ESTABILIDAD III CAPITULO VI: LINEAS DE INFLUENCIA Pág 1

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1 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág ÍNES DE INFUENCI 6. CONSIDERCIONES GENERES S ben en el tratamento del tema, or smlcdad nos refermos a casos de vgas, la generalzacón a otros tos de estructuras es cas nmedata y no requere de nuevos concetos a los necesaros en nuestro tratamento. a osbldad de cargas móvles mlca la necesdad de obtener: a) las solctacones, deformacones, etc., que roduce una carga (o un estado de cargas) ara dstntos untos de alcacón de la msma. b) El estado más desfavorable de alcacón de la carga, que trae aarejada las mayores solctacones o deformacones, y con las cuales tene que ser evaluada una seccón dada Estas dos necesdades deben ser tendas en cuenta en todas la seccones de la vga, o or lo menos, en varas seccones característcas según las crcunstancas. El trazado de dagramas o íneas de Influenca nos ermte una adecuada resuesta a las dos necesdades y su utlzacón es cas mrescndble en el caso de estudos de uentes, uentes grúa, etc., donde las cargas móvles () tenen una certa mortanca con resecto a eso roo o carga ermanentes (g). 6. DEFINICIÓN DE ÍNES DE INFUENCI Defnremos como líneas de nfluenca de una solctacón (o deformacón), en la seccón -, a un dagrama tal, que su ordenada en un unto mda, en una determnada escala, el valor de la solctacón en la seccón - (o de la deformacón), cuando en el unto de referenca actúa una carga de valor untaro. η f 6 En el caso de la fgura, dremos que η f() es la ínea de Influenca del momento flector en, s se cumle que la ordenada δ reresenta el valor del momento flector en ara una carga P = alcada en el unto. f () = δ * (escala de. de I.) ara P = alcada en S P se cumlrá: f () = P * δ * (escala de. de I.) Esto msmo uede alcarse ara otros estados de carga y otras solctacones, reaccones, deformacones, etc. 6. INES DE INFUENCI EN SISTES ISOSTÁTICOS Recordemos algunos elementos báscos alcados en sstemas sostátcos smles a fn de arecar las smltudes y dferencas con el tratamento que daremos a las vgas herestátcas. Nada mejor ara esto que la alcacón del Prnco de los Trabajos Vrtuales, en el método de la Cadena Cnemátca en una vga sostátca de dos tramos ara dstntos casos de solctacones, o étodo nalítco. P = δ

2 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 6.. ÍNE DE INFUENCI DE UN RECCIÓN l R S P = R η P = carga untara alcada en, donde l/ / l Deseamos la. de I. de R que denomnamos con η R. Elmnamos el aoyo, colocamos el esfuerzo corresondente al vínculo surmdo, y damos un deslazamento en el aoyo al mecansmo formado. Por alcacón de P.T.V.: R. + tn. η = 0 tn. R = η ηr = η Donde vemos que R es roorconal a la coordenada η o sea que η en una determnada escala uede reresentar el valor de R ara una se uede ncororar como factor de escala. 6.. ÍNE DE INFUENCI DE OENTO FECTOR Deseamos la. de I. del f H en la seccón HH. P = Para ello elmnamos el vínculo que transmte el H C momento en dcha seccón ntroducendo una H artculacón. la cadena cnemátca formada, doy un P = deslazamento vrtual y alco el P.T.V desues de f H exlctar el f H en la seccón (+ traccón abajo). η f H. H + tn. η = 0 + η fh tn. H f H = η ηf = η H Con las msmas condcones anterores odemos decr que el dagrama cnemátco es en una determnada escala la línea de nfluenca buscada. 6.. ÍNE DE INFUENCI DE ESFUERZO DE CORTE C η R P = H H C ara el esfuerzo de corte Q H elmnamos un vínculo al ntroducr en H-H un mecnsmo como el sguente: Q H Q H H η Q H + Q H η QH lcando el P.T.V.: Q H. H tn. η = 0 tn. Q H = η η H QH = η

3 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 6.. ÍNE DE INFUENCI DE ESFUERZO NOR C R η NH a l α a H ' N H x N H H H a cos α l P η C RC C En este caso se ntroduce un mecansmo que no transmte esfuerzos normales: Se ued en halla r los centros de rotacón, y el delazamento de H en la dreccón de N H or alcacón del P.T.V. y la teoría de Cadena Cnemátca. nalcémoslo aeste caso en forma analítca, que ermte una buena vsualzacón del roblema: ( l x) x R = t * = t l l ara P = t entre 0 x a = t R cos N H ( ) α x x = 0 N H = t * cos α l x = a ara P = t entre a x l = R cos α N H N H = 0 N H = a cos α l a ( ) cos α x x = a N H = cos α N = α l H t cos l x = l N H = 0 étodos análogos a los roblemas sostátcos aarecen en los casos herestátcos, con algunas varantes. Desarrollaremos alguno de estos métodos en los róxmos untos ÍNE DE INFUENCI EN SISTES HIPERESTÁTICOS nalcemos or dstntos métodos, una vga contnua de cuatro tramos (grado de herestatcdad) N H Traccón ÉTODO POR PUNTOS Es un método cuya exlcacón es nmedata, basada en la alcacón de la defncón de. de I. Suongamos que la de I del omento flector en - (η f ). Dvdamos cada tramo de la vga en artes guales (cuyo largo deenderá de la recsón requerda) que en nuestro caso es gual a 6 artes. N H ' ' ' ' 4' 5' 6' ' 8' 4'

4 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 4 Coloquemos P = tn en el unto. Calculamos el f ara esa carga (η ) y al valor (en una determnada escala) lo dbujamos debajo del unto ('). Corremos P = tn al unto. Calculamos el f ara esa carga (η ) y al valor lo dbujamos debajo del unto ('), y así sucesvamente ara todos los untos (, 4,...,, 4). Unmos los untos 0', ', '..., ', 4' medante curvas o olgonales, y or la forma de su construccón esta curva o olgonal es la de I buscada (η f ). El método uede ser largo, según el número de untos elegdos, ues ara cada uno es necesaro resolver un herestátco. Dchos cálculos se ueden facltar con la utlzacón de comutadora, utlzacón de la matrz ara los dstntos estados de carga, o la utlzacón de condcones de smetría, s la estructura fuera smétrca ÉTODO DE ÜER-RESU (lcacón de ett - axwell) a ínea de nfluenca de deformacones Sea la vga de la fgura, y queremos calcular ηϕ (ínea de Influenca de la rotacón del nudo ). Para ello alcamos en el nudo la carga corresondente con la deformacón cuya de I se busca, en este caso un momento untaro =. = C D E f η η ϕ P = (elástca) ϕ Resolvemos la vga y con las solctacones hallamos la elástca ara ese estado de cargas. Demostraremos que esta elástca es la de I de la rotacón ϕ (η ϕ ). Para ello alcamos P = en un unto genérco, hallamos la elástca y la rotacón ϕ ara este estado de carga. lcamos el teorema de axwell entre estos dos estados de carga:. ϕ = P. η ; sendo = tnm y P = tn tm ϕ =. η tnm ϕ = η. [ Escala de.de I. ] = ηϕ Es decr que en una escala determnada, la rmer elástca reresenta ϕ ara cada unto, o sea es su ínea de Influenca. 4

5 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 5 P* = C D Como un segundo ejemlo analcemos en la sguente vga la de I del descenso en el unto D f η δd (elástca) η P = C D (η δd ). Sguendo los msmos asos, alco en D la carga P*=, corresondente con δ D. lcar P = en el unto, hallo la elástca, δ D y or el teorema de axwell: P * δ D δ = D P. = η η [ Escala de.de I] = η D δ (elástca) δ D b ínea de nfluenca de una Reaccón C D E R P* = η R η (elástca) Deseamos la. de I. de la reaccón R (η R ). Elmnamos el aoyo y alcamos en ese unto una carga P* =. Hallamos las solctacones y la elástca, que demostramos es la. de I. De R (η R ). P = R C D E = 0 (elástca) 5

6 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 6 lcamos ahora un segundo estado de cargas P = en un unto, junto con el verdadero valor de la reaccón R ara esta carga, or lo cual el descenso debe ser gual a cero. lcando el teorema de axwell: tn P *. = R. + P. η = 0 R = η R = η [ Esc.de.de I. ] = ηr c ínea de nfluenca de una Solctacón P = η η f (elástca) = f ϕ = 0 (elástca) Sea la vga con una seccón - en la cual queremos la. de I. del momento flector en ( η f ). En elmnamos el vínculo que resste el momento flector, es decr colocamos una artculacón, y además alcamos un ar de momentos =. Hallamos las solctacones y la elástca, que demostraremos es la. de I. η f. Para ello alcamos en un unto genérco una carga P = y el valor del verdadero f que corresonde a la vga orgnal ara dcha carga. a vga con la carga P = y f se comortará como la orgnal, que or no tener en una artculacón, no sufrrá en dcho unto una rotacón relatva y or lo tanto ϕ = 0. lcando el Teorema de axwell: tn. ϕ = P. η f. = 0 f = η f = η [ Esc.de.de I. ] = ηf Veamos ahora en la msma seccón la. de I. del esfuerzo de corte Q (η Q ). lcamos en el Q = mecansmo de 6.., con un ar de Q =. Hallamos las solctacones y la elástca será la. de I. buscada (η Q ). lco P = en y en el verdadero Q = valor de Q con lo cual el deslazamento η Q relatvo normal al eje de la barra en la η seccón será nulo ( = 0). (elástca) lcando el Teorema de axwell: P = Q Q*. = P. η Q. = 0 tn Q = η Q Q = η [ Esc.de.de I. ] = ηq (elástca) = d ínea de Influenca or sueroscón de efectos (atrz ) 6

7 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 7 Para arender este método vamos a trabajar con una vga contnua que osee cuatro tramos, o sea con tres ncógntas herestátcas ; en forma genérca dcamos que esa vga tene un aoyo fjo y los demás X X X móvles. Por el método de las fuerzas, en funcón del sostátco fundamental adotado, en una seccón genérca, el momento vene dado or la exresón: = + X + X + X 0 S quséramos conocer η de cargas. Ellos son: 0, X, X y X. Será entonces: η = η 0 X X, deberíamos dentfcar en la exresón que factores deenden del estado X Para obtener las líneas de nfluenca de las ncógntas herestátcas utlzamos las roedades de los coefcentes vstos en el Caítulo en el tema de atrz. Recordemos que: 0 X = δ0 + δ δ n0 n = n j= donde X : ncógnta herestátca δ j0 : térmno que deende de las cargas exterores. j = j : coefcente ndeendente de las cargas exterores. S queremos la línea de nfluenca η X en nuestra vga ηx = ηδ... 0 δ0 δ0 nalcemos or etaas las dstntas. de I. que ueden aarecer en nuestra estructura 4 X = P X X X P= δ 0 δ 0 δ j0 j η δ0 ínea de nfluenca del térmno δ j0 Defnmos el sostátco fundamental con las ncógntas X, X, X (momento en los aoyos ntermedos) alcando artculacón en los aoyos, y. arecen los δ j0, rotacones relatvas en el aoyo j (corrmentos corresondentes con X j ). De acuerdo con a ara la X = η δ0. de I. de δ 0 (η δ0 ) debo calcular la elástca ara la carga X =. En X = 7 η δ0

8 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 8 forma smlar se rocede ara η δ0 y η δ0. ínea de nfluenca de una ncógnta X η X η X De acuerdo con lo vsto: η η = η X δ 0 δ0 δ0 η = η X δ0 δ0 δ0 = η X δ 0 δ0 δ0 η X Donde los dagramas η X, η X y η X son combnacones lneales de los η δ0, η δ0, y η δ0. ínea de nfluenca de una solctacón (f) η η f = 0 resectvamente. : línea de nfluenca del f del herestátco. Hallaremos la. de I. del momento flector en el unto ( η f ) del herestátco. Sabemos del Catulo II: f = 0 + X + X + X y or lo tanto será: η = η η X η X η X f η f 0 X X Donde serán: η :. de I del en el 0 X sostátco fundamental η X, η X y η X :. de I de la ncógntas herestátcas ( X, X y X ), y : omento en seccón del sostátco ara cargas X = ; X = ; X =, nálss smlares se ueden realzar ara las reaccones de aoyo, los esfuerzos N y Q o deformacones DIGRS ENVOVENTES SOICITCIONES ÁXIS Y ÍNIS Como ya hemos vsto, el dagrama de íneas de Influenca, nos srve ara calcular una Reaccón, Deformacón o Solctacón ara una carga o el estado de cargas dado, ero tambén ara alcar la carga 8

9 η R c () ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 9 en el lugar que roduzca un efecto máxmo (o mínmo) y or lo tanto osblta el estudo de las condcones más desfavorables. a ubcacón de las cargas en determnados lugares, nos dará entonces las solctacones más desfavorables, ara las cuales debemos dmensonar o verfcar las seccones. Con las solctacones máxmas y mínmas en dstntas seccones crítcas (o en todas las seccones) obtendremos "dagramas envolventes" con técncas que deenderán del to de estructura y del to de carga a alcar. Daremos una ntroduccón al tema con vgas sencllas y consderando cargas ermanentes (g) y cargas móvles unformemente reartdas (). Cargas untuales P deben ser tratadas en forma esecal ero con técncas smlares, y su tratamento se encuentra en la amla bblografía sobre el tema ESTRUCTUR ISOSTÁTIC a b v R R v x η R () (4) () d a) ínea de Influenca de Reaccones: ( x) x η R = = C ( + v ) v con η R = = + η η R = R = 0 η d R = v Para R max () + v R max = + v = + v Para R mn () v R mn =.v. = v x R = η 0 ; η R = R = c R v d η = ; η = R max = + v R mn = v ( ) ( ) v R + ( ) v / a b = ( - a) b/ -a/ (5) (6) b) ínea de Influenca del Esfuerzo de Corte (Q ): sea la seccón, ara x = a, con Q 0 x x < a Q = R = x x > a Q = R = Q max = ( v + b ) (5) 9

10 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 0 ( a ) Q mn = + v (6) c) ínea de Influenca del omento Flector -v * b/ (f ), con f 0, fbra tracconada abajo. a*b/ x a*b/ x < a f = R.b = b ( x) x > a f = R.a = a (7) a.b f max = (7) (8) (8) f mn = ( v.b + v.a ) (8) Dado que a y b son funcones de a (coordenadas de ), la funcón f max es cuadrátca en a y dervable con la cual odemos hallar el unto que nos da el máxmo f max. df max d = a ( a) = [( a) a] = ( a) = 0 a da da = Punto medo del tramo donde será:. f max = = DIGR ENVOVENTE ' Carga accdental ' "' " "' " Carga ermanente g Dagrama de Envolvente (g + ) a) Esfuerzo de corte Q: Q max = v + a ( ( ) ) a = 0 Q max ( v + ) a = max ( v ) Q mn = ( a + v ) a = 0 Q mn ( v ) a = Q ( + v ) = ' Q = ' = " mn = " En los voladzos: a = 0 Q mn = v "' a = Q max = v '" S al dagrama de carga móvl le agregamos el dagrama de corte Q, ara la carga ermanente g, se obtene el dagrama fnal envolvente con los Q max y los Q mn en todas las seccones de la vga. 0

11 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág b) omento Flector f Carga accdental.v. 8.v f mn f max El dagrama de envolvente ara una carga es de nmedata deduccón, al gual que la carga g ermanente. El dagrama envolvente fnal ara f mn y f max serán debdo a las cargas: f mn : Voladzos: g + Tramo: g f max : Voladzos: g Tramo: g + Dagrama envolvente ( + g) g.v Carga ermanente g g.v g. 8 g. 8 (+ g) v f mn (+ g) v. 8 f max ESTRUCTUR HIPERESTÁTIC nalcemos la vga contnua de la fgura, y estudemos en funcón de las líneas de nfluenca los estados de carga ara que se den solctacones máxmas y mínmas. En el tramo C y en el aoyo C. a) ínea de Influenca f C D E Seccón en tramo C Seccón en aoyo C b) ínea de Influenca Q Seccón en tramo C Seccón en aoyo C (zq.) Seccón en aoyo C (der.)

12 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág DIGR ENVOVENTE as cargas a alcar ara esfuerzos máxmos o mínmos en los dstntos casos son los sguentes: a) omentos Flectores Seccón en tramo C f max f mn Seccón en aoyo C f max f mn b) Esfuerzos de Corte Seccón en tramo C Q max Q mn Seccón en aoyo C (zq.) Q max Q mn Seccón en aoyo C (der.) Q max Q mn En los casos vstos se deben adconar a las cargas las cargas ermanentes g (eso roo, etc.). Por últmo a modo de ejemlo ntentaremos exlctar que ocurrría con los dagramas envolventes de los momentos flectores ara la vga de cuatro tramos smétrca, hacendo la salvedad de que los msmos son una aroxmacón docente.

13 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág g -,07 -,07-0,7 C D E -0,54-0,6-0,5 ax. - ax. CD n. C - n. DC -,0-0,9-0,58 ax. -0,5-0,54-0,6 4 ax. C - ax. DE n. - n. CD -,07-0,6-0,6 5 ax. C -0,54-0,49 0, 6 n. -0,7-0,7 0,0 7 n. C

14 ESTIIDD III CPITUO VI: INES DE INFUENCI Pág 4 4 -,0 Envolvente de -, ,0 0,6 4 0,07 0, 4 Envolvente de + g -,7 -,78 -,7-0,94-0,4-0,94 4