El proceso seguido en el estudio estadístico de una cierta característica o variable, puede subdividirse en tres pasos sucesivos :

Transcripción

1 Por este térmno se engloban las técncas que nos permtrán realzar un análss elemental de las observacones expermentales observadas. Se subdvde en dos bloques : º Estadístca prmara : Obtendo un grupo de observacones expermentales, este apartado nos enseña a ordenarlas adecuadamente, de modo que se orezca una normacón lo más clara posble. º Estadístca dervada o secundara : Con los datos observados realzaremos certos cálculos, obtenendo así unas meddas. Este bloque temátco nos enseña a nterpretarlas. PROCEDIMIETO A SEGUIR E U ESTUDIO ESTADÍSTICO. El proceso segudo en el estudo estadístco de una certa característca o varable, puede subdvdrse en tres pasos sucesvos : A RECOGIDA DE DATOS : Planteado el test o encuesta oportuno y recogdos los datos que correspondan, el prmer análss que realzaremos es el del tpo de varable que pretendemos estudar (Cualtatva o Cuanttatva ; Dscreta o Contnua). Esto condconará en gran medda su posteror tratamento. B C ORGAIZACIÓ DE LOS DATOS : Determnado el modo de agrupamento de las observacones, procedemos a su recuento, construyendo la tabla de recuencas. Posterormente podremos vsualzar tales recuencas de orma gráca con el dagrama estadístco apropado. AÁLISIS FIAL : La obtencón de muy dversas conclusones respecto de la varable estudada, se podrá realzar con auxlo de los derentes parámetros estadístcos (de centralzacón, poscón, dspersón, etc.) VARIABLES ESTADÍSTICAS. CLASIFICACIÓ. El aspecto que deseamos estudar (edad, sexo, peso,...) recbe el nombre de VARIABLE ESTADÍSTICA. A lo largo de esta undad observaremos, que las técncas estadístcas a segur serán derentes según el tpo de varable objeto de estudo. La clascacón más tradconal de las varables estadístcas es la sguente : CUALITATIVAS Los valores de las observacones quedan expresados por característcas o atrbutos. Por ejemplo : Estado cvl ; Color preerdo ; vel de estudos ; Raza ;... Dentro de ellas podremos subdvdrlas en uncón de que puedan ser ordenadas (vel de estudos) o no tenga sentdo una determnada ordenacón que se establezca (Color preerdo, Razas,...). CUATITATIVAS Los valores de las observacones son numércos (cuantcables) y, en consecuenca, ordenables. A su vez las varables cuanttatvas se subdvden en dos tpos : DISCRETAS : Toman valores concretos (º de hjos : 0,,,...) COTIUAS : Pueden tomar cualquer valor de un certo ntervalo (Peso ; Estatura ;...). TABLAS DE FRECUECIAS. S la varable es Cualtatva, observamos los valores derentes de la msma. S es Cuanttatva buscaremos los valores mínmo y máxmo obtendos. En uncón del número de observacones, decdremos s se realza su estudo de orma ndvdual o agrupando en ntervalos. COSTRUCCIÓ DE ITERVALOS : Tenendo en cuenta la ampltud total de las observacones (Valor máxmo menos valor mínmo observados), tomaremos una decsón sobre el número total de ntervalos, o ben sobre la ampltud o tamaño de los msmos. Estadístca descrptva -

2 EJEMPLO : Supuesto : Valor máxmo 87, Valor mínmo. Luego : AMPLITUD S decdmos construr 8 ntervalos, la ampltud de cada uno será de undades (valor aproxmado de 76/8). El prmer ntervalo no tene porqué ncarse en (mínmo); es más, se aconseja tomar sempre valores "vsualmente agradables" (5,, 5,...). Con esto los ntervalos serían : [,0) [0,0) [0,) [,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] S partmos de la decsón de que los ntervalos tengan 5 undades de ampltud, smplemente ncaremos su construccón hasta llegar a un ntervalo que contenga al valor máxmo observado. [,5) [5,) [,55) [55,70) [70,85) [85,90] Teórcamente se establece que el número deal de ntervalos debe ser la raíz cuadrada del número de observacones dsponbles : Para observacones : Crtero de Kaser º de ntervalos E( 5 ' '.ln( ) ) Crtero de Sturges º de ntervalos + (E parte entera) OTACIÓ Al establecer dos ntervalos consecutvos, por ejemplo de a 0 y de 0 a 0, hemos de decdr s el valor 0 (nal de uno e nco del sguente) pertenece al prmer ntervalo o al segundo. Para ello empleamos los símbolos [ y (. [ o ] el valor stuado junto a él pertenece al ntervalo ( o ) el valor stuado junto a él no pertenece al ntervalo OTACIOES PARA REPRESETAR ITERVALOS EXTREMOS REALES EXTREMOS APARETES Desde 0 hasta menos de [ 0, ) De a menos de 0 [, 0 ) De 0 a menos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a menos de [ 0, ) Desde hasta 50 [, 50 ] - 4 Valores :,, y 4 [ 0'5, 4'5 ) 5-8 Valores : 5, 6, 7 y 8 [ 4'5, 8'5 ) 9 - Valores : 9,, y [ 8'5, '5 ] RECUETO. TABLA DE FRECUECIAS ABSOLUTAS. Stuados en una tabla los valores de la varable (desde el mínmo al máxmo) o los ntervalos que los contenen, procedemos a contar las veces que se repten. Construmos así una tabla como la de la zquerda. En ella podrá observarse que, en el supuesto de datos agrupados en ntervalos, se ha ncludo una columna encabezada por x. Tal valor de x se denomna marca de clase y es el valor central de cada ntervalo. Intervalos x Recuento F [ e, e ) x /// [ e, e ) x ///// ///// / [ e, e + ) x ///// /// Σ - Estadístca descrptva

3 FRECUECIAS. FRECUECIA ABSOLUTA () : Para datos no agrupados en ntervalos, es el número de veces que se presenta cada valor de la varable. S los datos se agrupan en ntervalos, es el número de observacones que pertenecen a dcho ntervalo. FRECUECIA ABSOLUTA ACUMULADA (F) : Para un certo valor de la varable, la recuenca absoluta acumulada nos da el número de observacones menores o guales que dcho valor. OTRAS FRECUECIAS : FRECUECIA RELATIVA (r) : Cocente entre la recuenca absoluta y el número total de observacones (). PROPORCIÓ o PORCETAJE (p) : Frecuenca relatva multplcada por (es la expresón de las recuencas en %). De gual modo que se denó para las recuencas absolutas, se denen las FRECUECIAS RELATIVAS ACUMULADAS (R) y los PORCETAJES ACUMULADOS (P). TABLA COMPLETA DE FRECUECIAS : EJEMPLO : x r p F R P x r / p r. r p x r / p r. + r +r p +p x r / p r r +r r p +p p Σ Σr Σp x r p F R P 5 0'5 '5 5 0'5 '5 0' '75 7' '0 0'775 77' ' '95 9'5 6 0'075 7'5 '000 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. La norma que hemos de segur en la construccón de un gráco estadístco es sempre : "La zona que dentca a cada valor será proporconal a su recuenca" Los dagramas usuales son los que se descrben a contnuacón. A Dagramas de barras Para varables cualtatvas o cuanttatvas no agrupadas en ntervalos. FUDAMETO : Sobre un eje (normalmente el horzontal) marcamos los valores de la varable, dbujando sobre cada uno de ellos una barra cuya longtud sea proporconal a la recuenca que se esté vsualzando. S la varable representada es cuanttatva, enlazando los extremos de las barras obtendremos el POLÍGOO DE FRECUECIAS, denomnado PERFIL ORTOGOAL para cualtatvas ordenables. B Hstogramas Representatvo de las varables agrupadas en ntervalos. FUDAMETO : Sobre el eje horzontal marcamos los dstntos ntervalos, dbujando sobre cada uno de ellos un rectángulo cuya área sea proporconal a la recuenca que se esté vsualzando (S todos los ntervalos tenen la msma ampltud, nos bastará con que la altura de los rectángulos sea proporconal a las recuencas). POLÍGOOS DE FRECUECIAS : S la recuenca representada no es acumulada, enlazamos los puntos medos de los extremos superores de los rectángulos. Para recuencas acumuladas, el polígono de recuencas se obtene de la orma ndcada en el gráco. Estadístca descrptva -

4 C Dagramas de sectores Utlzable en cualquer tpo de varable. FUDAMETO : Dvdmos el círculo en sectores crculares, de modo que la ampltud de cada sector, sea proporconal a la recuenca. Junto a cada sector, se suele ndcar el valor representado. Es aconsejable la expresón de las ampltudes de los sectores en % (porcentajes p ). D Pctogramas Utlzable en todo tpo de varables, especalmente con las cualtatvas. FUDAMETO : Es el msmo que se sgue para la construccón de los dagramas de barras y hstogramas. La derenca estrba en que, en lugar de dbujar una barra o un rectángulo, se dbuja una gura que hace reerenca al problema objeto de estudo. E Dagramas de áreas Representatvo de las varables cuanttatvas, equvale a la representacón ndependente de los polígonos de recuencas (descrtos en los dagramas de barras y hstogramas). FUDAMETO : Indca la evolucón de los valores de la varable, consstendo en la vsualzacón del área encerrada bajo el polígono de recuencas. Para ello, se conecta dcho polígono con el eje de la varable (el horzontal en el gráco), tanto a la zquerda del prmer valor como a la derecha del últmo. Los dagramas de barras, hstogramas, pctogramas y de áreas, admten la representacón correspondente a sus recuencas acumuladas. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA ARITMÉTICA :. x x Es el resultado de dvdr la suma de todas las observacones entre el número de ellas. MODA : + Mo e +. a + OTACIOES MEDIAA : Me e + + F. a Es el valor que más se repte. Será pues el valor (o valores) cuya recuenca absoluta sea la mayor de las observadas. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, obtendremos el ntervalo en el que se encuentra la moda (ITERVALO MODAL). Para determnar su valor concreto, aplcamos la expresón de la zquerda. Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la moda. - ntervalo anteror al que contene la moda. + ntervalo sguente al que contene la moda. e extremo neror del ntervalo en el que se encuentra la moda. a ampltud del ntervalo en el que está la moda. recuenca absoluta. Supuestas ordenadas las observacones, MEDIAA es el valor de la varable que está en el centro de las msmas. Deja pues a la mtad (el 50%) de las observacones por debajo de dcho valor. Para obtener el valor de la medana, segumos los pasos sguentes : º Calculamos la tabla de recuencas absolutas acumuladas. º La medana será el valor de la varable cuya recuenca absoluta acumulada prmero guale o supere a /. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, el punto º nos dará el ntervalo en el que se encuentra la medana. Para determnar su valor concreto, aplcamos la expresón de la zquerda. OTA : En el caso de varables contnuas no agrupadas en ntervalos, suelen consderarse prevamente los ntervalos reales que esos valores representan, procedendo a aplcar la expresón superor. Así, los valores,,,... representan a los ntervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, '5), Estadístca descrptva

5 OTACIOES Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la medana. - ntervalo anteror al que contene la medana. e extremo neror del ntervalo en el que se encuentra la medana. a ampltud del ntervalo en el que está la medana. recuenca absoluta. F recuenca absoluta acumulada. OTRAS MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA PODERADA : Aplcable cuando a cada valor (X ) se le asgna un peso (p ) : p. X x p p MEDIDAS DE POSICIÓ. MEDIA GEOMÉTRICA : x x. x..... x G Con recuencas para cada x : ( Σ ) x x. x..... x G n n MEDIA ARMÓICA : x A x Con recuencas para cada x : ( Σ ) x A x COCEPTO : Permten el cálculo del valor de la varable que ocupa una certa poscón relatva respecto del conjunto total de los valores observados. PERCETIL DE ORDE K : Es el valor de la varable que deja por debajo de él el K% de las observacones. PROCESO DE CALCULO : P k e + k. F. a Para obtener el valor del percentl de orden K, segumos los pasos sguentes : º Calculamos la tabla de recuencas absolutas acumuladas. º Obtenemos el LUGAR que ocupa : Lugar. K / º El percentl de orden K será el valor de la varable cuya recuenca absoluta acumulada prmero guale o supere a dcho lugar. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, el punto º nos dará el ntervalo en el que se encuentra el percentl de orden K. Para determnar el valor concreto del percentl, aplcamos la expresón de la zquerda. OTA : En el caso de varables contnuas no agrupadas en ntervalos, suelen consderarse prevamente los ntervalos reales que esos valores representan, procedendo a aplcar la expresón anteror. Así, los valores,,,... representan a los ntervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, '5),... OTACIOES Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra el percentl. - ntervalo anteror al que contene el percentl. e extremo neror del ntervalo en el que se encuentra el percentl. a ampltud del ntervalo en el que está el percentl. recuenca absoluta. F recuenca absoluta acumulada. PERCETILES ESPECIALES MEDIAA Percentl de orden 50. CUARTILES Percentles de órdenes 5 (Cuartl º), 50 (Cuartl º) y 75 (Cuartl º). DECILES Percentles de órdenes, 0,..., 90 (Decles º, º,..., 9º). MEDIDAS DE DISPERSIÓ. RAGO, RECORRIDO O AMPLITUD TOTAL : R Máx Mín Con el n de medr el mayor o menor grado de separacón de las observacones, en una prmera nstanca se dene el RAGO (tambén denomnado recorrdo o ampltud total), como la derenca exstente entre los valores máxmo y mínmo observados. Estadístca descrptva - 5

6 AMPLITUD SEMI-ITERCUARTÍLICA : Q Q Q Esta medda de dspersón se basa en meddas de poscón (Cuartles),.Su empleo tendrá sentdo en el supuesto de mposbldad de cálculo de la meda. El no tomar en consderacón a la totaldad de las observacones, hace pensar que esta medda es poco representatva. Por ello se ntenta denr las meddas de dspersón, de modo que sean el promedo de las separacones de cada valor respecto de uno tomado como reerenca (la MEDIA). Observando la gura aprecamos que las desvacones d antes dendas tenen como meda cero (las postvas compensan con las negatvas), lo cuál oblga a subsanar este nconvenente tomándolas en valor absoluto o elevándolas al cuadrado. DESVIACIÓ MEDIA :. x x D x VARIAZA : s σ ( ) Es la meda de las desvacones o separacones de cada una de las observacones, respecto a la meda artmétca, consderadas en valor absoluto. Susttuyendo la meda por la moda o la medana, denremos las desvacones medas respecto de la moda y de la medana.. x x. x x Es la meda de los cuadrados de las desvacones o separacones de cada una de las observacones, respecto a la meda artmétca. DESVIACIÓ TÍPICA :. x s σ var anza x COEFICIETE DE VARIACIÓ : CV σ. x x Es la raíz cuadrada de la varanza. Con ello corregmos el haber tomado cuadrados de separacones en el cálculo de la varanza. Esta medda de dspersón es la más característca. Mde la representatvdad de la meda. Valores extremos del msmo nos llevarán a conclur que la meda no es representatva, es decr, exstrán valores entre las observacones que se separan sgncatvamente de las demás. Sólo puede ser utlzado cuando los valores de la varable toman valores "normales". Es decr, no son muy elevados n muy pequeños, ya que una meda próxma a cero o muy alta darían valores nulos o nntos al coecente. S la meda es representatva de las observacones (no exsten valores extremos exageradamente dstancados de la mayoría), el coecente de varacón permte comparar la dspersón de dos seres estadístcas : mayor coecente ndca menor homogenedad, o lo que es lo msmo, mayor dspersón o varabldad. GRÁFICO DE VARIABILIDAD : Basado en los cuartles, adopta la orma del gráco de la derecha. En él se relejan los cuartles º y º y la medana, junto a los extremos neror y superor : Q Q Ln Q. Q. Q ; Lsup Q + Q. Se consderan observacones atípcas aquellas que quedan uera del ntervalo : ( L n, L sup ) OTRAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. COEFICIETE DE ASIMETRÍA DE FISHER : Permte nterpretar la orma de la dstrbucón, respecto a ser o no smétrca. As. σ ( x ) x ITERPRETACIÓ 6 - Estadístca descrptva

7 Basados en al relacón exstente entre meda, medana y moda : x Mo.( x Md) se denen dos nuevos coecentes de asmetría (de Pearson): x Mo As σ COEFICIETE DE CURTOSIS : As.( x Md) σ Recbe tambén el nombre de coecente de concentracón central, mdendo el grado de aplastamento o apuntamento de la gráca de la dstrbucón de la varable estadístca. Una mayor concentracón de datos en torno al promedo harán que la orma sea alargad, sendo tanto más plana (o aplastada) cuanto mayor sea la dspersón de los msmos. Determna la orma de la dstrbucón, en relacón con su grado de aplastamento. 4. ( x x) K 4 σ ITERPRETACIÓ Basados en meddas de poscón, se denen los nuevos coecentes : Coecente de asmetría de Bowley-Yule, o ntercuartílco : Y Q Me + Q. Q Q Coecente absoluto de asmetría: A Q. Me + Q σ Coecente de curtoss de Kelley : Q K con Q Q Q 06 ' : P P 90 AÁLISIS COJUTO DE VARIOS GRUPOS. S dsponemos de k grupos con n elementos, medas x Meda conjunta de los k grupos n. x X n S, y varanzas n. S PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. TABLA PARA CÁLCULOS : n S, podemos obtener : Varanza conjunta de los k grupos, o, con mayor rgor : S ( ) n n. S n. x X + n La tabla sguente nos muestra una dsposcón práctca de los cálculos necesaros para la obtencón de los parámetros estadístcos usuales: Meda, Moda, Medana, Percentles, Varanza y Desvacón típca. Intervalos x.x.x F P [ e, e ) x. x (. x ).x F P (F / ). [ e, e ) x. x (. x ).x F + P (F / ) [ e, e + ) x. x (. x ).x F I P (F / ) Σ Σ. x Σ. x Cálculo de percentles A B Cálculo de meda y varanza La meda y la varanza serían el resultado de calcular :Cálculo de meda y varanza PROPIEDADES : A B x σ x A) S a todos los valores de una varable x les sumamos una cantdad constante, la meda queda ncrementada en dcha constante, mentras que la desvacón típca (y la varanza) no varía. B) S multplcamos todos los valores de una varable x por una constante, la meda y la desvacón típca quedan tambén multplcadas por dcha constante (la varanza quedará multplcada por el cuadrado de la constante). Estadístca descrptva - 7

8 EJEMPLO : CAMBIO DE VARIABLE. TIPIFICACIÓ. Hacendo uso de las propedades de las meddas estadístcas,podremos acltar y smplcar los cálculos de parámetros estadístcos, realzando un cambo de varable. Así, s todos los valores son muy altos, podremos restarles una cantdad (normalmente la Moda) y, s poseen cras decmales o son múltplos de un msmo número, podremos multplcarlos o dvdrlos por el valor adecuado. Una vez calculados los parámetros estadístcos, en vrtud de las propedades descrtas, obtendremos el valor nal real de tales parámetros. Mencón especal merecen dos cambos de varables partculares : A) Derencales : partendo de la varable ncal x (puntuacones drectas), s a todos los valores les restamos la meda, obtenemos una nueva varable d (puntuacones derencales) cuya meda es cero (la desvacón típca no se modca). B) Tpcadas : S a todos los valores de la varable ncal x les restamos la meda y el resultado lo dvdmos por la desvacón típca, obtenemos una nueva varable z (puntuacones tpcadas) cuya meda es cero, tenendo sempre como desvacón típca la undad. Este últmo cambo de varable recbe el nombre de TIPIFICACIÓ. SUMA Y DIFERECIA DE VARIABLES. Partendo de dos varables X, Y, podemos denr las nuevas varables : S X + Y obtenda sumando cada valor de X con el correspondente de Y. D X - Y obtenda restando a cada valor de X el valor correspondente de Y. Esto supone la exstenca de tantas observacones de X como de Y, así como el emparejamento de ellas; es decr, a cada valor de X queda asocado un valor de Y. Esto constturá la base de estudo del sguente tema. Veamos como se comporta la meda de las dos nuevas varables S y D dendas. S X+ Y ( X Y X Y En eecto : + ) + X Y S + X+ Y Análogamente se verca que : D X Y Calculemos la varanza de la suma S : ( X Y S) ( X Y X Y ) ( X X Y Y ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + ( ) SS ( ( X X) + ( Y Y) +.( X X).( Y Y) ) ( X X) ( Y Y) ( X X).( Y Y) + +. SX + SY +. SXY ( X X).( Y Y La expresón ), representada por SXY, recbe el nombre de covaranza, justcándose que es gual tambén a : ( X X).( Y Y) X. Y SXY XY. Análogamente se verca que : SD SX + SY. SXY S las varables X, Y son ndependentes, la covaranza (medda de varacón conjunta) es gual a cero. Resumendo : Varanzas Medas Dependentes ( S XY 0 ) Independentes ( S XY 0 ) S X + Y S X+ Y SS SX + SY +. SXY SS SX + SY D X - Y D X Y SD SX + SY. SXY SD SX + SY MOMETOS ORDIARIOS Y CETRALES 8 - Estadístca descrptva

9 Momento ordnaro de orden k : ak. x k Momento central de orden k : mk ( ). x x k MEDIDAS DE COCETRACIÓ. Se verca que : m 0 m a a m a. a. a+. a m a 4. a. a + 6. a. a. a Algunos parámetros estudados, pueden expresarse : μ x a σ sx m a a m m K m 4 m 4 As m m 4 σ σ ( ) Estas meddas, de aplcacón económca undamentalmente, determnan el nvel de gualdad en el reparto total de las observacones de la varable. Su determnacón se realzará a partr de la sguente tabla de cálculos : A B C D E F G H x F Σ. P (F.. /). t. x T Σ t. Q (T.. /T). P - Q x F P t T Q P - Q x F P t T Q P - Q x k k F k P k ( ) t k T k Q k ( ) P k - Q k ( 0) Σ. TP Σ P T Σ. x TD Σ (P - Q ) Sendo : A) Valores de la varable (marca de clase s está agrupada en ntervalos). B) Frecuencas absolutas ( total de observacones). C) Frecuencas absolutas acumuladas. D) Porcentajes acumulados (totalzando - TP). E) Productos de cada recuenca por su correspondente valor (T suma total de estos productos). F) Productos anterores acumulados (de gual modo que se realza con recuencas). G) Expresón en porcentaje del contendo de la columna anteror. H) Derencas de los valores de las columnas D y G (totalzando - TD). MEDIALA : Su dencón tene un undamento smlar al de la medana. Para dstrbucones dscretas (no agrupadas en ntervalos), la medala es el valor de la varable cuyo Q prmero guala o supera el 50%. Para dstrbucones contnuas (agrupadas en ntervalos), el ntervalo que contene la medala es aquel cuyo Q prmero guala o supera el 50%. De aquí obtenemos el valor de la medala del modo sguente : Los subíndces ndcan : 50 Q ntervalo donde se encuentra la medala. Ml e +. a - ntervalo anteror al que contene la medala. Q Q e extremo neror del ntervalo en el que se encuentra la medala. a ampltud del ntervalo en el que está la medala. CURVA DE LOREZ : Sobre un rectángulo de undades de lado, se dbuja la polgonal ue resulta de unr los puntos (P, Q ). q Esta polgonal (curva de Lorenz) determna con la dagonal AB un recnto (sombreado en la gura) que mde el grado de concentracón. Cuando el área sombreada es muy pequeña (la curva de Lorenz se aproxma a la dagonal AB) se presenta una baja concentracón, o lo que es lo msmo, ndca unormdad en el reparto de los valores de la varable. La mayor concentracón se producrá cuando la zona sombreada concde con el trángulo ABC. Estadístca descrptva - 9

10 ÍDICE DE COCETRACIÓ DE GII : Hacendo uso de la tabla de cálculos anteror, necesara para la obtencón de la curva de Lorenz, denremos el presente estadístco. Otros, como el índce de Dalton, el de pardad, etc., pueden ser empleados con déntca nterpretacón a la que tratamos con el de Gn, s ben omtmos su estudo. G k ( P Q ) k El índce de Gn (expresón de la zquerda) concde geométrcamente con el cocente entre el área sombreada (denda por la curva de Lorenz) y la del TD trángulo ABC. TP Concentracón mínma : G 0 P Concentracón máxma : G - Estadístca descrptva

11 EJERCICIOS RESUELTOS La tabla sguente nos muestra el resultado de una encuesta entre los alumnos de prmer curso, analzando el número de suspensos en la prmera evaluacón : Realcemos un estudo estadístco completo. Se trata de una varable cuanttatva dscreta. Esto condconará algunos procesos del cálculo estadístco. RECUETO Y TABLA DE FRECUECIAS x recuento r p F R P 0 ///// /// 8 0' ' 8 0' ' ///// ///// / 0'8 8' 9 0'67 '67 ///// ///// /// 0'67 '67 0'5 5' ///// ///// ///// 5 0'500 5' '78 78' 4 ///// ///// 0'667 6' ' '00 5 /// 0'0500 5'00 60 '0000 '00 Totales : 60 '0000 '00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS APROPIADOS PARA ESTE TIPO DE VARIABLE DIAGRAMA DE BARRAS : Sobre el valor de cada varable dbujamos una barra con altura gual a la recuenca que deseamos representar (en este caso las absolutas ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtendos enlazando los extremos superores de las barras. OTA :Sendo la varable dscreta, no tene sentdo dbujar el polígono de recuencas. DIAGRAMAS ACUMULADOS : Construdos como los anterores, son los representatvos de las dstntas recuencas acumuladas. El ejemplo representa las recuencas absolutas acumuladas (F). El polígono de recuencas se construría enlazando los extremos superores de las barras. PICTOGRAMAS: Con el msmo prncpo segudo para la construccón de los dagramas de barras, susttumos dchas barras por dbujos alusvos a la varable estadístca estudada. DIAGRAMAS DE SECTORES : Resultan de la dvsón de un círculo en sectores cuya ampltud es proporconal a la recuenca. La ampltud de cada sector será : α. 60º r. 60 º Estadístca descrptva -

12 MEDIA, VARIAZA Y DESVIACIÓ TÍPICA x.x.x Este tpo de tabla aclta los cálculos Meda 7 / 60,8 6 5 Varanza (4 / 60) - meda al cuadrado ' Desvacón típca raíz cuadrada de la varanza ' x x. 7. x 4 ' 8 s x x ' 8 ' 005 sx sx ' 005 ' MODA Valor de mayor recuenca PERCETILES Para la determnacón de meddas de poscón (percentles), podemos segur dos procedmentos de cálculo : º) Basado en las recuencas absolutas acumuladas F : Determnamos el lugar que ocupa : L k. / El percentl será el valor cuya recuenca F prmero guale o supere al lugar L. º) Basado en porcentajes acumulados P : El percentl será el valor cuyo porcentaje P prmero guale o supere al orden k del percentl. Aplquemos el prmer procedmento para calcular la medana y el 9º decl : La medana (percentl 50) ocupará el lugar : L / 0 El 9º decl (percentl 90) ocupará el lugar : L / 54 x F Medana º decl Aplcando el segundo procedmento descrto, determnemos los cuartles º y º, así como la ampltud sem-ntercuartílca : x r p P 0 8 0' ' ' 0'8 8' '67 Cuartl º (percentl 5) 0'67 '67 5' 5 0'500 5'00 78' Cuartl º (percentl 75) 4 0'667 6'67 95'00 5 0'0500 5'00 '00 60 '0000 '00 Ampltud sem-ntercuartílca Q Q - Estadístca descrptva

13 Trabajamos ahora con las edades de 50 jóvenes de nuestro barro : Como en el ejemplo anteror, realcemos un estudo estadístco completo. os encontramos ante una varable estadístca cuanttatva contnua. Agruparemos o no las observacones en ntervalos en uncón de los derentes valores observados. TABLA DE FRECUECIAS Observado el valor mínmo () y máxmo (4), decdmos agrupar los datos en ntervalos de 5 años de ampltud, empezando por 0. Intervalos recuento r p F R P [ 0, 5 ) ///// 5 0' 5 0' [ 5, ) ///// ///// 0' '0 0 [, 5 ) ///// ///// ///// / 6 0' 0'6 6 [ 5, 0 ) ///// / 6 0' 7 0'74 74 [ 0, 5 ] ///// ///// /// 0' '00 Totales : 50 '00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS HISTOGRAMA : Sobre el valor de cada varable dbujamos una ranja con altura gual a la recuenca que deseamos representar (en este caso las absolutas ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtendo enlazando los puntos medos de los extremos superores de las ranjas. HISTOGRAMAS ACUMULADOS : Construdos como los anterores, son los representatvos de las dstntas recuencas acumuladas. El ejemplo representa las recuencas absolutas acumuladas ( F ). En este caso, el polígono de recuencas O se construría enlazando los puntos medos de los extremos superores de las ranjas, sno como se ndca en la gura. Cálculo de Moda, Meda, Varanza y Desvacón típca : Para el cálculo de la meda y la varanza utlzamos la tabla auxlar sguente. En ella se ncorpora la columna x, que contene la marca de clase (valor central) de cada ntervalo. La MODA (valor de mayor recuenca) se encuentra en el ntervalo [, 5). Determnemos su valor concreto : + Mo e + a ' + Intervalos x.x.x [ 0, 5 ) 5 '5 '5 '5 [ 5, ) 7'5 75'0 56'50 [, 5 ) 6 '5 00'0 500'00 [ 5, 0 ) 6 7'5 5'0 87'50 [ 0, 5 ] '5 9'5 658' '0 5'50 x x. 685 ' 7 50 s x x 5 5. ' x ' 7 4' 56 sx sx 4' 56 6' Estadístca descrptva -

14 Utlzando las recuencas absolutas acumuladas, calculemos el decl º y el percentl 6 : Lugar que ocupa el decl º (percentl 0) / Lugar que ocupa el percentl / Intervalos F [ 0, 5 ) 5 5 [ 5, ) 5 Decl º (percentl 0) en [5,) Lugar [, 5 ) 6 Percentl 6 en [,5) Lugar [ 5, 0 ) 6 7 [ 0, 5 ] Determnemos sus valores concretos : F 5 F P0 e +. a ' 5 P6 e + Utlzando los porcentajes acumulados, calculemos el cuartl º y la medana :. a Intervalos r p P [ 0, 5 ) 5 0' [ 5, ) 0'0 0 0 Cuartl º (percentl 5) en [5,) [, 5 ) 6 0' 6 Medana (percentl 50) en [,5) [ 5, 0 ) 6 0' 74 [ 0, 5 ] 0' '00 Determnemos sus valores concretos : F 5 F P5 e +. a ' 75 P50 e +. a ' 5 6 x De la presente dstrbucón, calculemos : 6 Meda, varanza y desvacón típca. 5 Moda. 4 Medana, Percentl 8, Cuartles y ampltud sem-ntercuartílca. 5 9 La varable establecda puede ser dscreta o contnua sn agrupar en ntervalos. Realcemos los cálculos en ambos supuestos. x F P.x.x ' ' Meda Varanza Desvacón típca x x 4 55 ' σ. x 544 x ' 55 0' 9975 σ 0' ' Moda Medana (percentl 50) Percentl 8 5 Cuartl º (percentl 5) Cuartl º (percentl 75) Rango sem-ntercuartílco 4 Q Q 4 05 ' Los valores anterores, relatvos a percentles, son váldos s la varable es DISCRETA. En el supuesto de tratarse de una varable COTIUA (con datos no agrupados), deberíamos entender que el valor dentca el ntervalo stuado a la zquerda en la sguente tabla : 4 - Estadístca descrptva

15 Intervalo x F P ['5,'5) ['5,'5) '5 ['5,4'5) '5 [4'5,5'5] Los percentles peddos se obtendrían del modo sguente : 4 Medana Percentl 8 Cuartl º Cuartl º en ['5,'5) en [4'5,5'5] en ['5,'5) en ['5,4'5) Interv. De la dstrbucón de la zquerda, calcular : [,) 5 Meda, varanza y desvacón típca. [,4) Moda [4,6) 9 Medana, Percentl 59 y Decl º. [6,8) Desvacón meda. [8,0] 4 Coecentes de asmetría y curtoss Me P50 5 ' +. ' P 8 45 ' +. 4' Q P5 5 ' +. ' Q P75 5 ' +. ' 0 Interv. a F P.a.a [,) 5 5 8' [,4) 6 6' [4,6) ' [6,8) ' [8,0] ' Meda a x. 96 5' Varanza σ 45 a. x 5' 667 4' Desvacón típca σ 4' 46 ' 4 Moda en [6,8) Medana (percentl 50) en [4,6) Percentl 59 en [6,8) Decl º (percentl 0) en [4,6) 4 Mo ' Me P ' P ' D P ' 5 9 Desvacón meda x x. x x Asmetría y Curtoss x x.( x x).( x x) 4'667 ' -4'667-88'65 657'0090 '667 4'9 -'667-8'9 90'644 0'668 5'0668-0'668-0'60 0'096 '7 6'00 '7 9'68 89'5604 '7 4'9 '7 08'75 777'0466 ' '44 94' Estadístca descrptva - 5

16 Desvacón meda Asmetría (-0'54 < 0) Algo asmétrca haca la zquerda Curtoss (-0'5608 < 0) Lgeramente aplanada (Platcúrtca) As. x x '6667 D ' ( x x) σ ( x x) -99'44 60 ' 4 K 4 4 σ 4 0'54 94' '5608 ' 4 5 La dstrbucón de las estaturas en centímetros de los alumnos de un centro, expresados en porcentajes, es la sguente: Estaturas Porcentajes Menos de 50 0' De 50 a 54 '6 De 55 a 59 9'4 De 60 a 64 0'5 De 65 a 69 '5 De 70 a 74 '5 De 75 a 79 '7 De 80 y más '5 a) Sendo abertos los ntervalos prmero y el últmo, qué valores sería razonable consderar para los límtes extremos de esos ntervalos? b) S suponemos que en el Centro hay alumnos, cuáles serían las recuencas absolutas? c) Calcular la estatura meda y la desvacón típca. d) Entre qué estaturas se encuentra la qunta parte de las estaturas centrales?. a) Al reerrse a ntervalos de 5 cm. de ampltud en los restantes casos, debemos consderar que el prmer ntervalo es de 45 a menos de 50 y, el últmo, de 80 a 85. b) c) Estaturas p p. / P F [45,50) 0' '6 4 0' 4 [50,55) '6 9' 9 '9 [55,60) 9'4 '8 ' 6 [60,65) 0' '8 8 [65,70) ' ' 760 [70,75) ' '8 [75,80) '7 8'4 8 96'5 58 [80,85) '5 4 4 '0 Estaturas x.x.x [45,50) 4 47'5 590'0 8705'00 [50,55) 9 5'5 897' '75 [55,60) 57'5 7797'5 806'5 [60,65) 46 6'5 9975' '50 [65,70) 78 67'5 65'0 6056'50 [70,75) 70 7' ' '50 [75,80) 8 77'5 70'0 800'00 [80,85) 4 8'5 7665'0 9886'50 055' ' De aquí resulta : x 67' ' 95 4' 006 s x 4' 006 6' 48 s x 6 - Estadístca descrptva

17 d) 6 La qunta parte representa el 0%. Con relacón al centro (50%), cubrrán desde el % al 60%. Se nos pde que calculemos los percentles y 60 de la dstrbucón de estaturas. La tabla de porcentajes acumulados del apartado b) nos permte deducr que : Los percentles y 60 se encuentran en el ntervalo [65,70). Sus valores concretos son :. F P e F P60 e a ' a ' Partendo de la sguente dstrbucón de recuencas acumuladas, determnar la meda, medana y moda de la sguente dstrbucón de edades. Analce la relacón entre ellas. Edad F [,) 4 [,4) [4,6) 4 [6,8) 4 [8,0] Calculemos los parámetros peddos, con el n de observar en qué medda se verca la relacón x Mo. ( x Me) Para obtener las recuencas absolutas, a partr de las acumuladas, aplcamos el concepto que dene a estas últmas. En la práctca, las recuencas absolutas se obtenen restando la correspondente acumulada de la anteror. Edad F x.x.x [,) [,4) [4,6) [6,8) [8,0] x 64 5' 5 Lugar que ocupa la medana : L 50. / 0 La medana está en [4,6) : 0 Me ' 846 Comprobemos la relacón exstente entre ellas : x Mo 5'5 5' 765 0' 75. x Me. 5'5 5'845 0' ( ) ( ) 5 La moda se encuentra en [4, 6). Su valor concreto es : Mo ' o se verca la relacón esperada, s ben la derenca no es muy grande. Esta relacón teórca sólo se verca en stuacones deales y excepconales (por ejemplo en dstrbucones smétrcas, donde x Mo Me ). 7 Completar la tabla de recuencas sguente : º de suspensos F Estadístca descrptva - 7

18 º de suspensos F 0 concde con el valor de 7 para que al acumular resulte F acumulando 8 0 para que al acumular resulte F F50 y 0 por derenca con la anteror 8 Calcular la ampltud sem-ntercuartílca de la dstrbucón de las edades de 0 nños, representada a la zquerda. Conocdos los porcentajes y el total de observacones (0), podemos construr la dstrbucón de recuencas absolutas :. / x p P Prmer cuartl (percentl 5) Tercer cuartl (percentl 75) 0 La ampltud o rango sem-ntercuartílco será pues : 9 Q Q ' Una varable X tene por meda y desvacón típca. S elevamos todos los valores al cuadrado construmos la nueva varable Y X. Cuál es el valor de su meda artmétca?. n. x Observemos la expresón de la varanza : sx x La prmera parte de la expresón contene los cuadrados de los valores de la varable X; es decr, los valores dendos como la nueva varable Y. Con esto : s n. y x sx y x y sx + x + 5 x Una varable X tene como meda 8 y varanza 4. Qué transormacón lneal hemos de realzar con ella, para obtener una nueva varable Y que tenga por meda 4 y desvacón típca?. p Se entende por transormacón lneal a una relacón del tpo : Hemos de calcular los parámetros a y b desconocdos. Y a + b.x Hacendo uso de las propedades de la meda y la desvacón típca, resulta : Sobre la meda Ya+b.X 4 a+ b. 8 En relacón con la desvacón típca s b. s b. b 5 a La transormacón realzada ue : Y + 5.X 8 - Estadístca descrptva Y X

19 Las calcacones de un alumno en dos test de conocmentos ueron 5'4 y 4. El prmer test do como meda 5 con varanza y, el segundo, meda 8 con varanza. En qué test obtuvo mejor calcacón con relacón al grupo total de alumnos?. os encontramos con dos dstrbucones de calcacones meddas en dstntas escalas. Para poder comparar tendremos que reerr ambas seres de valores a otras equvalentes entre sí (gual meda y desvacón típca). El proceso de tpcacón nos proporcona lo que deseamos (sempre obtendremos una dstrbucón con meda 0 y desvacón típca ). Tpcando ambas calcacones se obtene : ota del test º : 54 ' 54 ' 5 z 0' 8 ota del test º : z 0' 866 La nota obtenda en el segundo test es superor a la del prmero en térmnos comparatvos. a) Estatura en cm. Alumnos [,45) [45,50) 5 [50,55) 5 [55,60)? [60,65) 7 ) Porcentaje de alumnos que mden más de 57 cm. a) Determnar la recuenca desconocda, sabendo que la estatura meda es de 5 5 cm. b) Calcule la ampltud sem-ntercuartílca. c) Moda de la dstrbucón y coecente de asmetría que la utlza. d) Percentl correspondente a una estatura de 5 cm.. Explque su sgncado. e) Entre qué estaturas se encuentran las 5 centrales?. x.x [,45) [45,50) [50,55) [55,60) '5. [60,65) '5. La tabla de cálculos de la meda conduce a : 5787' ' ' 5 + Resolvendo deducmos que : 0 b) F [,45) [45,50) 5 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) Lugar Q 5. 5 / 5 Q se encuentra en [45,50) 5 ' Q ' 75 5 Lugar Q / 9 75 Q se encuentra en [50,55) Q ' ' 58 Luego : Q Q Q 54' 58 47' ' c) º) 0 Moda en [50,55) : Mo x.x.x 8785 ' s 55 ' s 50 ' x Mo As 0' s Estadístca descrptva - 9

20 F [,45) [45,50) 5 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) d) 5 se encuentra en [50,55) 5 k. Pk Resolvendo : k e) Lugar 5. / 50 ; en [50,55) : ) 57 se encuentra en [55,60) 5 k. Pk P '9 5 Lugar / 75 ; en [50,55) : Entre 50 9 y P ' Resolvendo : k 84 8% (porcentaje nerores a 57) Luego, mden más de 57 cm. : % % 5 % Edad Hombres Mujeres a a a a 6 9 a 8 a) Determne el número de hombres con edades comprenddas entre los y 5 años. b) Cuál de los dos grupos de edades está más dsperso?. c) Con relacón al grupo ntegrado por los del msmo sexo, quén resulta más joven, un hombre o una mujer de 0 años?. Hombre Mujer x F.x.x.y.y [,) [,6) [6,9) [9,) [,5) a) pertenece al ntervalo [,) : 5 pertenece al ntervalo [,6) : P k. Pk + 0. k 667% ' 8 k. k k 8% ' Entre y 5 el %. Luego hay :. 66 / 664 hombres b) Calculamos las varanzas de ambos grupos : x 7' ; sx 7' 7' 9 ; sx 7' 9 4' 45 ' 775' 5 y 7' 6 ; sy 7' 6 ' 84 ; sy ' 84 ' Sendo 7 9 > 84 Grupo hombres más dsperso de orma aboluta Pese a ser las medas práctcamente guales, debemos emplear el coecente de varacón para estudar la varabldad relatva de ambos grupos : 4' CVx CVy % 49 '. ' ;. 0' 0% hombres más dsperso ' 7' Estadístca descrptva

21 c) Tpcamos 0 en ambos grupos : Z 4 0 7' 0 7' 6 0' 66 ; Z 0' 785 Como 0 66 < Hombre más joven 7' 9 ' 84 hombre mujer La tabla sguente nos muestra las calcacones de alumnos, en un test de cálculo matemátco, al nco del curso y al nalzar el msmo. Alumno Inco Fnal a) Determne la meda, desvacón típca, medana y moda de las calcacones al nco y al nal del curso. b) Calcule la meda y desvacón típca del ncremento o mejora de la calcacón obtenda. a) Ordenando valores : Inco x x x 7 ' ; s x 7 ' 487 ' Medana 5 Moda Fnal y y Ordenando valores : 6 4 y 6 ' ; s y 6 ' 9 ' b) Medana 6 Moda 6 Mejora d d d 6 ' ; s d 6 ' 48 ' Meda de la derenca : d y x 6 ' 7 ' 6 ' ( o es váldo para dspersones ) 5 º Suspensos Alumnos a) Determne la meda, desvacón típca, coecente de varacón, medana y moda del número de suspensos. b) Coecente de asmetría de Fsher. c) Puntuacón derencal y tpcada correspondente a suspensos. a) De la sguente tabla de cálculos obtenemos : x 975 s CV ' ' ' '. 76'78% 975 ' Medana : / Me Moda Estadístca descrptva -

22 x F.x.x x x.( x x) b) c) 6 As.( x x) ' 80 s 564 ' Estatura ños A '44 Lgeramente asmétrca a la derecha (o postva) x d x x 975 ' 0' 05 x x 005 ' z 006 ' s 564 ' La altura en cm. de los nños de años, examnados durante la últma semana en la undad de crecmento del centro hosptalaro Creceben, vene representada en la tabla de la zquerda. Sabendo que la altura meda de los msmos es cm., calcular : a) La recuenca A del tercer ntervalo. b) La smetría de la dstrbucón a partr de la comparacón de meda, medana y moda. c) El percentl correspondente a un nño que mde 4 m.. x.x A 4.A TOTAL +A A Intervalos F [9 5, 4 5) [4 5, 9 5) [9 5, 44 5) 8 [44 5, 49 5) [49 5, 54 5) 6 [54 5, 59 5) 4 Utlzando los coecentes de asmetría : A a) x 47' 75 + A Resolvendo la ecuacón anteror obtenemos el valor de A : (+A) A A A 5 75.A 46 A 8 b) Calculemos la medana y la moda de la dstrbucón : Moda en [49 5, 54 5) : Mo 49 ' ' Lugar que ocupa la medana / 0 0 Medana en [44 5, 49 5) : Me 44' ' 5 As x Mo s As.( x Me) s y sendo sempre postva la desvacón típca,concluremos que la smetría resultará del análss del sgno del numerador. x Mo 47' 75 50' 75 < 0.( x Me).( 47' 75 48' 5) ' 5 < 0 Luego es asmétrca zquerda (o negatva). - Estadístca descrptva

23 c) La altura 4 m. ( 4 cm.) se encuentra en el ntervalo [9 5, 44 5) : k. k Pk '. 58 '. 86 ' '. 5 5 ' '. k k ' ' Luego corresponde al percentl 5. 7 X Dada la sguente dstrbucón de recuencas., calcular : a) Meda y desvacón típca. b) úmero de observacones comprenddas entre las puntuacones drectas 5 y 9 5. c) Puntuacones típcas de los percentles 0 y 80. Ordenamos los ntervalos de menor a mayor, expresándolos medante sus extremos reales. a) Intervalos x.x.x F [ 0 5, 5 ) [ 5, 6 5 ) [ 6 5, 9,5 ) [ 9 5, 5 ] 00 Totales x 65 ' s 6' ' s 5875 ' ' b) De la observacón drecta de la tabla se concluye que es 60 (60+). c) Percentl 0 : Lugar 0 x 00 / (Observando F) se encuentra en [ 5, 6 5 ) P z ' '. 0' ' 44 Percentl 80 : Lugar 80 x 00 / 60 (Observando F) se encuentra en [ 6 5, 9,5 ) ' 65 ' P80 65 ' ' z 0' 9 ' 44 8 x 0 6 Hacendo uso de coecentes basados en meddas de poscón, estude la smetría y el apuntamento de la dstrbucón. Tales coecentes son el de asmetría de Yule y el de curtoss de Kelley. Obtengamos los percentles que ntervenen en su cálculo a través de la columna de porcentajes acumulados (P) : x r p P Cuartl º : (5%) Cuartl º : (75%) Medana : (50%) Percentl : (%) 0 50 Percentl 90 : (90%) Con ellos : Y Q. Me + Q. + Q Q (asmétrca a la zquerda o negatva) Q Q Q K ' ' 0' 6 0' 096 P P P P 0 (lgeramente platcúrtca o aplastada) Estadístca descrptva -

24 9 0 Determne las medas artmétca, geométrca y armónca de la varable X que toma los valores sguentes : 5,, 5, 4, 8. Meda artmétca : x 5 x Meda geométrca : x 5 5 G x. x..... x ' Meda armónca : 5 5 xa 87 ' 775 ' x x ' 5 0 ' Determne las medas artmétca, geométrca y armónca de la dstrbucón. Generalzamos las expresones correspondentes al gurar recuencas : Meda artmétca :. x x ' 0 0 Meda geométrca : x n x. x..... x ' 077 Meda armónca : x G A n x ' ' ' Con el n de estudar la edad meda y la dspersón de edades en un centro educatvo, el drector solcta estos datos a los responsables de los dstntos nveles, resultando : 00 alumnos de Prmara con meda años y varanza 5. alumnos de Secundara con meda 4 6 años y varanza. 65 alumnos de Bachllerato con meda 7 años y varanza 0 9. Cuál es la edad meda y la varanza del colectvo total de alumnos del centro?. Meda conjunta de los grupos Varanza conjunta de los grupos n. x ' ' ' X 99 ' n S ( ) n n. S n. x X + n 00.' ' ( ' 99) +.( 4' 6 ' 99) + 65.( 7' ' 99) ' 46' ' ' 8' De las observacones de dos varables X, Y, conocemos : ΣX 4 ; ΣX 4 ; ΣY 4 ; ΣY 54 ; ΣXY 98. Determne la meda y varanza de la varable V X - Y. Calculemos la meda y varanza de X, la meda y varanza de Y, así como la covaranza. 4 X 4 ' Y ' S X 4 ' 4 ' S Y 4 ' 84 ' X. Y 98 SXY XY. 4 '. 4 ' 4 ' Con ello : 4 - Estadístca descrptva V X Y 4 ' 4 ' 8

25 V X Y XY S S + S. S 4 ' + 84 ' 4. ' ' 8 El estudo de las altas de asstenca a clase de alumnos de un grupo de º de Secundara produjo los resultados sguentes : Faltas Alumnos 4 Determne la medala y estude analítca y grácamente el grado de concentracón de la dstrbucón. Los cálculos de la medala, índce de Gn y curva de Lorenz, se obtenen a partr de la sguente tabla auxlar: x F Σ. P (F.. /). t. x T Σ t. Q (T.. /T). P - Q '95 4' '987 ' '675 5' '065 4' '545 0' ' 4' ' ' TP 55 T 77 TD '8 Unendo el orgen del rectángulo (0, 0) con los sucesvos puntos (P, Q ) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha. Las sumas TD y TP permten obtener el índce de Gn : TD 8 ' G 0' 09 TP 55 Conclumos la presenca de una certa concentracón (lo cuál tambén se adverte con la gráca). Medala 5 ya que el prmer valor que guala o supera a 50 en la columna Q es 54'545, el cuál corresponde a x 5. 4 Un análss del pago de mpuesto en el sector de hostelería orecó los resultados sguentes (mportes mensuales por.000 pesetas) : Importe [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,) [,] Empresas Determne la medala y estude analítca y grácamente el grado de concentracón de la dstrbucón. Los cálculos de la medala, índce de Gn y curva de Lorenz, se obtenen a partr de la sguente tabla auxlar: x F Σ. P (F.. /). t. x T Σ t. Q (T.. /T). P - Q [0,) 0'97 '70 [,4) '967 5'0 [4,6) '55 '745 [6,8) '798 '0 [8,) '8 '60 [,] TP T 674 TD '84 Estadístca descrptva - 5

26 Con TD y TP obtenemos el índce de Gn : TD 84 ' G 0495 ' TP Conclumos que exste una concentracón muy baja (lo cuál manestará tambén la gráca de Lorenz). Unendo el orgen del rectángulo (0, 0) con los sucesvos puntos (P, Q ) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha. Medala en el ntervalo [6, 8) ya que el prmer valor que guala o supera a 50 en la columna Q es 6'798, el cuál corresponde al ntervalo ndcado. De aquí : 50 Q Ml e + Q Q. a 50 ' ' 798 ' 55 7 ' 57 5 x Hacendo uso del cálculo de momentos ordnaros de órdenes º al 4º, determne el valor de 0 la meda, varanza, asmetría y curtoss de la dstrbucón de la zquerda. 8 4 Tabla de cálculo de momentos ordnaros : a a a a 4 x.x.x.x.x Totales : k Orden a x k x. k. m k a ' m 0 9 a 797 ' m a a ' ' 0' a 9708 ' m a. a. a+. a... 0' a 4 7' 797 m4 a4 4. a. a+ 6. a. a. a... ' Con los momentos calculados : Meda μ x a 708 ' Varanza σ s x m 0874 ' Coecente de asmetría m 0468 ' As 004 ' ( m ) ( 0874 ' ) Coecente de curtoss K m 4 ' 954 m ' 009 ' 6 - Estadístca descrptva

27 6 Hacendo uso del coecente de varacón, compare la dspersón o varabldad relatva de las dos varables descrtas en cada uno de los apartados sguentes : a) El peso medo de los toros de una ganadería es de 4 kg. con desvacón típca de kg. y, el peso medo de los perros de una granja es de 8 kg. con gual desvacón típca. b) Dos ábrcas producen tornllos con gual longtud meda (50 mm.), sendo la desvacón típca de la prmera de mm. y de mm. la de la segunda. a) CVT CVP 4. 0' 49% 5% 8. ' El peso de los perros tene mayor varabldad b) CVA CVB 50. 4% 4% 50. Los de la ª tenen mayor varabldad 7 X A B La tabla muestra la comprensón lectora (X) de dos grupos de sujetos educados en nveles sococulturales altos (A) y bajos (B). S a partr de la puntuacón X9 se consdera una comprensón lectora buena, calcular : a) El porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensón lectora. b) Cuál de los dos grupos presenta mayor varabldad? (Razone adecuadamente su respuesta). Expresamos los ntervalos con extremos reales, obtenendo la tabla de cálculos de percentles, meda y varanza de ambos grupos. x A F A A.x A.x B F B B.x B.x [-0'5,6'5) [6'5,'5) ['5,0'5) [0'5,7'5) [7'5,4'5] a) Calculemos el orden k del percentl que es gual a 9. Este nos da el porcentaje de los que tenen menos de 9 puntos, luego, como deseamos saber el porcentaje de los superores a 9, la respuesta será su derenca hasta. El valor 9 se encuentra en el ntervalo ['5,0'5) : En el grupo A : k. Pk 9 5 ' +. 7 k 468 ' 9 Luego el 57'% ( - 4'68) tenen buena comprensón lectora en el grupo A. En el grupo B : k. 0 Pk 9 5 ' +. 7 k 604 ' 9 Luego el 9'76% ( - 60'4) tenen buena comprensón lectora en el grupo B. b) Mayor varabldad la presentará aquel grupo que posea mayor dspersón entre sus valores. Con mayor rgor, s la meda es representatva de las observacones (no exsten valores extremos exageradamente dstancados de la mayoría), es el coecente de varacón el más adecuado para medr la varabldad relatva entre dos seres estadístcas (mayor coecente ndca menor homogenedad; un menor valor ndcará menor dspersón o varabldad). S comparamos medante las varanzas : XA 9' 8 ; SA 9' 8 77' 9 ; XB 6' ; SB 6' 6 ' 0 0 el grupo A presenta una mayor varabldad. S comparamos medante los coecentes de varacón : SA 77' 9 SB ' CVA.. ' CVB.. ' X 9' % X % 6' A luego, conclumos que el grupo B presenta una mayor varabldad relatva (44'58 < 48'78), en contra de lo obtendo comparando varanzas. B Estadístca descrptva - 7

28 8 X A B La tabla muestra la comprensón lectora (X) de dos grupos de sujetos educados en nveles sococulturales altos (A) y bajos (B). S a partr de la puntuacón X9 se consdera una comprensón lectora buena, calcular : a) El porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensón lectora. b) Cuál de los dos grupos presenta mayor varabldad? (Razone adecuadamente su respuesta). Expresamos los ntervalos con extremos reales, obtenendo la tabla de cálculos de percentles, meda y varanza de ambos grupos. x A F A A.x A.x B F B B.x B.x [-0'5,6'5) [6'5,'5) ['5,0'5) [0'5,7'5) [7'5,4'5] a) Calculemos el orden k del percentl que es gual a 9. Este nos da el porcentaje de los que tenen menos de 9 puntos, luego, como deseamos saber el porcentaje de los superores a 9, la respuesta será su derenca hasta. El valor 9 se encuentra en el ntervalo ['5,0'5) : En el grupo A : k. Pk 9 5 ' +. 7 k 468 ' 9 Luego el 57'% ( - 4'68) tenen buena comprensón lectora en el grupo A. En el grupo B : k. 0 Pk 9 5 ' +. 7 k 604 ' 9 Luego el 9'76% ( - 60'4) tenen buena comprensón lectora en el grupo B. b) Mayor varabldad la presentará aquel grupo que posea mayor dspersón entre sus valores. Con mayor rgor, s la meda es representatva de las observacones (no exsten valores extremos exageradamente dstancados de la mayoría), es el coecente de varacón el más adecuado para medr la varabldad relatva entre dos seres estadístcas (mayor coecente ndca menor homogenedad; un menor valor ndcará menor dspersón o varabldad). S comparamos medante las varanzas : XA 9' 8 ; SA 9' 8 77' 9 ; XB 6' ; SB 6' 6 ' 0 0 el grupo A presenta una mayor varabldad. S comparamos medante los coecentes de varacón : SA 77' 9 SB ' CVA.. ' CVB.. ' X 9' % X % 6' A luego, conclumos que el grupo B presenta una mayor varabldad relatva (44'58 < 48'78), en contra de lo obtendo comparando varanzas. B 8 - Estadístca descrptva

29 EJERCICIOS PROPUESTOS 4 Las edades de los alumnos que assten a clase de repaso en una academa son las sguentes a) Construr la tabla completa de recuencas. b) Calcular la moda. c) Determnar su meda artmétca, varanza y desvacón típca. d) Obtener el valor de la medana, del percentl 9 y de la ampltud sem-ntercuartílca. La tabla sguente contene los pesos en kg. de los alumnos de un curso '5 ' ' ' '5 49' '5 45' '5 a) Agrupar los valores en ntervalos de 5 kg. de ampltud, comenzando por 5 kg., realzando un recuento de los msmos y conecconando la tabla completa de recuencas b) Calcular la moda de dcha dstrbucón de pesos. c) Determnar su meda artmétca, varanza y desvacón típca. d) Obtener el valor de la medana, y del 8º decl. Sea la sguente dstrbucón de recuencas: x a) Calcular la meda de esta dstrbucón. b) S se suma a los valores de x la cantdad A, qué relacón guarda la meda de la nueva dstrbucón con la de la anteror?. Generalzar este resultado y demostrar que s en una dstrbucón de recuencas de meda m, se susttuyen los valores x por x + A, mantenendo las recuencas, la meda m' de la nueva dstrbucón verca : m' A + m c) Utlzando la gualdad obtenda, cómo podría calcularse más áclmente la meda de la dstrbucón sguente? x Una sere amlas se han clascado por su número de hjos, resultando : º de hjos º de amlas Se pde: a) Calcular la tabla completa de recuencas. b) Representacones grácas. c) Calcular la meda, medana y moda. d) Hallar el recorrdo, varanza y desvacón típca. Estadístca descrptva - 9

30 5 Ordenar las cuatro dstrbucones sguentes de mayor a menor dspersón Los precos de una chaqueta en once establecmentos ueron (en pts.): Calcular la desvacón meda respecto de la medana y respecto de la meda. S en una dstrbucón de recuencas duplcamos las ampltudes de los ntervalos, qué sucederá, aproxmadamente, con los valores de las recuencas?. Represente el hstograma correspondente a la sguente dstrbucón de edades de los trabajadores de una ábrca. Edades º de trab. de 0 a menos de 5 5 de 5 a menos de 5 0 de 5 a menos de de 45 hasta 65 4 Ponga un ejemplo sencllo de una dstrbucón de recuencas smétrca. Calcule su moda, meda y medana, vercando que los tres parámetros concden. A la zquerda se muestra el gráco representatvo de las recuencas absolutas acumuladas de la dstrbucón de edades de ndvduos. a) Obtenga su meda, medana y moda. b) Cuántos tenen edades nerores a cnco años y medo? 0 - Estadístca descrptva

31 Una varable X tene como meda y varanza 9. S se obtene una nueva varable Y multplcando los elementos de X por 4 y restándoles 8 undades, cuál es el valor del coecente de varacón de Y? Una varable X toma los valores : Realzada una transormacón lneal con ella, se generó una nueva varable de la que conocemos que su meda era 5 y que la puntuacón X se transormó en Y. Calcule las cuatro puntuacones Y desconocdas. X Estude la smetría y el apuntamento (curtoss) de la dstrbucón de la zquerda OTA : 4 6 Obtenga los dstntos coecentes conocdos. Compare los resultados. 5 4 ota Alumnos La tabla de la zquerda nos muestra la dstrbucón de calcacones de los alumnos de un curso. a) Determne su meda, medana y moda. b) Qué porcentaje de observacones tenen nota neror a 6?. c) Entre qué valores se encuentra el 70% de las notas centrales? d) Obtenga el coecente de varacón y la ampltud sem-ntercuartílca. ota F De la dstrbucón de notas de 0 alumnos, calcular : [0, ) a) Frecuencas absolutas smples () y acumuladas (F) que altan en la tabla. [, ) b) Coecente de varacón. [, ) 5 c) Porcentaje de alumnos con notas nerores a '6. [, 4) d) Entre qué notas se encuentra el % de las calcacones centrales?. [4, 5) e) Momentos ordnaros y centrales hasta el 4º orden. [5, 6) 6 ) Coecentes de asmetría y curtoss, utlzando los momentos calculados en e). [6, 7) 9 [7, 8] Con el n de estudar la dstrbucón de allos en una peza de tela, se realzó un recuento de los contendos en cada metro. Los resultados ueron los sguentes : Fallos º de metros a) Estude el grado de concentracón de la dstrbucón de allos a lo largo de la peza de tela. b) Calcule su meda y su medala. La tabla sguente muestra los allos cometdos por alumnos en la realzacón de un test de tems. Errores [0, ) [, 0) [0, 0) [0, ) [, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) Alumnos a) Estude el grado de concentracón de la dstrbucón de preguntas con respuesta errónea. b) Calcule su medala. Estadístca descrptva -

32 SOLUCIOES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 4 a) x r p F R P 0'0 0' ' 6 0' 5 0' ' 6 4 0' ' ' ' ' 48 0' ' '00 b) Mo 6 c) x 6' ; s '7856 ; s '6 d) Me 6 ; P 9 5 ; Q a) Intervalo r p F R P [5,) 0'075 7'5 0'075 7'5 [,45) 4 0'50 5'0 7 0'45 4'5 [45,50) 8 0'00 0'0 5 0'65 6'5 [50,55) 9 0'5 '5 4 0'850 85'0 [55,60] 6 0'50 5'0 '000 '0 b) Mo 4'66 c) x 47'65 ; s 6'859 ; s 6'07 d) Me 46'875 ; D 8 5'889 a) x '4 b) '4 + A c) Realzando el cambo : y x 754 a) x r p F R P 0 0' 0' 0' 4 0' ' ' ' ' ' ' ' 9 0' ' ' '0 99 0' '0 '00 b) % 5 % 6 4% 7 % 8 % 0 % 5 5% % % c) x '8 ; Me ; Mo - Estadístca descrptva

33 d) R 8 ; s '4 ; s ' A, D, C, B. D Me D 870 Se dvden por dos. x Las alturas deben ser proporconales al área. Dvdmos las recuencas según sea la ampltud del ntervalo. Alturas : 5 (0/) 4 (48/) 6 (4/4) 9 x x Me Mo 8 4 a) x 4'7 ; Me 5 ; Mo 6 b) 0 CV 5'789 5, 5, 5'667, 6'. ( x x) As σ x Mo σ.(x Md) σ - 0'9956 lgeramente asmétrca a la zquerda As 0'06786 lgeramente asmétrca a la derecha (práctcamente smétrca). As - 0'57 lgeramente asmétrca a la zquerda Los coecentes basados en la moda y la medana hacen uso de una relacón teórca entre los parámetros de centralzacón. Generalmente no conducen a la msma conclusón, salvo dstrbucones claramente asmétrcas. Estadístca descrptva -