ANEXO B: EXACTITUD Y PRECISIÓN ESTRATIFICACIÓN Y OTROS TÓPICOS

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1 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres ANEXO B: EXACIUD Y PRECISIÓN ESRAIFICACIÓN Y OROS ÓPICOS I.- EXACIUD Y PRECISIÓN Al recolar datos, la cantdad de cfras de éstos estará en funcón del uso que se le ense dar. Por ejemlo al recolar datos sobre la vda útl de focos de luz, es acetable regstrar un valor de 995,6 oras; sn embargo, regstrar un valor de 995,63 oras resulta excesvamente exacto ero nnecesaro. Asmsmo la esecfcacón de una llave establece como límte nferor 9,5 mm. (0,375 ulgadas) y un límte sueror de 9,58 mm. (0,77 ulgadas); al recolectar datos se deben consderar asta al 0,00 mm. más cercano y redondearlo al valor de 0,0 más cercano. En general, cuantas más cfras aya a la dereca del unto decmal, más comlejo deberá ser el nstrumento de medcón utlzado. En mucas ocasones no es osble tener medcones fdedgnas debdo a roblemas de dversa índole roos de los datos que se están analzando, or ejemlo, en el caso de utlzar nstrumentos de medcón mecáncos: éstos se ueden descalbrar (or uso y falta de control); mal manejo de los aaratos; nadecuada nstalacón de éstos, etc. Mayor es el roblema cuando el nstrumento de medcón deende necesaramente de crteros o factores umanos, ues la subjetvdad roa del ser semre afecta las medcones. En este sentdo, en la toma de datos se deben tener resentes dos concetos báscos mortantes y dferentes, que son la exacttud y recsón de la medcón. Partcularmente cuando la oblacón en estudo esta claramente estratfcada, éstos concetos son de gran utldad en la comaracón de los estratos. La exacttud, esta relaconada con el grado de cercanía que tenen las medcones con resecto a un valor objetvo que no necesaramente debe ser el romedo, aunque sea este últmo una buena medda ara medr la exacttud del estrato. La recsón de las medcones esta relaconada con el grado de dsersón resente en los datos recolados. Estos concetos se ueden arecar esquemátcamente en la sguente fgura. De estos concetos se deben desrender dos asectos mortantes. El rmero es que no se uede ablar de exacttud y recsón en datos que no sean v

2 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres cuanttatvos. S ben es certo en el asado se defneron meddas como la desvacón modal, no es sensato determnar ésta en datos ordnales o nomnales, ues las característcas que cumlen estos datos no son de dstanca, or tanto dfíclmente se odría ablar de dsersón. El segundo, es que cuando se abla de la recsón en las medcones, es decr, la dsersón de resente éstas, ero dsersón resecto a que? comúnmente la varanza es una buena medda, sn embargo, dado que se está en una oblacón estratfcada, no sería extraño en nngún caso que se obtengan romedos dstntos en cada estrato, or lo tanto s la dsersón es dstnta en cada estrato, no abría de extrañarse que la varanza tambén sea dstnta en cada estrato. En este sentdo una medda de varabldad de gran uso y utldad en la comaracón de oblacones o suboblacones en el caso de estratos, está dada or el coefcente de varacón (CV), que ndca la magntud relatva de la desvacón estándar con resecto a la meda de la dstrbucón. La fórmula de cálculo se exresa or: Poblacón CV µ σ Muestra CV x s A PLICACIÓN : Para accones de emresas de la ndustra electrónca, el reco romedo de cerre en el mercado de valores durante un mes fue, ara la accón A, de $5.000, con desvacón estándar de $500. Para la accón B, el reco romedo fue de $5.000, con desvacón estándar de $300. Hacendo una comaracón absoluta resultó ser sueror la varabldad en el reco de la accón A, debdo a que muestra una mayor desvacón estándar. Pero con resecto al nvel de recos, deben comararse los resectvos coefcentes de varacón: CV (A) 0,033 y CV(B) 0, Puede conclurse que el reco de la accón B a sdo cas veces más varable que la accón A (entonces más resgosa?). Nota: El coefcente de varacón ermte comarar oblacones aunque estén en dstntas undades. Sn embargo en mucas ocasones se a menconado que la meda como la desvacón estándar no son buenos ndcadores de tendenca central y dsersón, ues ante la resenca de datos extremes estos son fuertemente nfluencados. En estas stuacones es útl, un ndcador resstente (robusto) a la resenca de datos extremos conocdo como coefcente de varacón robusto (CVR), el cual se conforma a traves de los cuarteles uno y tres, y es reresentados or: Q3 Q CVR Q + Q 3 v

3 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres Este ndcador en mucas ocasones requerdo ara la comaracón de la varabldad de los datos en el centro de estos, dado que la resenca de datos extremadamente grandes o equeños, se encuentran en los extremos y no son caturados or los cuarteles centrales. A PLICACIÓN : Se toman dos muestras de materales fabrcados con tos dstntos de acero ara analzar la resstenca a la rutura. Los sguentes gráfcos resumen los temos máxmos que soortan dcos materales antes de fragmentarse, cuando son sometdos a la tensón: 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 Acero o I 0,0 0,30 0,5 0,5 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 Acero o II 0,50 0,5 0,0 0,05 0, Restenca [ua] 0, Resstenca [ua] Claramente se uede arecar que la dstrbucón de los datos dentro del rango de la tabla no es dstnta ara ambos tos de acero, es más se uede observar una clara smetría ostva en el acero to. Los cálculos de las meddas utlzadas ara el coefcente de varacón y el coefcente de varacón robusto son: x 0,60 s 4,779 CV 45,08% x 8,00 s 3,899 CV 48,74% Q 7,00 Q 3 4,40 CVR 34,58% Q 5,0 Q 3 0,40 CVR 33,33% Claramente se uede arecar que la resenca de los datos extremos afectan la comaracón de la varabldad y varabldad relatva, al analzar la dsersón de ambos tos de acero, ncluso al tener resultados contradctoros entre el CV y el CVR, determnado osterormente. En mucas ocasones se desea obtener la recsón medante la dsersón de las medcones resecto a un valor objetvo, artcularmente en control de caldad no es de nterés comarar los resultados de las medcones resecto a las tradcones meddas de tendenca central, sno resecto a un estándar ofrecdo or esecfcacón, or ejemlo, eso neto de un roducto. Una medda de varabldad drecta ara la comaracón de las oblacones o estratos en cuestón resecto a este valor objetvo, v

4 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres generalmente conocdo como un valor target, es reresentada or la desvacón objetvo, la cual es exresada or: t n S ( x t) n t valor Objetvo Se utlza con mayor frecuenca la raíz cuadrada de ésta, reresentada or S t. A PLICACIÓN 3: A fn de controlar la caldad de un artcular to de lo roducdo en sere, los ngeneros de control de caldad toman una muestras al azar de tamaño 7, corresondentes a cada uno de los cuatro turnos que los oeraros realzan y se mde la resstenca a la tensón [en lbras], cuyos datos se muestran a contnuacón. Se tene que la meda or esecfcacones debe ser de 48.0 [lbras]. Observacón urno urno urno urno En la sguente tabla se muestran algunas meddas de resumen de cada turno asocado al roblema antes exuesto. En ésta sn duda alguna se uede observar que la exacttud del turno 3 es el más adecuado. otalmente dscutble sería dscutr la solucón al roblema de la nexacttud de los otros turnos, algunos ueden dar referenca en mejorar la exacttud del turno or estar éste aberrantemente alejado del valor objetvo. Sn embargo, otros referrían mejorar en rmera nstanca los turno más cercanos, ero cual, el turno que se encuentra más cerca y no cumle con los requstos de resstenca, or lo cuál no es un buen roducto, o ben el turno 4 que se encuentra más alejado que el turno del valor objetvo, ero con la característca esecal que éste resste más de lo esecfcado (con un resectvo costo de or medo). Observacón Meda Desvacón Coefcente de estándar varacón S t urno 47,7,50 5,3%,33 urno 43,86,35 3,07% 4,34 urno 3 48,00 4,43 9,4% 4, urno 4 49,4,95 3,97%,3 Aora ben cuando se entra a dscutr la recsón de la resstenca de los los el roblema es más agudo, ues el coefcente de varacón nos resenta una alternatva bastante dstnta de S t. Luego cuál turno es el más reocuante y el v

5 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres menos reocuante? la resuesta deende de los requermentos de mortanca que asgne el encargado de control de caldad (escala de necesdades de éste). II.- MEDIA Y VARIANZA PONDERADA Como se observó en los casos anterores cuando la varable de estudo está claramente dvdda en estratos, y en cada uno de éstos se ueden obtener meddas de tendenca central y dsersón (exacttud y recsón), o ben cuando se tene nformacón (meddas de resumen) sólo de los estratos or searado y no se cuenta con los datos (ver fgura), buenas meddas de resumen de la oblacón total que se obtenen de resúmenes anterores de la oblacón (medas y desvacones estándar de cada estrato) son la meda y varanza total, tambén llamadas meda y varanza onderada..- La Meda Ponderada: La meda onderada o romedo onderado es una meda artmétca, en la cual se consdera a cada uno de los valores de acuerdo con su mortanca en el gruo. Las fórmulas ara la meda onderada oblaconal y muestral son déntcas y están dadas or: µ µ x x v

6 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres donde la mortanca del gruo en la oblacón total está dada or los esos exresados or, que generalmente se escogen de acuerdo al tamaño del gruo. A PLICACIÓN 4: En una comañía que maneja 4 roductos, los márgenes de utldad corresondentes a cada uno de ellos durante el año fscal anteror fueron: Producto A, 4,%; Producto B, 5,5%; roducto C, 7,4%; y roducto D, 0,%. El margen de utldad romedo, no onderado, es: 7, µ 4 6, 8% Sn embargo, este romedo no onderado es ncorrecto orque se venderon cantdades dstntas de los 4 roductos. Suonendo los totales de ventas y margen de utldad que aarecen en la abla sguente, se encuentra que el romedo onderado descrbe en forma correcta el romedo global. Producto Margen de utldades (%) Ventas () X A 4, $ $ B 5,5 $ $ C 7,4 $ $ D 0, $ $ µ µ ,% De manera análoga se uede obtener una onderacón de acuerdo a las ventas or roducto, obtenéndose déntco resultado. Producto Margen de utldades (%) Ventas () A 4, $ ,573 B 5,5 $ ,3448 C 7,4 $ ,086 D 0, $ ,057 S se consderan los datos del Alcacón 3, donde la onderacón de acuerdo x

7 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres a la muestra tomada en cada estrato se uede ercbr que el romedo onderado es gual al romedo artmétco de las cuatro medas de los turnos como se observa a contnuacón. Estrato amaño Muestra Ponderacón Meda urno 7 7/8 47,7 urno 7 7/8 43,86 urno 3 7 7/8 48,00 urno 4 7 7/8 49,4 4 x 47,8 [Lbras] 4 x 4 x 47.8 x 47,8 [Lbras] La Varanza Ponderada: La varanza onderada es una varanza descomuesta y onderada, en la cual se consdera a cada una de las meddas de dsersón de los estratos de acuerdo con su mortanca en el gruo, además de una descomoscón de la varabldad debdo a la varabldad roa del estrato, tambén llamada varabldad dentro o Intra, y una varabldad roa entre los estratos, tambén llamada varabldad entre o Inter. Las fórmulas ara la varanza onderada oblaconal y muestral son déntcas y están dadas or: σ σ + ( µ µ ) S s + ( x x ) donde: σ ó s Reresenta la varabldad Dentro. ( µ µ ) ó ( x x ) Reresenta la varabldad Entre. Por esta descomoscón de la varabldad total, se ueden obtener los orcentajes de varabldad debdo a la varabldad roa de los estratos y a la varabldad roa de la estratfcacón qué orcentaje debe ser el mayor? la resuesta, deende del roblema que se este estudando. x

8 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres Consderando las meddas de resumen del ejemlo resstenca de los los en lbras se obtene que el mayor aorte (en orcentaje) a la varabldad esta dada or la varabldad roa de la resstenca de los los. Ésto es bueno o malo? Estrato amaño Muestra Ponderacón Meda Varanzas urno 7 7/8 47,7 [,50] urno 7 7/8 43,86 [,35] urno 3 7 7/8 48,00 [4,43] urno 4 7 7/8 49,4 [,95] S Dentro + Entre S 7,88 + 3,963 S,844 [lbras] Dentro 66,5% Entre 33,5% Aora ben, s consderando las meddas de resumen del ejemlo 4 Margen de utldad y volumen de ventas ara 4 roductos se obtene que el mayor aorte (en orcentaje) a la varabldad esta dada or la varabldad roa del margen de utldad. Ésto es bueno o malo?, Es razonable?. Producto Margen de utldades (%) Ventas () Varanza (%) P A 4, $ ,0 0,573 B 5,5 $ ,0 0,3448 C 7,4 $ ,85 0,086 D 0, $ ,08 0,057 S Dentro + Entre S 4,934 +,06 S 7,40 [%] Dentro 69,% Entre 30,9% III.- CAMBIOS DE ESCALA (VALORES ESÁNDARIZADOS) Otras de las técncas muy utlzadas en la comaracón de estratos está dada or la determnacón de los valores estandarzados de la medda de tendenca central utlzada ara medr exacttud cada una de las oblacones o suboblacones x

9 Unversdad écnca Federco Santa María Deartamento de Matemátca Renato Allende Olvares Humberto Vllalobos orres (estratos). El objetvo de esta estandarzacón, es realzar un cambo de escala en las meddas de resumen de cada estrato con el fn artcular de medr y comarar la exacttud y recsón de éstos. Se entenderá or estandarzacón a la transformacón que cumle con: restar a cada medda de tendenca de una suboblacón la meda general y a esta dferenca dvde or la desvacón estándar general. Esta transformacón es exresada or: z x s x donde z, reresenta la transformacón de la -ésma medda de tendenca (notar que se utlzó el romedo, ero no tene orque ser éste) resecto de la oblacón total. A PLICACIÓN 4: Una mortante multtenda está nteresado en la demanda anual de certos artefactos. Para esto se selecconaron al azar algunos meses en tres tendas, en la cuales se obtuvo que la demanda mensual de los artefactos fueron: Demanda Multtenda Promedo 70,00 76,87 76,93 Desvacón 8,3,53 34,33 C.V. 5,90% 6,3% 44,6% z -0,979 0,0975 0,004 x