TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital

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1 TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital Facultad de Informática (UPM) October 14, 2007 Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

2 Modelos para el plano digital Modelos para el plano digital Consideraremos como modelo del plano digital a Z 2. a) Dos puntos de Z 2 son: i) 8-adyacentes si son distintos y sus coordenadas difieren a lo sumo en una unidad, ii) 4-adyacentes si son 8-adyacentes y difieren a lo sumo en una coordenada. b) Dos puntos de Z 3 son: i) 26-adyacentes si son distintos y sus coordenadas difieren a lo sumo en una unidad. ii) 18-adyacentes si son 26-adyacentes y difieren a lo sumo en dos coordenadas. iii) 6-adyacentes si son 26-adyacentes y difieren a lo sumo en una coordenada. Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

3 Entornos de un punto Entornos de un punto Dado p Z 2 se define N 8 (p) o N (p) como el conjunto de los puntos 8-adyacentes a p excluido p, y N 4 (p) como el conjunto de los puntos 4- adyacentes. p 3 p 2 p p 2 1 p 4 1 p 1p 0 p 4 1 p 1p 0 p p 6 1 p 7 1 p 6 Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

4 Caminos Caminos Un k-camino P en Z 2 es una sucesión {p 0, p 1, p 2,..., p n } de puntos tales que p i es k-adyacente a p i+1, para todo i {0, 1, 2,..., n 1}. Se dice entonces que es un camino de p 0 a p n. Se dice que es un k-camino cerrado si p 0 = p n. Se define el k-grado de cada p i como el cardinal N k (p i ) P. Se llaman puntos extremos a aquellos que tienen k-grado 1. Los únicos puntos que pueden ser puntos extremos son p 0 y p n. Un k-camino {p 0, p 1, p 2,..., p n } en Z 2 es un k-arco si no se autointerseca, excepto posiblemente en sus puntos extremos (esto es, siempre que 0 i < i + 1 < j < n ó 0 < i < i + 1 < j n se tiene que p i no es k-adyacente a p j ). Todo punto de un k-arco tiene k-grado 2 ó 1. Proposición Todo k-camino P con dos puntos extremos contiene un k-arco con sus mismos extremos. Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

5 Conexión Conexión Definición Un conjunto S es k-conexo si para cada par de puntos de S existe un k-camino contenido en S que los une. Una componente k-conexa es un conjunto k-conexo maximal. Proposición Un conjunto S es k-conexo si para cada par de puntos de S existe un k-arco contenido en S que los une. Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

6 Es fácil encontrar ejemplos de 8 y 4-arcos cerrados, con 3 y 4 únicos puntos respectivamente, sin interior Para evitar estos casos patológicos hemos de imponer que todo 8-arco cerrado tenga al menos 4 puntos y que todo 4-arco cerrado tenga más de 4 puntos. Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

7 Sin embargo, aún imponiendo estas condiciones existen ejemplos de 8-arcos cerrados cuyo complementario tiene una única 8-componente conexa, y ejemplos de 4-arcos cerrados cuyo complementario tiene más de dos 4- componentes conexas Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

8 En 1967, Duda, Hart y Munson observaron que la solución a estas paradojas estaba en considerar diferentes relaciones de adyacencia para un conjunto y para su complementario. En 1979, Rosenfeld probó el siguiente teorema. Teorema (Teorema digital de la curva de Jordan) Si P es un k-arco cerrado en Z 2 entonces Z 2 \P tiene exactamente dos k -componentes conexas, una finita o acotada (que se llama interior de P) y otra infinita o no acotada llamada exterior de P, donde k = 8 si k = 4 y k = 4 si k = 8. Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9

9 Este teorema permite justificar algoritmos de relleno de contornos. Por otra parte, permite codificar conjuntos de puntos almacenando solamente los puntos del borde o frontera. Finalmente, los puntos de un camino se pueden codificar usando un código en cadena que consiste en almacenar un punto inicial e ir indicando posteriormente el índice correspondiente al lugar que ocupa el 8-vecino que se visita a continuación, y así sucesivamente. Como los ocho vértices se pueden codificar con 3 bits, un camino con n puntos podrá almacenarse con 3n bits si despreciamos los bits necesarios para almacenar el punto inicial. Observación Existe un teorema análogo para superficies digitales S en R 3 para los siguientes valores de (k, k ): (6,26), (26,6), (6,18) y (18,6). Facultad de Informática (UPM) () TOPOLOGÍA DIGITAL Modelos para el plano digital October 14, / 9