Unidad 5 Límites de funciones. Continuidad

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1 Unidad 5 Límites de funciones. Continuidad PÁGINA 104 SOLUCIONES 1. Los límites quedan: lím f( ) = 4; lím f( ) = 4 lím f( ) = 4 lím f ( ) = ; lím f( ) = 0 no eiste lím f ( ) 0 0 lím f ( ) = ; lím f ( ) = 1 1 lím f ( ) = 1; lím f( ) = f ( ) = ; f (0) = 0 0 Asíntota vertical: = 1; asíntota horizontal: y = 1; Asíntota oblicua: y = 1. Los límites en cada caso quedan: ( 1) ( 1)( 1) lím lím = = 1 lím 1 = lím 0 1 = 0 1

2 PÁGINA 15 SOLUCIONES 1. Queda: El termino general de la sucesión formada por los sumandos es: 1 (n 1)(n 1) Descomponiendo este en fracciones simples, obtenemos: 1 1/ 1/ = (n 1)(n 1) n 1 n 1 Aplicando esta igualdad a cada uno de los sumandos obtenemos:

3 Sumando todas estas igualdades, obtenemos: / 1/ = = = = = 0, Fácilmente se comprueba la igualdad sin más que poner el número decimal periódico puro dado en forma de fracción: , = = = Por tanto, la igualdad que plantea el problema es verdadera.. Queda del siguiente modo: Solamente consideramos los caminos en vertical hacia arriba que denotamos como V, en diagonal hacia arriba que denotamos con D y en horizontal hacia la derecha que denotamos con H. En la figura tenemos señalados el número de caminos que hay desde A a cada esquina. Fácilmente se llegan a encontrar esos números sin más que ir trazando caminos. Así en el cruce que hay un 3 se llega a el desde A por tres caminos V-D-H; en el cruce que hay 5 = se llega a el por cinco caminos: HHV-HD-DH-VH-HVH. Observamos que el número que hay en cada cruce es suma de los de las dos esquinas contiguas si el cuadrado es cerrado y de las tres esquinas si el cuadrado es abierto. 3. Procediendo de forma análoga a la del problema de la pagina anterior, obtenemos: 3

4 Observamos que aparecen dos sucesiones según sea n = par o n = impar. Si n = par, obtenemos la sucesión: 1, 7,, 50, 95, 161, Es una progresión aritmética o sucesión aritmética de orden 3 y su término general vale: n ( n ) (n 1) 4 Si n = impar obtenemos la sucesión: 3, 13, 34, , Es una progresión aritmética o sucesión aritmética de orden 3 y su término general es: ( n 1) ( n 1) (n 3) 4 Por tanto, el número de triángulos equiláteros con el vértice hacia abajo que podemos contar en una trama triangular de n-unidades de lado es: En una trama de lado n hay: n I = n triángulos de lado 1 con n II. III. n = n 4 n = n 6 triángulos de lado con n 4. triángulos de lado 3 con n 6. Así sucesivamente. En general es n k con n k k = 1,,..., n k = Número de unidades de lado. 4

5 4. Hemos de demostrar que p q = 4 siendo p y q números primos mayores que 3. Para demostrarlo, veamos primeramente que si p es un número primo mayor que 3, entonces Los números están colocados: p 1= 4 p 1= ( p 1)( p 1) p 1 p p 1 primo Como p es primo, p 1 y p 1 son múltiplos de y uno de ellos también es múltiplo de 4, pues en tres números consecutivos mayores que 3 con los etremos pares a la fuerza uno de estos etremos es múltiplo de 4. También ( p 1) o ( p 1) han de ser múltiplos de 3, puesto que son tres números consecutivos. Por tanto, se cumple que p 1= 4 3 = 4. Además como: p q = ( p 1) ( q 1) p q = 4 4 = 4 Por tanto, se cumple que la diferencia de cuadrados de dos números primos mayores que 3 es siempre múltiplo de Partimos del siguiente cuadro: Observamos la sucesión del número total de rectángulos (incluidos como tales los cuadrados): En un tablero 8 8, que es un tablero de ajedrez, hay 36 = 196 rectángulos. Si nos quedamos solo con los no cuadrados, habría cuadrados = 109 rectángulos no cuadrados en un tablero

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7 SOLUCIONES 1. Los datos requeridos son los siguientes:. Las gráficas quedan: 7

8 3. La solución en cada caso es: a) 0 b) c) d) e)0 f) 0 g) 0 h)0 i) j) 0 k) l) 4. Queda: b) g( ) = Asíntotas verticales: = 0 = Asíntotas horizontales: lím = ± no eisten. ± Asíntotas oblicuas: son rectas de ecuación y = m n. f ( ) m = lím = lím = lím = 1 ± ± ± n = lím ( f ( ) m) = lím = lím = ± ± ± La asíntota oblicua queda y = 8

9 d) f( ) = Asíntotas verticales: = 0 = 3 = 3. Asíntotas horizontales: 3 lím 0 3 = ± 9 quedando y = 0 e) j ( ) = 5 Asíntotas verticales: = Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: y = 3 f) 3 k ( ) = 4 Asíntotas verticales: = Asíntotas horizontales: no tiene. 1 Asíntotas oblicuas: y = 1 9

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11 SOLUCIONES 5. Los límites quedan: j) lím este límite no eiste 11

12 l) ( 1)( 3) 5 = ( 1)( 4) 3 lím 1 1

13 6. En cada caso queda: a) Para esta función: f ( 0) = 5 f() no es continua ni por la derecha ni por la izquierda en = 0. Es continua en R {0} b) En este caso: g() es continua en toda la recta real. c) En este caso: h ( 3) = 6, por tanto h() es continua en toda la recta real. d) Finalmente: l() es continua por la izquierda en = 1, pero no lo es por la derecha. Luego, l() no es continua en = 1, o bien l() es continua en R { 1} 13

14 7. En cada caso queda: a) lím f ( ) = 4 14 lím f ( k 3) = 4k 3 = f (4) k = = lím f ( ) = 4 f ( 4) = 11 4 lím f ( 10 13) = 11= f (4) f() es continua en toda la recta real para 7 k = b) lím g( ) = lím = lím g( ) = lím = g() no es continua en = para ningún valor de k. 8. La solución es: Veamos la continuidad en = 1 Los límites son: lím 1 1 b = 1 b lím (3 1 4) = 7 f ( 1) = 1 b f() es continua en = 1si 1 b = 7 b = 6. Veamos la continuidad en = 1 Los límites son: lím (3 4) = 7 1 lím ( 1 3 8) = 7 f ( 1) = 7 Luego f() es continua en = 1 y en = 1 si b = 6. 14

15 9. En cada caso queda: a) 4 f( ) = es discontinua no evitable en = 0 y discontinua evitable en =, evitemos esta discontinuidad redefiniendo la función de este modo: ( f ( ) = 4) /( ) si si = b) En = 0 la función presenta un punto de discontinuidad no evitable con salto finito, al ser: lím ( ) = 0 0 y lím e = 1 c) En = 1 la función tiene una discontinuidad no evitable con salto finito, al cumplirse: lím (1 1 ) = 0 y lím =

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17 SOLUCIONES 10. Los límites quedan: a) lím ± 3 = = 1 b) lím = 0 ± 5 e 1 e 1 c) lím = 1 ; lím 1 = e 1 e Las asíntotas quedan: asíntotas verticales = 1 y = 1, y asíntota oblicua: y =. 1. Queda del siguiente modo: a) f ( 1) = 0 ; lím (0) = 0 ; lím ( 1) = f ( 3) = 4 ; lím ( 1) = 4 3 ; lím ( 5) = 4 3 f () es continua en todo R. b) g ( 0) = 1 ; lím ( e ) = 1 ; lím ( 1) = 1 0 g () es continua en todo R Queda: En = 0, la función f() presenta una discontinuidad evitable. En = 1, la función f() es continua. En =, la función f () presenta una discontinuidad no evitable de salto finito. 17

18 14. Queda: 15. La solución queda: f( 0) = a lím ( a) 0 ; lím e = 1 0 a f() es continua en = 0 si f ( ) = a = 3 1 a = lím ( b) = b ; lím ( a) = 1= 3 0 f() es continua en = si b = 5 1 Luego f() es continua en todo R si a = y b = 5. 18

19 16. Queda del siguiente modo: a) La ecuación queda: 0,35 si 0 < 0 0,40 si 0 < 30 f( ) = 0,45 si 30 < 40 0,50 si 40 < 50 0,50 0,45 0,40 0,35 c) La función es discontinua en = 0, = 30 y = 40. Siendo estas discontinuidades no evitables de salto finito. 17. La solución queda: Para sacar un 7,5 necesita 45 horas. Esta función es continua en su dominio [ 0, ) y presenta una asíntota horizontal en