principales medidas de variabilidad para evaluar y comparar la dispersión de los datos. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Medidas de Variabilidad 2.1 Resumir la variabilidad de un grupo de datos mediante el uso del recorrido, el recorrido intercuartílico, la variancia o la desviación estándar e interpretar la 2 Recorrido información que proporcionan. Recorrido Intercuartílico 2.2 Emplear la calculadora o la computadora para simplificar los cálculos matemáticos en la determinación de las medidas de variabilidad. Varianza Desviación Estándar Considere el siguiente contexto y responda las preguntas 1 y 2: Las Calderas Las calderas de una planta de energía de vapor a alta presión tuvieron las siguientes eficiencias en porcentajes: 90,3 91,6 90,9 90,4 90,3 91,0 87,9 89,4. 1) Cuál es aproximadamente la variancia de las eficiencias, en porcentajes, de las calderas? A) 1,13 B) 1,24 C) 1,30 D) 1,31 2) Cuál es el recorrido de las eficiencias, en porcentajes, de las calderas? A) 0,90 B) 3,70 C) 90,23 D) 90,35 101

103 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 3 y 4: A continuación se muestran las temperaturas en grados Celsius (se tomó la mayor de cada día), para doce días del mes de enero del año 2016 en la ciudad, de San José: Temperatura ) Considere las siguientes proposiciones referidas al contexto anterior: I. Al determinar el segundo cuartil se observa que un 50% del total de las temperaturas se ubican entre 28 C (Inclusive) y 31 C (Inclusive). II. Al determinar el primer cuartil se observa que un 25% del total de las temperaturas de ubican entre 24 C (Inclusive) y 26 C (Inclusive). 4) Considere las siguientes proposiciones referidas al contexto anterior: I. El recorrido de los datos es de 5 C. II. La temperatura máxima es de 31 C. 102

104 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 5 y 6: La tabla dada a continuación corresponde a los datos sobre edades, en años cumplidos, de un grupo de personas: Mínimo Cuartiles Máximo Q1 Q2 (Me) Q ) El recorrido intercuartílico de las edades, corresponde a A) 16 B) 20 C) 22 D) 26 6) Considere las siguientes proposiciones referidas al contexto anterior: I. El 25% de las edades van desde 16 hasta 20 o menos años II. El 50% de las edades van desde los 26 o más hasta los 42 años. C) Solo I D) Solo II 103

105 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 7 y 8: A continuación se muestran las masas en kilogramos (kg) de un grupo de doce personas: Masa (Kg) ) La diferencia, kilógramos, entre la persona de mayor masa y la de menor masa, corresponde a : A) 33 B) 48 C) 55 D) 81 8) El recorrido intercuartílico de los datos sobre las masas se ubica entre A) 20 y 22 B) 48 y 50 C) 54 y 56 D) 70 y

106 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 9 y 10: La siguiente tabla muestra las edades, en años cumplidos, de las jugadoras de una selección de voleibol durante un campeonato mundial para menores de 17 años. Además, tenga en cuenta que los campeonatos se realizan cada dos años en el mismo mes: Edad ) La diferencia, en años cumplidos, entre la jugadora de mayor edad y la de menor edad, corresponde a: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 10) Considere las siguientes proposiciones referidas al contexto dado: I. Al determinar la mediana se observa que un 50% del total de las jugadoras tendrán edad para participar en el próximo campeonato mundial femenino de voleibol para menores de 17 años. II. Al determinar el primer cuartil se observa que un 25% del total de las jugadoras tendrán edad para participar en los dos próximos campeonatos mundiales femeninos de voleibol para menores de 17 años. 105

107 Habilidad 3. Utilizar diferentes representaciones para analizar la posición y variabilidad de un conjunto de datos. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Medidas de Variabilidad 3.1 Utilizar diagramas de cajas para comparar la posición y la variabilidad de dos grupos de datos. 1 Recorrido Recorrido Intercuartílico Varianza Desviación Estándar Representación Gráfica Diagramas de cajas 106

108 1) Considere la información referida a la comparación de la distribución de las edades, de los integrantes de dos grupos de 20 personas cada uno, que están representadas en el siguiente diagrama: Distribución de edades De acuerdo a la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. Las edades comprendidas entre 25% y el 50% de la población representada en la caja a están más dispersas que las edades comprendidas entre el 25% y el 50% de la población representa en la caja b. II. El recorrido intercuartílico de Q1 a Q3 de la población representada en la caja a es de 12 años. Cuáles de ellas son verdaderas? 107

109 2) Considere la siguiente información referida a la distribución de los puntajes en el campeonato de fútbol de primera división de Costa Rica en los torneos de Invierno 2015 y Verano 2016: Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La diferencia de puntaje entre el equipo que obtuvo mayor cantidad de puntos y el que obtuvo menos puntos, es mayor en el verano 2016 que en el Invierno II. Si el equipo descendido fue el que acumuló menos puntos sumando los dos torneos, entonces, este sumó entre los dos torneos menos de 32 puntos. 108

110 3) Considere la siguiente información, referida a la distribución de las edades cumplidas en años de dos grupos de personas: Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. En el grupo B ninguna persona tiene más de 23 años. II. En el grupo A al menos hay dos personas con una diferencia de 9 años en sus edades. C) Solo I D) Solo II 109

111 4) Considere el siguiente contexto: Duración de consulta En un estudio se midió el tiempo que tardan dos doctores (A y B) en la consulta con sus pacientes. Con los resultados obtenidos se confeccionó un diagrama de cajas como se muestra a continuación: Considere las siguientes proposiciones: I. Ningún paciente del doctor A duró menos de 13 minutos en su consulta. II. Como mínimo, un paciente del doctor B duró 15 minutos menos que el o los pacientes que más duraron en la consulta con dicho doctor. 110

112 5) Considere la siguiente información, referida a la distribución de las edades cumplidas en años de dos grupos de personas: Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La menor edad registrada es de 17 años en ambos grupos de personas. II. Al menos hay dos personas en el grupo B, tal que, una es mayor 10 años que la otra. 111

113 Habilidad 4. Analizar la importancia del uso de medidas relativas de tendencia central y variabilidad dentro de los análisis comparativos de información. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Medidas relativas 4.1 Aplicar estandarización y el coeficiente de variación para comparar la posición 2 Posición Relativa (Estandarización). y variabilidad de dos o más grupos de datos. Variabilidad Relativa. - El coeficiente de Variación. Considere el siguiente contexto y responda las preguntas 52 y 53: La masa media de los niños de un clase es de 58,2, y su desviación estándar es de 3,1 kg. La masa media de las niñas de esa clase es 52,4 kg y su desviación estándar es 5,2 kg. 1) Cuál es aproximadamente el coeficiente de variación de la masa media de los niños y el de las niñas, respectivamente? A) 5,3% y 9,9% B) 0,53% y 0,99% C) 18,77% y 10,08% D) 55,10% y 47,20% 2) Considere las siguientes proposiciones: I. La masa de los niños posee mayor variabilidad que la masa de las niñas. II. La masa promedio de los niños es mayor que la masa promedio de las niñas. Cuáles de ellas son verdaderas? 112

114 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 3 y 4: Una planta envasadora de salsa de tomate utiliza los envases tipo A y B. Un estudio sobre los llenados muestran los siguientes resultados: En los envases tipo A, la cantidad promedio de llenado es de 1 onza y la desviación estándar de 0.08 onzas. En los envases tipo B, la cantidad promedio de llenado es de 16 onzas y la desviación estándar de 1.04 onzas. 3) Con base en el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La cantidad promedio de salsa de tomate es mayor en los envases tipo B que en los envases tipo A. II. La desviación estándar de las cantidades de salsa de tomate de los envases tipo B, es menor que en los envases tipo A. 4) Con base en la información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones: I. Las diferencias de los coeficientes de variación de las cantidades de salsa de tomate entre los dos tipos de envases es de 5.5%. II. Considerando los coeficientes de variaciones, se tiene que en términos relativos hay mayor variabilidad con las cantidades de salsa de tomate contenidos en los envases tipo A que las presentes en los envases tipo B. 113

115 Considere el siguiente contexto, para responder las preguntas 5 y 6: La tabla dada a continuación contiene información sobre las calificaciones en dos asignaturas de los estudiantes de un grupo de sétimo año de un colegio y, de las notas obtenidas por Ana y Luis. Asignatura Media Aritmética Desviación Estándar Notas de Ana Notas de Luis Inglés Matemáticas ) La diferencia entre los coeficientes de variación de Matemáticas e Inglés, corresponde a A) 3,83 % B) 4,50 % C) 6,22 % D) 6,54 % 6) Con base en la información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones: I. En Matemáticas la posición relativa de Ana es 2. II. Considerando las notas de Luis en las dos asignaturas, él obtuvo mejor posición relativa en inglés. C) Solo I D) Solo II 114

116 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 7 y 8: Una docente analiza las estaturas de un grupo de estudiantes (considere que el grupo es numeroso y con igual cantidad de hombres que de mujeres). Entre ellos, se determina que Miguel mide 184 cm y la altura de Ana es de 174 cm. Asimismo, se sabe que: La media aritmética (promedio) de las estaturas de los varones del grupo es de 175 cm y la desviación estándar es de 16 cm. La altura promedio de las mujeres del grupo es de 162 cm y la desviación es de 17 cm. 7) La diferencia entre los coeficientes de variación de las alturas del grupo de mujeres y del grupo de los varones, corresponde a A) 1,06% B) 1,08% C) 1,35% D) 1,61% 8) Con base en la información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones: I. Es más eficiente realizar la comparación de las estaturas de los estudiantes por sexo mediante un análisis en términos de variabilidad absoluta que de variabilidad relativa. II. La altura de Ana es mayor respecto a las estaturas de las mujeres, que la altura de Miguel con respecto a las estaturas de los varones, es decir, al analizar las estaturas en términos relativos ella está mejor posesionada que él en relación con sus grupos de referencia. 115

117 Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 9 y 10: En una competencia de halterofilia (levantamiento de pesas) se analizan las categorías de 63 kilogramos en la rama femenina y los 62 kilogramos en la masculina (considere que los dos grupos tienen la misma cantidad de participantes). Entre ellos, tenemos a José quien levantó 280 Kg y Ana quien levantó 180 Kg. Asimismo, se sabe que: La media aritmética (promedio) de los levantamientos fue de 274 kg en los varones y la desviación estándar de 20 kg. La media aritmética (promedio) de los levantamientos fue de 170 kg en las damas y la desviación estándar de 14 kg. 9) La diferencia entre los coeficientes de variación de los levantamientos de pesas del grupo de las mujeres y del grupo de los varones, corresponde a: A) 0,94% B) 1, 43% C) 1,55% D) 1,61% 10) Con base en a información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La posición relativa de Ana en su respectiva categoría es 10. II. Dadas las cantidades de kilogramos levantados por Ana y José, en términos relativos, ella quedó mejor posicionada que él en sus respectivas categorías. 116

118 Habilidad 5. Utilizar las probabilidades y las medidas estadísticas para favorecer la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Conocimientos Habilidades Específicas Ítems Eventos Relaciones entre eventos - Unión - Intersección - Complementos Eventos Mutuamente Excluyentes Medidas de Variabilidad Recorrido Recorrido Intercuartílico Varianza Desviación Estandar 5.1 Describir relaciones entre dos o más eventos de acuerdo con sus puntos muestrales, utilizando para ello las operaciones: unión, intersección y complemento e interpretar el significado dentro de una situación o experimento aleatorio. 5.2 Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre eventos 5.3 Reconocer eventos mutuamente excluyentes en situaciones aleatorias particulares. 5.4 Resolver problemas del contexto estudiantil que involucren el análisis de las medidas de variabilidad. 3 1) Considere el experimento de escoger un número natural del 1 al 12. Si el evento A es: que el número escogido sea par y el evento B es: que el número escogido sea múltiplo de tres, entonces con certeza A) A B = { 6, 12 }. B) A B = { 3, 6, 9, 12 }. C) A B = { 3, 6, 9, 12 }. D) A B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }. 2) Considere el experimento de sacar dos bolas de una caja que contiene bolas blancas (B), azules (A) y rojas (R). Si las bolas poseen la misma forma y tamaño, y el evento M es: que las bolas sean del mismo color, entonces con certeza el complemento «M c» de M es A) { AA, RR, BB } B) { BR, RB, BA, AB } C) { AA, BB, RR, BA, RA } D) { AB, AR,BA, BR, RA, RB } 117

119 Con base en la siguiente información responda las preguntas 3, 4 y 5: Los 73 niños de una escuela practican una o dos de las tres disciplinas deportivas disponibles (voleibol, natación, atletismo); además se sabe que: 25 escogieron voleibol. 25 escogieron natación. 35 escogieron atletismo. Asimismo, 5 niños escogieron tanto voleibol como natación; 7 niños eligieron natación y también atletismo. No obstante; ningún niño que practica voleibol practica atletismo. 3) Cuántos niños escogieron solo voleibol? A) 7 B) 12 C) 18 D) 20 4) Cuántos niños escogieron solo natación? A) 13 B) 15 C) 20 D) 28 5) Cuántos niños escogieron voleibol o atletismo? A) 0 B) 48 C) 53 D)

120 Con base en la siguiente información responda las preguntas 6, 7 y 8: El siguiente diagrama ilustra los gustos y preferencias de 78 personas por la práctica de fútbol, atletismo y baloncesto: Fútbol Atletismo Baloncesto 6) Si del total de personas, se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique fútbol y baloncesto, es A) B) C) D) ) Si del total de personas, se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique al menos dos de esos deportes, es A) B) C) D) ) Si del total de personas, se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique solo atletismo o solo fútbol, es A) 4 78 B) C) D)

121 Con base en la siguiente información responda las preguntas 9, 10 y 11: El siguiente diagrama ilustra la cantidad de personas que asisten a una conversación y los idiomas que hablan: 9) Si del total de asistentes se elige una persona al azar, entonces, la probabilidad de que esa persona hable inglés y español, es A) 0 B) 1 3 C) 1 5 D) ) Si del total de asistentes se elige una persona al azar, entonces, la probabilidad de que esa persona hable dos de esos idiomas corresponde a A) 1 6 B) 5 6 C) 3 10 D) ) Si del total de asistentes se elige una persona al azar, entonces, la probabilidad de que esa persona hable solo francés o solo español, corresponde a A) 2 5 B) 7 15 C) D)