Propuesta para la determinación de la fuerza de pretensado utilizando el método de los intervalos

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1 REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, 53-66, 004 Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado utlzando el método de los ntervalos Govann Banco Accard Deartamento de Estructuras, Escuela de Ingenería Cvl, Unversdad de Carabobo, Valenca, Venezuela Emal: gbanco-a@cantv.net Resumen Se desarrollará un rocedmento, váldo ara seccones smles realzadas con una sola fase de retensado, que retende rofundzar y aglzar la determnacón de la varacón de la fuerza de retensado en el temo, a causa de las deformacones dferdas (retraccón y fluenca del concreto) y el relajamento de la armadura, hacendo uso del método de los ntervalos. Se dferenca de los métodos exstentes, or hacer uso de funcones contnuas en el temo tanto ara la determnacón de las varables corresondentes a la retraccón y fluenca como ara el relajamento de la armadura actva que actúa de manera monolítca con el concreto que la crcunda (armadura actva no aslada), y no ara la armadura aslada, cuyas relacones son conocdas y emleadas en dferentes reglamentos. De esta manera, los resultados son más ajustados a la realdad y desaarece la lmtacón mlícta que exste en la escogenca del número de ntervalos que se desea estudar. Palabras clave: Concreto retensado, fuerza de retensado, retraccón y fluenca del concreto. Proosal for the determnaton of the restressed force usng the method of the ntervals Abstract A rocedure vald for smle sectons erformed wth a sngle restressed concrete hase wll be develoed, t retends to deeen and to seed u the determnaton of the varaton of the restressed concrete force n the tme, due to the dffered deformatons (retracton and concrete fluency) and the relaxaton of the armor, usng the ntervals method. It dffers from the exstng methods, because t uses contnuous tme to determne the corresondng varables of the retracton and fluency as well as the relaxaton of the actve armor that acts n a monolthc way wth the surrounds concrete (not solated actve armor), and not for the solated armor whose relatonshs are known and emloyed n dfferent regulatons. Ths way, the results are adjusted to the realty and the mlct lmtaton that exsts when choosng the number of ntervals to be studed dsaears. Keywords: Prestressed concrete, restressed concrete force, retracton and concrete fluency. 1. EXPOSICIÓN DE MOTIVOS, LAS DIFERENTES VARIABLES Uno de los roblemas que resenta la alcacón del método de los ntervalos es la escasez de datos dsonbles ara la estmacón en los dferentes temos de las varables ε cs y φ. Las tablas comúnmente emleadas, oseen valores alcables a ntervalos de temo muy amlos; or otro lado, la alcacón reterada (ara cada ntervalo de nterés) de ε cs y φ or ntermedo de las relacones sugerdas or el CEB-FIP en sus Recomendacones Internaconales [1] (Comsón de estudo de los efectos estructurales de las deformacones dferdas del concreto) es defntvamente engorrosa. Con resecto al relajamento, s se aceta la relacón (CEB-FIP) [1, ]: log ρ = k + k 1 log t (1) Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto

2 Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado como ley de varacón del fenómeno en funcón del temo, ella es alcable solamente cuando la armadura es aslada, y se cometería un arecable error al extender su valdez en el caso real (armadura no aslada), ara temos osterores al de la transferenca, or cuanto se desrecaría la ncdenca de la retraccón y fluenca sobre el relajamento. El nconvenente quedaría resuelto solamente ara el valor fnal del relajamento, s se hace uso de la relacón (CEB-FIP) [1, 3]: relr,,, = rel,, 1,5 cs, + cc est, con la lmtacón de que sea,rel,r, 0,04 est, en las condcones normales de uso de la armadura actva (tensón ncal no mayor de 0,75 f y temeratura de ambente normal), y con los sguentes sgnfcados de los símbolos emleados:,rel,r, = érdda de tensón real or relajamento, a t =.,rel, = érdda de tensón or relajamento sobre armadura aslada, a t =, emleando la relacón (1).,cs+cc = érdda de tensón del acero a causa de la retraccón y fluenca del concreto, a t =. () est, = valor ncal de la tensón sobre la armadura actva. Por otro lado, aunque el fabrcante sumnstre algunos valores de relajamento en funcón de una fraccón del valor f t, es oco robable que el estramento ncal de la armadura en obra concda con el estramento ncal sumnstrado. En térmnos de esfuerzos, la relacón anteror se exresa: P cs+ cc Prel, r, = Prel, 1,5 P ( ) La relacón ( ) es aroxmada, de naturaleza emírca y no alcable a las dferentes fases de construccón. El coefcente,5 que aarece en la relacón ( ) uede ser susttudo or, cuando en vez de consderar las cargas de servco según la teoría de las tensones admsbles, se emlean las solctacones actuantes de cálculo en los estados límtes de utlzacón, bajo las combnacones de las accones frecuentes y cas ermanentes [1]. Tabla 1. Prouesta ara la determnacón de la deformacón or retraccón. Valores de ε cs (t j, t ) 10-3 Humedad relatva Dmensones fctcas ( A c /u) Ecuacón Valdez (j en días) 70-75% D. Fct 00 mm ε cs = - 0,0388 Ln ( j) + 0,863 1 j <, ε cs % D. Fct 600 mm ε cs = 0,099 j -0,044 1 j 60 ε cs = - 0,0661 Ln ( j) + 0, < j <, ε cs % 00 mm D. Fct 600 mm ε cs = 0,019 e - 0,003 j 1 j <, ε cs % D. Fct 00 mm ε cs = - 0,0638 Ln ( j) + 0, j <, ε cs % D. Fct 600 mm ε cs = 1, j - 4, j + 0, j <, ε cs % 00 mm D. Fct 600 mm ε cs = - 0,0533 Ln ( j) + 0,401 1 j <, ε cs 0 A c = área de la seccón de concreto, u erímetro de la seccón; j = número de días artr del cual se consdera el fenómeno defndo en el ntervalo ( j, ); t = es equvalente a t = 900 días; Los valores obtendos en la tercera fla, deberán ser ncrementados del 5%. 54 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto 004

3 Banco Tabla. Prouesta ara la determnacón del coefcente de fluenca. Coefcente de fluenca, ϕ (t j, t ) Humedad Dmensones fctcas Valdez relatva Ecuacón ( A c /u) (días) 70-75% 00 mm ϕ = - 0,4154 Ln ( j) +,965 1 j < 70-75% 600 mm ϕ =- 0,3133 Ln ( j) +, j < 70-75% 00 mm D. Fct 600 mm ϕ = - 0,3644 Ln ( j) +, j < 50-55% 00 mm ϕ = - 0,5716 Ln ( j) + 3, j < 50-55% 600 mm ϕ = - 0,415 Ln ( j) + 3, j < 50-55% 00 mm D. Fct 600 mm ϕ = - 0,4966 Ln ( j) + 3,573 1 j < A c = área de la seccón de concreto, u erímetro de la seccón; j = número de días artr del cual se consdera el fenómeno defndo en el ntervalo ( j, ); t = es equvalente a t = 900 días; Los valores obtendos en la tercera fla, deberán ser ncrementados del 5%.. PROPUESTA PARA EL CÁLCULO DE LOS VALORES DE ε cc Y ϕ El autor, roone, a falta de exresones más confables, el emleo de las relacones aroxmadas contendas en las Tablas 1 y, obtendas como curvas contnuas, artendo de varos valores aslados, confrmados exermentalmente, defndos en ntervalos de temos amlos y sugerdos or varos reglamentos. Las relacones contendas en las tablas recsadas dan, resectvamente, el valor de ε cc y ϕ en cada nstante, meddo en días, a artr del temo t = 1 hasta t =. La manera de obtener dchos valores se exlca a contnuacón. S se desea determnar el valor de ε cc o ϕ artendo del temo t = 1 día hasta t =, es sufcente susttur en la relacón corresondente, la varable j or 1. S se desea determnar el valor de ε cc o ϕ artendo del temo t m > 1 día hasta t =, es sufcente susttur el la relacón corresondente, la varable j or el día corresondente a t m. S se desea determnar el valor de ε cc o ϕ artendo del temo t m en días hasta el temo t n en días, se rocede: De la Tabla 1, or ntermedo de la relacón corresondente, se obtenen los valores de ε cs (t m, ) y ε cs (t n, ), ara luego determnar ε cs (t m, t n ) = ε cs (t m, ) - ε cs (t n, ). De la Tabla, or ntermedo de la relacón corresondente, se obtenen los valores de ϕ (t m, ) y ϕ (t n, ), ara luego determnar ϕ (t m, t n ) = ϕ (t m, ) - ϕ (t n, ) 3. CÁLCULO DE LA RETRACCIÓN Y FLUENCIA cc, + cs = Para el cálculo global de la retraccón y fluenca, se sugere la alcacón de la relacón (3), recomendada or el CEB-FIP, ara cada uno de los ntervalos de temo escogdos: εcs (, t t0) E + αe ϕ (, t t0 ) ( c, g + c, re, ) c, re, ϕ (, t t0) 1 αe 1 + re,, (3) con: α e = E /E c,8 ; ε cs (t, t o ) = deformacón de retraccón entre t o y t, con sgno negatvo ara el acortamento. ϕ (t, t o ) = coefcente de fluenca entre t o y t;,re, = tensón de traccón de la armadura actva, en la fase re a t = 0; es decr, tensón sobre la armadura actva que se debe sólo a la fuerza ncal de retensado; Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto

4 c,re, = tensón en el concreto al nvel de la armadura actva, en la fase re a, t = 0; es decr, tensón que se debe sólo a la fuerza ncal de retensado; c,g = tensón en el concreto al nvel de la armadura actva, or causa del eso roo y de las otras accones ermanentes (con exclusón de la fuerza de retensado). En la fórmula anteror, el numerador reresenta la suma de los efectos de la retraccón y fluenca sn tomar en cuenta la nterdeendenca de los fenómenos. La nfluenca entre dcha nterdeendenca se toma en cuenta en el denomnador, cuya exresón da una cantdad ostva mayor que la undad. El valor,re, en el caso de armadura ostesa, se refere nmedatamente desués de la transferenca y en el caso de armadura retesa desués del desbloqueo de los anclajes rovsonales. Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado 4. CÁLCULO DEL RELAJAMIENTO Y PROPUESTA PARA SU IMPLEMENTACIÓN Para el cálculo del relajamento, se sugere: El emleo de la relacón (1) totalmente defnda con los valores de k 1 y k (lo que es osble s se dan como datos dos valores de ρ ara dos temos dferentes). La exresón será válda ara la armadura aslada. La varable t es medda en horas. El valor de ρ en un certo nstante t 1 se obtene susttuyendo t 1, en horas, en la relacón (1) y se ha de entender como el orcentaje de érdda evdencada desde que se ncó el estramento hasta el temo t 1 ; de gual manera, el orcentaje de érdda or relajamento al fnal del ntervalo (t 1, t ) con t > t 1, se obtene como dferenca: ρ = ρ ρ (4) t1 t t t1 La relacón hay que entenderla de manera algebraca; es decr, cada térmno resenta su roo sgno. Los valores de ε cs y ϕ se obtendrán de las Tablas 1 y. Cuando la armadura es retesa, resulta: La obtencón del valor P rel,r, or ntermedo de la relacón ( ), y que or ser: P P ρ = 100 ; ρ = 100 (5) P rel, rel, r, r, P se uede tambén escrbr: α P P e = + y +, re, e est, Ae Ie P cs+ cc ρr, = ρ 1,5 P (6) P P e = + y c, re, Ae I e M 1 c, g = I e y Cuando la armadura es ostesa, resulta: F = ( P = F ) est,, re, est, A P P e = + y c, re, Ac I c M = y 1 c, g I c en donde ρ se obtene de la relacón (1) hacendo t = 10 6 h. Se roone, de manera convenconal, la obtencón del valor ρ r,t =1.00 h = ρ r, / Con estos dos últmos valores (el de ρ r, a t = 10 6 h y el de ρ r, / a t = 1.00 h ), se defne comletamente una nueva relacón (1) que es la defntva ara el cálculo de la érdda del relajamento tomando en cuenta ahora que el fenómeno es meddo sobre una armadura actva no aslada. S la relacón (1) no se uede defnr, or tener como dato un solo valor exermental de ρ ara t = 10 h, la solucón será menos recsa y el valor faltante uede ser obtendo medante la relacón [3]: 56 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto 004

5 Banco = 3 + 0,03 ( 0,50 f ) rel, rel, t= 10 h est, (con est, 0,5 f y = 0,75 f ) (7) P = (0,650 a 0,675) P (9) rel, r, rel, que uede ser tambén escrta: ρ r, = (0,650 a 0,675) ρ (10) y or consderarse solamente ensayos a las 10 h, la relacón lmta los resultados a valores fnales de relajamento que no sueren los sguentes valores de ρ : 6 % ara barras lamnadas, 7,5 % ara alambres treflados, 9 ara cordones y 10 % ara cordones trenzados; en cambo, cuado los valores de ρ son ara t = h y otro comrenddo entre t =.000 y h, el valor faltante se uede obtener medante la relacón [3]: = + k ( ) (8) rel, rel, t rel, t rel, t= 1000 h sendo k un valor obtendo or la relacón: k= ,1178 t (.000 h t h) en donde t es el temo, en horas, gual al temo de rel,t. (La exresón de k señalada, es del autor y retende susttur los tres valores sumnstrados or [3], una exresón de fácl manejo que es funcón contnua del temo). Con resecto a la relacón (6), es mortante señalar que su emleo ráctco es solamente cuando se consdera un solo ntervalo de temo (nmedatamente desués de la transferenca hasta t = ), aún cuando razonablemente tal manera de roceder no se ajusta a la realdad; de lo contraro, se entraría en un crculo vcoso, resoluble con un engorrosísmo rocedmento teratvo que ráctcamente conduce a la nutlzacón de la senclla relacón señalada. Tambén, consderando un solo ntervalo de temo, la relacón es menos recsa cuando la carga ermanente dferente del eso roo ntervene desués de un certo temo de la transferenca. Con la fnaldad de smlfcar los cálculos, se roone, en ambentes medos y referblemente ara seccones con esesor fctco 00 mm, susttur la relacón ( ) or la sguente relacón aroxmada: sn modfcar las restantes consderacones señaladas con anterordad. El coefcente numérco mayor uede ser emleado ara estructuras con armadura ostesa, or resentar, en gualdades de condcones, menor efecto de retraccón y fluenca, or ende mayor acercamento entre el valor del relajamento meddo sobre armadura aslada y aquel real (sobre armadura no aslada); vceversa, el coefcente menor uede ser emleado en los elementos con armadura retesa. 5. CORRECCIÓN DEL RELAJAMIENTO SOBRE ARMADURA AISLADA La relacón (5) o la relacón (6), requeren del valor de ρ (orcentaje total de relajamento sobre armadura aslada). Este valor es obtendo or ntermedo de los datos exermentales de relajamentos efectuados or el fabrcante ara valores de β = est, /f que or lo general se fjan en 0,6; 0,7 y 0,8. Sucede en la ráctca que muy ocas veces la razón entre la tensón de estramento ncal y la resstenca a traccón característca de la armadura concde con esos valores, or lo que se resenta la necesdad de corregr el valor ρ ara así ajustarlo a la realdad de cada caso. La correccón uede efectuarse hacendo uso de la relacón: = ( est, 0,5 f ) (11) ρ δ válda ara [3]: 0,5 f f, β f (1) en donde monendo la condcón, ara los tres valores de β recsados resulta: Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto

6 ρ ρ = ( 0,5 f ) (0,10 ) (13a) ;0,6 f ρ ρ = ( 0,5 f ) (0,0 ) ;0,7 f ρ ρ = ( 0,5 f ) (0,30 ) ;0,8 f 6. VALOR DE LA FUERZA DE PRETENSADO AL FINAL DEL INTERVALO PREFIJADO El nuevo valor de la fuerza de retensado P n al fnal del ntervalo (t m, t n ) se obtene: n m cs+ cc( tm tn) rel( tm tn) y ara la obtencón del estado de tensón normal consecuente se emlean las relacones: en donde y es la dstanca, con sgno, medda a artr del barcentro de la seccón hasta la cuerda donde se desea determnar la tensón normal sobre el concreto; y la dstanca, tambén con sgno, del tendón resultante; α e el coefcente de homogenezacón en el ntervalo (t m, t n ); M el momento flector resente en la seccón consderada en el nstante t n y est,n = F est /A ( es P = -F est ). La fuerza de retensado ncal, P, y la tensón de estramento ncal, est,, son magntudes que han sdo revamente defndas (P = -F est, y est, = F est, /A ). 7. NÚMERO DE INTERVALOS DE TIEMPO A CONSIDERAR 58 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto 004 (13b) (13c) P = P P P (14) P P e M A I I n n c = + y+ P P e M = α + y + y + A I I n n e est, n y (15) (16) Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado Deende del sstema constructvo de la estructura, del orden de ntervencón de las cargas exterores dferentes del eso roo y de las condcones clmátcas. La manera rgurosa de tomar en cuenta los dferentes asectos y los ntervalos de temo a consderar, deende fundamentalmente del uso de la nformacón solctada [4, 5]. En elementos con seccones smles, son ndsensables los valores de la fuerza de retensado en las dos fases determnantes de carga: la ncal (fuerza de retensado ncal más eso roo del elemento) y las fnales (fuerza de retensado fnal más la totaldad de las accones exterores). En algunos casos uede ser tambén necesaro el conocmento de la fuerza de retensado nmedatamente anteror a la ntervencón de la carga ermanente dferente del eso roo del elemento y ara aquel temo en donde la nformacón deba ser emleada ara el cálculo de la deflexón. La rouesta que se acaba de recsar, uede ser tambén utlzada en el caso en que se estude un solo ntervalo de temo. En elementos de seccones comuestas hay que dferencar s son con una o dos fases de retensado. Cuando son con una sola fase de retensado, los temos de nterés, ncluyendo entre ellos los que corresonden a las fases de carga determnantes, son: nmedatamente desués de la transferenca, antes de la ntervencón de la orcón que convertrá la seccón smle en comuesta, a un temo sufcentemente lejano (or ejemlo un año) del nco del comortamento monolítco de la seccón y al temo t =. Cuando la seccón comuesta es con dos fases de retensado, habrá que agregar la nformacón obtenda nmedatamente antes y desués del segundo retensado. En uno o en el otro caso, es convenente (y necesaro cuando la seccón en servco aceta traccones mas no fsuracón) la determnacón del efecto de la retraccón y fluenca dferencales. 8. NÚMERO DE SECCIONES A CONSIDERAR S el método es rogramado ara comutadoras, las seccones en estudo ueden estar searadas entre sí a artr de una dstanca gual a la altura de la eza. Cuando no es rogramado, como en el ejercco sguente, se ueden estudar dos seccones

7 Banco reresentatvas y a artr de ellas moner una ley de varacón lneal en funcón de la longtud de la eza, ara luego, or smle susttucón de la ubcacón de la seccón, determnar la fuerza de retensado en el número deseado de seccones; cuando se dsone del estudo en más de dos seccones, se mone la ley de varacón más convenente según las dsonbles en cualquer hoja de cálculo electrónca. Determnar sobre las seccones de centro-luz y sobre los aoyos, el valor ncal P (a t = 0, o nmedatamente desués de la transferenca), P t = 30 días (trenta días desués de la transferenca e nmedatamente antes de la ntervencón de g ) y fnal P (a t =, o desués de las érddas dferdas), consderando (or smlcdad) las característcas geométrcas de la seccón bruta. Extraolar resultados ara las dferentes seccones dstancadas entre s de 0,575 m. Hacer consderacones crítcas ertnentes. 9. EJEMPLO: CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS DIFERIDAS EN UN ELEMENTO CON ARMADURA PRETENSADA USANDO EL MÉTODO DE LOS INTERVALOS La seccón transversal de una correa de 5,75 m de luz, ndcada en la Fgura 1, ertenecente a un techo sn acceso de un edfco ndustral, resenta la forma que se ndca en la Fgura 1a, en donde la armadura retesa está consttuda or cordones trenzados en la arte sueror, cada uno de ellos formados or Φ,5 y 6 cordones trenzados en la arte nferor (5 en la rmera fla y 1 en la segunda), cada uno de ellos formados or 3Φ,5. La tensón de traccón ncal ara anclar la armadura sobre los soortes fjos es est,,max = 1.00 MPa. Además del eso roo (g 1 = 330 N/m), la otra carga ermanente es g = 500 N/m y actúa a los 30 días de la transferenca de esfuerzo. Otras característcas adconales de la armadura actva utlzada son: f = MPa; módulo aarente de elastcdad 1, MPa; érdda or relajamento bajo la tensón ncal de 0,7 f : 3,99 a las 10 h y 5,00 a las h. La tensón de estramento ncal, est,,max es de 1.00 MPa. La seccón bruta resenta las sguentes característcas: A = mm, I = mm 4, y su = - 103,45 mm, y nf = 76,55 mm. La transferenca de esfuerzo es a los días (48 horas). El módulo de deformacón longtudnal del concreto a los 8 días es E c8 = MPa. Fgura 1. Seccón transversal, dsoscón de las armaduras y de las fuerzas arcales de retensado. 9.1 Determnacón de algunos valores a emlear en el cálculo. Área total de armadura actva: A = 7, ,98 = 87,47 mm Fuerza de retensado y excentrcdad de la fuerza de retensado: Cada una de las fuerzas de retensado, nmedatamente desués de la transferenca, se ndca en la Fgura 1. Para obtener la resultante de ellas (P ), se debe conocer la fuerza de estramento ncal máxma alcada en cada una de las trenzas y las érddas de traccón que ellas sufren durante el ntervalo de temo comrenddo entre la uesta en traccón de la armadura y la transferenca. Se comenza entonces evdencando las excentrcdades de las fuerzas de estramento (que serán las msmas excentrcdades de las fuerzas ncales de retensado) y refjando un sentdo ostvo ara los momentos (or ejemlo horaro), or equlbro estátco se determna el unto de alcacón de F est,,max. e 1 = 83,45 mm e = 63,45 mm e 3 = 36,55 mm e 4 = 56,55 mm F 1 = 9.54,61 N F = 9.54,61 N F 3 = ,91 N F 4 = ,57 N e F est,,max = 4 j= 1 P j F e + F e F e F e A = ,71 N = = = Pestmax,, B Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto ,19 mm

8 en donde el numerador A es gual: 9.54,61 83, ,61 63, ,91 36, ,57 56,55 y el denomnador B gual a: ,71 El sgno negatvo de la excentrcdad resultante ndca que el momento resultante roducdo or F est,,max es anthoraro, or ende, la excentrcdad está or debajo del barcentro de la seccón. Para evtar confusón, se quere recsar que este valor de excentrcdad, s se ha de emlear en las fórmulas de flexocomresón, según las convencones adotadas, es ostvo or estar or encma del barcentro de la seccón. Máxma tensón normal y máxma fuerza de traccón de la armadura: est,,max = 1.00 MPa y así or otra vía, más exedta, se uede determnar: Fest,. max = A est,, max = 87, = N Dada la gran longtud de la sta de tensado, se consdera desrecable la enetracón de cuña durante el anclaje de la armadura a los dos cabezales ndeendentes en los extremos de la sta, or ende gual a cero su ncdenca en la dsmnucón de la traccón en la armadura. Determnacón de la ley de varacón del relajamento (sobre armadura aslada): Para 10 h ρ = 3,99% Para h ρ = 5,00% Alcando la relacón (1): log 3,99 = K1 + K log 10 3 log 5,00 = K1 + K log 10 es decr: 0,60097 = K1 +,07918 K 0,69897 = K1 + 3 K de donde: K 1 = 0,379698, K = 0,10644 y la ecuacón (1) queda así defnda ara cualquer valor de t: log ρ = 0, ,10644 log t Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado Para t = (t = 10 6 h), alcando la relacón anteror resulta: ρ Esesor fctco: = 10,43% Correccón del valor anteror. Emleando la relacón (13b): ρ ;0,7 ρ = ( 0,5 ) f (0,0 f ) = 10,43 (1.00 0, ) 7,4 % (0, ) = A c = = 47 mm u 580 Humedad relatva: 70% (ambente medo). 9. Determnacón de valor de la fuerza de retensado ncal, P. La transferenca es a las 48 horas desués del máxmo estramento de la armadura. Al fnal de ese temo, la érdda or relajamento en la armadura se udera evaluar or ntermedo de la relacón (a) s fuese est,,max /f = 0,7, ero resulta que tal razón es gual 1.00/1.800 = 0,67; or lo que hace falta obtener la ley de varacón del relajamento sobre armadura aslada ajustada a las condcones reales del roblema. Asumendo: Para 10 6 h ρ = 7,4 % Para 1.00 h ρ = 7,4/ = 3,6 % Alcando la relacón (1): 6 log 7,4 = K1 + K log 10 log 3,6 = K1+ K log 1.00 es decr: 0,85974 = K1 + 6 K 0,55871 = K 1 + 3,07918 K de donde: K 1 = 0,4136, K = 0,10306 y la ecuacón (1) queda así defnda ara cualquer valor de t: 60 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto 004

9 Banco La érdda or relajamento sobre armadura aslado al temo t = 48 h resulta: log ρ = 0, ,10306 log 48= 0,415 ρ =,60 % 48h 48h y en consecuenca, la tensón de estramento en el nstante nmedatamente anteror de la transferenca es:,60 est, = estmax,, estmax,, = 100,60 est,, max 1 = 1.168,8 MPa 100 y la fuerza ncal de retensado: (b) Esta fuerza es constante en cada seccón y roduce el msmo efecto, orque el tendón resultante es rectlíneo y aralelo al eje del elemento. S se desea determnar el estado de tensón sobre el concreto y la armadura nmedatamente desués de la transferenca, las relacones a emlearse son, en el suuesto de que el eso roo ntervene con el retensado: log ρ = P 0, ,10306 log t,60 P = Fest,, max 1 = est, A = P e M 1 c = + + Ae Ie Ie y P P e = α + y M + y + 1 e est, Ae Ie Ie sendo M 1 el momento or eso roo del elemento en la seccón consderada, P = N, est, = 1.156,57 MPa, y la ordenada sobre la seccón de concreto en donde se desea evaluar la tensón normal (y c,nf = 76,55 mm, y c,su = - 103,45 mm), y la ordenada del tendón resultante en la seccón, e = 30,19 mm la ordenada corresondente a la armadura actva (e = y ), A e el área de la seccón homogenezada (con aroxmacón acetable gual al área de la seccón bruta), I e el momento de nerca de A e y α e el coefcente de homogenezacón. y N 9.3 Determnacón de la ley de varacón del relajamento en la armadura no aslada. Según lo exuesto, ara oder defnr la ley de varacón de la armadura no aslada, se rocede a: Obtener la globaldad de las érddas or retraccón y fluenca; Determnar ρ (relajamento a t = sobre armadura aslada); Alcar la relacón (6) ara obtener ρ r (relajamento real a t = sobre armadura no aslada); Determnar el valor ρ r, t =1.00 h = ρ r, /; Construr con estos dos últmos valores la ley de varacón buscada, hacendo uso de la relacón (1). Tambén or las razones exuestas, se hará uso de la relacón (10) ara así no hacer deender exlíctamente la determnacón de ρ r, del cálculo más rguroso de la érdda conjunta or retraccón y fluenca. Emleando el coefcente 0,650, la relacón (10) se escrbe: ρ r y entonces:, = 0,650 ρ = 0,650 7,4 = 4,71 ρrt, = 100 h = ρr, /=,35 % Con estos dos valores, rocedendo de la msma manera anteror, se determna la ley de varacón del relajamento sobre armadura no aslada. Alcando la relacón (1): log,35 = K1 + K log log 4,71 = K1 + K log 10 es decr: 0,37107 = K1 + 3,07918 K 0,6730 = K1 + 6 K de donde: K 1 = 0,0574, K = 0,10338 y la ecuacón (1) queda así defnda ara cualquer valor de t: % Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto

10 log ρ = 0, ,10338 log t (d) 9.4 Determnacón de la fuerza de retensado al temo t 1 = 30 días desués de la transferenca Cálculo de la deformacón or retraccón. Intervalo de temo transcurrdo ara la retraccón: se mde desde el vertdo del concreto ero nteresa desde el momento de la transferenca hasta 30 días desués de la msma. Desde el nco del vertdo del concreto hasta la transferenca, transcurren 48 horas ( días). La retraccón comenza nmedatamente desués del vertdo del concreto, razón or la que a los 30 días desués de la transferenca han transcurrdo 3 días ara la retraccón y de ellos solamente 30 días afectan a la fuerza de retensado. En otras alabras, la retraccón que nteresa es aquella comrendda entre los días y los 3 días del vertdo, ya que el fenómeno se manfesta a artr del día 0 (corresondente al vertdo del concreto) Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado De la rmera fla de la Tabla : La érdda or fluenca desde t = días hasta t =, es: ϕ (- ) = - 0,4154 Ln ( j) +,965 =,8 (valor corregdo); La érdda or fluenca desde t = 30 días hasta t =, es: ϕ (3 ) = - 0,4154 Ln ( j) +,965 = 1,6 (valor corregdo); La érdda or fluenca desde t = días hasta t = 30 días es: j (-30 días) = j (- ) - j (3- ) =,8-1,6 = 1, Cálculo de la érdda or retraccón y fluenca al fnal del rmer ntervalo (a los 30 días desués de la transferenca). Seccón de centro-luz. Tensón normal sobre el concreto, al nvel de la armadura actva, roducda or el eso roo: De la rmera fla de la Tabla 1: La érdda or retraccón desde t = días hasta t =, es: ε cs(- ) = - 0,0388 Ln ( j) + 0,863 = 0,7/1.000 (valor corregdo); La érdda or retraccón desde t = 3 días hasta t =, es: ε cs(3- ) = - 0,0388 Ln ( j) + 0,863 = 0,16/1.000 (valor corregdo); La érdda or retraccón desde t = días hasta t = 3 días es: ε cs (-3 días) = ε cs(- ) - ε cs(3- ) = 0,11/ Se recuerda que este valor deberá ser cambado de sgno cuando se emlea en la relacón (3) o equvalente Cálculo del coefcente de fluenca al fnal del rmer ntervalo (t o = días a t 1 = 30 días). La fluenca se mde a artr de la transferenca. M g1 c, g1 = y c = 1, 07 MPa I (M g1 = N mm, y c = e = 30,19 mm) Tensón normal sobre el concreto, al nvel de la armadura actva, roducda or la sola fuerza de retensado: P P e c, re, = + yc = 9,94 A I MPa Tensón normal sobre la armadura actva, roducda or la sola fuerza de retensado: P P e, re, = αe + yc + est, = 1.099, MPa A I ( P) ε E + α ϕ ( + ) cc+ cs P ϕ re,, + αe cre,, 1+ cs e c, re, c, g = = Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto 004

11 Banco Es decr, aroxmadamente el 9 % de érdda de fuerza de retensado, or conceto de retraccón y fluenca, al térmno de un mes de la transferenca Cálculo del relajamento al termnar el rmer ntervalo de temo de un mes a artr de la transferenca. La érdda or relajamento a los 30 días de la transferenca, se obtene or ntermedo de la relacón (d), de donde, ρ r,(0-30) =,3 % Fuerza de retensado a los 30 días de la transferenca. P = P ( P + P ) = (30 días) cc+ cs rel, r Esta fuerza, en funcón de P, se exresa: P (30 días) = η (t = 30 días) P [(con η (t = 30 días) = /10.35 = 0,8896 0,89] Estado de tensón normal a los 30 días. Para determnar el estado de tensón normal a los 30 días de la transferenca, en el suuesto de que todavía no haya ntervendo la carga ermanente g, se hace uso de las relacones (b) y (c), susttuyendo: P or 0,89 P ; est, or 0,89 P /A. Inmedatamente desués de la actuacón de g el estado de tensón se exresa: 0,89P 0,89 P e M1+ M c = + y + y (e) A I I e e e 0,89 P 0,89 P e M1 + M = αe + y + y + 0,89 Ae Ie I e est, de los 30 días es, según se enuncó con anterordad: ε cc(30- ) = 0,16/ El coefcente de fluenca contado a artr de los 30 días, es, según se djera con anterordad: ϕ (30 ) = 1,6. El relajamento de la armadura actva no aslada, a artr de los 30 días de la transferenca, es: ρ r(30- ) = ρ r (0- ) - ρ r (0-30) = 4,71 % -,88 % = 1,83 %; La fuerza de retensado a los 30 días desués del vertdo del concreto, es, según se djo en el aarte 4c): P (30días) = N. ( P) P cc+ cs (30 días) sendo: Alcando la relacón (3) y suonendo α e = 6: εcs E (30 ) + αe ϕ(30 ) ( c, re, + c, g) = = 0,069 ϕ re,, + αe cre,, 1+ g1 g c,1 g = c = 4,9 (M g1 = N mm, M g = N mm, y c = e = 30,18 mm) c, re, M + M y MPa I 0,89 P 0,89 Pe = + yc = -8,84MPa A I α P P e A I, re, = e + yc + est,(30 días ) = 986,8 MPa sendo α e = 6 y M = ,5 N mm. (f) est (,(30 días ) = F est,(30 días) = - P (30 días) /A = 0,89 P /A = 1.039,9 MPa) 9.5 Determnacón de la fuerza de retensado fnal (desués de todas las érddas) y estado de tensón normal. Y entonces, la fuerza fnal de retensado es: P= P ( P + P ) = N (30 días) cc + cs(30 ) rel, r(30 ) La deformacón or retraccón contada a artr Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto

12 Esta fuerza, en funcón de P, se exresa: P = η (t = ) P (con η (t = ) = 83.00/10.35 = 0,8119 0,81) con una érdda total, con resecto al valor ncal de la fuerza de retensado (P = N), del 18,8 %. Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado Para el día 30 desués del vertdo del concreto, la ecuacón que reresenta la ley de varacón de la fuerza de retensado es la recta que asò or los untos: (0 m ; ,5 N) y (,875 m ; N) El estado de tensón normal se exresa or ntermedo de las relacones: P P e M + M 1 c = + y+ y (g) Ae Ie Ie P P e = α + y M + + M y + 1 e est Ae Ie Ie en donde: P = 0,81 P ; est = 0,81 P /A. 9.6 Determnacón de la fuerza de retensado en la seccón de aoyo. El rocedmento es déntco al que se acaba de exoner, ero más smlfcado or cuanto en la seccón de aoyo los momentos or cargas exterores son guales a cero. Los resultados son: Durante la transferenca: P = N; A los 30 días del vertdo del concreto: P (30 días) = ,5 N; Al temo t = : P = ,5 N. (h) 9.7 Determnacón de las fuerzas de retensado en la sem-longtud de la vga en seccones dstancadas a 0,575 m. Se suone, de manera sufcentemente aroxmada, una varacón lneal de la fuerza de retensado entre la seccón de aoyo (tomada como orgen) y la seccón de centro-luz. y tene or ecuacón y = -99,65 x Para t =, la recta que asa or el ar de untos: (0 m ; ,5 N) y (,875 m ; N) Se reresenta or la ecuacón: y = ,3 x La Tabla 3 muestra las dferentes fuerzas de retensado ara seccones dstancadas de 0,575 m. Observacones. El orcentaje de varacón fnal de fuerza de retensado aumenta de la seccón de aoyo a la de centroluz, en concordanca del hecho que, en gualdad de fuerza de retensado ncal, las érddas or fluenca aumentan con la dsmnucón del momento or carga exteror con carácter de ermanenca. Este hecho es evdencado en el numerador de la relacón (3), or resentar sgnos ouestos las relacones c,re, y c,g. Se suuso que la transferenca de los cordones es smultánea; es decr, no se consderó el efecto mutuo. En el caso de armadura ostensa, F est, = - P es leído en el dnamómetro conectado al gato y las demás fuerzas ncales en la otras seccones se obtenen descontando a ésta las érddas or roce a lo largo del recorrdo del tendón resultante. 10. CONCLUSIONES Una vez fjados el número de ntervalos y las seccones transversales, con el rocedmento rouesto se obtenen las sguentes ventajas: Para el estudo de las érddas or retraccón y fluenca usando la relacón (1): 64 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto 004

13 Banco Tabla 3. Valores de fuerzas de retensado. x = 0 m x = 0,575 m x = 1,150 m x = 1,75 m x =,300 m x =,875 m P (N) P (30 días) (N) , , , , , P(N) , , , , , [(P P)/P ] 100 3,48,65 1,00 1,00 0,18 19,35 Se obtenen los valores de la deformacón or retraccón y los del coefcente de fluenca, hacendo uso de fórmulas contnuas, evtándose así el engorrosísmo rocedmento rguroso emleado or el CEB-FIB y no ncurrendo en errores de arecacón al hacer uso de tablas sugerdas or dferentes normatvas en donde se dan valores muy aslados en ntervalos de temos relatvamente amlos. Para el estudo de la érdda or relajamento de la armadura actva: Se dferenca claramente la érdda or relajamento de la armadura aslada de la no aslada, tomando en cuenta la rmera ara el ntervalo de temo que recede la transferenca. Se hace uso de una funcón contnua ara determnar la érdda sobre la armadura no aslada en cualquer nstante a artr de la transferenca; de esta manera desaarece una de las grandes lmtacones en la cuantfcacón de la érdda or relajamento. 11. NOTACIÓN La que se derva del acuerdo nternaconal entre CEB, FIP, ACI e ISO. A c : Área neta de la seccón transversal de concreto. A e : Área homogenezada de la seccón transversal del concreto con armadura actva. A : Área de la seccón de armadura actva. E c : Módulo de deformacón longtudnal del concreto. E : Módulo elástco de la armadura actva. F est, : Fuerza de estramento ncal sobre la armadura (sgno ostvo equvalente a traccón). F est : Fuerza de estramento fnal de la armadura. F est,,max : Fuerza de estramento ncal máxma sobre la armadura. I c : Momento de nerca de la seccón neta de concreto. Ie: Momento de nerca de la seccón homogenezada. M: Momento flector (sgno según la Resstenca de Materales). M 1 : Momento flector or eso roo g 1. P : Fuerza de retensado ncal (sgno negatvo equvalente a comresón). P n : Fuerza de retensado al nstante n (sgno negatvo). P: Fuerza fnal de retensado, gual y ouesta a F est. P cc+cs : Pérdda de esfuerzo or fluenca y retraccón. P rel : Pérdda de esfuerzo sobre la armadura actva aslada or relajamento. P rel, : Pérdda de esfuerzo sobre la armadura actva aslada or relajamento, al temo t =. P rel,r, : Pérdda de esfuerzo sobre la armadura actva no aslada or relajamento, al temo t =. e : Excentrcdad el tendón resultante. f : Resstenca característca a la traccón de la armadura actva. j: Número de días. t: Temo. y: Ordenada (sgno ostvo or debajo el barcentro de la seccón). y : Ordenada corresondente a la armadura actva (sgno ostvo or debajo el barcentro de la seccón). α e : Coefcente de homogenezacón. ε cs : Deformacón admensonal or retraccón. ϕ: Coefcente de fluenca. c : Tensón normal sobre el concreto (sgno según la Resstenca de Materales). : Tensón normal sobre la armadura actva (sgno según la Resstenca de Materales). est, : Valor ncal de la tensón de estramento de la armadura actva (sgno ostvo). Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto

14 Prouesta ara la determnacón de la fuerza de retensado ρ: Porcentaje de érdda or relajamento sobre armadura aslada. ρ r : Porcentaje de érdda real (sobre armadura no aslada) or relajamento.,rel, : Pérdda de tensón or relajamento sobre armadura aslada, al temo t =.,r,rel, : Pérdda de tensón or relajamento sobre armadura no aslada, al temo t =. REFERENCIAS [1] Códgo Modelo CEB-FIP ara estructuras en concreto con armaduras, París. [] Instruccón ara el Proyecto y Ejecucón de Obras de Hormgón Pretensado. EP-93. Mnstero de Obras Públcas, Transorte y Medo Ambente, Madrd. [3] Norme tecnche er l calcolo, l esecuzone ed l collaudo delle strutture n cemento armato, normale e recomresso. Mnstero del Lavor Publc. Decreto Mnsterale 9 gennao Roma. [4] El Comortamento del Concreto Pretensado. Tomo 1. Govann Banco Accard. Edcón del CO- DECIH (U.C.), Valenca. Venezuela. [5] Dseño de Estructuras de Concreto Presforzado. A. H. Nlson. Edtoral Lmusa, Méxco 66 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 11, N o, Agosto 004