ESTADÍSTICA 1 o CC. Ambientales Tema 3: Estimación puntual y por intervalos

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1 ESTADÍSTICA 1 o CC. Ambientales Tema 3: Estimación puntual y por intervalos Muestra aleatoria. Inferencia estadística paramétrica Estimación puntual Intervalos de confianza Distribuciones asociadas a la normal Intervalos de confianza en poblaciones normales Intervalos de confianza para otras distribuciones Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 1

2 Muestra aleatoria Inferencia estadística paramétrica Inconveniente: La distribución de probabilidad de la v.a. X de interés suele ser desconocida. Objetivo: Estudiar una v.a. numérica X en una población a partir de la información contenida en una muestra aleatoria de individuos de esa población. Una muestra aleatoria (simple) de tamaño n de X es una colección X 1,..., X n tal que cada X i tiene la misma distribución de probabilidad que X ; las v.a. X 1,..., X n son independientes entre sí. Extraeremos información acerca de la distribución de probabilidad de X, que es desconocida, a partir de la muestra X 1,..., X n de X. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 2

3 Simplificación del problema Estadística paramétrica: Supondremos que la distribución de probabilidad de X pertenece a una familia paramétrica de distribuciones concreta (Poisson, normal,... ). En este caso, para determinar totalmente la distribución de X solo queda especificar el valor de uno o varios parámetros (λ para la Poisson, µ y σ para la normal). Los parámetros que nos van a interesar en este curso son: Media y Varianza poblacional (µ y σ 2 ) cuando X N(µ, σ). Proporción p de individuos de una población que presentan cierta característica. Media poblacional (λ) cuando X Poisson(λ). Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 3

4 Notación en inferencia paramétrica: Parámetro: θ Espacio paramétrico: Θ, conjunto de posibles valores del parámetro Si X es discreta: función de masa P θ. Si X es continua: función de densidad f θ. Partes de la inferencia paramétrica: Estimación puntual: Estimar los parámetros desconocidos a partir de la información de la muestra aleatoria X 1,..., X n. Estimación por intervalos de confianza Contrastes de hipótesis paramétricas Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 4

5 Estimación puntual Un estimador puntual, ˆθ, de un parámetro θ es una función real de la muestra, X 1,..., X n, que aproxima el valor de θ. Es aleatorio. Una estimación (puntual) es el valor numérico concreto que toma un estimador al ser aplicado a una realización muestral x 1,..., x n concreta observada. Tanto el estimador como la estimación se denotan utilizando el símbolo: (p.e. ˆµ, ˆσ, ˆp, ˆλ). Estimadores naturales de la media y varianza poblacional (µ y σ 2 ): Media muestral: ˆµ = X = X X n = 1 n n n i=1 Varianza muestral: ˆσ 2 = S 2 = 1 n (X i X ) 2 n 1 Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 5 i=1 X i

6 Determina en estos ejemplos el parámetro poblacional de interés, su correspondiente estimador y la estimación a partir de los datos. Ejemplo 3.1: Se está estudiando la presencia de cierto microorganismo letal en el aire. En uno de los experimentos se analizaron 35 muestras aleatorias y se observó que 6 de ellas contenían el germen. Ejemplo 3.2: Un laboratorio examina el contenido de azufre en un yacimiento de carbón en Texas. Debido a imprecisiones en los aparatos, las medidas tienen distribución normal. Se toman 10 muestras aleatorias del yacimiento y se analizan. La media observada es Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 6

7 Un mismo estimador puede tomar diferentes valores numéricos (diferentes estimaciones), ya que su valor depende totalmente de la muestra concreta observada. Ejemplo 3.2 (cont.): Los valores observados de azufre fueron: x = s 2 = Se vuelve al mismo yacimiento y se recogen otras muestras diferentes, obteniéndose los siguientes contenidos en azufre: x = s 2 = Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 7

8 Antes de la observación: X X 1,..., X n S 2 T = T (X 1,..., X n ) son v.a. s Si tomo observaciones concretas de la población: x x 1,..., x n s 2 son números. t = T (x 1,..., x n ) Si tomo nuevas observaciones de la población: x x 1,..., x n s 2 son otros números. t = T ( x 1,..., x n ) Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 8

9 Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de una población X cuya distribución de probabilidad es conocida pero depende de un parámetro desconocido θ = (θ 1,..., θ k ). Objetivos de la estimación puntual: Aproximar/estimar el valor de θ mediante estimadores ˆθ. Estudiar métodos para hallar estimadores. Decidir qué estimadores son razonables. Si X es una v.a. discreta, la función de masa de la muestra es: P(x 1,..., x n ) = P{X 1 = x 1,..., X n = x n } = P(x 1 ) P(x n ) Si X es continua con densidad f, la función de densidad de la muestra es: f (x 1,..., x n ) = f (x 1 ) f (x n ) Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 9

10 Construcción de estimadores puntuales 1. Método de los momentos El estimador por el método de los momentos, ˆθ = (ˆθ 1,..., ˆθ k ), se obtiene al resolver el sistema E θ [X ] = 1 n n i=1 X i, E θ [X 2 ] = 1 n n i=1 X 2 i, E θ [X k ] = 1 n n i=1 X k i Observación: Presenta el inconveniente de que la solución puede no pertenecer al espacio paramétrico. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 10

11 2. Método de máxima verosimilitud (MV) Dada la muestra x 1,..., x n, la función de verosimilitud es { Pθ (x L(θ) = L(θ; x 1,..., x n ) = 1 ) P θ (x n ) si X es discreta f θ (x 1 ) f θ (x n ) si X es continua Mide lo verosímil que es el valor de un parámetro θ = (θ 1,..., θ k ) teniendo en cuenta la muestra observada. El estimador de máxima verosimilitud (emv), ˆθ = ( ˆθ 1,..., ˆθ k ), es el punto de máximo de la verosimilitud L(θ), que coincide con el punto de máximo de log(l(θ)). En la práctica, para hallar el emv, resolvemos el sistema de ecuaciones ln(l(θ)) θ 1 = 0,..., ln(l(θ)) θ k = 0. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 11

12 Ejemplo 3.3: Un método para estudiar las sustancias que causan mutaciones consiste en matar a ratones hembra 17 días después de aparearse y examinar sus úteros en busca de embriones muertos. La tabla que sigue proporciona datos de 309 hembras. N o embriones Recuento muertos de hembras o más 0 Total 309 N o embriones Frecuencia Probabilidad muertos relativa Poisson e ˆλ e ˆλ ˆλ e ˆλ ˆλ 2 / e ˆλ ˆλ3 /3! e ˆλ ˆλ4 /4! e ˆλ ˆλ5 /5! e ˆλ ˆλ 6 /6! 7 o más 0 e ˆλ ˆλ 7 /7! Frecuencia relativa Distribución de Poisson Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 12

13 Ejemplos importantes: Distribución de X Bernoulli(p) Poisson(λ) N(µ,σ) emv ˆp = x ˆλ = x ˆµ = x ˆσ 2 = n 1 n s2 Ejemplo 3.3 (cont.): ˆλ = x = N o embriones Frecuencia Probabilidad muertos relativa Poisson o más Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 13

14 Sesgo y Error Cuadrático Medio Una medida del comportamiento del estimador ˆθ es su error cuadrático medio (ECM) [ Sesgo E (ˆθ θ) 2] Insesgadez = Insesgadez V θ (ˆθ) + (Sesgo(ˆθ)) 2, Insesgadez siendo Sesgo(ˆθ) = E(ˆθ) Sesgo(ˆθ) θ. = E(ˆθ) θ. Insesgadez SiUn E(ˆθ) buen = θestimador se dice que debeelser estimador Insesgadez insesgadoˆθ oestener insesgado. un sesgo pequeño. Insesgadez Estimador insesgado: θ θ θ Sesgo positivo: Sesgo negativo: θ θ θ θ Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 5 14

15 Propiedades de la media muestral X : Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de una v.a. X con E(X ) = µ y varianza V (X ) = σ 2. Si X tiene distribución normal, entonces la distribución de los valores que toma X es también normal. ( ) Si X N(µ, σ) = X σ N µ,. n Teorema central del ĺımite (TCL): Si n es grande, la distribución de X es aproximadamente normal aunque X no sea normal. ( ) Si n es grande = X aprox σ N µ,. n Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 15

16 Distribución de la media muestral Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 16

17 Ejemplo 3.4: De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud un individuo tiene sobrepeso si su índice de masa corporal (IMC) es superior a 25. Se sabe que el IMC de una población es una variable con distribución normal de media µ = 26 y desviación típica σ = 6. Si se seleccionan aleatoriamente 100 individuos y se calcula la media de sus IMC, cuál es la probabilidad de que esta media sea superior a 25.5? Otras propiedades: Sea X 1,, X n una muestra aleatoria de una v.a. X con media y varianza poblacional µ y σ 2 respectivamente La media muestral X es un estimador insesgado de la media de la población: E( X ) = µ. La varianza muestral SX 2 es un estimador insesgado de la varianza de la población: E(SX 2 ) = σ2. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 17

18 Error típico o relativo El error típico de un estimador es su desviación típica (o una estimación de la misma). El error típico de la media X es su desviación típica, se( X ) = σ n pero en la práctica σ es un parámetro poblacional desconocido. Resulta natural estimar σ 2 con la varianza muestral s 2. Los programas informáticos proporcionan el siguiente error típico de la media muestral se( X ) = s. n Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 18

19 Ejemplo 1.2 (cont.): Contaminación por Hg en el pescado Estadísticos descriptivos LONG N válido (por lista) N Mínimo Máximo Media Estadístico Estadístico Estadístico Estadístico Error estándar Desviación estándar Estadístico ,2 65,0 39,971,6513 8, Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 19

20 Ejemplo 3.5: En SPSS se pueden generar observaciones aleatorias de algunas distribuciones, por ejemplo, generamos una muestra de tamaño 20 de una N(2,1). Pinchamos en Transformar -> Calcular variable Estadísticos descriptivos Desviación N Media estándar Error Estadístico Estadístico estándar Estadístico X N válido (por lista) 20 1,6618, , Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 20

21 Intervalos de confianza Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de una población X con función de distribución F θ, siendo θ un parámetro desconocido. Fijamos 0 < α < 1. Sea (T 1, T 2 ) un intervalo tal que T i = T i (X 1,..., X n ) para i = 1, 2 y 1 α = P θ {T 1 (X 1,..., X n ) < θ < T 2 (X 1,..., X n )} = P θ {θ (T 1, T 2 )}. Entonces, para cada observación (x 1,..., x n ) de la muestra, el intervalo IC 0.95 (θ) = (T 1 (x 1,..., x n ), T 2 (x 1,..., x n )) es un intervalo de confianza para θ al nivel de confianza 1 α. El nivel de significancia α es la probabilidad de equivocarnos al afirmar que el parámetro se encuentra en el IC obtenido: α = P θ {θ / (T 1, T 2 )}. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 21

22 Construcción de un intervalo de confianza: Buscamos una cantidad pivotal para θ, que es una función C(X 1,..., X n ; θ) cuya distribución no depende de θ. Ejemplo 3.6: Sea (X 1,..., X 10 ) una muestra aleatoria de X N(µ, 1). Entonces una cantidad pivotal para µ es A continuación buscamos dos valores c 1 y c 2 tales que P θ {c 1 < C(X 1,..., X n ; θ) < c 2 } = 1 α. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 22

23 Ejemplo 3.6 (cont.): Finalmente se despeja θ de la desigualdad c 1 <C(X 1,..., X n ; θ)<c 2. Ejemplo 3.6 (cont.): Para la muestra tenemos x = e IC 0.95 (µ) = Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 23

24 Habitualmente se trabaja con niveles de confianza del 90 % (α = 0.1), del 95 % (α = 0.05) y del 99 % (α = 0.01). Si se observan 100 muestras de tamaño n de X F θ y se construyen los correspondientes 100 intervalos de confianza para θ, IC 1 α (θ), aproximadamente en (1 α)100 de ellos está el parámetro desconocido θ: x (1) 1,..., x (1) n IC (1) 1 α (θ) x (2) 1,..., x (2) n IC (2) 1 α (θ). x (100) 1,..., x (100) n IC (100) 1 α (θ) Ver fichero Excel 100Ics.xlxs. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 24

25 Distribuciones asociadas a la normal Son distribuciones de probabilidad de ciertos estadísticos construidos a partir de muestras de distribuciones normales. La distribución χ 2 de Pearson Sean X 1,..., X n v.a. independientes idénticamente distribuidas (i.i.d.) con distribución N(0, 1). La variable aleatoria n i=1 X i 2 sigue una distribución χ 2 de Pearson con n grados de libertad: n χ 2 Densidad de la χ 2 n n i=1 X 2 i χ 2 1 χ 2 2 χ χ 2 4 χ Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 25

26 La distribución t de Student Sean Y, X 1,..., X n v.a.i.i.d. con distribución N(0, 1). La variable Y aleatoria 1 sigue una distribución t de Student con n n n i=1 X i 2 grados de libertad, t n Densidad de la t N(0,1) t 5 t Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 26

27 La distribución F de Fisher Sean X 1,..., X m, Y 1,..., Y n v.a.i.i.d. con distribución N(0, 1). La v.a. 1 m i=1 X i 2 n j=1 Y j 2 m 1 n sigue una distribución F de Fisher con m y n grados de libertad, F m,n Densidad de la F F 5,3 F 4, Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 27

28 Intervalos de confianza en poblaciones normales Propiedad: Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de X N(µ, σ). Entonces X y S 2 son v.a. independientes, ( ) σ n 1 X N µ,, n σ 2 S X 2 χ 2 µ n 1 y t n 1 Sea x 1,..., x n una muestra de X N(µ, σ). Si σ es conocido un intervalo de confianza para µ al nivel de confianza 1 α es ) ) σ σ σ IC 1 α (µ) = ( x z α/2 n, x + z α/2 n = ( x z α/2 n. ( ) s Si σ es desconocido, IC 1 α (µ) = x t n 1;α/2 n IC 1 α (σ 2 ) = ( (n 1)s 2 χ 2, n 1;α/2 (n 1)s 2 χ 2 n 1;1 α/2, S n ). y Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 28

29 Ejemplo 3.7: El envenenamiento por DDT causa temblores y convulsiones. En un estudio se ha administrado una dosis de DDT a 4 ratones y se ha medido posteriormente en cada uno el periodo absolutamente refractario, es decir, el tiempo que tardan sus nervios en recuperarse tras un estímulo: (en milisegundos) Asumiendo normalidad en los datos: (a) Estima el periodo absolutamente refractario medio µ para toda la población de ratones de la misma cepa sujeta al mismo tratamiento con DDT. La estimación de µ es la media muestral: µ ˆµ = x x = = Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 29

30 Ejemplo 3.7 (cont.) (b) Halla el error típico de la estimación anterior. s 2 = ( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 3 Por tanto s = y se( x)= s x = 0.13 = n 2 (c) Calcula un intervalo de confianza para µ al 90 %. = IC 90 % (µ) = [1.75 t 3; ] = [ ] = [1.597, 1.903] es decir, µ con un nivel de confianza del 90 %. (d) Calcula otro intervalo, pero ahora con un nivel del 95 %. IC 95 % (µ) = [1.75 t 3; ] = [ ] = [1.543, 1.957] es decir, µ con un nivel de confianza del 95 %. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 30

31 Ejemplo 3.8: Un aumento de la concentración de colesterol en la sangre contribuye a dificultar su circulación y, a la larga, producir enfermedades cardíacas y circulatorias graves. Se ha recogido una muestra aleatoria de siete personas con niveles de Colesterol LDL (dg/dl) Utilizando estos datos, construye un intervalo de confianza al 90 % para la desviación típica. Nota: suponer normalidad en los datos. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 31

32 Ejemplo 3.5 (cont.): Con SPSS calculamos un IC de la media para los datos generados de una normal Descriptivos Estadístico Error estándar X Media 1,6618, % de intervalo de confianza para la media Media recortada al 5% Mediana Varianza Desviación estándar Mínimo Máximo Rango Rango intercuartil Asimetría Curtosis Límite inferior Límite superior 1,1805 2,1432 1,6366 1,6712 1,058 1,02850,14 3,63 3,49 1,53,305,512 -,523,992 Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 32

33 Sean x 1,..., x m e y 1,..., y n muestras independientes de X N(µ 1, σ) e Y N(µ 2, σ) respectivamente (σ desconocido). Entonces ( ) IC 1 α (µ 1 µ 2 ) = x ȳ t m+n 2;α/2 s p 1 m + 1 n, donde la varianza combinada s 2 p = (m 1)s2 1 + (n 1)s2 2 m + n 2 es una media ponderada de las cuasivarianzas muestrales s 2 1 = 1 m 1 m i=1 (x i x) 2 y s 2 2 = 1 n 1 n (y i ȳ) 2. i=1 Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 33

34 Ejemplo 3.9: Se quiere comparar la grasa corporal (en kg) entre nadadoras y corredoras oĺımpicas. Se observan los siguientes datos: Corredoras Nadadoras Suponiendo que estas variables siguen distribuciones normales homocedásticas, calcular un intervalo de confianza para la diferencia media de grasa entre ambos tipos de deportistas. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 34

35 Sean x 1,..., x m e y 1,..., y n muestras aleatorias independientes de X N(µ 1, σ 1 ) e Y N(µ 2, σ 2 ) respectivamente (σ 1 y σ 2 desconocidas). Entonces ( ) ( σ 2 IC 1 s1 2 1 α σ2 2 = /s2 2, F m 1;n 1;α/2 Observación: F m;n;1 α = 1 F n;m;α s 2 1 /s2 2 F m 1;n 1;1 α/2 Ejemplo 3.9 (cont.): Suponiendo que la distribución de la grasa corporal en nadadoras y corredoras es normal con distintas medias y distintas varianzas, calcular un intervalo de confianza al 90 % para el cociente de las varianzas. ). Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 35

36 Datos emparejados: Sea (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) una muestra aleatoria de (X, Y ) donde X e Y no son independientes, pero los pares (X i, Y i ) son independientes entre sí. Denotemos E(X ) = µ 1 y E(Y ) = µ 2 y supongamos que D = X Y N(µ = µ 1 µ 2, σ). Entonces D 1 = X 1 Y 1,..., D n = X n Y n es una muestra aleatoria de D. Podemos construir intervalos de confianza para µ = µ 1 µ 2 y para σ como se indicó en la página 28. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 36

37 Ejemplo 3.10: Ensayo cĺınico cruzado. Se quiere comparar el efecto X de un nuevo medicamento con el efecto Y de otro ya comercializado. Se administran ambos a 14 personas con insuficiencia respiratoria, asignando aleatoriamente a cada paciente un tratamiento, y manteniéndolo durante un mes. Luego se le da el tratamiento alternativo durante otro mes. En la cuarta semana de cada tratamiento se observa FEV1 (forced expiratory volume), el volumen de aire que un paciente expulsa en un segundo, tras una inhalación profunda. Paciente X Y D Paciente X Y D Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la diferencia media de FEV1 con ambos medicamentos. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 37

38 Intervalos de confianza para otras distribuciones Intervalo de confianza para el parámetro p de una Bernoulli Sea x 1,..., x n una muestra de X Bernoulli(p). Entonces ( ) x(1 x) IC 1 α (p) = x z α/2 (para n grande) n Intervalo para diferencia de proporciones de Bernoullis Sean x 1,..., x m e y 1,..., y n muestras de X Bernoulli(p 1 ) e Y Bernoulli(p 2 ) respectivamente, tal que ˆp 1 = x y ˆp 2 = ȳ. Entonces, para m y n grandes, IC 1 α (p 1 p 2 ) = ( x ȳ z α/2 x(1 x) m + ) ȳ(1 ȳ) n Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 38

39 Ejemplo 3.11: Koshy et al. (2010) 1 estudian el efecto del tabaquismo de los padres sobre el índice de masculinidad, también llamado razón de sexo, la razón de hombres por mujeres en un determinado territorio, expresada en tanto por ciento. Para ello toman una muestra de 363 nacimientos de padres fumadores crónicos (ambos) en la que 158 bebés fueron varones y el resto niñas. Calcular un intervalo de confianza para la proporción de varones nacidos de ambos padres fumadores crónicos. 1 Koshy et al. (2010). Parental smoking and increased likelihood of female births. Annals of Human Biology. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 39

40 Ejemplo 3.12: Un laboratorio farmacéutico desarrolla un nuevo medicamento para prevenir los resfriados. La compañía afirma que el producto es igual de efectivo en hombres que en mujeres. Para comprobarlo observan una muestra de 100 mujeres y 200 hombres sobre los que prueban el medicamento. Al final del estudio un 38 % y un 51 % respectivamente de las mujeres y hombres de la muestra se habían resfriado. Calcular un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia entre la proporción de mujeres y la de hombres que se resfrían aún habiendo tomado el medicamento. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 40

41 Intervalo de confianza para el parámetro λ de una Poisson Sea x 1,..., x n una muestra de X Pois(λ). Recordemos que E(X ) = V (X ) = λ y ˆλ = x. Entonces, para n grande, ( ) x IC 1 α (λ) = x z α/2. n Ejemplo 3.3 (cont.): Calcular un intervalo de confianza al 95 % para el parámetro λ. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 41

42 Mínimo tamaño muestral El error cometido al estimar un parámetro θ mediante un intervalo de confianza IC 1 α (θ) es la semi-amplitud del intervalo. Observación: Esta definición tiene sentido principalmente en intervalos del tipo IC 1 α (θ) = (ˆθ semilongitud). Objetivo: Determinar el mínimo tamaño muestral n necesario para que el error cometido al estimar θ mediante un intervalo de confianza sea menor que una cierta cantidad. Motivación: Queremos que la estimación por intervalo de confianza tenga una determinada precisión. El valor de n obtenido debe tomarse como orientativo, especialmente cuando la semilongitud del intervalo dependa de la muestra observada. Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 42

43 Ejemplo 3.13: Se quiere estimar la proporción de manatíes en el Caribe que han sido heridos por hélices de barcos. A cuántos manatíes tendremos que examinar para asegurar que la estimación tiene un error máximo del 10 % con un nivel de confianza del 95 %? Estadística (Ambientales). Profesora: Amparo Baíllo Tema 3: Estimación puntual y por intervalos 43