Ayudantía 9: Mecánica Cuántica en el formalismo de Dirac

Transcripción

1 Pontificia Universia Católica e Chile Faculta e Física FIZ03 Física Cuántica I Ayuantía 9: Mecánica Cuántica en el formalismo e Dirac Fabián Cáiz 0.. Primer principio A caa sistema físico se le asocia un espacio e Hilbert H. El estao el sistema se efine a caa instante por un vector normao ψ(t) e H. 0.. Seguno principio. A toa cantia física A se le asocia un operaor lineal autoajunto observable que representa a la cantia A. Â e H, Â es el. Principio e cuantificación: Sea ψ el estao en el cual se encuentra el sistema al momento e efectuar una meia e A. Para cualquier ψ, los únicos resultaos posibles son los valores propios a α el observable Â. 3. Principio e escomposición espectral: Sea ˆP α el operaor e proyección sobre el subespacio asociao al valor propio a α. La probabilia e encontrar el valor a α al realizar una meia e A es: P (a α ) = ˆP α ψ Se tiene la equivalencia ˆP α ψ = ψ ˆP α ψ 4. Principio e reucción e la función e ona: Inmeiatamente espués e una meia e A que io por resultao el valor a α, el estao el sistema es: ψ = ˆP α ψ ˆP α ψ

2 0.3. Tercer principio: evolución temporal Sea ψ(t) el estao el sistema al instante t. Si el sistema no es sometio a ninguna observación, su evolución en el tiempo está regia por la ecuación e Schroinguer: i ψ(t) = Ĥ ψ(t) t one Ĥ es el observable asociao a la energía: el hamiltoniano el sistema.

3 Problema : Operaor e evolución Consiere un sistema cuyo hamiltoniano Ĥ es inepeniente el tiempo (sistema aislao). Muestre que el vector e estao al instante t, notao ψ(t), se euce el vector e estao ψ(t 0 ) por la fórmula: ψ(t) = Û(t t 0) ψ(t 0 ) con Muestre que Û(τ) es unitario, es ecir Û = Û. Û(τ) = e iĥτ/ Solución Dao que Ĥ no epene el tiempo, se tiene: Dao que Û y Ĥ conmutan: Se euce entonces que: tû(t t 0) = i Ĥe iĥ(t t 0)/ = i ĤÛ(t t 0) i tû(t t 0) = Û(t t 0)Ĥ ψ(t) = Û(t t 0) ψ(t 0 ) es solución e la ecuación e Schroinguer con la conición inicial correcta, pues Û(0) =. El hecho e que el operaor e evolución temporal sea unitario es consecuencia e la hermiticia el hamiltoniano: e forma que: Û(t t 0 ) = e iĥ(t t 0)/ Û(t t 0 ) Û(t t 0 ) = y se sigue que Û es unitario, Û = Û. Esto es consistente con la conservación e la norma: ψ(t) ψ(t) = ψ(0) Û (t)û(t) ψ(0) = ψ(0) ψ(0) De esta forma, una solución e la ecuación e Schroinguer tiene norma para too t. Por último, notar que para un esplazamiento temporal iferencial t: ( ψ(t 0 + t) = e iĥt/ ψ(t 0 ) i ) tĥ ψ(t 0 ) i t ( ψ(t 0 + t) ψ(t 0 ) ) = Ĥ ψ(t 0) Se reconoce la ecuación e Schroinguer al tomar t 0. 3

4 Problema : Representación e Heisenberg Consiere un sistema cuántico aislao e hamiltoniano Ĥ. Sea ψ(0) el estao el sistema al instante t = 0. Sea a(t) el valor meio e las meias e un observable  al instante t. a) Exprese a(t) en función e ψ(0),  y el operaor e evolución Û introucio en el problema anterior. b) Muestre que a(t) puee interpretarse como el valor meio e un operaor Â(t) H en el estao ψ(0), y que Â(t) H satisface: i Â(t) H t = [Â, Ĥ](t) H y Â(0) =  () Esta es la representación e Heisenberg: el vector e estao es inepeniente el tiempo, y los operaores obeecen la ecuación e Heisenberg (). Solución a) El valor meio el observable  en el estao ψ(t) es: a (t) = ψ(t)  ψ(t) Utilizano el operaor e evolución temporal, si ψ(0) es la función e ona en t = 0, entonces ψ(t) = Û(t) ψ(0) y: a (t) = ψ(0) e iĥt/ Âê iĥt/ ψ(0) Notar que esto equivale a tomar el valor meio el operaor Â(t) H = e iĥt/ Âê iĥt/ en el estao ψ(0). Esto puee ser interpretao e la siguiente manera: el estao físico e una partícula es constante en el tiempo, mientras que los observables asociaos a cantiaes físicas son operaores que epenen el tiempo, y se relacionan con los observables en el cuaro e Schroinguer meiante Â(t) H = e iĥt/ Âe iĥt/. Aemás: tâ(t) H = i ) (Ĥe iĥt/ Âe iĥt/ e iĥt/ ÂĤe iĥt/ tâ(t) H = i ) (Ĥ eiĥt/ ÂĤ e iĥt/ i tâ(t) H = [Â, Ĥ](t) H Esta es la ecuación e Heisenberg para los operaores. En resumen:. Cuaro e Schroinguer: el estao físico es un elemento ψ(t) e un espacio e Hilbert que evoluciona en el tiempo e acuero a i ψ(t) = Ĥ ψ(t), o equivalentemente, t ψ(t) = e iĥt/ ψ(0). A toa cantia física se le asocia un observable Â.. Cuaro e Heisenberg: el estao físico es un elemento constante en el tiempo ψ(0) e un espacio e Hilbert. A toa cantia física se le asocia un observable Â(t) que evoluciona en el tiempo según i tâ(t) H = [Â, Ĥ](t) H, equivalentemente Â(t) H = e iĥt/ Âe iĥt/. 4

5 Problema 3:Ecuación e movimiento clásico para el oscilaor armónico Consiere un oscilaor armónico uniimensional e frecuencia w. En t = 0 la partícula se encuentra en un estao ψ(0) arbitrario. Utilizano el cuaro e Heisenberg, euzca ˆx(t), ˆp(t) y encuentre las ecuaciones que satifacen el valor meio e la posición y el momentum como función el tiempo. Solución El hamiltoniano el oscilaor armónico es: Ĥ = ˆp m + mwˆx En el cuaro e Heisenberg, los operaores posición y momentum satisfacen: i t ˆx(t) H = [ˆx, Ĥ](t) H pero i t ˆp(t) H = [ˆp, Ĥ](t) H Se obtiene entonces: [ˆx, Ĥ] = m [ˆx, ˆp ] = m (ˆp[ˆx, ˆp] + [ˆx, ˆp]ˆp) = i m ˆp [ˆp, Ĥ] = mw [ˆp, ˆx ] = i mw ˆx t ˆx(t) H = m ˆp(t) H t ˆp(t) H = mw ˆx(t) H Se ve que los operaores posición y momentum satisfacen ecuaciones análogas a las el movimiento clásico!. Por ejemplo, se tiene para el operaor posición: t ˆx(t) H + w ˆx(t) H = 0 Finalmente, si en t = 0 el estao e la partícula es ψ(0), el valor meio e la posición y el momentum al instante t es: y entonces: ˆx (t) = ψ(0) ˆx(t) H ψ(0) t ˆx (t) = ψ(0) t ˆx(t) H ψ(0) = m ψ(0) ˆp(t) H ψ(0) = m p (t) De igual moo : t ˆp (t) = ψ(0) t ˆp(t) H ψ(0) 5

6 t ˆp (t) = mw x (t) Se reconoce el teorema e Ehrenfest para el caso particular el oscilaor armónico: t ˆx (t) = m p (t) t ˆp (t) = mw x (t) Los valores meios e los observables posición y momentum satisfacen las ecuaciones e movimiento e la mecánica clásica. 6

7 Problema 4: Problema a os sitios Consiere una partícula que puee ocupar únicamente sitios el espacio, separaos una istancia a. Se enotan respectivamente 0 y los estaos corresponientes a la partícula localizaa sobre el sitio e la izquiera y sobre el sitio e la erecha. El conjunto { 0, } forma una base ortonormal. Se supone que la partícula tiene la misma energía E 0 sobre caa uno e los os sitios. La partícula puee igualmente saltar e un sitio a otro por efecto túnel, sieno J el elemento e matriz corresponiente. El hamiltoniano total e la partícula es entonces: Ĥ = E 0 ( ) J ( ) a) Escriba el hamiltoniano bajo la forma e una matriz en la base { 0, }. b) Calcule los estaos propios y las energías propias corresponientes. c) Se prepara la partícula en el estao 0 al instante inicial t = 0. Cuál es la probabilia e encontrar a la partícula en el estao al instante t? Solución a) A partir e la efinición e los elementos e matriz e un operaor, se obtiene la siguiente matriz para el hamiltoniano: ( ) E0 J Ĥ = J E 0 b) Los autovalores se encuentran al resolver: et H λ = 0 Las soluciones son: (E 0 λ) J = E 0 J E 0 λ + λ = 0 λ = E 0 ± 4E0 4E0 + 4J = E 0 ± J Es ecir, los valores propios son λ = E 0 J y λ = E 0 + J. Para encontrar el vector propio asociao a λ resolvemos: ( ) J J (H (E 0 J)) ψ = ψ J J = 0 Se obtiene: ψ = ( 0 + ) 7

8 De forma análoga, para el vector propio asociao a E 0 + J: ψ = ( 0 ) c) Descomponieno el estao inicial ψ(0) = 0 sobre la base e autoestaos el hamiltoniano: ψ(0) = 0 = ( ψ + ψ ) Se euce que el estao el sistema al instante t es: ψ(t) = ( e i(e 0 J)t/ ψ + e i(e 0+J)t/ ψ ) La probabilia e volver a encontrar al electrón en el sitio al instante t será: P (t) = ψ(t) = 4 e i(e 0 J)t/ e i(e 0+J)t/ = sin (Jt/ ) P (t) = ( cos(jt/ )) Se encuentra una oscilación perióica entre los estaos localizaos 0, gracias al efecto túnel. La frecuencia e esta oscilación es w = J/

9 Problema 5: Caena cerraa e centros Consiere los estaos e un electrón en una estructura formaa por átomos en los vértices e un octágono regular. Designamos ξ n, n =,..., los estaos el electrón localizaos respectivamente en la vecina e los átomos n =,...,. Estos estaos se suponen ortogonales, ξ n ξ m = δ n,m. El hamiltoniano e este sistema está efinio en la base { ξ n }, por Ĥ = AŴ, one A > 0, y Ŵ está efinio por: Ŵ ξ n = ( ξ n+ + ξ n ) one se efinen las coniciones cíclicas ξ 9 = ξ y ξ 0 = ξ. Sean ϕ k los estaos propios e Ĥ, y E k, k =,..., los valores propios corresponientes. Definimos el operaor e traslación ˆR por ˆR ξ n = ξ n+. a) Verificar que ˆR = y eucir los valores propios λ k, k =,.., e ˆR (Son toos iferentes). b) Escribieno los vectorios propios e ˆR bajo la forma ψ k = p= cp k ξ p, escriba la relación e recurrencia para los coeficientes c p k y etermine estos coeficientes normalizano ψ k. c) Verifique que los vectores ψ k forman una base ortonormal el espacio a imensiones consierao. ) Verifique que estos mismos vectores ψ k son vectores propios el operaor ˆR = ˆR efinio por R ξ n = ξ n y calcule los valores propios corresponientes. e) Exprese Ŵ en función e ˆR y ˆR. Deuzca los vectores propios ϕ k e Ĥ y los niveles e energía corresponientes. Discuta la egeneración e los niveles. f) Exprese los estaos localizaos ξ n, n =,..., en función e los estaos propios e la energía ϕ k, k =,..,. g) Al instante inicial t = 0 el electrón está localizao sobre el sitio n =, ψ(t = 0) = ξ. Calcule la probabilia p (t) e volver a encontrar al electrón sobre el sitio n = a un instante posterior t, escriba w = A/. h) Existen instantes t para los cuales p(t) =?. Explique por qué. La propagación e un electrón sobre la caena es perióica?. Qué piensa e la generalización e este resultao a un número cualquiera e centros? Solución a) Imponieno las coniciones e perioicia e la caena, se tiene n, ˆR ξ n = ξ n+ = ξ n Se euce que ˆR =. Si λ k es un valor propio e ˆR con vector propio ψ k, entonces: ˆR ψ k = λ k ψ k = ψ k Se tiene e esta forma que los valores propios e ˆR cumplen: λ k = Luego: λ k = e i π k = e i π 4 k, k =,..., b) Escribieno los vectores propios e ˆR en la base { ξ n }, ψ k = cn k ξ n, se tiene: ˆR ψ k = e i π 4 k ψ k 9

10 pero: Finalmente: Dao que { ξ n } es base, ( ) ˆR ψ k = ˆR c n k ξ n = ˆR ψ k = c n k ξ n+ = c n k ξ n = e i π 4 k c n ˆR ξ k n c n k ξ n c n k ξ n Esto significa: c n k = e i π 4 k c n k c k = e i π 4 k c k c 3 k = e i π 4 k c k En general: c n k = e i(n ) π 4 k c k n =,..., De esta forma, los vectores propios e ˆR son e la forma: ψ k = c k Imponieno la normalización ψ k = : ψ k = c k e in π 4 k ξ n e in π 4 k ξ n = c k = Eligieno c k = e i π 4 k (la elección e fase es arbitraria!), se tiene: c n k = e in π 4 k k, n =,..., c) Los vectores propios e ˆR normalizaos tienen la forma: Se tiene entonces: ψ k ψ k = ψ k = e in π 4 k ξ n ( e in π 4 k ξ n n = 0 ) e in π 4 k ξ n

11 ψ k ψ k = n = e i(n k nk) π 4 ξn ξ n = e in(k k) π 4 = δk,k Pues es claro que si k = k, la sumatoria es igual a / =. Por otro lao, si k k, las fases e in(k k) π 4, n =,..., son los vértices e un octágono regular centrao en el origen, sieno la suma e toas igual a este último. En conclusión, el conjunto e vectores propios ψ k e ˆR forma una base ortonormal. ) Se tiene: = ( ˆR ψ k = ˆR ˆR ψ k = ) e in π 4 k ξ n e in π 4 k ˆR ξ n = e in π 4 k ξ n e i(n+) π 4 k ξ n = e i π 4 k ψ k Luego, ψ k es también vector propio e ˆR, con autovalor λ k. ( ) e) Dao que el Hamiltoniano se escribe Ĥ = AŴ = A ˆR + ˆR, es claro que ψ k es vector propio e Ĥ con autovalor: ( E k = A (λ k + λ k) = A cos k π ), k =,..., 4 El estao funamental se obtiene para k =, E = A. Se tiene aemás: E = E 7 = A E = E 6 = 0 E 3 = E 5 = A E 4 = A f) Dao que { ϕ k } forma una base hilbertiana, se tiene: ξ n = ϕ k ϕ k ξ n = (c n k) ϕ k = e ikn π 4 ϕk g) Suponieno que k= k= k= ψ(t = 0) = En un instante posterior t se tenrá: ψ(t) = e ik π 4 ϕk = ξ k= e i(k π 4 Ekt/ ) ϕ k k=

12 La probabilia e encontrar al electrón en el sitio al instante t es: p (t) = ξ ψ(t) = k= e ie kt/ Utilizano los valores encontraos para E k, y efinieno w = A/ : p (t) = (e ) wt + + e wt + e wt + e wt = 4 ( + cos(wt ) ) + cos(wt) h) Se tiene evientemente p (0) =. Para obtener p (t) = en un instante posterior se ebe encontrar t 0 tal que: cos(wt ) = cos(wt) = Esto significa wt = Nπ y wt = N π one N, N son enteros. Tomano el cuociente entre estas os expresiones, encontramos: = N Es ecir, tenría que ser racional! En consecuencia, la partícula no se encuentra jamás sobre el sitio con probabilia. La evolución el sistema no es perióica. De forma análoga se pueen resolver problemas e n sitios con n, en particular, cuano se tienen, 4 y 6 sitios, los niveles e energía tienen cuocientes racionales y la evolución es perióica. Más allá e n = 6 centros, la evolución nunca será perióica. N

13 Problema 6: Fórmula e Glauber Si os operaores  y ˆB no conmutan, no existe relación simple entre eâe ˆB y eâ+ ˆB. Suponga aquí que  y ˆB conmutan con su conmutaor [Â, ˆB]. Muestre la fórmula e Glauber: eâe ˆB = eâ+ ˆBe [Â, ˆB]/ Para ello, introuzca el operaor ˆF (t) = e tâe t ˆB, one t es una variable sin imensión, y establezca la ecuación iferencial: F ( t = + ˆB + t[ Â, ˆB] ) ˆF (t) y luego integre la ecuación entre t = 0 y t =. Utilize aemás el resultao [ ˆB, Ân ] = n k=0 Âk [ ˆB, Â]Ân k Solución Se tiene: ( ) ( ) t ˆF = t etâ e t ˆB ˆB + eâ et t t ˆF = ÂetÂe t ˆB + eât ˆBe t ˆB El seguno término e la erecha se puee reescribir como: Pero Ân ˆB = [  n, ˆB] + ˆBÂn, luego: eât ˆBe t ˆB = eât ˆBe t ˆB = n=0 y ahora utilizamos el siguiente resultao: y como  conmuta con [Â, ˆB]: Usano esto: eât ˆBe t ˆB = n=0 t n n!ân ˆBe t ˆB t n n! [Ân, ˆB]e t ˆB + Be tâet ˆB [Ân, ˆB] n k =  [Â, ˆB]Ân k k=0 [Ân, ˆB] n = [Â, ˆB]Âk  n k = n[â, ˆB]A n = nân [Â, ˆB] n=0 De esta manera: k=0 t n n! nan [Â, ˆB]e t ˆB + Be tâe t ˆB = t eât t ˆBe ˆB = te tâ[â, ˆB]e tb + Be tâet ˆB t ˆF = ÂetÂe t ˆB + t[â, ˆB]e tâet ˆB + Be tâet ˆB 3 t n (n )! An [Â, ˆB]e t ˆB + Be tâet ˆB

14 La solución es: t ˆF = ( + ˆB + t[ Â, ˆB] ) ˆF ˆF (t) = e t(â+ ˆB)+ t Tomano t =, se obtiene la fórmula e Glauber: En el caso particular  = ˆx, ˆB = ˆp: [Â, ˆB] eâe ˆB = eâ+ ˆB+ [Â, ˆB] eˆx eˆp = eˆx+ˆp e i / 4

15 Problema 7: Oscilaor con fuerza constante en el cuaro e Heinsenberg Use el cuaro e Heisenberg para encontrar los valores e expectación para ˆp y ˆx e una partícula bajo la influencia e un oscilaor armónico y e una fuerza constante F. Asuma que el estao el sistema es el groun state el oscilaor armónico simple sin la fuerza F. Solución El hamiltoniano es: Ĥ = ˆp m + kˆx F ˆx Si ˆx(t) H y ˆp(t) H son los operaores en el cuaro e Heinsenberg, se tiene: pero i t ˆx(t) H = [ˆx, Ĥ](t) H = m [ˆx, ˆp ](t) H Luego: Del mismo moo, tenemos: [ˆx, ˆp ] = [ˆx, ˆp]ˆp + ˆp[ˆx, ˆp] = i ˆp t ˆx(t) H = m ˆp(t) H () y: i ˆp(t) H t = [ˆp, Ĥ](t) H [ˆp, Ĥ] = k[ˆp, ˆx ] F [ˆp, ˆx] Es ecir: [ˆp, Ĥ] = i kˆx + i F t ˆp(t) H = kˆx(t) H + F (3) El estao en el cuaro e Heisenberg es 0 (el groun state el oscilaor armónico en t = 0 en el cuaro e Shroinger). En términos e los operaores e creación y aniquilación, tenemos: ˆx(t) H = (â ) (t) H + â(t) H mw mw ˆp(t) H = i (â ) (t) H â(t) H o bien: ( mw â(t) H = ˆx(t) H + iˆp(t) ) H â (t) H = mw mw ( ˆx(t) H iˆp(t) H mw La ecuación e movimiento para el operaor e aniquilación en el cuaro e Heinsenberg es, usano () y (3): 5 )

16 y w = k/m ( mw tâ(t) H = m ˆp(t) H ik mw ˆx(t) H + i ) mw F ( mw i tâ(t) H = iw ) wm ˆp(t) H + ˆx(t) H + i mw F tâ(t) H = iwâ(t) H + if m w De aquí se obtiene lo siguiente: tâ(t) H + iwâ(t) H = if tâ(t) He iwt + iwâ(t) H e iwt = if m w m w eiwt Finalmente, integrano : (â(t)h e iwt) = if t m w eiwt De igual forma: â(t) H e iwt â(0) H = F m w ˆ t â(t) H = â(0) H e iwt + F 0 t e iwt = F m w 3 ( e iwt ) m w 3 ( e iwt ) Usano que: encontramos: y â (t) H = â (0) H e iwt + F m w 3 ( e iwt ) 0 â(0) 0 = 0 â (0) 0 = 0 ˆx t = 0 ˆx(t) H 0 = 0 ˆp t = 0 ˆp(t) H 0 = F ( cos wt) w 6