0.1 Ecuaciones de Lax y Par de Lax

Transcripción

1 Proyecto e Investigación Daniel Juárez Robles Ecuaciones Diferenciales Parciales 0.1 Ecuaciones e Lax y Par e Lax En 1895, Korteweg y e Vries estuiaron el movimiento e fluios en canales longituinales con poca profunia obtenieno una ecuación no lineal que propusieron como moelo matemático para la propagación e onas no lineales one u es la amplitu e ona. u t 6uu x + u xxx = 0 Esta ecuación permaneció confinaa en los libros e mecánica e fluios urante bastantes años hasta que primero Zabusky y Kruskal en 1965 y luego Garner et al. en 1967 la reescubrieron y probaron que tenía soluciones con comportamiento altamente regular que enominaron onas solitarias o solitones. Esto llevo a consierar la ecuación e KV como la ecuación e un sistema Hamiltoniano integrable con infinitos graos e liberta y a consierar que las propieaes peculiares e las soluciones eran consecuencia e la existencia e infinitas leyes e conservación. Lax extuió este problema en 1968 y probó que la ecuación e KV (y otras ecuaciones similares) se poía obtener como la conición e integrabilia entre ciertos pares e operaores iferenciales y que aemás implicaba que el espectro e ciertos operaores se mantenía constante. Por consiguiente, tanto lo que luego se llamarían pares e Lax como las evoluciones que preservan el espectro e un operaor, fueron obtenias primeramente en el estuio e ecuaciones en erivaas parciales asociaas a sistemas no lineales con infinitos graos e liberta. Posteriormente estas os ieas fueron utilizaas para el estuio e la integrabilia e sistemas Hamiltonianos con un número finito n e graos e liberta. Relevancia el par e Lax. El escubrimiento e la ispersión elástica e solitones e la ecuación KV se convirtio a la larga en un gran progreso teórico ya que proveyó e un métoo para resolver analíticamente sistemas no lineales. El escubrimiento teórico original fue hecho en la Universia e Princeton, en los Estaos Unios por Garner, Greene, Kruskal y Miura. Posteriormente otros investigaores clarificaron y simplificaron la teoría y, en última instancia, construyeron muchos más ejemplos e estos sistemas especiales. Uno e los primeros artículos e investigación que tuvo una enorme influencia en el esarrollo el tema fue precisamente el artículo e 1968 e Peter Lax. Anteriormente Garner, Greenem Kruskal y Miura habían hallao que los valores propios el operaor e Schröinger eran constantes e tiempo si u(t) evolucionaba e acuero con la ecuación KV. Los primeros artículos e investigación en el área eran complicaos aos los extensos cálculos que acompañaron los escubrimientos originales. Lax simplificó y clarificó conceptualmente la situación introucieno el esquema e Heisenberg o e operaores que ahora se conoce como par e Lax. 0.2 Pares e Lax Consieremos una matriz A cuyos elementos A ij son funciones efinias en el espacio e fases (ver sección 0.4.1). Supongamos que existe una matriz B tal que la evolución temporal e la matriz A viene aa por: A = BA AB = [B, A] t one [B, A] enota al conmutaor e las matrices B y A. En este caso se ice que estas os matrices forman un par e Lax y la ecuación e evolución e la matriz A se enomina ecuación e Lax. Por otra parte, si la traza e un conmutaor es nula, esto es,, tr[b, A] = tr(ba AB) = tr(ba) tr(ab) = 0

2 2 e lo que se euce que si un sistema amite una representación e Lax entonces la traza e la matriz A es constante el movimiento I 1 = tra, t I 1 = 0 Si las matrices (A, B) son un par e Lax entonces (A 2, B) también es un par e Lax, como se mostrará a continuación: t A2 = AA + A A = [B, A]A + A[B, A] = (BA AB)A + A(BA AB) = BA 2 A 2 B = [B, A 2 ] Esta propiea se puee generalizar fácilmente para potencias e oren superior e la matriz A. En efecto, supongamos que (A m 1, B), m > 1, es un par e Lax. Entonces se cumple que: t Am = AA m 1 + A t Am 1 = [B, A]A m 1 + A[B, A m 1 ] = (BA AB)A m 1 + A(BA m 1 A m 1 B) = BA m A m B = [B, A m ] Por consiguiente (A m, B) también es un par e Lax. Como consecuencia e esto se puee afirmar la siguiente propiea. Proposición 1 Si un sistema inámico amite un par e Lax (A, B) entonces las funciones efinias e la forma son constantes el movimiento I 1 = tra, I 2 = tra 2,..., I n = tra n, t I k = 0, k = 1, 2,..., n 0.3 Ecuaciones e Lax y evoluciones espectrales Evoluciones isoespectrales Supongamos que la evolución temporal e la matriz A viene aa por A = BA AB t Consieremos una matriz P efinia e la forma t P = BP, P (0) = I se trata e una ecuación iferencial lineal con coniciones iniciales; por consiguiente la solución P (t) está bien efinia y es única. Por otra parte, esto significa que la matriz B se puee expresar e la forma ( ) B = t P P 1 = P P 1.

3 0.3. ECUACIONES DE LAX Y EVOLUCIONES ESPECTRALES 3 Consieremos que la matriz A P efinia e la siguiente forma y calculemos su evolución temporal A P = P 1 AP tenieno en cuenta que o bien ( P 1 AP ) = P t 1 AP + P 1 AP + P 1 AP ( P 1 P ) = P t 1 P + P 1 P = 0 sustituyeno la expresión anterior se obtiene P 1 P + P 1 P = 0 P 1 = P 1 P P 1 ( P 1 AP ) ( = P 1 P P 1) AP + P 1 (BA AB) P + P 1 AP t ( P 1 AP ) = P 1 P P 1 AP + P 1 BAP P 1 ABP + P 1 ABP t ( P 1 AP ) ( = P 1 P t ) P 1 A + BA P ( P 1 AP ) = P 1 ( BA + BA) P = 0 t Esto significa que la matriz A P = P 1 AP se mantiene constante a lo largo el tiempo. Consecuéntemente, su valor en un instante arbitrario t será el mismo que tenía en el instante inicial P 1 AP (t) = P 1 AP (0) = A(0) Esto significa que la evolución temporal e la matriz A es e la forma A(t) = P A(0)P 1, lo que significa que las matrices A(t) y A(0) son similares. Recoremos que las matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Por consiguiente, la matriz A(t) y la matriz A(0) tienen los mismos valores propios, o lo que es lo mismo, los valores propios λ i, i = 1, 2,..., n, se mantienen constantes a lo largo e la evolución temporal t λ i = 0, i = 1, 2,..., n En este caso ecimos que la evolución temporal e la matriz A gobernaa por una ecuación e Lax es isoespectral, lo que significa que el espectro es preservao por la evolución temporal Propieaes y observaciones 1. Un par e Lax no es único. Más concretamente, ao un par e Lax (A, B) siempre se puee construir una familia e pares e Lax. Consieremos la ecuación A = BA AB t y enotemos A g y B g las matrices efinias e la siguiente forma

4 4 A g = gag 1, B g = gbg 1 + ġg 1 (1) one g es una matriz regular (invertible) efinia en el espacio e fases. Entonces la siguiente ecuación e Lax también es cierta Demostración t A g = B g A g A g B g Sustituyeno las expresiones para A g y B g en la expresión anterior se tiene: B g A g A g B g = ( gbg 1 + ġg 1) ( gag 1) ( gag 1) ( gbg 1 + ġg 1) = gbg 1 gag 1 + ġg 1 gag 1 gag 1 gbg 1 + gag 1 ġg 1 = gbag 1 + ġag 1 gabg 1 + gag 1 ġg 1 = g (BA AB) g 1 + ġag 1 + gag 1 ġg 1 = ġag 1 + gag 1 + gag 1 ġg 1 Analizano el último término se observa que éste correspone a la erivaa e g 1, ya que: Sustituyeno se obtiene t g 1 = t ( ) 1 = ġ g gg = g 1 ġg 1 B g A g A g B g = ġag 1 + gag + ga B g A g A g B g = ( gag 1 ) t g 1 B g A g A g B g = t A g Las matrices A y A g son similares y poseen los mismos valores propios. La transformación (A, B) (A g, B g ), efinia por las Ecs. 1, se enomina transformación gauge e la ecuación e Lax. 2. Too sistema Hamiltoniano que sea integrable en el sentio e Arnol-Liouville amite una representación e Lax. En la mecánica clásica el estao e un sistema quea eterminao por un punto en su espacio fase. Este es generalmente un espacio e imensión par con coorenaas e posición q i y momentum p i. El Hamiltoniano es una función en el espacio fase, enotao por H (p i, q i ). Las ecuaciones e movimiento es un sistema e ecuaciones iferenciales e primer oren que toma la forma el Hamiltoniano: q i = H p i p i = H q i one el punto representa la erivaa temporal. Para una función F (p, q) en el espacio fase, esto implica que F (p(t), q(t)) cumple:

5 0.3. ECUACIONES DE LAX Y EVOLUCIONES ESPECTRALES 5 F t = {H, F } one para cualesquiera os funciones F y G, el bracket e Poisson, {, }, esta efinio como: {F, G} i F p i G q i G p i F q i Para las coorenas p i y q i mismas tenemos {q i, q j } = 0, {p i, p j } = 0, {p i, q j } = δij La cantia H(p, q) se conserva automáticamente bajo la evolución el tiempo, th(p, q) = 0, por lo tanto, es una constante e movimiento. Una vez efinio lo anterior, supongamos que un sistema posee n constantes e movimiento en involución F 1, F 2,..., F n one t F j = 0 y {F i, F j } = 0 entonces existe, al menos localmente, un sistema e coorenaas conjugaas, tambien conocias como variables e acción - ángulo (ver sección 0.4.5), (q i, p i ) (θ i, I i ) one las funciones I i epenen únicamente e las funciones constantes F j. En este nuevo sistema las ecuaciones el movimiento son t θ j = H, I j t I j = 0 Pues bien en este caso se puee construir una ecuación matricial el tipo L = ML LM t e tal forma que ambas ecuaciones sean equivalentes. Esto significa que (L, M) forman un par e Lax para el Hamiltoniano H. A continuación se inica como hacer esta construcción e manera tautológica. Consieremos un sistema Hamiltoniano e imensión finita, con n graos e liberta, un bracket e Poisson {, } y un Hamiltoniano H. Suponga que este sistema es integrable en el sentio e Liouville, lo cual significa que este posee n integrales inepenientes e movimiento F i, i = 1,..., n, en involución. El teorema e Liouville establece que existe, al menos localmente, un sistema e coorenaas conjugaas I i, θ i, i = 1,..., n, one I j son funciones solo e F i. En estas coorenaas, las ecuaciones e movimiento toman una forma muy simple: I j = 0 θ j = H (2) I j Introucieno el algebra e Lie generao por {H i, E i, i = 1,..., n} con las relaciones [H i, H j ] = 0, [H i, E j ] = 2δ ij E j, [E i, E j ] = 0 Esta algebra e Lie tiene una representación natural en las matrices e 2n 2n. Si efinimos: n L = I j H j + 2H j θ j E j, j=1 M = n j=1 H I j E j

6 6 entonces la ecuación L = [M, L] es equivalente a la Ec. 2. Así L y M forma un par e Lax. Si bien, esta construcción es formal, carece e utilia ya que requiere el conocimiento previo e las variables acción - ángulo para poer construir el par e Lax, pero si estas son conocias, el par e Lax eja e ser necesario. 3. La utilizacion e pares e Lax es particularmente útil en el estuio e sistemas integrables no separables; esto es, sistemas cuya ecuación e Hamilton-Jacobi es complicaa pero que poseen constantes el movimiento e oren superior Ejemplos Oscilaor armónico [ 4 ] Sean ( ) p ωq A = y B = ωq p ( 0 ω/2 ω/2 0 Este par e Lax es equivalente a las ecuaciones e movimiento e un oscilaor armónico: ) cuyo Hamiltoniano esta ao por: q = p ṗ = ω 2 p H(p, q) = p2 2 + ω2 q 2 2 A continuación se mostrara que el Hamiltoniano H se puee escribir como T r ( A 2) /4. Primeramente, calculamos A 2 : ( ) ( ) A 2 p ωq p ωq = ωq p ωq p ( ) A 2 p = 2 + ω 2 q p 2 + ω 2 q 2 Por lo tanto: obtenieno finalmente que: Por otra parte, tr(a 2 ) = 2 ( p 2 + 2ω 2 q 2) H(p, q) = 1 4 tr(a2 ) = p2 2 + ω2 q 2 2 A 3 = A A 2 Por lo tanto: ( ) ( ) A 3 p ωq p = 2 + ω 2 q 2 0 ωq p 0 p 2 + ω 2 q 2 ( ) A 3 p = 3 + pω 2 q 2 ωqp 2 + ω 3 q 3 ωqp 2 + ω 3 q 3 p 3 pω 2 q 2 tr(a 3 ) = ( p 3 + pω 2 q 2) + ( p 3 pω 2 q 2) tr(a 3 ) = 0 De tal forma que para este ejemplo las cantiaes que se conservan son H(p, q) = (1/4)]tr(A 2 ) y tr(a 3 ) = 0

7 0.3. ECUACIONES DE LAX Y EVOLUCIONES ESPECTRALES 7 Este ejemplo se puee generalizar a un número e n oscilaores armónicos inepenientes escribieno L y M en forma iagonal por bloques. Caa bloque es una matriz e 2 2 como las mostraas anteriormente. En este caso las cantiaes que se conservan son: T r ( L 2p) = 2 ( p 2 i + ω 2 q 2 i ) p y T r ( L 2p+1) = 0 Este mismo problema puee ser aborao ese el punto e vista e las variables e acción - ángulo como sigue. El espacio fase para un solo oscilaor armónico es e imension 2 y, como ya se inicó antes, el Hamiltoniano esta ao por H = 1 ( p 2 + ω 2 q 2) 2 con el bracket e Poisson efinio por {p, q} = 1. El espacio fase, efinio por la ecuación el Hamiltoniano esta formao por elipses H = E excepto en el punto (0, 0). Un sistema coorenao aaptao ρ, θ esta ao por: p = ρcosθ, q = ρ ω sinθ con un bracket e Poisson, que nunca se anula, efinio por {ρ, θ} = ρ ω. En estas coorenaas, las variables ρ y θ quean efinias como: H = E = 1 2 ( p 2 + ω 2 q 2) = 1 2 Mientras que θ quea efinio por: ) (ρ 2 cos 2 θ + ω 2 ρ2 ω 2 sin2 θ = ρ2 2 = ρ = 2E θ = ωt + θ 0 es ecir, el flujo tiene lugar por fuera e las elipses. Esto puee ser generalizao e manera irecta a una suma irecta e n oscilaores armónicos con H = n i=1 1 ( p 2 2 i + ωi 2 qi 2 ) ( ) Tenemos n cantiaes conservaas en involución, F i = 1 2 p 2 i + ωi 2q2 i, y un nivel e variea Mf, i.e., el conjunto e los puntos el espacio fase tales que F i = f i, es un toro real n-imensional, el cual es explícitamente un proucto cartesiano e n círculos topológicos. Ecuación e Korteweg-e Vries (KV) La formulación en términos el par e Lax, e la evolución temporal e un sistema inámico, fue esarrollaa por Peter Lax en el contexto e la propagación e onas no lineales en meios continuos. En el métoo e la ispersión inversa se hace uso el par e Lax para resolver una gran variea e sistemas no lineales que aparecen en la física. De particular importancia es la ecuación KV: u t + 3 u x 3 + u u x = 0 La ecuación KV tiene soluciones suaves para too tiempo (positivo o negativo) aa una conición inicial que también sea suficientemente suave, i.e. C 3. La solución e ona solitaria es una solución especial aa por la siguiente expresión. u (x, t) = 12c 2 sech 2 [ c ( x 4c 2 t )] estas onas se mueven a la erecha con una velocia 4c 2. Observese que la amplitu epene e la rapiez e la ona; es ecir, entre mayor sea la amplitu e las onas mayor sera la velocia e la ona. Para poer ver como es que la ecuación e Lax y su par asociao están relacionaos con la ecuación KV consiere los siguientes operaores iferenciales: B = u y A = 4 x2 x 3 u x 1 2 u x

8 8 Ecuación e Schröinger [2] Existen ecuaciones no lineales que puees ser escritas como la conición e compatibilia e ecuaciones lineales. Tal clase e ecuaciones son llamaas integrables y la ecuaciones lineales asociaas se conocen como pares e Lax. El prototipo e una ecuación integrable es la celebre ecuación no lineal e Schröinger: iq t + q xx + 2λ q 2 q = 0, λ = ±1, x R, t > 0, (3) one q(x, t) C. El par e Lax asociao consiste e las siguientes os ecuaciones lineales satisfechas por la función M(x, t, k) evaluaa en las matrices e 2 2: { Mx + ik [σ 3, M] = QM M t + 2ik 2 [σ 3, M] = QM, (4) k C one: ( ) 1 0 σ 3 = 0 1 ( ) 0 q Q = λ q 0 Q = 2kQ iq x σ 3 λi q 2 σ 3 y k C es un parámetro arbitrario. Para una función aa q(x, t), la Ec. 4 constituye un sistema e os ecuaciones para una única función M(x, t, k). Así, este sistema sobreeterminao no tiene solución a menos que las Ecs. 4 sean compatibles. Resulta entonces que este es el caso e si y solo si la función q(x, t) satisface la ecuación no lineal e Schröinger, Ec.3. Esto implica que la ecuación no lineal, Ec. 3, es equivalente a las ecuaciones lineales 4. ASí, la ecuación 3 ha sio linealizaa y por lo tanto, la solución e cualquier problema relacionao con la Ec. 3 puee ser reucio a la solución e un problema asociao al par e Lax, Ec. 4. Par e Lax para EDPs lineales e evolución en el espacio e una variable El métoo espectral o también conocio como transformaa e ispersión inversa (IST, por sus siglas en inglés) parece ser muy iferente al métoo e la transformaa e Fourier. De hecho, el métoo previo es una consecuencia e la aproximacón referente al e la separación e variables. Por ejemplo, la ecuacion linealizaa corresponiente a la ecuación 3 NLS es la ecuación: Hacieno que u(x, t) = X(x; k)t (t; k), encontramos que: iu t + u xx = 0, x R, t > 0, (5) 2 X x 2 T k2 X = 0, t + ik2 T = 0, k C (6) La solución u(x, t) puee ser construia e X y T por meio e superposición. Esto mismo puee ser lograo e una manera sistemática y rigurosa usano la teoría espectral. En particular, el análisis espectral e las Ecs. 6 con x R y con coniciones e ecaimiento como x conuce al par e la transformaa e Fourier. Por otra parte, el métoo IST esta basao en el análisis espectral e la Ec. 3. Esto sugiere que el para e Lax representa un tipo e separabilia más profuno. Gel fan an Fokas han enfatizao que la evolución lineal e la EDPs también poseen una formulación en términos e pares e Lax. Aún más, esta formulación conuce a la solución el problema e valor inicial e una manera que es conceptualmente ientica al métoo IST. El par e Lax para la Ec.5 esta ao por las siguientes os ecuaciones, satisfechas por la funcion escalar µ(x, t, k) { µx + ikµ = u µ t + ik 2 (7) µ = iu x + ku, k C

9 0.3. ECUACIONES DE LAX Y EVOLUCIONES ESPECTRALES 9 Las Ecs. 7 son compatibles si y solo si u satisface la Ec. 5. De hecho, las Ecs. 7 pueen ser reescritas in la forma ( ) µe ikx+ik2 t = ue ikx+ik2t, x ( ) (8) µe ikx+ik2 t = (iu x + ku) e ikx+ik2 t t Así, ( ) ( ) µe ikx+ik2 t µe ikx+ik2 t = xt tx ( ) µe ikx+ik2 t xt [ ] [ ] ue ikx+ik2 t (iu x + ku) e ikx+ik2 t t x ( ) µe ikx+ik2 t = (u t iu xx ) e ikx+ik2 t tx (9) Como se observa el lao erecho e la ecuación, para que el sistema efinio anteriormente tenga solución única es necesario que la iguala anterior se cumpla. Esto implica que la ecuación iferencial siguiente se ebe satisfacer. u t iu xx = 0 Por lo tanto, la ecuación no lineal e Schröinger surge como la conición e compatibilia para que el sistema asociao al par e Lax tenga solución única.

10 Apénice Espacio fase [6] En mecánica clásica, el espacio fásico, espacio e fases o iagrama e fases es una construcción matemática que permite representar el conjunto e posiciones y momentos conjugaos e un sistema e partículas. Más técnicamente, el espacio e fases es una variea iferenciable e imensión par, tal que las coorenaas e caa punto representan tanto las posiciones generalizaas como sus momentos conjugaos corresponientes. Es ecir, caa punto el espacio fásico representa un estao el sistema físico. Ese estao físico venrá caracterizao por la posición e caa una e las partículas y sus respectivos momentos Graos e liberta y constantes e movimiento Consieremos un sistema e n graos e liberta caracterizao por un Lagrangiano L. Es conocio que las soluciones e las ecuaciones e Lagrange ( ) L L = 0, i = 1, 2,..., n t q i q i se pueen interpretar geométricamente como las ecuaciones paramétricas q i = q i (t) e una familia e curvas en el espacio e configuración Q y análogamente el par q i = q i (t), p i = p i (t), como las ecuaciones e una familia e curvas en el espacio e fases TQ. Digamos que una constante el movimiento es una función que satisface cierta propiea que puee ser caracterizaa e forma analítica o e forma geométrica. 1. Analíticamente: La función F = F (q, v, t) es constante el movimiento para un Lagrangiano L si se cumple t F = j ( F q j ) ( ) F pj p j + p j t + F t = 0 one pj t son las aceleraciones cuyo valor se euce e las ecuaciones e Lagrange L. 2. Geométricamente: La función F = F (q, p, t) es constante el movimiento para un Lagrangiano L si se mantiene invariante a lo largo e toas las curvas integrales que representan geométricamente las soluciones e las ecuaciones e Lagrange e L. En el caso 1, la letra t representa el tiempo y en el caso (ii) tiene un significao geométrico y representa el parámetro e las curvas. Supongamos que las m funciones F 1 (q, p, t), F 2 (q, p, t),..., F m (q, p, t) son m constantes el movimiento istintas entre sí para un Lagrangiano L. Entonces toa función G = G(q, p, t) que se puea reescribir como función e las F s, s = 1, 2,..., m, también es constante el movimiento y G(F 1, F 2,..., F m ) G t = s ( G F s ) Fs t = 0 En este caso, en el que G es funcionalmente epeniente e las funciones F 1, F 2,..., F m, la constante el movimiento G no ebe ser consieraa realmente como una nueva constante simo como una consecuencia e las anteriores. Si consieramos que una constante el movimiento ofrece información sobre el sistema Lagrangiano, resulta que G no ofrece realmente nueva información.

11 0.4. APÉNDICE 11 Consecuencia: Es conveniente trabajar con funciones que sean funcionalmente inepenientes y prescinir e toas aquellas constantes que no ofrezcan nueva información. Esta situación plantea 3 problemas: 1. Caracterizar la inepenencia funcional e un conjunto e m constantes e movimiento. 2. Estuiar si el número e cantiaes conservaas inepenientes es un número finito y estuiar si las propieaes e un sistema Lagrangiano epenen el número máximo e constantes el movimiento que posee. 3. Obtener un métoo que permita obtener explícitamente las constantes e movimiento que posee un Lagrangiano L. Consieremos ahora la cuestión (i) Consieremos en primer lugar, un conjunto e m funciones f 1, f 2,..., f m,efinias en R n ; esto es, f s = f s (x 1,..., x n ), s = 1, 2,..., m. Diremos que estas m funciones son funcionalmente inepenientes cuano las iferenciales sean inepenientes; esto significa que el proucto exterior e las m iferenciales f s, s = 1, 2,..., m ebe ser no nulo f 1 f 2... f m 0 Más concretamente, el número e estas funciones que son funcionalmente inepenientes viene ao por el rango e r e la matriz iferencial [Df] efinia e la forma [ ] fs [Df] =, s = 1, 2,..., m i = 1, 2,..., n. x i Consieremos ahora el caso e funciones constantes el movimiento como caso particular e la situación general anterior. Sea L un Lagrangiano n-imensional y supongamos conocias m integrales e movimiento K 1, K 2,..., K m. El número e estas funciones que son funcionalmente inepenientes viene ao por el rango r e la matriz [DK] efinia e la forma [ Ks [DK] =, K ] s, s = 1, 2,..., m i = 1, 2,..., n. q i p i Si el rango r vale r = m entonces el rango es máximo y las m funciones K s son inepenientes. Consieremos ahora la cuestión (ii) Un sistema Lagrangiano con n graos e liberta posee a lo sumo 2n constantes e movimiento inepenientes entre sí. Más concretamente, el número máximo e constantes e movimiento inepenientes entre sí viene ao por la imensión el espacio e fases menos uno. Si nos limitamos a consierar Lagrangianos L y cantiaes conservaas K inepenientes el tiempo, como la imensión e T Q es 2n, entonces el número máximo m es m = 2n 1; pero si el sistema epene el tiempo entonces el espacio e fases es T Q R con coorenaas (q i, p i, t) y el número máximo m será m = 2n Matrices ortogonales y e rotación [7] Toa rotación mapea una base ortonormal e R 3 en otra base ortonormal. Como cualquier otra transformación lineal en un espacio vectorial e imensión infinita, una rotación puee ser representaa por una matriz. Sea R la rotación aa. Con respecto a la base estánar (e 1, e 2, e 3 ) R, las columnas e R están aas por (Re 1, Re 2, Re 3 ). Dao que la base estánar es ortonormal, las columnas e R forman otra base ortonormal. Esta conición e ortonormalia puee ser expresaa en la forma R T R = I one R T enota la transpuesta e R e I 3 3 es la matriz ientia. Las matrices para las cuales esta propiea se cumple se llaman matrices ortogonales. El grupo e toas las matrices ortogonales e tamaño 3 3 se enotan por o(3), y consiste e toas las rotaciones propias o impropias.

12 12 Aemás e preservar la istancia, las rotaciones propias eben también preservar la orientación. Una matriz preserva o invierte una orientación e acuero a si su eterminante es positivo o negativo. Para una matriz ortogonal R, observe que etr T = etr lo cual implica que (etr) 2 = 1, así que etr = ±1. El subgrupo e las matrices ortogonales con eterminante +1 es llamao grupo ortogonal especial y se enota por so(3). Así toa rotación puee ser representaa e manera única por una matriz ortogonal con eterminante igual a 1. Aún más, ao que una escomposición e rotaciones correspone a una multiplicación e matrices, el grupo rotación es isomorfo al grupo ortogonal especial so(3). Las rotaciones impropias corresponen a matrices ortogonales con eterminante -1, y ellas no forman un grupo ebio a que el proucto e os rotaciones impropias a como resultao una rotación propia Integrabilia en el sentio e Arnol-Liouville [1] Un sistema Hamiltoniano se enomina completamente integrable o integrable en el sentio e Arnol-Liouville si posee n constantes el movimiento o cantiaes conservaas, F 1, F 2,..., F n, que están globalmente efinias, son funcionalmente inepenientes y están en involución F 1 F 2... F n 1 F n Variables e acción - ángulo [6] H, F s = 0 F r, F s = 0 r, s = 1, 2,..., n En el teorema e Liouville se efine la variea e nivel M f como F i (p, q) = f i. La 1-forma canónica α = i p i q i y ω = α = i p i q i la 2-forma simpléctica en el espacio e fases e M. Una cosa importante a estacar e la emostración el Teorema e Liouville (la cual no viene incluia en este reporte) es que la variea e nivel M f no tiene ciclos triviales. Bajos las coniciones aecuaas e compacia y conexia, las M f son toros T n n-imensionales. Esto conlleva a la introucción e variables angulares para escribir el movimiento a lo largo e los ciclos. El toro T n es isomorfo al proucto e n circulos C i. Escogeremos coorenaas angulares especiales en el ual M f a los n ciclos funamentales C i. Las variables e acción I j estan efinias como las integrales e la 1-forma canónica sobre los ciclos C j, I j = 1 2π Las I j son funciones e las constantes e movimiento F j y suponremos que ellas son inepenientes, as que los valores e I j (j = 1,..., n) son conocias, por lo tanto M f esta efinio. Consieremos la transformación canónica generaa por la misma función anterior S (I, q) = m m 0 α = q C j α q 0 i p i (f, q) q i pero expresao en terminos e las variables I i en lugar e las F i. Denotemos θ j la variable conjugaa a I j, la transformación canónica generaa por S esta efinia por: p k = S q k, θ k = S I k Las variables θ k son canónicamente conjugaas a las variables e acción I j Se mostrará que estas nuevas variables pueen ser vistas como variables angulares normalizaas en los ciclos C j, esto es: 1 2π = θ k C j Por efinición e θ k

13 0.4. APÉNDICE 13 C j θ k = I k C j S, S = i S q i + S I i q i I i ao que estamos en la variea, I i = 0, tenemos θ k = S q i = p i q i = α = 2πδ jk C j I k q i I k C j I k C j Esto prueba que las θ k son variables e angulares. C j

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15 Bibliography [1] Diez lecciones sobre sistemas hamiltonianos. Integrabilia y separabilia. Curso impartio en la Faculta e Matemáticas, Dep. e Matemática Aplicaa, U.P.C., Barcelona, Noviembre 2008, Manuel F. Rañaa. [2] A. S. Fokas, Lax pairs: a novel type of separability, Topical review, Inverse problems, 25 (2009) , pp.44. [3] Lax pairs an other integrable equations. [4] Aam Howar Spiegler, Stability of generic equilibria of the 2N imensional free rigi boy using the energy- Casimir metho. Doctoral egree issertation, Faculty of Department of Mathematics, The University of Arizona. [5] A. S. Fokas, On the integrability of linear an non linear partial ifferential equations, Journal of Mathematical Physics, Vol. 41, (6), [6] Introuction to classical integrable systems, Olivier Babelon, Denis Bernar an Michael Talon, Cambrige monographs on mathematical physics, Cambrige University Press. [7] group SO(3) 15