68 EJERCICIOS de FUNCIONES

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1 68 EJERCICIOS de FUNCIONES Concepto de función:. Dada f () =, se pide: a) Razonar que se trata de una función. b) Calcular f(4), f(), f(0), f(-9), f(/4), f() y f( ). Ídem para f()=+ c) Hallar la antiimagen de, de 5 y de -4 d) Razonar cuál es su Dom(f) e Im(f). Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuesta): a) b) c) d) 4. Cuál es el Dom(f) e Im(f) de cada una de estas funciones?: a) b) c) De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribir el área del octógono que resulta, en función de (Sol: A()=6- ) b) Cuál es el dominio y recorrido de esa función? (Sol: Dom(f)=[0,]; Im(f)=[8,6]) 4 cm Gráfica de una función: 6. Para cada una de las funciones que figuran a continuación se pide: i) Tabla de valores apropiada y representación gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) a la vista de la gráfica. iii) lim f() y lim f() a) f()=+5 b) f()= -4+ vértice? c) f()= d) f()= 4 e) f()= f) f() = 9 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

2 g) h) f() = asíntotas? lim f() y lim f()? f() = asíntotas? lim f() y lim f()? - + i) f() = asíntotas? + Cálculo del Dom(f): 7. Obtener analíticamente, de forma razonada, el Dom(f) de las funciones del ejercicio anterior, comprobando que se obtiene el mismo resultado que gráficamente. 8. Sin necesidad de representarlas, hallar analíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones: a) b) c) f() = + + f() = f() = 8 d) f() = 4 e) f() = 6 f) f() = + 6 g) f() = + 5 h) f() = + 5 i) f() = 5 j) f() = 4 k) f() = 9 l) f() = + 8 m) f() = n) o) p) q) f() = f() = 6 + ( ) + f() = 6 f() = r) s) t) u) f() = + 4 f() = f() = + + f() = v) f() = + + w) + f() = 4 (Sol: a) IR; b) IR-[-5}; c) IR-{-,4}; d) IR-{0,4}; e) IR-[±4}; f) IR; g) [-5, ); h) (-5, ); i) [5/, ); j) (-,4]; k) (-,-]U[, ); l) (-,-4]U[, ); m) IR; n) (-4,0]U(4, ); o) IR-{/}; p) [-,-)U(, ); q) (4, ); r) IR; s) (-,)U(, ); t) IR-{-}; u) IR; v) IR; w) IR-{±}) Propiedades que se deducen de la gráfica de una función: 9. A la vista de sus gráficas, indicar la continuidad de las funciones del ejercicio A la vista de sus gráficas, indicar los intervalos de crecimiento y los posibles M y m de las funciones del ejercicio 6.. Hallar analíticamente los posibles puntos de corte con los ejes de las funciones del ejercicio 6, y comprobar que lo obtenido coincide con la gráfica.. Hallar los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones (en el caso de las cuatro primeras, dibujar además, únicamente con esa información, la gráfica): a) 6 b) f() = + c) f() = + + d) f() = e) 4 + f) f() = + 4 g) f() = + 4 h) i) = y j) f() = + k) + 9 l) f() = m) n) f() = o) f() = 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

3 p) q) f() = r) f() = (Sol: a) (,0),(0,-6); b) (-,0),(,0),(0,-); c) (0,); d) (0,0),(,0); e) (-,0),(,0),(0,-); f) (-,0),(0,); g) (0,4); h) (-4,0),(0,); i) (,0),(-,0),(0,); j) (-,0),(,0); k) (0,); l) (,0),(,0),(,0),(0,-6); m) (0,); n) (0,-); o) (-,0),(,0),(0,-)). Hallar analíticamente la posible simetría de las funciones del ejercicio 6, y comprobar que lo obtenido coincide con la gráfica. 4. Hallar la posible simetría de las siguientes funciones: 4 a) f() = b) f() = c) f() = 4 d) f() = e) f() = 5 f) f() = g) h) i) + f() = + + j) k) l) f() = + 6 f() = 5 m) n) o) 5 + f() = (Sol: a) par; b) impar; c) par; d) no simétrica; e) no simétrica; f) impar; g) par; h) impar; i) impar; j) par; k) impar; l) no simétrica; m) no simétrica; n) no simétrica; o) no simétrica) 5. a) Una función puede ser simétrica par e impar al mismo tiempo? Razonar la respuesta. b) Demostrar que toda función impar definida en el origen necesariamente pasa por éste 6. Estudiar los puntos de corte con los ejes y la simetría de las siguientes funciones: a) 4 f() = b) + + c) + 4 d) 9 = e) + y f() = Estudio completo de una función (I): 7. Dada f()= - se pide: i) Dom(f) ii) Posible simetría. iii) Posibles cortes con los ejes. iv) Tabla de valores apropiada y representación gráfica. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m. vi) Es continua? vii) A la vista de la gráfica, indicar su Im(f) viii) Ecuación de las posibles asíntotas. i) lim f() y lim f() ) Hallar la antiimagen de y= Ídem para: a) f()= - Antiimagen de y= b) + Antiimagen de y= c) y= 4 - Antiimagen de y=-/ d) + Antiimagen de y=4/5 e) f()= - Antiimagen de y=- f) f() = + Antiimagen de y= g) y=- + Antiimagen de y=- h) i) j) k) l) f() = Antiimagen de y=-/ f() = Antiimagen de y=- = Antiimagen de y=-/ + + y = Antiimagen de y=-/ + y Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

4 m) 4 ( ) o) + 5 Antiimagen de y=-6 n) Transformaciones de funciones: 9. Completar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo): FUNCIÓN ORIGINAL TIPO DE TRANSFORMACIÓN FUNCIÓN TRANSFORMADA RESULTADO TRASLACIÓN hacia ARRIBA f()±k y= +4 TRASLACIONES y= - TRASLACIÓN hacia ABAJO TRASLACIÓN hacia la DERECHA f(±k) y=(-) TRASLACIÓN hacia la IZQUIERDA y= y=(+) CONTRACCIONES o EXPANSIONES y= CONTRACCIÓN EXPANSIÓN (Refleión +) CONTRACCIÓN y=- Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

5 REFLEXIÓN respecto al EJE X 4 y= -4+4 REFLEXIONES y=-( -4+4)= REFLEXIÓN respecto al EJE Y y=(-) -4(-)+4= a) A partir de la gráfica de f() =, representar las gráficas de f() = +, ( ) f() = +, f() = y ( ) f() = (cada una en distintos ejes), indicando el nombre de la transformación obtenida. b) Ídem con f() = + y las funciones f() = +, f() = ( + ) y f() = + c) Ídem con f() = y las funciones f() = y f() = Ejercicios de rectas:. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(,) y B(,7). Representarla gráficamente. Comprobar gráficamente su pendiente y ordenada en el origen. (Soluc: y=+). Ídem para: a) A(,-) y B(4,8) (Soluc: y=-4) b) A(-,4) y B(,) (Soluc: y=-+) c) A(-4,-) y B(,-4) (Soluc: y=-/-) d) A(-,-) y B(,-7) (Soluc: --) e) A(,) y B(-6,-) (Soluc: y=/) f) A(,) y (,7) (Soluc: y=-). Hallar, razonadamente, la ecuación de las siguientes rectas: a) b) c) d) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

6 (Soluc: a) y=+4; b) y=-+; c) y=-; d) y=-+7) 4. Dada la recta de la figura, se pide: a) Hallar su epresión analítica. (Soluc: y=-+7) b) Comprobar gráficamente el valor de la pendiente obtenido en el apartado anterior. c) Deducir, analíticamente, dónde corta a los ejes. 5. Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de la tabla: Altura (m) Temperatura (ºC) ,5 a) Representar la temperatura en función de la altura. b) Obtener su epresión algebraica. (Soluc: y=-/80+0) c) A partir de qué altura la temperatura será menor de 0ºC? (Soluc: =800 m) Ejercicios de parábolas: 6. Representar sobre los mismos ejes las siguientes parábolas. Qué conclusiones podemos etraer?: a) y= b) y= c) y= / d) y=- e) y=-4 7. Dadas las siguientes parábolas, hallar: i) Vértice. ii) Posibles puntos de corte con los ejes. iii) Representación gráfica. a) y= -6+8 i) y= +- q) y=(+5) -8 y) y=- -6+ b) y= -- j) y= -4 r) y=(-) -8 z) y= -+ c) y=- -4- k) y= +4 s) y=(-5) +8 α) y= -6+5 d) y= -4+7 e) y= -6 f) y= ++ g) y= +5+8 h) y=- -- l) y= +4+5 m) y= +4+ n) y= o) y= +4+6 p) y=- - t) y=-(-) +8 u) ( + ) 5 v) y= -+ w) y= -4+ ) y= -8+6 β) y= + 4 γ) y= -0+8 δ) ε) y= a) Se sabe que la función y=a +b+c pasa por los puntos (,), (0,0) y (-,). Calcular a, b y c. (Soluc: y= ) b) Ídem para los puntos (,4), (0,-) y (,5) (Soluc: y= +-) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

7 9. Una función cuadrática tiene una epresión de la forma y=a +a+a y pasa por el punto P(,9). Calcular el valor de a. Cuál sería su vértice? 0. Calcular b para que la parábola y= +b+ pase por el punto P(,-). Cuál sería su vértice?. Calcular m para que la parábola y= +m+0 tenga el vértice en el punto V(,). Cuáles son los puntos de corte con los ejes?. Cuánto debe valer k para que la parábola y=4-0+k tenga un solo punto de corte con el eje de abscisas? Para qué valores de k no cortará al eje?. La parábola y=a +b+c pasa por el origen de coordenadas. Cuánto valdrá c? Si además sabemos que pasa por los puntos (,) y (4,6), cómo calcularíamos a y b? Hallar a y b y representar la parábola. 4. Una parábola corta al eje de abscisas en los puntos = 5. La ordenada del vértice es y=-. Cuál es su ecuación? 5. Calcular la epresión de una función cuadrática cuya intersección con el eje son los puntos (,0) y (,0) 6. a) Una parábola tiene su vértice en el punto V(,) y pasa por P(0,). Hallar su ecuación. (Sol: y= -+) b) Ídem para la parábola de vértice V(-,) que pasa por P(,-) ( 8 Sol : ) 7. En cada apartado, representar las parábolas sobre los mismos ejes: a) y= b) y= c) A la vista de lo anterior, cómo sería la parábola y=(-4) y= +4 y=(-4) +5? Cuál es su vértice? y=(+5) y= -5 Hipérbolas. Función de proporcionalidad inversa: 8. Representar las siguientes hipérbolas: a) 4 b) + c) d) e) + 9. Supongamos que un pintor tarda 0 minutos en pintar él solo un muro. Es evidente que, por tanto, dos obreros trabajando a la vez tardarían 60 minutos, y así sucesivamente. Con estos datos, se pide: a) Completar la siguiente tabla: nº de pintores tiempo empleado en pintar el muro (en minutos 0 60 b) Cuál es la epresión algebraica de la función correspondiente? c) Representarla gráficamente. Qué pasa a medida que el número de pintores aumenta? Cómo se llama, por tanto, una función así? Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

8 d) Indicar otros tres ejemplos de situaciones de la vida real en las que se da una función de proporcionalidad inversa. 40. a) Hallar la ecuación de la función de proporcionalidad inversa que pasa por el punto (,5). b) Ídem para (,4) c) Ídem para (-5,) d) Ídem para (,-) (Soluc: a) y=5/; b) y=/; c) y=-5/; d) y=-/) 4. En la realización de un eperimento se han obtenido los valores de la tabla adjunta y 8 4 9, 7 5,6 4,6 4,5 a) Construir una gráfica. b) Se trata de una función de proporcionalidad inversa? c) En caso de ser así, hallar su fórmula (Sol: y=8/) Nº de obreros Días de trabajo tabla adjunta. 4. En una empresa constructora han realizado un estudio correspondiente a los días de trabajo necesarios para hacer una obra en función del número de obreros contratados, según muestra la a) Se puede ajustar la tabla a una función de proporcionalidad inversa? Por qué? b) En caso afirmativo, hallar su epresión algebraica y su gráfica. (Sol: y=800/) c) Cuántos obreros tendrán que contratar para hacer una obra en un plazo de dos semanas? (Sol: 58 obreros) Un depósito de 000 l se puede llenar con un sólo grifo en 0 horas En cuánto tiempo se llenarán dos grifos del mismo caudal? Y 4? Y 0? Construir una tabla y dibujar la gráfica correspondiente Cuál es su fórmula? (Sol: t=0/nº grifos) 44. Queremos encontrar todos los rectángulos que tengan por área 0 cm. Si llamamos b a la base y h a la altura del rectángulo, se pide: a) Obtener una relación entre b y h. b) Dibujar la gráfica de la función obtenida. 45. Representar la función f()=ent() Estudio completo de una función (II): 46. Dadas las siguientes funciones definidas a trozos se pide: i) Gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) iii) Posibles cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m. v) Continuidad. vi) Ecuación de las posibles asíntotas. vii) lim f() y lim f() viii) Responder, además, a las preguntas particulares de cada - apartado: a) f() = si [, ) si (,) f(), f() y f()? Antiimagen de y=? 5 si (4, ) 4 si (-,) b) f() = si [,4] Hallar la antiimagen de y=6 Hallar la antiimagen de y= Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

9 c) si < f() = si < si f() y f(-)? Antiimagen de y=? Antiimagen de y=-? k) si f() = + si < 5-8 si > 8 Hallar la antiimagen de y -8 d) 5 si f() = si = / si > f(), f(/), f() y f(-)? Antiimagen de y=? Antiimagen de y=? Antiimagen de y=8? si 5 < 0 e) f() = si 0 < + si f) g) ( ] / si, f() = si (, ) - si < 0 f() = si = 0 4 si > 0 h) si (,] i) j) f() = 4 si (, ) 5 si 0 5 f() = + si 0 < 0 si > + f(0) y f()? Qué tiene por imagen y=0? Qué tiene por imagen y=/? Qué tiene por imagen y=/? 0 si < 0 si 0 < f() = 4 si < 6 0 si > 6 Vértice de la parábola? f(-6), f(0)? + 4 si < l) f() = si < 0 si > Hallar la antiimagen de y= + 5 si m) f() = 4 + si < si > 4 Hallar la antiimagen de y=6 + 0 si 4 n) f() = + si 4 < / si > Hallar qué tiene por imagen si 0 o) f() = si 0 < < 4 si 4 Hallar la antiimagen de y=4 + 4 si p) f() = 6 si < 6 4 si > 6 Hallar la antiimagen de y=4 4 si (,) q) f() = si [,5] + 6 si (5, ) Cuáles son las antiimágenes de y 6? si < r) f() = 5 si < si Hallar la antiimagen de si < s) f() = si < si > 4 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

10 + 5 si < - t) f() = + si - < 5 si - Hallar la antiimagen de 47. Hallar la epresión analítica es decir, como función definida por ramas de las siguientes funciones: a) b) 48. Dadas las siguientes funciones valor absoluto se pide: i) Definición analítica por ramas. ii) Gráfica. iii) Dom(f) e Im(f) iv) Posibles cortes con los ejes. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M y m. vi) Continuidad. vii) lim f() y lim. f() - a) f() = b) f() = + c) f() = + 6 d) f() = e) f() = 4 + f) f() = 4 5 g) f() = 4 h) f() = 4+ 5 i) f() = - + j) f() = 4 k) f() = l) f() = 9 m) f() = + n) f() = + + o) f() = + 6 p) f() = q) f() = r) + si < f() = -6 si s) f() = +4+ si < ( ) si t) f() = + u) f() = t) f() = + + u) f() = A partir de la gráfica de f() =, representar sucesivamente (cada una en distintos ejes) f() = +, f() =, f() =, f() = y f() = Problemas de aplicación: 50. Una fotocopiadora cobra 5 cent por cada fotocopia, pero ofrece también un servicio de multicopia por el que cobra 50 cent por el cliché y 0,5 cent por cada copia de un mismo ejemplar. a) Obtener, para cada caso, la función que nos muestra lo que hay que pagar según el número de copias realizadas. b) Representar ambas funciones A partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista? c) Resolverlo analíticamente, mediante una inecuación. (Sol: b) A partir de 5 copias inclusive) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

11 5. Para fabricar un determinado producto hace falta un gasto inicial fijo de 000 más 50 por cada unidad producida. Se pide: a) Razonar que el coste por unidad de fabricación disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función b) Hacer la gráfica correspondiente Cuál es su Dom(f)? c) Cuál será el coste cuando el número de unidades se haga muy grande? (Sol: c) El coste tenderá a ser de 50 ) 5. En una academia de mecanografía han llegado a la conclusión de que el número de pulsaciones por minuto de un alumno promedio viene dado por la función ( + ) donde representa el número de clases recibidas. Se pide: a) Representarla gráficamente Cuál es su Dom(f)? b) Cuántas clases necesita un alumno para conseguir 00 pulsaciones? c) Según este modelo, un alumno podría llegar a tener más de 400 pulsaciones? Por qué? (Sol: b) A partir de 7 clases. c) NO) 5. En una fábrica de montajes se ha estimado que el número de montajes realizados por un aprendiz dependen de los días de prácticas, según la función: donde es el tiempo, en días. a) Cuántos montajes realizará el primer día? Y el día vigesimoquinto? b) Cuántos días tiene que practicar para superar los 60 montajes al día? c) Dibujar la gráfica de f() (Sol: a) 0 y 50 respectivamente b) Nunca) 54. Un técnico de una compañía ha calculado que los costes de producción (en ) de un determinado producto vienen dados por la siguiente epresión: C()= donde representa el número de unidades producidas. Por otra parte, cada unidad se vende al público a un precio de 50. a) Epresar, en función del número de artículos producidos, el beneficio y representarlo gráficamente. b) Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máimo? Cuál es ese beneficio? (Sol: b) 50 unidades; 500 ) 55. La dosis de un fármaco comienza con 0 mg y cada día debe aumentar mg hasta llegar a 0 mg. Debe seguir 5 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día. a) Representar la función que describe este enunciado y determinar su epresión analítica, como función definida por ramas. b) Indicar cuál es su dominio y recorrido. (Sol: b) Dom(f)=[0,5]; Im(f)=[0,0]) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

12 Resolución gráfica de problemas de optimización: 56. Con un listón de madera de 4 m de largo queremos fabricar un marco para un cuadro. a) Razonar que el valor de la superficie para una base cualquiera viene dado por S()=- b) Representar gráficamente la función anterior Cuál es el valor de la base para el que se obtiene la superficie máima? c) Cuánto vale dicha superficie? (Sol: b) m c) m ) 00 m pared 57. Con 00 m de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared de 00 m de largo, como indica la figura. valla b) Cuáles serán las dimensiones del recinto de área máima? c) Cuánto vale esa área? (Sol: a) S()=00- b) 5 m 50 m c) 50 m ) a) Llamar a uno de los lados y construir la función que nos da el área. Representarla gráficamente Cuál es su Dom(f)? 58. Tenemos 00 kg de naranjas que hoy se venderán a 40 cent/kg. Se estima que cada día que pase se estropeará kg, pero el precio aumentará cent/kg. a) Razonar que el beneficio que obtendremos al vender pasados días viene dado por B()= b) Representarla gráficamente y hallar su dominio de definición. c) Cuándo hemos de venderlas para obtener el máimo beneficio? Cuál será ese beneficio? (Sol: c) Interesará venderlas pasados 80 días) 59. Una cooperativa ha cosechado kg de tomates que puede vender a 5 cent/kg. Se sabe que, por cada semana que transcurre, se pierden 4000 kg de tomates pero el precio de cada kg aumenta en 5 cent. Epresar el valor total de los tomates en función del tiempo. Representar la gráfica de dicha función e indicar al cabo de cuántas semanas nos interesará vender. (Sol: B()= ;,5 semanas 5 50 ) Problemas de Interpolación/Etrapolación: Altura (cm) Peso (kg) ,5 (Sol: 7,8 kg) b) La altura adecuada para un hombre que pese 70 kg. (Sol: 67,8 cm) 60. En la tabla podemos encontrar los pesos ideales correspondientes a las distintas alturas de hombres. Calcular por interpolación lineal: a) El peso adecuado para un hombre que mida 7 cm. 6. En la tabla podemos encontrar los pesos perfectos para mujeres. Calcular por etrapolación lineal: a) El peso adecuado para una mujer que mida 7 cm. (Sol: 60, kg) b) La altura adecuada para una mujer que pese 48 kg. (Sol: 55,7 cm) Altura (cm) Peso (kg) 5 54,5 58 Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

13 6. Las ventas de un periódico en los últimos años han sido las que figuran en la tabla. Año Nº de ejemplares (miles) a) Calcular la recta de interpolación lineal con los años 008 y 00. (Se recomienda utilizar 0,,, y 4 como valores de la variable) (Sol: y=,5+65) b) Calcular, con la recta hallada, el valor teórico correspondiente al año 009 Qué diferencia hay entre el valor teórico y el real? (Sol: ejemplares) c) Con los valores correspondientes a los años 989, 990 y 99, calcular el polinomio de interpolación cuadrático. (Sol: y=4, -+8,67) d) Hallar, utilizando el polinomio anterior, el valor teórico correspondiente a 0. Compararlo con el que se obtendría por interpolación lineal Cuál de las dos aproimaciones es mejor? (Sol: ejemplares, por interpolación cuadrática) e) Calcular por etrapolación las ventas que tendrá el periódico en 0. (Sol: ejemplares, por interpolación lineal) 6. Una entidad de crédito ha tenido en los últimos años los depósitos indicados en la tabla adjunta. a) Calcular los depósitos correspondientes a 0. (Sol: 85 millones de, por interpolación lineal) Año Depósitos (millones de ) b) Calcular los depósitos de los años (Sol: 5 y 55 millones de, respectivamente) 64. En un eperimento de laboratorio se ha medido la temperatura de enfriamiento de un líquido a temperatura ambiente de 0 ºC. Tiempo transcurrido (horas) Temperatura (ºC) Qué temperatura tendría la muestra transcurridas 4 horas? Y en 0 horas? (Sol: 45º y 0º respectivamente, por interpolación cuadrática) 65. Una gran empresa presenta el balance de algunos de sus últimos ejercicios, en los que se han producido las siguientes ganancias en millones de : Año Beneficios (millones de ) Determinar, por el método de interpolación cuadrática, las ganancias correspondientes a los años 0 y 0. (Sol:,75 y,75 millones de, respectivamente) 66. La siguiente tabla recoge la depreciación de un determinado modelo de BMW 8 lanzado al mercado en 00: Año Precio ( ) en 05? a) Dibujar la gráfica correspondiente e indicar a qué modelo interpolador responde mejor. b) Cuánto nos darán por este modelo Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

14 67. El número de trasplantes de riñón efectuado en un determinado país en 0 fue de 86, mientras que en 04 fue de 8. Usando interpolación lineal determinar el número de trasplantes que se efectuaron en 0 y 0. (Sol: 66 y 009, respectivamente) 68. El gasto (en ) en fotocopias en una oficina viene dado por los siguientes datos durante los tres primeros meses del año: Obtener el polinomio interpolador cuadrático y deducir el gasto en fotocopias probable para el mes de abril. (Sol: 50 ) Mes enero febrero marzo Gasto ( ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital