Modelos de fisura cohesiva difusa y fisura cohesiva discreta para materiales cuasifrágiles

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1 Modelos de fisura ohesiva difusa y fisura ohesiva disreta para materiales uasifrágiles Trabajo fin de Master Elvira Meredes López Salinas Ingeniero Civil Diretor: Sergio Blano Ibáñez Dotor Ingeniero en Caminos, Canales y Puertos Madrid, Septiembre de 2011

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3 Índie general List of illustrations List of tables page v viii 1. MOTIVACIÓN, OBJETIVOS Y CONTENIDO Motivaión Objetivos Contenido 1 2. ESTADO DEL ARTE Introduión Proeso de rotura en materiales uasi-frágiles Modelos que desriben el omportamiento a rotura de los materiales uasi-frágiles Modelos de fisura ohesiva disreta Modelos basados en las formulaiones del ontinuo MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN Introduión Cinemátia del modelo Formulaión Disipaión y regularizaión del ablandamiento Implementaión del Algoritmo Validaión del Modelo Comprobar que la disipaión del modelo es orreta Verifiar que a ompresión el omportamiento es elástio Mostrar que se produe una loalizaión de la deformaión y la ontinuidad de las traiones Obtenión del parámetro β para el hormigón. Relaión on las leyes traión salto Validaión de la expresión obtenida para obtener el valor de β Apliaiones Estruturales Viga a flexión en tres puntos Wedge Splitting test Panel en forma de L 39

4 iv Índie general 4. MODELO COHESIVO DISCRETO Introduión Desripión del modelo material Cinemátia Balane de Energía Meánia Funión de densidad de energía de deformaión por unidad de área (deformaiones infinitesimales) Disipaión y respuesta tensional Variables internas Disipaión del modelo Dominio Elástio. Criterio de daño Condiiones de arga-desarga o de Kuhn-Tuker. Condiión de persistenia Resumen del modelo ohesivo en el estado de las deformaiones Definiión del ablandamiento Desripión elemento ohesivo lineal Implementaión del Algoritmo Validaión del Modelo Comprobar que la disipaión del modelo es orreta Verifiar que a ompresión el omportamiento es elástio Evoluión del tamaño del dominio elástio Mostrar que se produe una loalizaión de la deformaión y la ontinuidad de las traiones Apliaiones Estruturales Viga a flexión en tres puntos Wedge Splitting test Panel en forma de L CONCLUSIONES 76 Apéndie Código 79 A.1. Código modelo fisura difusa. Modelo de daño regularizado. 79 A.2. Código modelo fisura disreto. Elemento de interfaz y modelo ohesivo. 82 Referenias 87

5 Índie de figuras 2.1. Los tres modos básios de fratura: a) Modo I o de abertura b) Modo II o de deslizamiento ) Modo III o de desgarre Evoluión de la zona en proeso de fratura Tipos de zona en proeso de fratura Comportamiento tensión-desplazamiento bajo tensión uniaxial (a) frágil, (b) dútil y () uasi-frágil Fisura ohesiva y urva de ablandamiento de fratura en modo I del hormigón Distintas urvas de ablandamiento: (a) primera aproximaión lineal y (b) aproximaión bilineal Curva tensión-deformaión on ablandamiento Daño en un medio ontinuo Tensión efetiva Cinemátia: (a)disontinuidad fuerte; (b) disontinuidad débil Cinemátia de disontinuidad débil Modelo de daño ontinuo uniaxial Ensayo de traión pura Curva Fuerza vs Desplazamiento Curva fuerza-desplazamiento para distintos valores de β Curva Tensión vs Deformaión Loalizaión de la deformaión Ensayo de traión, viga de 3 elementos Loalizaión de la deformaión (a)curva tensión vs deformaión; (b) Curva de ablandamiento Obtenión del parámetro β: (a) disretizaión; (b) Curva de ablandamiento Viga a flexión en tres puntos: Esquema del ensayo Viga a flexión en tres puntos: Disretizaión del modelo Viga a flexión en tres puntos:: malla entral deformada (ampliada 50 vees) Ensayo de viga a flexión: Relaión entre la arga apliada y la deflexión en la mitad de la luz Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de σ 1 uando se alanza la arga máxima:(a) estrutura ompleta, (b) zona entral Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de tensiones σ 1 : (a) δ = 0,1mm, (b) δ = 0,22mm, () δ = 0,38mm, (d) δ = 0,54mm, (e) δ = 0,78mm, (f) δ = 0,9mm, (g) δ = 2mm. 37

6 vi Índie de figuras Wedge splitting test: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm) Wedge splitting test: disretizaión del modelo Wedge splitting test: deformada (ampliada 50 vees) Wedge splitting test: P vs CMOD Panel en forma de L: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm) Panel en forma de L: disretizaión del modelo y trayetoria de la grieta Panel en forma de L: deformada (ampliada 50 vees) Panel en forma de L: Curvas arga (P) desplazamiento experimental y numéria Introduión Cinemátia del modelo. (a) inemátia de disontinuidad fuerte, (b) expresión regularizada del ampo tasa de las deformaiones representativa de disontinuidades débiles y fuertes Balane de energía meánia Elemento de interfaz de lineal Puntos de Gauss Direión normal y tangenial en Ŝ Cambio de ejes oordenados Ensayo de traión pura Curva Fuerza vs Desplazamiento Curva fuerza-desplazamiento para distintos valores de β Comportamiento elástio a ompresión del onjunto Penalizaión de la ompresión en elemento ohesivo Comportamiento en arga-desarga del elemento ohesivo Ensayo de traión, viga de 3 elementos Loalizaión de la deformaión Viga a flexión en tres puntos: Esquema del ensayo Viga a flexión en tres puntos: Disretizaión del modelo Viga a flexión en tres puntos:: malla entral deformada (ampliada 50 vees) Ensayo de viga a flexión: Relaión entre la arga apliada y la deflexión en la mitad de la luz Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de σ 1 uando se alanza la arga máxima:(a) estrutura ompleta, (b) zona entral Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de tensiones σ 1 : (a) δ = 0,1mm, (b) δ = 0,22mm, () δ = 0,38mm, (d) δ = 0,54mm, (e) δ = 0,78mm, (f) δ = 0,9mm, (g) δ = 2mm Wedge splitting test: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm) Wedge splitting test: disretizaión del modelo Wedge splitting test: deformada (ampliada 50 vees) Wedge splitting test: P vs CMOD Panel en forma de L: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm) Panel en forma de L: disretizaión del modelo y trayetoria de la grieta Panel en forma de L: deformada (ampliada 50 vees) Panel en forma de L: Curvas arga (P) desplazamiento experimental y numéria Viga a flexión en tres puntos 77

7 Índie de figuras vii 5.2. Panel en L 78

8 Índie de uadros 3.1. Propiedades materiales Energía disipada para distinto valores de β Propiedades materiales Propiedades de fratura del hormigón Viga a flexión en tres puntos: Propiedades materiales Viga a flexión en tres puntos: Caraterístias del ensayo numério Wedge splitting test: Propiedades materiales Wedge splitting test: Caraterístias del ensayo numério Panel en forma de L: Propiedades materiales Panel en forma de L: Caraterístias del ensayo numério Validaión. Propiedades materiales Energía disipada para distinto valores de β Validaión. Propiedades materiales Viga a flexión en tres puntos: Propiedades materiales Viga a flexión en tres puntos: Caraterístias del ensayo numério Wedge splitting test: Propiedades materiales Wedge splitting test: Caraterístias del ensayo numério Panel en forma de L: Propiedades materiales Panel en forma de L: Caraterístias del ensayo numério. 73

9 1 MOTIVACIÓN, OBJETIVOS Y CONTENIDO 1.1 Motivaión El agotamiento resistente de una estrutura asoiado a la existenia de ablandamiento en su omportamiento material está asoiado a la apariión del fenómeno de la loalizaión de deformaiones. Se produe una bifuraión en el equilibrio de forma que un estado homogéneo de tensión-deformaión da lugar a un estado en el que los fenómenos inelástios se onentran en bandas estrehas, mientras el resto de la estrutura se mantiene en el dominio elástio. Se produe un malondiionamiento del problema a resolver y se hae neesario regularizarlo. Varias son las ténias propuestas entre las que destaan los modelos de fisura ohesiva difusa, los modelos de fisura ohesiva disreta embebida y no embebida y los modelos no loales. 1.2 Objetivos El trabajo onsiste en estudiar los modelos de fisura ohesiva difusa y fisura ohesiva disreta no embebida para reproduir el agotamiento resistente en materiales uasifrágiles. Tres son los objetivos prinipales que se quieren lograr en el presente trabajo: 1.. Implementar un modelo de fisura ohesiva difusa basado en un modelo de daño on el ablandamiento regularizado. 2.. Siguiendo el enfoque del modelo de fisura ohesiva disreta no embebida, implementar un elemento de interfaz on una ley ohesiva disreta traión-salto. 3.. Caraterizar el parámetro β que esta relaionado on la disipaión y la regularizaión del ablandamiento, on los parámetros materiales (σ u, w 1 y G f ) empleados en el Código Modelo CEB90 para definir la degradaión del hormigón a traión. 1.3 Contenido El presente doumento está estruturado en un total de ino apítulos y un apéndie. En este primer apítulo se realiza una breve expliaión de la motivaión y los objetivos

10 2 MOTIVACIÓN, OBJETIVOS Y CONTENIDO del trabajo. En el Capítulo 2 se realiza un repaso del estado del arte atual de los diferentes modelos existentes para desribir el agotamiento resistente de una estrutura, on espeial interés en los modelos de fisura ohesiva difusa y fisura ohesiva disreta no embebida. En el Capítulo 3 se reoge una desripión detallada de la implementaión de un modelo de daño on ablandamiento regularizado, se hae una pequeña introduión del modelo de daño, se desribe la inemátia del mismo y se realiza la formulaión para la posterior implementaión en el ódigo de elementos finito FEAP, se desriben ejemplos senillos de validaión del modelo así omo el desarrollo de ejemplos estruturales. Cabe destaar que en este apítulo se desribe también la obtenión del parámetro β ligado a la regularizaión del ablandamiento. En el Capítulo 4 se reoge una desripión detallada de la implementaión de un modelo de fisura ohesiva disreta no embebida, teniendo básiamente la misma estrutura del Capítulo 2. Finalmente en el Capítulo 5 se desriben las onlusiones más importantes del presente trabajo. Para onluir se inluye un apéndie que muestra el ódigo del modelo de daño y el elemento ohesivo implementado en FEAP.

11 2 ESTADO DEL ARTE 2.1 Introduión El modelo de fisura ohesiva es uno de los modelos básios de la meánia de la fratura no lineal, empleado para desribir el proeso de fratura de los materiales uasifrágiles (omo el hormigón). Estos métodos se basan en la idea pionera de Barenblatt (1959, 1962), Dugdale (1960) y Rashid (1968)(Kumar & Barai 2011). El modelo surge debido a que las investigaiones realizadas en los años 1960 y 1970 para desribir el proeso de rotura (fratura) de materiales uasi-frágiles mediante la meánia de la fratura elástia y lineal (LEFM) no dieron resultados satisfatorios debido a que el tamaño de la zona de fratura de este tipo de materiales es del mismo orden que el tamaño de la probeta, lo ual daba omo resultado que la tenaidad del material sea dependiente del tamaño de la muestra. Otro de los motivos por lo ual surgen estos métodos es que era neesario desribir la fisuraión del hormigón uando no existían marogrietas, que es lo que generalmente ourre on las estruturas de hormigón y que no era posible on el enfoque de la LEFM. 2.2 Proeso de rotura en materiales uasi-frágiles Antes de desribir los modelos existentes para desribir el proeso de fratura en materiales uasi-frágiles, es neesario entender el omportamiento de los mismos, para ello primeramente es neesario onoer los modos de fratura que puede sufrir un uerpo fisurado. Existen tres modos básios de desplazamientos de la ara de una fisura uando está sometida a tensiones, tal omo se muestra en la Figura 2.1. El modo I (modo de abertura) orresponde al modo normal de separaión de las aras de la grieta bajo la aión de tensiones normales; el modo II (modo de deslizamiento) refiere al desplazamiento de los labios bajo la aión de tensiones de orte perpendiulares al frente de grieta, y el modo III (modo de desgarre o rasgado) también se produe por deslizamiento y izalladura de los labios de la fisura, en una direión paralela al frente de grieta.

12 4 ESTADO DEL ARTE Figura 2.1 Los tres modos básios de fratura: a) Modo I o de abertura b) Modo II o de deslizamiento ) Modo III o de desgarre Meánia de la fratura lásia Las primeras aproximaiones al problema de fratura en materiales se han formulado omo una extensión natural de la teoría lásia de elastiidad. En esta línea, Inglis estudió la onentraión de tensiones en una plaa infinita on un orifiio de tipo elíptio simulando la presenia de una disontinuidad en el medio. Desde el punto de vista inemátio, esta estrategia onsidera disontinuidades en el ampo de desplazamiento libres de tensión lo ual indue, neesariamente, una singularidad del ampo tensional en la punta de la fisura. Por este motivo, on el paso del tiempo se han propuesto oneptos más elaborados basados en magnitudes integrales (integral-j o integral de Rie) omo riterio para predeir las ondiiones rítias en la uales se produe el fallo material por desarrollo de fisuras. Este tipo de aproximaión, también onoida omo Meánia de Fratura Lineal Elástia (Linear Elasti Frature Mehanis LEFM), es apliable a situaiones en las uales la Zona de Proeso de Fratura es despreiable on respeto a las dimensiones araterístias del problema en estudio. Proeso de fratura del hormigón Una vez onoidos los modos de fratura a los que puede estar sometido un uerpo fisurado y desrito brevemente la meánia de la fratura lásia se proede on la desripión del omportamiento a rotura (fratura) del hormigón, sin embargo abe destaar que el mismo se puede haer extensible a ualquier material uyo omportamiento sea uasi-frágil. Los materiales uasifrágiles, omo el hormigón y el mortero, no agotan su apaidad una vez que han alanzado una tensión igual a su resistenia última. La Figura 2.2 muestra una grieta en un material de este tipo. De izquierda a dereha distinguimos tres zonas: 1) zona ompletamente rota, abierta y sin posibilidad de transmitir tensiones entre los labios de la grieta, 2) zona en proeso de fratura, el material ha alanzado tensiones iguales a su resistenia y se ha roto, pero mantiene apaidad de transmitir tensiones normales y tangeniales entre los labios de la grieta a través de puentes de

13 2.2 Proeso de rotura en materiales uasi-frágiles 5 material sano y la imbriaión entre los áridos y 3) zona sana, en la que el material no ha sido soliitado por tensiones superiores a su resistenia (Gálvez & Cendón 2002). Preisamente la dimensión de la zona en proeso de fratura (FPZ en sus siglas en inglés) es lo que distingue a un material uasi-frágil de los otros materiales. Figura 2.2 Evoluión de la zona en proeso de fratura La diferenia entre del hormigón y otros materiales uasi-frágiles en los uales se puede apliar MEFL se debe prinipalmente al desarrollo de una gran zona inelástia delante de la punta de la grieta (FPZ). En general, la zona de proeso de fratura es una zona no lineal que se arateriza por un reblandeimiento progresivo, por lo que la tensión disminuye y las deformaiones aumentan. Esta zona está rodeada por una zona de no-ablandamiento no lineal y una zona araterizada por el endureimiento o la plastiidad perfeta, por lo que la tensión aumenta o se mantiene onstante on el aumento de las deformaiones. Estas dos zonas forma la zona no lineal. Dependiendo del tamaño relativo de estas dos zonas y la estrutura, podemos distinguir tres tipos de omportamiento de fratura, tal omo se muestra en la Figura 2.3. En el primer tipo de omportamiento toda la zona no lineal es relativamente pequeña, omparada on el tamaño de la estrutura, por lo tanto la fratura se onentra asi en un solo punto, en la punta de la grieta. Este tipo de omportamiento es típio de los materiales frágiles ideales (vidrio, erámios), por lo que los métodos de la MFEL son apliables diretamente. El segundo tipo de omportamiento es muy típio de los metales dútiles donde la segunda zona es muho más grande que la zona de ablandamiento, en este aso se pueden apliar los métodos de la meánia de la fratura elasto-plástios. En el terer tipo de omportamiento la parte prinipal de la zona no lineal presenta daño progresivo on reblandeimiento material, debido a las mirofisuras, formaiones de vaío y otros fenómenos similares. La zona de endureimiento es pequeña y a menudo insignifiante, esto ourre on el hormigón, las roas, et. Llamamos a estos materiales uasi-frágiles, porque la zona en proeso de fratura es bastante grande, por lo que la MFEL no es apliable en estos asos. Por otro lado, el omportamiento de los tres tipos de materiales desritos anteriormente sometidos a tensión uniaxial se puede desribir usando las relaiones tensión

14 6 ESTADO DEL ARTE Figura 2.3 Tipos de zona en proeso de fratura deformaión (ver Figura 2.4). El material frágil muestra un omportamiento lineal asi hasta alanzar la arga pio, y una fisura atastrófia se propaga a través de la muestra justo después del pio (Figura 2.4(a)). El omportamiento de los materiales dútiles, se muestra en la Figura 2.4(b), se arateriza por una meseta de rendimiento pronuniado y el omportamiento no lineal se iniia muho antes del iniio de la loalizaión de la fisura. En el material uasi-frágil (Figura 2.4()), el omportamiento no lineal se iniia antes de la arga máxima y luego al llegar a la arga pio, se produe la loalizaión de la fisura. En onseuenia, la apaidad de transferenia de tensión del material omienza a disminuir. Figura 2.4 Comportamiento tensión-desplazamiento bajo tensión uniaxial (a) frágil, (b) dútil y () uasi-frágil 2.3 Modelos que desriben el omportamiento a rotura de los materiales uasi-frágiles Siguiendo el enfoque de J. Planas et. al. (Planas, Elies, Guinea, Gómez, Cendón & Arbilla 2003) los modelos para desribir el omportamiento en fratura de los materiales uasi-frágiles (omo el hormigón) se pueden representar a través de dos familias:

15 2.3 Modelos que desriben el omportamiento a rotura de los materiales uasi-frágiles 7 (a). Los modelos que desriben la fratura a través de la fisura disreta. Estos modelos van desde la meánia de la fratura elástia lineal (MEFL) en el nivel más simple, a los modelos de fisura ohesiva. (b). Los modelos basados en las formulaiones del ontinuo (es deir, formulada en términos de los tensores de tensión y deformaión), dentro de este grupo se enuentran los modelos de gradientes, no loales, los modelos de banda o también denominados modelos de fisura ohesiva difusa o fisura distribuida y modelos de singularidad fuerte. Desde el enfoque de los métodos numérios basados en el método de los elementos finitos los modelos que desriben el omportamiento de los materiales uasi-frágiles se pueden dividir en dos grupos: los proedimientos basados en la fisura distribuida y proedimientos basados en la fisura disreta (Gálvez & Cendón 2002). Desde el enfoque de la inemátia que desribe el modelo se pueden obtener dos grupos de modelos: los desritos por la inemátia de la disontinuidad fuerte, en el ual la ZPF (loalizaión de las deformaiones) se onentra en una banda de espesor nulo (modelos de fisura ohesiva disreta), y los desritos por la inemátia de la disontinuidad débil donde las deformaiones se onentran en una banda de espesor pequeño pero finito (modelos de fisura distribuida o fisura ohesiva difusa) (Blano 2007) Modelos de fisura ohesiva disreta El método de fisura ohesiva se propuso por primera vez por Barenblatt (1959, 1962) y Dugdale (1960). Hillerborg et al. (1976) extendió los planteamientos anteriores asumiendo que la fisura ohesiva se puede desarrollar en ualquier parte, inluso sin la presenia de marofisuras (Planas et al. 2003). Para desribir un modelo de fisura ohesiva es neesario definir tres ingredientes prinipales (Planas et al. 2003): 1.. El omportamiento tensión-deformaión del material en ausenia de fisuras ohesivas, desrita por modelos onstitutivos lásios. 2.. El riterio de iniiaión, el ual determina las ondiiones en que una grieta se forma y la orientaión oherente de la grieta reién formada. 3.. La ley de evoluión de la fisura ohesiva, que se relaiona on las tensiones transferidas entre sus aras por el desplazamiento relativo entre los labios de la grieta. Para materiales uasi-frágiles en el que la nolinealidad en su mayor parte está limitada, es usual asumir que el material fuera de la zona de fisura tiene un omportamiento elástio lineal y que aparee una fisura tan pronto omo la fuerza nodal normal en los ontornos de un elemento finito exede la máxima tensión de traión que resiste el hormigón en un ensayo uniaxial, y que la orientaión de la nueva grieta formada es perpendiular a la tensión prinipal máxima (modo I de fratura). La ley de evoluión en la zona de proeso de fratura será monótona en modo I por lo que la tensión ohesiva es

16 8 ESTADO DEL ARTE funión úniamente de la apertura de la grieta, que para el hormigón es monótonamente dereiente, y se llama urva de ablandamiento. La urva de ablandamiento σ = f (w) es el elemento fundamental de este modelo y se onsidera una propiedad material. Para la definiión de la misma se requiere omo mínimo dos parámetros: la resistenia a traión del hormigón σ u y la energía espeífia de fratura G F. La resistenia a traión σ u del hormigón es la tensión de traión a la que una grieta es reada y omienza a abrirse (σ(0) = σ u ). La energía espeífia de fratura G F es la energía neesaria para generar una unidad de superfiie de grieta ompletamente abierta en el hormigón. De este modo, el área enerrada bajo la urva de ablandamiento en un diagrama tensión apertura de grieta es la energía espeífia de fratura. Ambos parámetros se miden experimentalmente mediante ensayos normalizados. La Figura 2.5 presenta el esquema de una fisura ohesiva en modo I y la urva de ablandamiento orrespondiente. Figura 2.5 Fisura ohesiva y urva de ablandamiento de fratura en modo I del hormigón Desde la formulaión del modelo de la fisura ohesiva se han propuesto diferentes aproximaiones a la urva de ablandamiento experimental. La urva real de ablandamiento del hormigón es más urvilínea, pero tiene una primera parte que se puede aproximar por un segmento reto (Figura 2.6(a)), y la urva ompleta es a menudo aproximada por una urva bilineal, omo se ilustra en la Figura 2.6(b), on buenos resultados. A partir de estas urvas, se puede definir dos parámetros on dimensiones de longitud, es deir l h y l 1 : l h = EG F, l σ 2 1 = Ew 1 u aσ u donde E es el módulo elástio y w 1 la interseión on la horizontal de la aproximaión lineal iniial (Figura 2.6). l h es la longitud araterístia introduida por Hillerborg y olaboradores y esta relaionada on el tamaño rítio de la zona ohesiva delante de una grieta muy larga en una muestra muy grande. El parámetro l 1 fue introduido por (Planas et al. 2003) uando se dieron uenta de que la resistenia de la muestra sin entalla (y de las muestras on entalla del tamaño de laboratorio) se determinó omple-

17 2.3 Modelos que desriben el omportamiento a rotura de los materiales uasi-frágiles 9 tamente por la parte lineal iniial de la urva de ablandamiento, por lo tanto, por σ u y w 1 (Planas et al. 2003). Figura 2.6 Distintas urvas de ablandamiento: (a) primera aproximaión lineal y (b) aproximaión bilineal El enfoque de fisura ohesiva disreta es atrativo desde el punto de vista físio, ya que refleja la naturaleza loal de la formaión de grietas, por lo que la zona de proeso de fratura se agrupa en la línea de la grieta (banda de espesor nulo). Dentro de los modelos de fisura ohesiva disreta se pueden distinguir dos subdivisiones (Blano 2007): Modelo de fisura ohesiva no embebida, en los uales se utilizan ténias de remallado para haer oinidir la disontinuidad on los lados de los elementos. Modelo de fisura ohesiva embebida, aquellos que enriqueen el ampo de desplazamientos (o deformaiones) para que la disontinuidad pueda atravesar los elementos finitos sin neesidad de haer remallado. Modelo de fisura ohesiva disreta no embebida Partiendo de la base de los modelos de fisura ohesiva disreta en el ual en la parte ontinua se onsidera una ley tensión deformaión y en la parte disontinua donde se forma la grieta una ley ohesiva disreta traión-salto, para situar las disontinuidades en las interfaes de los elementos existen dos estrategias: las ténias de remallado y el método de las disontinuidades inipientes (Blano 2007). En los métodos de remallado, la malla de elementos finitos se rehae en ada paso para haer que las aras de los elementos se sitúen en la superfiie de disontinuidad. Los nodos situados en estas aras se doblan y se distribuyen a ambos lados de la fisura, on lo que la aproximaión puede ser ompletamente disontinua a lo largo de la disontinuidad. El remallado no tiene porqué apliarse a todo el volumen material, sino que puede irunsribirse a la zona afetada por el reimiento de la fisura. En los métodos de la disontinuidad inipiente se sitúan segmentos ohesivos poteniales en la interfaz entre todos los elementos. De esta forma no se determina el amino exato de la fisura ni se insertan nuevos segmentos disontinuos uando la fisura propaga. Entre los prinipales problemas de este método destaan la difiultad para relaionar

18 10 ESTADO DEL ARTE los parámetros de la ley ohesiva on las propiedades materiales y la dependenia del tamaño y forma de la malla en la alibraión de diha ley ohesiva. Modelo de fisura ohesiva disreta embebida En este tipo de modelos se permite a la disontinuidad pasar a través de la malla de elementos finitos graias al enriqueimiento de la aproximaión estándar del ampo de los desplazamientos. Este enriqueimiento, que representa los saltos en el ampo de desplazamientos, puede ser de tipo elemental (los saltos son onstantes dentro de ada elemento) o de tipo nodal (a los grados de libertad regulares en ada nodo se añaden los grados de libertad del salto). Los modelos de tipo elemental son los primeros que se desarrollaron en este ampo por lo que también son onoidos omo E-FEM (Embedded Elements) formulados en el ontexto del método de las deformaiones mejoradas (Enhaned Assumed Strains EAS), donde el salto en desplazamientos se introdue omo un modo inompatible de deformaión. El enriqueimiento inemátio se representa mediante grados de libertad internos que pueden ondensarse estátiamente, on lo ual el sistema final de euaiones disretas no se ve afetado (Sanhez 2006). Los modelos de tipo nodal también onoidos omo X-FEM (extended Finite Element Method), se basa en la utilizaión de funiones de interpolaión formuladas bajo el onepto de partiión de la unidad (Sanhez 2006) Modelos basados en las formulaiones del ontinuo Modelos de fisuraión en banda o fisura ohesiva difusa Los modelos de banda fue introduido iniialmente por Rashid (1968)(Kumar & Barai 2011). Originalmente, el modelos fisuraión en banda asume que las grietas están distribuidas sobre ierta banda uyo anho es una propiedad del material. Sin embargo el anho de la banda de fisura es difíil de medir, y en la prátia se asume que oinide on el tamaño del elemento finito normal a la banda de fisura y la urva tensión-deformaión se ajusta para mantener fija la energía de fratura (G F ). En la prátia omputaional, los modelos de fisuraión en banda pueden ser implementados numériamente del modelo de fisura ohesiva en el ual la apertura de la grieta es difusa (de aquí el nombre de fisura difusa) a través del elemento finito y la banda de fisura es de una fila de elementos(planas et al. 2003). La idea esenial del modelo de fisura ohesiva difusa es la desomposiión total de la deformaión en la suma de la deformaión del material (ε e ) y la deformaión de la fisura (ε f ). La deformaión material ha sido onsiderada típiamente sólo omo la deformaión elástia pero puede también inluirse otros efetos no lineales omo la plastiidad. Como se menionó antes, la longitud araterístia usada en los modelos de fisura difusa es onsiderada una propiedad material, que para el hormigón, es del orden tres vees el tamaño del agregado(kumar & Barai 2011). En realidad las grietas pueden abrirse

19 2.3 Modelos que desriben el omportamiento a rotura de los materiales uasi-frágiles 11 durante el proeso de arga y errarse en desarga. Una fisura que está en proeso de apertura o ierre se denomina ativa. El enfoque de fisura difusa representa la apertura y ierre de la grieta omo un aumento y disminuión de la deformaión grieta respetivamente. Hay tres tipos de modelos de fisura difusa; fija, múltiple y rotante(sanhez 2011). El modelo de fisura difusa fija supone que la disontinuidad se desarrolla en forma perpendiular a la direión prinipal de traión una vez superado su valor límite y que la orientaión de la fisura se mantiene invariable a lo largo del análisis. Se introdue además el denominado Fator de Retenión para el tratamiento de las tensiones de orte a través de la línea de falla(sanhez 2006). Una vez que la grieta ha iniiado, el eje de tensiones prinipales puede girar durante la arga, y la tensión prinipal mayor puede exeder la resistenia a traión. Este inonveniente del modelo de fisura difusa fija se puede remediar permitiendo múltiples grietas no ortogonales, para lo ual se han desarrollado los modelos de fisura difusa rotante o fisura difusa múltiple. El modelo de fisura difusa múltiple permite más de una grieta para iniiar. El riterio de iniiaión de la primera grieta en Modo I es freuentemente el riterio de Rankine. Posterior al iniio de la grieta el riterio se basa en el riterio de Rankine, así omo ángulo límite (umbral). El ángulo límite es la antidad mínima admisible de rotaión del eje de las tensiones prinipales permitido antes de que una nueva grieta pueda iniiar. La superfiie de ada grieta ontribuye a la deformaión total de la grieta (Sanhez 2011). El modelo de fisura rotante omo su nombre lo india, onsidera que la direión de fisura puede variar en el tiempo de auerdo a las direiones prinipales de deformaión, onforme evoluiona el estado de arga. El fundamento de esta estrategia es prinipalmente de índole numério para mejorar el desempeño de los elementos. El modelo de banda es un modelo de fisura difusa basada en el onepto de la meánia de medios ontinuos lásia en el ual las relaiones onstitutivas son la urva tensión-deformaión on ablandamiento (Figura 2.7) junto on la ondiión de tamaño mínimo de la zona de loalizaión. Esta esala de longitud es de origen numério que tiene que ser determinado on preisión de auerdo a un problema partiular. La fratura se iniia uando la tensión en la punta de la grieta llega a la resistenia a la traión σ u, en ese momento, la deformaión de la fisura (ε f ) sigue siendo ero y sólo se tiene la deformaión elástia del material (ε e ). A medida que la grieta se abre, la deformaión en la misma omienza a aumentar y la tensión σ omienza a disminuir gradualmente. El ablandamiento de la urva tensión deformaión introdue algunas difiultades en el análisis de este tipo de modelos. La formulaión posee una desventaja intrínsea omúnmente denominada omo bloqueo tensional (stress loking). Este efeto se manifiesta por una transferenia espúrea de tensiones a través de una fi-

20 12 ESTADO DEL ARTE Figura 2.7 Curva tensión-deformaión on ablandamiento sura ompletamente desarrollada. En los esquemas de Fisura Fija el bloqueo se debe fundamentalmente a tensiones de orte induidas por una rotaión de los ejes prinipales de deformaión una vez generada la disontinuidad. No obstante, también se han reportado soluiones espúreas en lo que respeta al estado tensional aun uando las direiones prinipales de deformaión y tensión permaneen alineadas (omo ourre en los modelos de Fisura Rotante). En este aso, el mal desempeño numério está asoiado a una pobre desripión inemátia del ampo de desplazamiento alrededor de la fisura. La ombinaión de una formulaión de Fisura Rotante juntamente on un modelo de daño esalar, puede resultar efetiva para reduir el menionado efeto de bloqueo. Otro inonveniente generalmente vinulado a los modelos de daño distribuido es su sensibilidad patológia frente a la orientaión de la malla de elementos finitos, que se tradue en el desarrollo de bandas prefereniales de loalizaión (pathologial mesh-indued diretional bias). Algunas vees estas difiultades se solventan añadiendo al modelo una ondiión matemátia. Otras estrategias las onstituyen los modelos ontinuos no loales, los modelos de gradiente o los modelos miropolares ontinuos. Todos estos modelos soluionan problemas partiulares, pero ninguno da una soluión global del problema. Modelos no loales En los modelos No Loales se asume que la euaión onstitutiva no lineal en un punto queda expresada en funión de la deformaión media en la veindad del punto. Este valor medio se alula a través de integrales ponderadas restringidas a un volumen fijo. Varios investigadores han propuesto omo alternativa que la no loalidad quede reduida simplemente a la evoluión de variables internas. La porión del dominio adeuada en la ual se extiende la integral se hae depender explíitamente del parámetro de longitud interna l. Tienen la desventaja que para su

21 2.3 Modelos que desriben el omportamiento a rotura de los materiales uasi-frágiles 13 implementaión se neesita modifiar la estrutura básia de los ódigos existentes, ya que debe onoerse informaión del entorno de un punto para evaluar una variable no loal en diho punto(sanhez 2006). Una amplia expliaión de estos tipos de modelos se pueden enontrar en (Sanhez, Sonzogni & Huespe 2003)(Peerlings, Geers, De Borst & Brekelmans 2001)(Jirásek 2004). Modelos de gradiente Los modelos de gradiente asumen básiamente que la tensión en un punto material está definida no sólo por la deformaión en el punto, sino también por su derivada espaial. Las formulaiones de gradientes inorporan al modelo onstitutivo términos de gradientes espaiales de alto orden de variables inemátias o internas, dependientes del parámetro de longitud intrínsea material. Los modelos de gradientes pueden dividirse en dos grupos: Modelos de gradiente implíitos (son realmente no loales(simone 2007)) y Modelos de gradiente explíitos (loales en sentido matemátio(simone 2007)). Se ha verifiado una analogía direta entre las formulaiones no loales y los modelos de gradientes implíitos, para determinadas funiones de peso. De esta forma, utilizando tales esquemas implíitos se asegura el aráter no loal del problema on una ventaja adiional: desde el punto de vista omputaional poseen la estrutura típia de modelos loales. En estas formulaiones de alto orden generalmente se requiere la resoluión de una euaión adiional a la de equilibrio estándar, la ual puede disretizarse utilizando también interpolaión por elementos finitos. No es neesario reurrir a la meánia del ontinuo ompletamente no loal para obtener modelos regularizados. En general sólo es sufiiente onsiderar expansiones en términos de orden superior (en teoría de gradientes) o no loalidad (en teorías integrales) para aquellas variables responsables de la evoluión del ablandamiento, mientras que las restantes onservan su aráter loal. Este tipo partiular de formulaión onserva onsistenia termodinámia y es una de las más utilizadas en la atualidad. Una amplia expliaión de estos tipos de modelos se pueden enontrar en (Sanhez 2006)(Sanhez et al. 2003)(Simone 2007)(Peerlings et al. 2001)(Pham, Amor, Marigo & Maurini 2011).

22 3 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN El modelo que se desribe a ontinuaión es un modelo de daño ontinuo solo traión on ablandamiento regularizado. 3.1 Introduión La meánia del daño es una rama de la meánia del ontinuo, que inorpora ambios a nivel miroestrutural del material a través de un número de variables internas, sean éstas esalares o tensoriales. Ésta ha sido utilizada para modelos que se araterizan por la pérdida de rigidez y denominados modelos de daño ontinuo, que se emplean para simular diversos materiales (dútiles, frágiles) que se araterizan por presentar una degradaión irreversible del material. Físiamente la degradaión de las propiedades meánias del material esta araterizado por el proeso de iniiaión y reimiento de mirodefetos, tales omo miroporos y mirofisuras (Simo & Ju 1987). De manera general todos los modelos de daño se araterizan por suponer que fruto de unas tensiones atuantes se produe una mirofisuraión, el objetivo es entones introduir los efetos de la fisuraión on una variable (variable de daño interna), sea esta esalar o tensorial. La apliaión de este modelo en este trabajo queda restringida a problemas en los uales se pueden asumir las siguientes hipótesis básias: las deformaiones plástias son despreiables (omportamiento uasifrágil), la evoluión del daño es el meanismo disipativo dominante, no se indue anisotropía material, y solo hay deformaiones infinitesimales hasta alanzar la fratura. Con la restriiones anteriores se adoptará un esquema de daño isotrópio, on lo ual el omportamiento de la mirofisuras será independiente de la orientaión; por lo tanto on una únia variable esalar d [0, 1] es sufiiente para desribir ompletamente del proeso de degradaión. Donde: d = 0 representa el material sano y d = 1 representa el material agotado. Justifiaión del parámetro d Se onsidera una superfiie elemental en un volumen de material degradado. Diha superfiie es sufiientemente grande para tener un número representativo de defetos,

23 3.1 Introduión 15 pero al mismo tiempo puede todavía onsiderarse omo perteneiente a un punto del material espeífio. En la Figura 3.1, A es el área de la ara, orientada según la normal n y A d el área de mirodefetos en la misma ara. El daño en la ara d n en el elemento representativo de volumen se define omo d n = A d A (3.1) En términos generales, el ampo d n ( x) representa la densidad relativa de mirodefetos en planos perpendiulares al vetor normal n. Figura 3.1 Daño en un medio ontinuo La hipótesis de daño isótropo simplifia onsiderablemente la teoría del daño ontinuo. Esta onsiste en suponer que el daño es aproximadamente onstante en todas las direiones n posibles. Esto implia que: d n = d, n (3.2) Como se menionó anteriormente el parámetro d puede tomar valores entre [0, 1], donde d = 0 sería en el estado iniial en que el material no está dañado y a medida que la fisuraión avanza d alanza un valor rítio erano a la unidad, esto implia que d = 1 representa el material totalmente agotado. Un onepto útil para entender el efeto del daño es el de tensión efetiva. A ontinuaión se desribe la relaión de equilibrio entre la tensión de Cauhy estándar σ y la tensión efetiva σ, analizando el aso de la probeta dañada de la Figura 3.2. La tensión de Cauhy en la probeta es igual a la relaión entre la fuerza apliada y el área resistente: σ = P A. La tensión efetiva se define omo la fuerza apliada y el área resistente efetiva: σ = P A A d. Una expresión que relaiona la tensión efetiva on la tensión de Cauhy y la variable de daño puede ser obtenida tomando en uenta la definiión de esta última (3.1): σ = (1 d)σ (3.3)

24 16 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN Las tensiones de Cauhy y las deformaiones se relaionan por la ley de Hooke. σ = C : ε (3.4) donde: C representa el tensor isótropo de onstantes elástias de uarto orden y ε el tensor de deformaiones infinitesimales. Figura 3.2 Tensión efetiva 3.2 Cinemátia del modelo Sea un medio ontinuo Ω R 3 en uyo seno hay una banda S h, ver Figura 3.3, donde tienen lugar los proesos inelástios, produiéndose en diha banda una loalizaión de las deformaiones. Según sea el espesor de S h podemos definir dos lases de inemátia: la inemátia de la disontinuidad fuerte donde el espesor de S h es nulo (ver Figura 3.3(a)) y la inemátia de la disontinuidad débil donde el espesor S h es finito (ver Figura 3.3(b)). En el aso de la inemátia de la disontinuidad débil aparee una disontinuidad en el ampo de las deformaiones pero se mantiene la ontinuidad en el ampo de los desplazamientos sin embargo, en el aso de la inemátia de la disontinuidad fuerte el ampo de los desplazamientos y deformaión son disontinuos, presentando las deformaiones un valor singular no aotado en la superfiie de disontinuidad. Para el aso del modelo de daño ontinuo regularizado de este apítulo utilizaremos la inemátia de la disontinuidad débil al onentrar los proesos inelástios en una banda de elementos finitos de espesor h. Considerando solo el aso bidimensional definiendo entones Ω R 2 el dominio onstituido por los puntos materiales x y la línea material S en Ω, denominada línea de disontinuidad, de normal unitaria n (Figura 3.4). Considérese un sistema de oordenadas ortogonal urvilíneo ξ y η donde la línea oordenada η oinide on la línea de disontinuidad S (S := {x(ξ, η) Ω ; ξ = 0}), siendo,

25 3.2 Cinemátia del modelo 17 Sh Ω u u h ξ ξ ε ε h ξ ξ (a) (b) Figura 3.3 Cinemátia: (a)disontinuidad fuerte; (b) disontinuidad débil. {ê ξ,ê η } la base ortogonal asoiada a diho sistema; r ξ (ξ, η) y r η (ξ, η) los fatores de esala orrespondientes. Sea Ω h la banda de disontinuidad tal que Ω h := {x(ξ, η); ξ [ξ, ξ + ]}, denominando a las líneas oordenadas ξ = ξ + y ξ = ξ que delimitan diha banda S + y S, respetivamente. Se define el anho representativo de Ω h omo anho de banda, de valor h(η) = r ξ (0, η)(ξ + ξ ). Los dominios Ω + y Ω vienen definidos omo las regiones de Ω\Ω h haia las que se orientan los vetores n y -n, respetivamente, de modo que Ω = Ω + Ω Ω h.

26 18 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN La Cinemátia de disontinuidad débil se arateriza por la presenia de un ampo de deformaión disontinuo, mientras que el ampo de desplazamiento sigue siendo ontinuo. Cabe destaar que aún uando las deformaiones son disontinuas estas están aotadas (Figura 3.4). Haiendo uso de los oneptos detallados anteriormente se proede a desribir la inemátia de disontinuidad débil. Dentro de la inemátia de disontinuidad débil para un medio ontinuo Ω el ampo veloidad de desplazamientos viene definido por: u = u(x, t) + H Ω h(ξ) u (η, t) (3.5) donde Ω h es la banda variable en la que tiene lugar la loalizaión de deformaiones, u(x, t) representa el ampo de desplazamientos, onstituido por las funiones u(x, t) que es la parte regular del ampo de desplazamiento y u (η, t) es el salto que tiene lugar en Ω h y la funión H representa la funión de Heavside. 0 x Ω (ξ ξ ) H Ω h : 1 x Ω + (ξ ξ ) ξ ξ ξ + ξ x Ω + (ξ < ξ < ξ + ) (3.6) La funión H Ω h(ξ, t) también es ontinua en Ω, exhibiendo un salto aparente unitario entre S + y S sobre una misma línea oordenada ξ = ( H Ω h ) = H Ω h(ξ +, η) H Ω h(ξ, η) = 1 η. El ampo de deformaiones ompatible on el ampo de desplazamientos (3.5) será: ε(x, t) = s u = s u + HΩ h s 1 u + µ } {{ } Ω h ( u n) s h ξ término ontinuo } {{ } término disontinuo (3.7) siendo h : ξ el espesor de la banda de loalizaión, µ Ω h es la funión de oloaión, definida en Ω (µ Ω h =1 x Ω h y µ Ω h=0 x Ω ), s ( ) representa el operador gradiente Ω h simétrio de ( ). El término disontinuo de (3.7) representa saltos en S + y S (Figura 3.4). Cabe destaar que nuestra aproximaión no enriquee el ampo de desplazamientos on el grado de libertad disontinuo salto u sino que al onentrar los proesos inelástios en una banda de elementos finitos, al regularizar el modelo para que la disipaión sea independiente de la malla, reprodue el omportamiento fenomenológio en el ampo de desplazamientos y deformaiones desritas en la Figura () para el aso de disontinuidad débil.

27 3.3 Formulaión 19 Figura 3.4 Cinemátia de disontinuidad débil. 3.3 Formulaión El modelo de daño requiere el onoimiento de la variable de daño d en ada instante de la historia de deformaión. Para ello debe definirse un riterio de daño, una norma adeuada que nos permite determinar el tamaño del dominio elástio y leyes de evoluión para la variable de daño. Los ingredientes básios que desriben el modelo son las siguientes: 1.. Poteniales de energía. Energía libre de Helmholtz por unidad de volumen (deformaiones infinitesimales)

28 20 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN φ = ρ 0 Ψ = (1 d) 1 2 ε : C : ε = (1 d) ρ 0 Ψ e = (1 d)φ } {{ }}{{} e (3.8) φ e ρ 0 Ψ e donde: ρ 0 es la densidad en la onfiguraión material (onstante), Ψ la densidad de energía libre de Helhmoltz, Ψ e la densidad de energía libre elástia, ε el tensor de deformaión infinitesimal, C representa el tensor isótropo de onstantes elástias de uarto orden definido omo C = λ µI (siendo 1 e I los tensores unitarios de segundo y uarto orden respetivamente y λ y µ los parámetros de Lamé). 2.. Relaión tensión deformaión. Desigualdad de Clausius-Duhem (deformaiones infinitesimales y proeso isotermo) ρ 0 θṡ (i) loal = ρ 0 Ψ + σ : ε 0 (3.9) donde θ es la temperatura, σ es el tensor de tensiones de Cauhy, ṡ (i) loal es la generaión interna loal de la entropía. A partir de la expresión (3.8) y apliando la regla de la adena se obtiene: φ = ρ 0 Ψ = ḋφ e + (1 d) φ e = ḋφ e + (1 d) φ e ε : ε que llevado a la euaión (3.9) se obtiene: ρ 0 θṡ (i) loal = ḋφ e (1 d) φ ( e ε : ε + σ : ε = ḋφ e + σ (1 d) φ ) e : ε 0 (3.10) ε } {{ } =0 Obteniéndose de (3.10) la respuesta tensional del material σ = (1 d) φ e ε y la disipaión interna del modelo = (1 d)c : ε, Relaión tensión deformaión (3.11) D int = ḋφ e 0 arateriza el proeso irreversible ḋ 0 (3.12) 3.. Variable independiente. La variable independiente representante del estado de deformaión: es el tensor de deformaiones infinitesimales ε 4.. Variables internas. Hay dos tipos de variables internas que definen el modelo de daño: Variable interna tipo deformaión (r). La variable interna tipo deformaión guarda la historia de las deformaiones y se define omo el máximo histório de la norma energétia de la de deformaión. r = max(τ(ε)), Máximo histório de la norma de deformaión τ(ε) = σ + : ε = σ + : C 1 : σ (3.13)

29 3.3 Formulaión 21 donde σ + representa la parte positiva del tensor de tensiones efetivas, que se definen omo: i=3 σ + = σ i p i p i (3.14) i=1 siendo σ i el paréntesis de Maauley de la tensión prinipal - i ésima ( σ i = σ i si σ i 0 y σ i = 0 si σ i < 0) y p i el autovetor - i ésimo del tensor de tensiones. Partiendo además on una valor iniial en el rango elástio de r 0 = σ u E ; siendo σ u el límite elástio uniaxial y E el módulo de Young. Variable interna tipo tensión (q) La evoluión de esta variable me define el endureimiento o el ablandamiento. q(r) = dq dr ṙ = }{{} H(r) ṙ (3.15) on un valor iniial de q igual a: q 0 (r 0 ) = r 0, siendo H(r) > 0 para el aso que se produza endureimiento por deformaión y H(r) < 0 para ablandamiento deformaión. Haiendo uso de las variables internas de deformaión y tensión se obtiene la variable de daño d. d(r) = 1 q(r) r q (3.16) Con una valor iniial de la variable d(r 0 ) = 1 q(r 0) r 0 = Dominio Elástio. Criterio de daño. Se define una funión de fluenia omo: f (ε, r) = τ(ε) r = σ +.ε r (3.17) Que nos sirve omo riterio para definir el dominio elástio limitado por la superfiie de fluenia, en el espaio de las deformaiones. Eε := {(ε, r); fε(ε, r) < 0} En funión de la norma τε y de la variable de endureimiento q 0 y r 0 se determina el dominio elástio iniial, araterizado en funión del límite elástio uniaxial σ u y del módulo de Young E. 6.. Condiiones de arga-desarga o de Kuhn-Tuker. La euaión (3.17) nos permite definir las ondiiones de arga y desarga que se muestran a ontinuaión. Si fε < 0, el omportamiento es elástio, por lo tanto α no se atualiza.

30 22 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN ṙ > 0, Si fε = 0 α = 0, el omportamiento es inelástio, r = r + ṙ arga neutra, r no se atualiza Si fε > 0, es un estado imposible. Las ondiiones anteriores, junto on la ondiión de persistenia que mara la evoluión de la superfiie de fluenia se resumen a ontinuaión: ṙ 0, fε 0, ṙ fε = 0; ṙ fε = 0 (3.18) 7.. Módulo tangente onstitutivo. C tan = σ ε = ε = q r C + qr q r 2 q r { }} { ( q (1 d) C : ε = r r ε σ {}}{ ) C + ε C : ε = q r + qr q r 2 [ q(r) ε r ] C : ε σ + : ε σ C tan = q r Ce + qr q r 3 σ + σ (3.19) La euaión (3.19), representa un modelo no simétrio, ya que para alular la variable interna de deformaión r solo tiene en uenta la parte positiva del tensor de tensiones. En la Figura 3.5 se presenta las prinipales araterístias del modelo detallado, partiularizado para el aso uniaxial. Figura 3.5 Modelo de daño ontinuo uniaxial

31 3.4 Disipaión y regularizaión del ablandamiento Disipaión y regularizaión del ablandamiento El modelo de daño definido en los anteriores apartados permite partiularizar, utilizando (3.13) y (3.15), el valor de la disipaión dado en la expresión (3.12) omo: qr qṙ qr qṙ 1 D int = ḋφ e = φ r 2 e = r 2 2 r2 = 1 (qṙ qr) (3.20) 2 La tasa de la variable interna tipo tensión q, puede ser definida en una forma general omo: q = H(q)ṙ = Aq β ṙ (3.21) donde A es un valor que debe ser definido imponiendo que la disipaión total venga dada por un parámetro material y β es un parámetro que india el tipo ablandamiento/endureimiento, siendo dos asos partiulares β = 0 para el aso lineal y β = 1 para el aso exponenial. De esta forma el parámetro β, que arateriza el tipo de ablandamiento, pasa a ser un parámetro más del material. Utilizaremos el parámetro material G f, densidad superfiial de energía de fratura, para regularizar la energía disipada por el modelo de daño ontinuo en el proeso de agotamiento del material. Sea la banda de loalizaión de deformaiones uyo volumen Ω puede expresarse omo Ω = S h, on S una seión media y h un tamaño araterístio. Asumiendo un proeso monótono de arga y que el material sufre ablandamiento por deformaión, la energía disipada total D tot desde el iniio de los proesos inelástios hasta el agotamiento del material se alula omo: ( ) ( ) 1 D tot = dω D int dt = dω (qṙ qr) dt (3.22) Ω t=t d Ω t=t d 2 Operando en la euaión (3.22) y utilizando la expresión (3.21) se llega a la expresión: [ 1 (q 0 ) 2 β ] [ 1 (q 0 ) 2 β ] D tot = dω = S h = S G f (3.23) A (2 β) A (2 β) Ω lo que nos permite obtener el valor A de la euaión (3.21) omo: A = (q 0) 2 β 1 h (3.24) (2 β) G f pudiendo obtener finalmente el módulo de ablandamiento regularizado H(q(t)) = (q 0) 2 β 1 q β (t)h (3.25) (2 β) G f siendo h, para el aso de un dominio disretizado por elementos finitos, la longitud araterístia de diho elemento. 3.5 Implementaión del Algoritmo La implementaión del modelo es relativamente simple. El algoritmo se detalla a ontinuaión, donde el estado en el iniio de inremento de la arga se denota n y en el

32 24 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN estado final omo n + 1. En el instante t n+1 : Entrada : 1.. Obtener las tensiones efetivas: Variables independientes ε n+1 Variables histórias σ n+1 = C : ε n Obtener la parte positiva del tensor de tensiones: σ σ σ pp = 0 σ 2 0 σ+ pp = 0 0 σ 3 r n, q n σ σ σ 3 σ+ donde el subíndie ( ) pp india que el tensor está expresado en la base formada por sus direiones prinipales. 3.. Norma de deformaiones: τ n+1 (ε) = σ + : ε 4.. Obtener el valor de la funión de fluenia: f n ε = τ n+1 (ε) r n Si f ε < 0 rango elástio no se atualizan las variables internas: r n+1 = r n ; q n+1 = q n Si f ε > 0 Impongo ondiión de onsistenia: r n+1 = τ n+1 (ε) q ṙ {}}{ { }} { q n+1 = q n + H(q) ( r n+1 r n ) 5.. Obtener los fatores: 6.. Calular las tensiones de Cauhy: 7.. Calular el operador tangente: q n+1 r n+1 ; q n+1 r n+1 q n+1 r 3 n+1 σ n+1 = q n+1 r n+1 σ C = q σ r Si el omportamiento es elástio C tan = q r σ + qr q σ + σ r 3 Si el omportamiento es inelástio

33 3.6 Validaión del Modelo Validaión del Modelo El algoritmo numério del modelo de daño propuesto se ha desarrollado e implementado en el ódigo de elementos finitos no lineal FEAP. Antes de iniiar ualquier investigaión de la apaidad de ualquier modelo, es interesante y neesario omprobar su validez on ejemplos senillos. En este aso se llevaran a abo tres ejemplos: Comprobar que la disipaión del modelo es orreta El modelo propuesto se basa en que la disipaión de la energía es independiente del tamaño de la malla utilizada y depende exlusivamente del parámetro G f (densidad superfiial de energía de fratura), por lo tanto es neesario omprobar que la disipaión que se produe es orreta o no. Para orroborar esta hipótesis es neesario omprobar que el área bajo la urva fuerza-desplazamiento (energía total disipada), sea igual a la Energía Elástia (Ψ e = 1 σ 2 u 2 E Ω) + la Energía Inelástia (Ψ i = G f A ). Para este ejemplo se ha modelado una viga simplemente apoyada, que se disretiza on un únio elemento uadrátio de 4 nodos trabajando a traión pura, la hipótesis on la que se trabaja es la de deformaión plana y la tensión apliada en uno de los extremos es uniforme y esta ontrolada por los desplazamientos.las araterístias del material empleado se muestran en el uadro 3.1 y han sido tomadas de (Blano 2007). En la Figura 3.6 se muestra la disretizaión del modelo y el estado tensional posterior al ensayo. La Figura 3.7 muestra la urva fuerza desplazamiento para β = 1, la urva obtenida se ha dibujado en esala real y se ha obtenido su área, uyo valor es de 5,123Nmm Con los datos del uadro 3.1 se obtiene un valor de: Energía elástia de Ψ e = 1 (1,79MPa) MPa 2500mm 3 = 0,126Nmm (1 0,2 2 ) Energía inelástia de Ψ i = 0,1 N mm 50mm2 = 5Nmm Lo que nos da una energía total de 5,126Nmm que prátiamente oinide on la obtenida de la urva fuerza vs desplazamiento de la Figura 3.7, on lo ual se omprueba que la implementaión del modelo es orreta. Una vez omprobado que el modelo funiona orretamente se proede a verifiar que funiona para distintos valores de β, donde β = 0 representa un ablandamiento lineal y β 1 un ablandamiento exponenial. Los resultados obtenidos se muestran en la Figura Los valores de energía disipada para ada valor de β se resumen en la siguiente tabla 3.2.

34 26 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m] Cuadro 3.1 Propiedades materiales. S T R E S S E E E E E E E E E E E E E- 03 Time =1.00E+00 Disretizaión del modelo Estado tensional Figura 3.6 Ensayo de traión pura β = fuerza (N) desplazamiento (mm) Figura 3.7 Curva Fuerza vs Desplazamiento Verifiar que a ompresión el omportamiento es elástio El modelo programado presenta un inonveniente, y es que la rigidez del material no sólo se degrada a traión, sino que también lo hae a ompresión, esto ourre debido a que se ha tomado una sola variable de daño; si queremos que el modelo no degrade a ompresión tenemos que inluir otra variable de daño, por lo tanto pasaríamos a tener d + y d asoiadas a las tensiones de traión y ompresión, respetivamente. Para

35 3.6 Validaión del Modelo β =0 β =1 β =1.2 β =1.5 β =1.7 fuerza (N) desplazamiento (mm) Figura 3.8 Curva fuerza-desplazamiento para distintos valores de β β Ψ Cuadro 3.2 Energía disipada para distinto valores de β. ello sería neesario definir también una ley de evoluión diferente para ada variable de daño. Para este ejemplo se ha tomado el mismo modelo anterior, solo que en este aso se somete al elemento a esfuerzos de traión y ompresión. Para observar la degradaión de la rigidez se ha obtenido la urva tensión-deformaión que se muestra en la Figura 3.9, en la misma se puede observar que hay una degradaión de la rigidez a ompresión y además se verifia que el omportamiento en ompresión es elástio Mostrar que se produe una loalizaión de la deformaión y la ontinuidad de las traiones El fenómeno de la loalizaión de deformaiones tiene lugar uando se umple la llamada ondiión de bifuraión de equilibrio de forma que aparee una nueva soluión en la ual todos los proesos inelástios tienen lugar en una banda llamada banda de bifuraión, mientras que fuera de ella el omportamiento del material es de desarga elástia (Figura 3.10). El nuevo estado tensional tiene que umplir la llamada ontinui-

36 28 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN tensión σ (MPa) traión ompresión traión ompresión traión ε deformaión Figura 3.9 Curva Tensión vs Deformaión dad de traiones, que si tomamos un punto perteneiente a la banda de loalizaión Ω h y de un punto adyaente perteneiente al dominio fuera de ella Ω \ Ω h se tiene que umplir que: siendo n la normal a la banda de loalizaión. σ Ω h n = σ Ω\Ω h n (3.26) n x Figura 3.10 Loalizaión de la deformaión En este ejemplo lo que queremos demostrar es que una vez que aparee un mirodefeto

37 3.7 Obtenión del parámetro β para el hormigón. Relaión on las leyes traión salto 29 (fisura) en una banda (en este aso en un elemento), una vez que se supera la resistenia última σ u el material en la banda se omporta de manera inelástia presentándose una degradaión del material, mientras que el material adyaente entra en desarga elástia. Para este ejemplo se ha modelado una viga simplemente apoyada, que se disretiza on tres elementos de 4 nodos trabajando a traión bajo la hipótesis de deformaión plana; al elemento entral se le da una resistenia σ u y a los elementos extremos 2σ u para que en el elemento entral se loalie las deformaiones. Las araterístias del material son las que se muestran en el uadro 3.3. En la Figura 3.11 se muestra la disretizaión del modelo y el estado tensional posterior al ensayo, en el mismo se puede ver que hay una ontinuidad en las traiones omo se ve en la Figura 3.12, donde se muestra la urva traión-deformaión de los tres elementos. Se apreia que los elementos 1 y 3 luego de alanzar la tensión última σ u entran en desarga elástia, mientras que en el elemento 2 se produe una loalizaión de las deformaiones y se omporta de forma inelástia presentado un ablandamiento orrespondiente on el modelo daño implementado. En este ejemplo al tomar ν = 0 la banda de loalizaión tiene la direión 0, siendo la norma del vetor n = (1, 0). σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m] Cuadro 3.3 Propiedades materiales. S T R E S S E E E E E E E E E E E E E- 03 Disretizaión del modelo Estado tensional Figura 3.11 Ensayo de traión, viga de 3 elementos 3.7 Obtenión del parámetro β para el hormigón. Relaión on las leyes traión salto Las leyes traión-salto dadas en la literatura para definir la degradaión del hormigón a traión, por ejemplo el Código Modelo CEB90 utilizan estos dos parámetros (σ u y w 1 ) junto on la energía de fratura G f. El objetivo de este apartado es relaionar el parámetro β on los parámetros σ u, w 1, G f

38 30 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN elem 1 elem 2 elem 3 tensión MPa deformaión Figura 3.12 Loalizaión de la deformaión de forma que el modelo de daño ontinuo puede ompararse on los modelos traiónsalto presentes en la literatura. El parámetro β esta relaionado on la disipaión y la regularizaión del ablandamiento, sin embargo este varía en funión del tipo de material empleado. Si definimos la respuesta estrutural para el modelo implementado, se ve en la Figura 3.13(b) para el aso uniaxial omo la que se muestra en la Figura 3.13, una primera aproximaión de la urva de ablandamiento sera una línea reta tangente a la misma en el punto de máxima arga, que omo orta en el eje de absisas a una distania w 1 medida desde el punto de elongaión máximo para el rango elástio δ 0. Para muestras que no tengan fisura muy grandes y muestras que no tengan fisura, la resistenia a traión última σ u y la pendiente iniial de la urva de ablandamiento se onvierten en parámetros que ontrolan interesantes propiedades estruturales, tales omo, la resistenia estrutural. La razón es que en estos asos, la arga máxima se produe antes de que ourra ualquier ablandamiento, es deir a bajos valores de apertura de fisura (w) y por lo tanto, la resistenia está totalmente definida por la parte lineal iniial de la urva de ablandamiento, que está ompletamente definida por σ u y w 1 (Elies, Guinea, Gomez & Planas 2002) (ver Figura 3.13). Partiendo de las expresiones (3.11) y (3.16) tenemos que la respuesta tensional para el modelo de daño es: σ = q(r) r C : ε (3.27)

39 3.7 Obtenión del parámetro β para el hormigón. Relaión on las leyes traión salto 31 σ σu εo=σo/e εo=σo/e εo=σo/e εo=σo/e ε E w1 εo=σu/e ε=δ/a δ0=σua/e δ (a) (b) Figura 3.13 (a)curva tensión vs deformaión; (b) Curva de ablandamiento Partiularizando para el aso uniaxial y los parámetros de la Figura 3.13: σ = q(r) r Eε σ = q(r) E r a δ (3.28) El valor de la pendiente en la urva σ-δ al iniio de la rama de desarga vale: σ = E [ ( ) q(r) δ + q(r) ] δ a δ r r σmax (3.29) Apliando la regla de la adena se obtiene: δ ( ) q(r) = r q δ r q r δ r 2 = q r r δ r q r δ r 2 = r δ [ q 1 r r q 1 ] r 2 (3.30) Partiularizando (3.13) para el aso uniaxial tenemos: r = δ εeε = a E δ a = δ E a σu r 0 = E E σ u E = σ u E ( σu r = max, δ ) E E a (3.31)

40 32 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN De las expresiones (3.21) y (3.24) se obtiene: q = (q 0) 2 β 1 q β aṙ (3.32) (2 β) G f Sustituyendo (3.31) y (3.32) en (3.30) tenemos: ( ) q(r) E = [ (r 0) 2 β 1 r β δ r a (2 β) G 0 a 1 1 ] f r 0 r 0 (3.33) Sustituyendo (3.33) en (3.29) tenemos σ = E [ E δ r 0 a 1 ] σu σmax a a (2 β) G f r 0 E a + 1 = E Eσu a E σ u E E(2 β)g f σ + 1 u = E [ σ 2 ] ua a E(2 β)g f σ σ 2 u = (3.34) δ (2 β)g f σmax A partir de la Figura 3.13, se puede relaionar el valor de la pendiente obtenida en (3.34) on la relaión σ u w 1 de la Figura 3.13(b) obteniéndose finalmente el valor de β busado. σ = σ u σ 2 u =, despejando β se obtiene δ w 1 (2 β)g f σmax β = 2G f σ u w 1 G f (3.35) Con lo ual obtenemos el parámetro β en funión de los parámetros materiales G f, σ u y w 1, on lo ual automátiamente el parámetro β pasaría a ser un parámetro material mas. Los parámetros σ u, G f y w 1 se obtienen a partir de datos experimentales. M. Elies et al. (Elies et al. 2002) (en la seión 3.2.1) explia ampliamente los ensayos y la formulaión empíria para obtener G f y la urva de ablandamiento experimental y a partir de ella la obtenión del parámetro w 1 para el hormigón Validaión de la expresión obtenida para obtener el valor de β Una vez obtenida la expresión (3.35), es neesario orroborar que el resultado es orreto, para ello es neesario obtener la urva de ablandamiento (tensión-desplazamiento) on un valor de β obtenido a partir de (3.35), luego trazar una reta tangente al punto de tensión máxima σ u y omprobar que la interseión on el eje de desplazamiento oinide on el valor w 1 empleado.

41 3.7 Obtenión del parámetro β para el hormigón. Relaión on las leyes traión salto 33 Para este obtener la urva tensión vs desplazamiento se ha modelado una viga simplemente apoyada, que se disretiza on un únio elemento uadrátio de 4 nodos trabajando a traión, on la hipótesis de deformaión plana. Las araterístias del material empleado se muestran en el uadro 3.4 y han sido tomadas de (Elies et al. 2002). E (GPa) σ u (MPa) G f [N/m] w 1 (µm) 39±1 3.9± ±14 53±9 Cuadro 3.4 Propiedades de fratura del hormigón. De la expresión (3.35) se obtiene un valor de β de: β = 2(0,126 N mm ) 3,9 N 0,053mm mm 2 0,126 N = 0,36 mm La interseión en el eje de los desplazamientos debe ser: δ f = δ o + w 1 = σ ua E + w 1 = (3,9 N )150mm mm N + 0,053mm mm 2 δ f = 0,068mm La Figura 3.14 muestra la disretizaión del modelo y la urva de ablandamiento obtenida on un β = 0,36 y en la misma además se ha trazado la reta tangente a la urva en σ u, se puede observar que la interseión on el eje de desplazamientos es prátiamente el mismo obtenido analítiamente 0,068mm, por lo que se puede deir que la expresión obtenida para alular β es orreta. 3.0 tensión (MPa) desplazamiento (mm) (a) (b) Figura 3.14 Obtenión del parámetro β: (a) disretizaión; (b) Curva de ablandamiento

42 34 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN 3.8 Apliaiones Estruturales En esta seión analizaremos el modelo on tres elementos estruturales, para orroborar los resultados obtenidos on datos experimentales y/u obtenidos on otros modelos de diversos autores Viga a flexión en tres puntos Desripión del ensayo experimental Este ejemplo se ha tomado de una serie de ensayos de una viga a flexión en tres puntos, uyo material es el hormigón simple, representada por Peterson (Petersson 1981). El ensayo onsiste en un test de una viga flexión en tres puntos (three point bending), que el autor realizó a 6 espeímenes, para obtener la energía de fratura G f. Se trata de una viga de 2,0m de largo, 0,2m de alto y un espesor de 0,05m on una entalla en la seión media de 0,1m. Las dimensiones y el esquema de arga y apoyos se pueden ver en la Figura Las propiedades del material han sido tomadas de (Petersson 1981) y se resumen en el uadro 4.4. Figura 3.15 Viga a flexión en tres puntos: Esquema del ensayo σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m] Cuadro 3.5 Viga a flexión en tres puntos: Propiedades materiales. Desripión del ensayo numério El análisis que se realiza es bidimensional y bajo la hipótesis de tensión plana. La Figura 4.17 se muestra la disretizaión del modelo, se han utilizado elementos triangulares on un mallado mas fino en la seión entral. Las araterístias generales del modelo se desriben en el uadro 4.5. En la simulaión se apliaron inrementos del desplazamiento vertial en la mitad de la luz hasta obtener una deflexión de 2.0 mm. Desripión de los resultados numérios Conforme avanza el proeso de apliaión de la arga, la loalizaión de deformaiones tiene lugar en la seión entral donde se ha situado la entalla.la Figura 4.18

43 3.8 Apliaiones Estruturales 35 Figura 3.16 Viga a flexión en tres puntos: Disretizaión del modelo. Número de nodos Número de elementos Tipo de elemento Triángulos Cuadro 3.6 Viga a flexión en tres puntos: Caraterístias del ensayo numério. muestra la estrutura deformada en la zona entral. La respuesta estrutural de la viga se representa mediante la relaión entre la arga externa puntual apliada P y la deflexión en la mitad de la luz δ. La Figura 4.19 india diho resultado en ada uno de los inrementos de δ, donde se observa un omportamiento lineal elástio iniial limitado por una arga máxima, seguido de la reduión progresiva no lineal de la arga on el aumento de la deflexión. La arga máxima alulada por el modelo numério es ligeramente mayor que la obtenida en el ensayo experimental, resultados idéntios fueron obtenidos por: Rubén Graffe et al. (Graffe & Linero n.d.) y P. M. A. Areias et al. (Areias, César de Sá, Coneição António, Carneiro & Teixeira 2004). Durante la apliaión del desplazamiento vertial en la simulaión, la tensión prinipal mayor σ 1 se onentra en el interior de la zona de fratura y en su veindad, más exatamente en la punta de la fisura. La Figura 4.20 presenta la distribuión de σ 1 en una esala de olores fija para el instante en que se alanza la arga máxima, se puede ver viga ompleta y una ampliaión era de la zona de fratura. Figura 3.17 Viga a flexión en tres puntos:: malla entral deformada (ampliada 50 vees). Finalmente en la Figura 4.21 se puede ver la distribuión de σ 1 en la zona de fratura para diferentes instantes de arga. La Figura 4.21(a) orresponde al omportamiento elástio de la viga on valores bajos

44 36 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN Figura 3.18 Ensayo de viga a flexión: Relaión entre la arga apliada y la deflexión en la mitad de la luz. S T R E S S 1 (a) -6.35E E E E E E E E E E E E E+00 (b) Figura 3.19 Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de σ 1 uando se alanza la arga máxima:(a) estrutura ompleta, (b) zona entral. de tensión, tomada para un δ = 0,1mm. La Figura 4.21(b) aparee una zona de tensión máxima a traión en el extremo de la entalla que se desplaza haia arriba progresivamente hasta llegar al estado de la Figura 4.21() que representa el estado de arga máxima. Diho bulbo de onentraión de tensión es igual a la resistenia a traión del hormigón, e india la posiión de la punta de fisura en ada estado de desplazamiento. En los estados de las Figuras 4.21(d) y 4.21(e), la pendiente de la urva fuerza desplazamiento es negativa, se orresponde on desplazamientos de δ = 0,54mm y δ = 0,78mm respetivamente, mientras que la zona de tensión máxima a traión se aera a la ara superior de la viga. En los estados de las Figuras 4.21(f) y 4.21(g),(δ = 0,9mm y δ = 2mm) la arga

45 3.8 Apliaiones Estruturales 37 resistente es muy baja y deree suavemente, mostrando tensiones de traión en toda la viga exepto en la ara superior, donde se onserva una pequeña zona en ompresión. En los estados finales se onserva una arga resistente aproximadamente onstante debido a que el modelo numério no supone un límite de resistenia a ompresión. (a) (b) () (d) (e) (f) Figura 3.20 Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de tensiones σ 1 : (a) δ = 0,1mm, (b) δ = 0,22mm, () δ = 0,38mm, (d) δ = 0,54mm, (e) δ = 0,78mm, (f) δ = 0,9mm, (g) δ = 2mm. (g)

46 38 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN Wedge Splitting test Desripión del ensayo experimental Este ejemplo se ha tomado de los ensayos realizados por E. Denarié et al. (Denarie, Saouma, Ioo & Varelas 2001) para determinar la tenaidad de fratura para materiales omo el hormigón, por medio de fibra óptia embebida. Las dimensiones y el esquema de arga y apoyos se pueden ver en la Figura 4.22 (espesor del espéimen es de 97 mm). Las propiedades del material han sido tomadas de (Denarie et al. 2001) (Mariani & Perego 2003) y se resumen en el uadro 4.6. Figura 3.21 Wedge splitting test: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm). σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m]* w 1 (mm)** Cuadro 3.7 Wedge splitting test: Propiedades materiales. Desripión del ensayo numério El análisis que se realiza es bidimensional y bajo la hipótesis de tensión plana. La Figura 4.23 muestra la disretizaión del modelo, se han utilizado uadriláteros on un mallado mas fino en la seión entral. Las araterístias generales del modelo se desriben en el uadro 4.7. Número de nodos Número de elementos Tipo de elemento Cuadriláteros Cuadro 3.8 Wedge splitting test: Caraterístias del ensayo numério.

47 3.8 Apliaiones Estruturales 39 Figura 3.22 Wedge splitting test: disretizaión del modelo. Desripión de los resultados numérios Conforme avanza el proeso de apliaión de la arga, la loalizaión de deformaiones tiene lugar en la seión entral donde se ha situado la entalla.la Figura 4.24 muestra la estrutura deformada. Los análisis se han llevado a abo ontrolando el desplazamiento de la abertura de la boa de la fisura (CMOD en sus siglas en inglés). De auerdo on los resultados experimentales de (Denarie et al. 2001) el CMOD se entiende omo la variaión en longitud del segmento B (ver Figura 4.22) originalmente de 160 mm. La Figura 4.25 muestra la relaión entre la arga externa puntual apliada P y el CMOD obtenida en el análisis numério y también los resultados experimentales tomados de (Denarie et al. 2001). En la Figura se puede ver dos urvas, una para un valor de β = 1,0 y otra para un valor de β = 1,24 alulado on el w 1 = 0,023mm del análisis numério de (Denarie et al. 2001) y empleando la expresión (3.35). Las dos urvas obtenidas del análisis numério se asemejan muy bien a los resultados experimentales, espeialmente la obtenida para β = 1,24, aunque esta presenta un valor de arga máxima ligeramente inferior a la experimental Panel en forma de L Desripión del ensayo experimental Este ejemplo numério onierne a un panel en forma de L, de hormigón que fue investigado experimentalmente por Winkler (J 2001) Los experimentos se han llevado a abo on tres pruebas ontroladas por desplazamiento. Las geometría, el esquema de arga y las ondiiones de borde se pueden ver en la

48 40 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN Figura 3.23 Wedge splitting test: deformada (ampliada 50 vees) β=1.0 β=1.24 experimental P (N) CMOD (mm) Figura 3.24 Wedge splitting test: P vs CMOD. Figura Las propiedades del material han sido tomadas de (J 2001) (mit netzfreien Verfahren n.d.) y se resumen en el uadro 4.8. σ u (MPa) E (GPa)* ν G f [N/m]* Cuadro 3.9 Panel en forma de L: Propiedades materiales.

49 3.8 Apliaiones Estruturales 41 Figura 3.25 Panel en forma de L: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm). Desripión del ensayo numério El análisis que se realiza es bidimensional y bajo la hipótesis de tensión plana. La Figura 4.27 muestra la disretizaión del modelo así omo la trayetoria de la grieta, se han utilizado elementos triangulares. Las araterístias generales del modelo se desriben en el uadro 4.9. Figura 3.26 Panel en forma de L: disretizaión del modelo y trayetoria de la grieta.

50 42 MODELO DE DAÑO CONTINUO SOLO TRACCIÓN Número de nodos Número de elementos Tipo de elemento Triángulos Cuadro 3.10 Panel en forma de L: Caraterístias del ensayo numério. Desripión de los resultados numérios La Figura 4.28 muestra la estrutura deformada. Los análisis se han llevado a abo ontrolando el desplazamiento vertial en el punto de apliaión de la arga (ver Figura 4.26). La Figura 4.29 muestra las urvas arga-desplazamiento experimental y numéria obtenida, la simulaión numéria ondue a un buen resultado hasta alanzar la arga máxima, poo después de la arga máxima se obtiene una urvatura aguda y la misma sigue por debajo del resultado experimental. Esto puede ser debido a a la aproximaión heha en (mit netzfreien Verfahren n.d.) de la energía de fratura. Figura 3.27 Panel en forma de L: deformada (ampliada 50 vees).

51 3.8 Apliaiones Estruturales Numério Experimental 6 5 P (KN) Desplazamiento (mm) Figura 3.28 Panel en forma de L: Curvas arga (P) desplazamiento experimental y numéria

52 4 MODELO COHESIVO DISCRETO 4.1 Introduión Los modelos ohesivos disretos, tal omo se desribe en apartados anteriores fueron propuestos iniialmente por Barenblatt (1959, 1962) y Dugdale (1960), a través de los años y on el avane de la tenología estos modelos han ido evoluionando inorporando nuevas hipótesis, pero siempre onservando la esenia de los modelos propuestos iniialmente. En este apítulo se desribirá matemátiamente la implementaión de un modelo ohesivo disreto, en la ual la relaión onstitutiva dentro de la banda de disontinuidad se modela mediante una ley ohesiva disreta traión-salto, que omplementa la ley tensión-deformaión de la parte ontinua. La ley traión salto se postulará en el formato de daño, en el ual se degrada la rigidez de modelo y se onsidera que todo el salto que tiene lugar en la fisura se puede reuperar (o errar). El modelo a implementar será el de fisura ohesiva disreta no embebida ya que no se enriquee el ampo de desplazamientos. La ténia empleada en este trabajo es la de remallado, por lo ual es neesario la implementaión de un elemento ohesivo, estos elementos no representan ningún material físio sino que desriben la fuerza de ohesión que se produen uando los elementos materiales (del ontinuo) se separan. A ontinuaión se proede a la desripión del modelo material y el elemento ohesivo, que este aso será un elemento lineal. 4.2 Desripión del modelo material A ontinuaión se desriben los distintos ingredientes del modelo material ohesivo tal omo ha sido implementado en el ódigo de elementos finitos FEAP Cinemátia Sea un dominio Ω R 3 que en t = 0 oupa la posiión Ω 0 y sea una superfiie S que divide el dominio en dos partes Ω + 0 y Ω 0 (Figura 4.1). Las euaiones del movimiento vienen dadas por : ϕ : Ω 0 x[0, T] R 3 (4.1)

53 4.2 Desripión del modelo material 45 donde [0, T] representa el intervalo de tiempo transurrido. Definiendo el ampo de los desplazamientos omo: se obtiene ampo de veloidades: u(x, t) = ϕ(x, t) X (4.2) v(x, t) = ϕ(x, t) = u(x, t) (4.3) + - t0 [u] Figura 4.1 Introduión. A partir de la Figura 4.1 podemos definir la superfiie media en la onfiguraión atual omo: S = 1 2 (S+ + S ) = 1 2 (ϕ(ω+ S) + ϕ(ω S)) Aparee un salto en el ampo de desplazamiento en S: = 1 2 (ϕ+ + ϕ ) (4.4) u = ϕ(ω + S) ϕ(ω S) = ϕ + ϕ (4.5) El salto en S puede desomponerse en una parte normal y una parte tangenial: u n = u.n u s = u u n = (1 n n) u = (n n) u = u s t (4.6) donde u n representa la omponente del salto en la direión n normal a la fisura, u s la omponente según un vetor t ontenido en S. Partiendo de lo definido en la introduión on respeto al salto en el ampo de desplazamientos on el que se trabaja en los modelo ohesivos disretos, la inemátia que desribe adeuadamente el modelo será la inemátia de disontinuidad fuerte. La Cinemátia de disontinuidad fuerte se arateriza por la presenia de ampos

54 46 MODELO COHESIVO DISCRETO de desplazamientos disontinuos en la línea de disontinuidad S (Figura 4.2a), onstituyendo el aso límite de la disontinuidad débil uando el anho de la banda de disontinuidad tiende a ero h(η) 0, donde Ω h S(Pulido, Dolores & Oliver 2006). La desripión inemátia para un medio ontinuo Ω que presenta una disontinuidad fuerte se expresa de la siguiente forma: u = u(x, t) + H S u (x, t) (4.7) ε(x, t) = s u = s u(x, t) + HS s u (x, t) + } {{ } δ S ( u n) } {{ } s término aotado término no aotado (4.8) donde u representa el salto en la veloidad del ampo de los desplazamientos, tanto u(x, t) y u (x, t) son funiones ontinuas, H S representa la funión de Heavside entrada en S (H S (x) = 0 x Ω y H S (x) = 1 x Ω + ) y δ S es la distribuión delta de Dira sobre S ( Ω ϕ(x)δ SdΩ = S ϕ(x)δ SdS ϕ(x) C 0 ), obtenida de la derivaión (en el sentido de las distribuiones) de la funión ( H S (x) = δ S n)(pulido et al. 2006). La inemátia desrita en las Euaiones (4.7) y (4.8) tiene en el ampo de las deformaiones términos singulares (no aotados), debido a la apariión (en la superfiie de disontinuidad S) de la distribuión delta de Dira δ S. En lo que sigue del doumento usaremos la notaión t para el vetor que india la direión tangente a las superfiie del salto y para el vetor traión definido omo t = σn Balane de Energía Meánia A ontinuaión se realiza el balane de energía meánia que nos permite obtener la tasa de trabajo meánio interno tanto en la parte no loalizada Ω\S omo en la superfiie de fratura S. La potenia meánia externa generada por las fuerzas por unidad de volumen ρb y las fuerzas por unidad de superfiie t vale: P ext (t) = ρb. udv + t uds Ω + Ω Ω + = ρb. udv + t uds Ω + Ω Ω + S Ω t uds Ω S t uds + (Ω + Ω ) t uds (4.9) donde u es la tasa temporal del ampo de desplazamientos, t es el vetor traión que se define omo t = σn y los vetores normales en la superfiie umple n = n +. A su vez la energía inétia del ampo se define omo:

55 4.2 Desripión del modelo material 47 (a) (b) Figura 4.2 Cinemátia del modelo. (a) inemátia de disontinuidad fuerte, (b) expresión regularizada del ampo tasa de las deformaiones representativa de disontinuidades débiles y fuertes. (Pulido et al. 2006) 1 1 K(t) = 2 ρv2 dv = 2 ρ u udv Ω Ω = ρb udv + t u ds + Ω + Ω S (Ω + Ω ) t uds (4.10)

56 48 MODELO COHESIVO DISCRETO Finalmente obtenemos la tasa de trabajo meánio interno omo la parte de la potenia meánia externa en el sólido que no se gasta en aumentar su energía inétia: P int (t) = P ext D Dt K(t) Haiendo uso de las expresiones (4.9) y (4.10) se tiene finalmente: t {}}{ P int (t) = ρb udv + t u ds + nσ udv ρ uüdv Ω + Ω S (Ω + Ω ) Ω + Ω = ρb udv + t u ds + (.σ + σ : u) ρ uüdv Ω + Ω S Ω + Ω Ω + Ω =0 { }} { = (.σ + ρb ρü) udv + σ : udv + t u ds Ω + Ω Ω + Ω S P int = σ : udv + t u ds (4.11) Ω + Ω S Siendo esta expresión una generalizaión de la potenia tensional para deformaiones infinitesimales, para un uerpo que ontiene una superfiie ohesiva. En lo que sigue del doumento el salto en el ampo de desplazamientos lo denominaremos omo δ = u, siendo este vetor salto el que realiza el que realiza trabajo on el vetor traión tal omo se india en (4.11) Figura 4.3 Balane de energía meánia Funión de densidad de energía de deformaión por unidad de área (deformaiones infinitesimales) Asumamos que existe una densidad de energía libre por unidad de área S uyas dependenias en su forma más general son: Ψ = Ψ (δ, θ, χ, S ϕ) (4.12)

57 4.2 Desripión del modelo material 49 donde δ es el salto en el ampo de desplazamientos, θ es la temperatura, χ es el vetor de variables internas asoiadas a proesos inelástios y S ϕ el gradiente de deformaión de la superfiie ohesiva S. Busamos reduir el número de dependenias y para ello asumimos las siguientes simplifiaiones: Proeso isotermo. Superfiie isótropa La deformaión en la superfiie de ohesión S no influye en la deohesión Las anteriores simplifiaiones nos permite expresar la euaión (4.12) omo: Ψ = Ψ (δ, χ) (4.13) Disipaión y respuesta tensional A ontinuaión obtendremos la respuesta tensional y la disipaión interna del modelo a partir del desarrollo de Clausius-Plank para proesos isotermos apliado al modelo ohesivo en la superfiie S (método de Coleman y Noll). La disipaión interna del modelo ohesivo vale: D int = t δ Ψ 0 (4.14) Si apliamos la regla de la adena al término Ψ haiendo uso de las dependenias mostradas en la euaión (4.14): Ψ = Ψ δ δ + Ψ χ χ La euaión (4.14) queda expresada entones omo: donde: D int = (t Ψ δ ) } {{ } =0 t = Ψ δ δ Ψ χ 0 (4.15) χ es la respuesta tensional (4.16) D int = Ψ χ 0 es la disipaión interna del modelo (4.17) χ A ontinuaión busamos simplifiar aún mas las dependenias definiendo un desplazamiento de apertura efetivo que pondere la parte normal y tangenial según una expresión del tipo: δ e f = ζδ 2 n + γδ 2 s (4.18) donde δ n representa la omponente normal, δ s la omponente tangenial y ζ y γ son unos fatores de ponderaión.

58 50 MODELO COHESIVO DISCRETO Esto hae que podamos expresar las dependenias de la densidad superfiial de energía libre omo: Ψ = Ψ (δ e f, χ) (4.19) donde en este aso χ es una variable interna tipo esalar. Sustituyendo el valor de δ e f en (4.16) y apliando la regla de la adena obtenemos la expresión final de la respuesta tensional para el aso más simplifiado que hemos desarrollado: t = Ψ ( δe f n + δ ) e f t δ e f δ n δ s = Ψ 2ζδ n δ e f 2 2γδ s n + ζδ 2 n + γδ 2 s 2 t ζδ 2 n + γδ 2 s t = Ψ 1 ( ζδn n + γδ s t ) (4.20) δ e f δ e f A ontinuaión partiularizaremos la expresión (4.20) para el modelo ohesivo propuesto por Huespe et al(huespe, Oliver, Pulido, Blano & Linero 2006) donde ζ = λ + 2µ y γ = µ. Este modelo tiene la partiularidad de estar derivado de forma onsistente del modelo de daño ontinuo, lo que nos permitirá mostrar la equivalenia de resultados obtenidos en el apartado 2. Ψ = q(α) α Ψ e { }} { 1 2 δqe δ = 1 2 q(α) [ (λ + 2µ) δ 2 α n + µδs] 2 Q e = n.c.n = (λ + µ) n n + µ1 (4.21) donde Ψ e representa la energía elástia ohesiva, α es la variable interna tipo deformaión, q tiene el mismo signifiado que (4.18), Q e el tensor de segundo orden denominado tensor elástio aústio, n es la normal a la fisura, 1 el tensor unitario de segundo orden y λ y µ los parámetros de Lamé. A partir de (4.18) y (4.21) se obtiene la siguiente relaión: δ e f = 2Ψ e = δ.q e.δ = (λ + 2µ) δ 2 n + µδ 2 s (4.22) De (4.16), (4.20), (4.21) y (4.22) la respuesta tensional se define de la siguiente manera: t = Ψ δ = q(α) α Qe δ = q(α) [ ] ( (λ + µ) n n + µ1 δn n + δ s t ) α t = q(α) [ (λ + µ) δn n + µδ n n + µδ s t ] = q(α) [ (λ + 2µ) δn n + µδ s t ] (4.23) α α donde se han heho uso de las siguientes relaiones: (n n) n = n (n n) t = 0

59 4.2 Desripión del modelo material Variables internas Variable interna tipo salto (α). La variable interna tipo salto guarda la historia de los desplazamientos de apertura efetiva y se define omo el máximo histório de la norma de los saltos definido en (4.22). siendo α = max(τ [0, t]δ e f (τ)) δ e f (δ) = 2Ψ e (δ) = δq e δ (4.24) La variable α parte on un valor iniial en el rango elástio de α 0 = σ u λ+2µ ; siendo σ u el límite elástio uniaxial, λ y µ los parámetros de Lamé. Este valor iniial surge de la partiularizaión del modelo para el ensayo uniaxial. Variable interna tipo traión (q) La variable interna tipo traión la definiremos a partir de la variable interna tipo salto de forma inremental y su evoluión definirá si nuestro material sufre ablandamiento o endureimiento. q(α) = dq α = H α (4.25) dα on un valor iniial de q igual a: q 0 (α 0 ) = α 0, siendo H(α) > 0 para el aso que se produza endureimiento por deformaión y H(α) < 0 para ablandamiento deformaión, tal omo india la siguiente figura Disipaión del modelo A partir de la regularizaión del modelo heho en (4.21) y(4.23) obtenemos la disipaión del modelo omo: D int = Ψ q α qα χ = Ψ α = 0 χ α 2 (4.26) donde se ha utilizado la siguiente expresión: Ψ α α = α ( q(α) α ) 1 2 δqe δ α = q α α q α 2 α 2 { }} { 1 2 δqe δ α = q {}}{ q α α q α α 2 = qα q α 2

60 52 MODELO COHESIVO DISCRETO Dominio Elástio. Criterio de daño Consideremos una funión de fluenia del tipo: φ(δ, α) = α δ e f ) = α 2Ψ e (δ) 0 (4.27) que nos sirve omo riterio para definir el dominio elástio de estados admisibles, en el espaio de los saltos omo: E δ := {(δ, α); φ δ (δ, α) 0} Condiiones de arga-desarga o de Kuhn-Tuker. Condiión de persistenia La euaión (4.27) nos permite definir las ondiiones de arga y desarga que se muestran a ontinuaión: Si φ δ < 0, el omportamiento es elástio, por lo tanto α no se atualiza. α > 0, Si φ δ = 0 α = 0, Si φ δ > 0, es un estado imposible. el omportamiento es inelástio, α = α + α arga neutra, α no se atualiza Las ondiiones anteriores, junto on la ondiión de persistenia que mara la evoluión de la superfiie de fluenia se resumen a ontinuaión: α 0, φ δ 0, αφ δ = 0, α φ δ = 0 (4.28) Resumen del modelo ohesivo en el estado de las deformaiones (a). Densidad superfiial de energía de deformaión (b). Respuesta tensional (). Variables internas Ψ = q(α) α t 0 Ψ e { }} { 1 2 δqe δ = 1 2 q(α) [ (λ + 2µ) δ 2 α n + µδs] 2 Q e = n C n = (λ + µ) n n + µ1 (4.29) t = Ψ δ = q(α) [ (λ + 2µ) δn n + µδ s t ] α α = max, 2Ψ e = max λ + 2µ (d). Funión de fluenia y riterio de daño t 0, λ + 2µ φ = α 2Ψ e 0 (λ + 2µ)δ 2 n + µδ 2 s

61 4.3 Definiión del ablandamiento 53 (e). Condiiones de arga-desarga, Condiiones de persistenia (f). Disipaión del modelo α 0, φ 0, αφ = 0; α φ = 0 D int = q α qα Definiión del ablandamiento Como se ha indiado en la euaión (4.25) la variable interna tipo traión q la hemos definido de forma inremental. Asumiendo ablandamiento esta tasa de la variable interna tipo traión q, puede ser definida en una forma general omo: q(α) = dq dα α = H α = Aqβ α (4.30) donde A es un valor que debe ser definido imponiendo que la disipaión total venga dada por un parámetro material y β es un parámetro que india el tipo ablandamiento, siendo dos asos partiulares β = 0 para el aso lineal y β = 1 para el aso exponenial. De esta forma el parámetro β, que arateriza el tipo de ablandamiento, pasa a ser un parámetro más del material. Como se ha indiado la disipaión total en S vendrá dada por el parámetro densidad superfiial de energía de fratura G f. Hay que definir el parámetro A para que la disipe. Asumiendo un proeso monótono de arga y que el material sufre ablandamiento por deformaión, en el proeso de deohesión de la grieta la energía total disipada en la superfiie de disontinuidad S, W S, resulta: W S = = = S S S ( ) ds D int dt = t=t d S ( 1 ds t=t d 2 ( [ ds 1 ] (qα) 2 + q α t=t d ( ds 1 t=t d 2 [ q α (qα) + q α ] dt ) dt ) ) (q α qα) dt (4.31) Operando en la euaión (4.31) y utilizando la expresión (4.30) se llega a la expresión: G f { }} { W S = SΨ e (q 0 ) 2 β 0 + S A(2 β) = SΨe 0 + SG f (4.32)

62 54 MODELO COHESIVO DISCRETO lo que nos permite obtener el valor A de la euaión (4.30) omo: A = (q 0) 2 β G f (2 β) = ( ) 2 β σ 0 λ+2µ G f (2 β) (4.33) pudiendo obtener finalmente el módulo de ablandamiento que busábamos H = Aq β = (q 0) 2 β G f (2 β) qβ = ( ) 2 β σ 0 λ+2µ G f (2 β) qβ (4.34) 4.4 Desripión elemento ohesivo lineal El modelo desarrollado es un modelo ohesivo disreto no embebido, por lo que es neesario rear un elemento ohesivo que sirva omo interfaz de unión entre S + y S. Estos tipos de elementos tienen generalmente espesor nulo y su formulaión se basa fundamentalmente en el desplazamiento relativo de los nodos del elemento. La Figura 4.4 muestra el elemento de interfaz lineal en 2D. Estos elementos onetan las aras de elementos adyaentes durante el proeso de fratura. n 4 3 ξ 1 2 Figura 4.4 Elemento de interfaz de lineal En la onfiguraión iniial, las superfiies del elemento interfaz están juntas, el desplazamiento de S + respeto de S esta onformado por el desplazamiento normal y tangenial. Estos desplazamientos generan a su vez tensiones elementales según la euaión onstitutiva desrita en (4.23). El ampo de desplazamientos en el sistema de oordenadas global viene definido por: d = [ d x 1, dy 1, dx 2, dy 2, dx 3, dy 3, dx 4, dy 4 ] T donde d α i es el desplazamiento del nodo i según la direión α = {x, y}. La apertura del elemento δ en los nodos viene definido por la diferenia de desplaza-

63 4.4 Desripión elemento ohesivo lineal 55 mientos entre los nodos perteneientes S + y los perteneientes a S : d x 1 d y d x 2 δ d y 1 x δ = u = 2 δ y d x = 1 3 δ d y 2 x 3 δ y } {{ } d φ 4 x 2 d y 4 (4.35) donde {δ1 x, δy 1 } orresponde a la diferenia de desplazamientos entre los nodos 1 y 4 y {δ2 x, δy 2 } orresponde a la diferenia de desplazamientos entre los nodos 2 y 3. A partir de los valores de apertura de los nodos obtenidos en la euaión (4.35) busamos interpolarlas a los puntos de integraión del elemento lineal desritos en la Figura 4.5. Nodo 1 P1 P2 Nodo 2 2 ξ= -1 0 ξ= 1 ξ Figura 4.5 Puntos de Gauss De auerdo on la Figura 4.5 las funiones de forma para el elemento lineal son: N 1 = 1 2 (1 ξ) N 1,ξ = 1 2 N 2 = 1 2 (1 + ξ) N 2,ξ = 1 2 y las oordenadas loales de los puntos de integraión P y los pesos W son: P 1 = 1 3 W 1 = 1 2 P 2 = 1 3 W 2 = 1 2 Finalmente, el valor de la apertura en los puntos de integraión queda definido por: δ(ξ) = δu(ξ) = ( δx (ξ) δ y (ξ) A partir de (4.35) y (4.36) tenemos: ) ( ) N1 (ξ) 0 N 2 (ξ) 0 0 N 1 (ξ) 0 N 2 (ξ) } {{ } H(ξ) δ x 1 δ y 1 δ x 2 δ y 2 (4.36) δ(ξ) = H(ξ)φd = B(ξ)d (4.37)

64 56 MODELO COHESIVO DISCRETO donde B esta definido por: B = [ N1 (ξ) 0 N 2 (ξ) 0 0 N 1 (ξ) 0 N 2 (ξ) ] (4.38) Llegando a la expresión que nos interpola el valor de la apertura del elemento en ada punto de gauss en el sistema de oordenadas global. [ δx (ξ) δ y (ξ) ] [ ] N1 0 N = 2 0 N 2 0 N N 1 0 N 2 0 N 2 0 N 1 } {{ } B Neesitamos obtener la direión normal y tangenial en ada instante para poder expresar el salto en los desplazamientos en un sistema de oordenadas loal {t, n} que aompañe al movimiento de la superfiie media. En la Figura 4.6 definimos n omo la direión normal y t la direión tangenial, en Ŝ que es la interpolaión lineal entre Ω + S y Ω S en la onfiguraión deformada. d x 1 d y 1 d x 2 d y 2 d x 3 d y 3 d x 4 d y 4 Figura 4.6 Direión normal y tangenial en Ŝ Para obtener la superfiie media alularemos los puntos medios de las dos aras del elemento obteniéndose que las oordenadas de los nodos de la superfiie interpolada (ver Figura 4.6) valen:

65 4.4 Desripión elemento ohesivo lineal 57 por: x 1 ŷ x = 1 x 2 ŷ 2 = 1 2 φ x 1 + d x 1 y 1 + d y 1 x 2 + d x 2 y 2 + d y 2 x 3 + d x 3 y 3 + d y 3 x 4 + d x 4 y 4 + d y 4 A su vez las Coordenadas de los puntos de Gauss en la superfiie media Ŝ se definen x(ξ) = ( x(ξ) ŷ ( ξ) ) = H(ξ) x Utilizando la geometría de la Figura 4.6 se pueden obtener los vetores normal (n) y tangenial (t) omo: t(ξ) = x(ξ) 1 ξ x ξ = H(ξ) ξ x 1 x ξ ( ) N1,ξ 0 N = 2,ξ 0 1 x 0 N 1,ξ 0 N 2,ξ t(ξ) x ( ) 1 N1,ξ 0 N = 2,ξ 0 ŷ N 1,ξ 0 N 2,ξ x 2 t(ξ) ŷ 2 ] T [ x2 x 1 t(ξ) =, ŷ2 ŷ 1 1 n(ξ) = 2 ( nx (ξ) n y (ξ) ) = 2 [ ty (ξ) t x (ξ) t ] ; n debe apuntar desde Ω a Ω + Una vez definida la base loal {t, n} en ada instante es neesario pasar el ampo de apertura δ de los ejes (ī, j) a los ejes ( t, n) (Figura 4.7). La apertura de fisura en la nueva base ( δ) se define omo: δ(ξ) = Tδ(ξ), donde T es la matriz de ambio de base ( ) ( ) ( ) tx t δ(ξ) = y δx (ξ) δt (ξ) = δ y (ξ) δ n (ξ) n x n y (4.39) Finalmente obtengo las tensiones en ada punto Gauss omo: t (n+1) = q(α (n+1)) α (n+1) [ µδt t + (λ + 2µ)δ n n ] (4.40)

66 58 MODELO COHESIVO DISCRETO Figura 4.7 Cambio de ejes oordenados 4.5 Implementaión del Algoritmo La implementaión del algoritmo se realiza para ada punto de Gauss del elemento ohesivo. El algoritmo se detalla a ontinuaión, donde el estado en el iniio de inremento de la arga se denota n y en el estado final n + 1. En el instante t n+1 : δ t (ξ), δ n (ξ) Variables de Entrada : t(ξ), n(ξ) q n α n 1.. Obtener las norma de salto: α trial = (λ + 2µ) δ 2 n + µδ 2 s Si α trial α n : arga elástia α n+1 = α trial q (n+1) = q n + H(α (n+1) ) Caso ontrario: omportamiento inelástio α n+1 = α n q (n+1) = q n

67 4.5 Implementaión del Algoritmo Obtener las tensiones: t (n+1) = q(α (n+1)) [ µδt t + (λ + 2µ)δ n n ] (ejes ī, j globales) α (n+1) q (n+1) α t lo = (n+1) µδ s q (n+1) α (n+1) (λ + 2µ)δ (ejes t, n loales) n ( ) q (n+1) t (n+1) = T T tx t t lo = y α (n+1) µδ s n x n q (n+1) y α } {{ } (n+1) (λ + 2µ)δ n T T 3.. Obtener el vetor de Fuerzas elementales: f el = B T tda = h B T tdl A el 1 = h 1 L el 1 B T tdetjdξ = h 1 B T T T t lo detjdξ detj = (d x dξ ) 2 + ( ) 2 dŷ, depende de ξ dξ 4.. Obtener la ontribuión elemental a la matriz de rigidez tangente: K el = f el = d el 1 = h K el = h A el B T t d B T T T t lo δ da = h el δ δ detjdξ δ del B T T T t lo δ TBdetJdξ B T t dl del L el 5.. Obtener la matriz de rigidez tangente a nivel de punto de Gauss: t lo δ = t lo δ = δ t t δ t t n δ t t t δ n t n δ n ( q α) Q e δ + q α Qe (4.41)

68 60 MODELO COHESIVO DISCRETO donde Finalmente tenemos: t lo δ ( q = δ α) α δ = Qe δ α = q α Qe q Hα α 3 q α α δ α q α δ α 2 = Hα q α α 2 δ Q e δ Q e δ = q α Qe q Hα t t α 3 t lo δ = q α Qe Si el omportamiento es elástio t lo δ = q α Qe q Hα α 3 t t Si el omportamiento es inelástio 4.6 Validaión del Modelo El algoritmo numério del modelo de propuesto se ha desarrollado e implementado en el ódigo de elementos finitos no lineal FEAP Comprobar que la disipaión del modelo es orreta El modelo propuesto se basa en que la disipaión de la energía y depende exlusivamente del parámetro G f (densidad superfiial de energía de fratura), por lo tanto es neesario omprobar que la disipaión que se produe es orreta. Para orroborar esta hipótesis omprobaremos que el área bajo la urva fuerza-desplazamiento (energía total disipada), es igual a la Energía Elástia (Ψ e = 1 t 2 u 2 λ+2µ A ) + la Energía Inelástia (Ψ i = G f A ). Para este ejemplo se ha modelado una viga simplemente apoyada, que se disretiza on tres elementos, 2 elementos de 4 nodos de un material elástio (E y ν) y el elemento ohesivo (ver Figura 4.8) trabajando a traión pura, la hipótesis on la que se trabaja es la de deformaión plana y la traión apliada en uno de los extremos es uniforme y está ontrolada por los desplazamientos. Las araterístias del material empleado se muestran en el uadro 4.1 y han sido tomadas de (Blano 2007). En la Figura 4.8 se muestra la disretizaión del modelo y el estado tensional posterior al ensayo. La Figura 4.9 muestra la urva fuerza desplazamiento para β = 1, a partir de la ual alularemos la energía disipada omo el área bajo la urva, uyo valor es de 5,002Nmm Con los datos del uadro 4.1 se obtiene un valor de:

69 4.6 Validaión del Modelo 61 Energía elástia de Ψ e = 1 (1,79MPa) ,9 50mm3 = 0,00236Nmm Energía inelástia de Ψ i = 0,1 N mm 50mm2 = 5Nmm Lo que nos da una energía total de 5,00236Nmm que prátiamente oinide on la obtenida de la urva fuerza vs desplazamiento de la Figura 4.9, on lo ual se omprueba que la implementaión del modelo es orreta. Una vez omprobado que el modelo funiona orretamente se proede a verifiar que funiona para distintos valores de β, donde β = 0 representa un ablandamiento lineal y β = 1 un ablandamiento exponenial. Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 4.9. σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m] Cuadro 4.1 Validaión. Propiedades materiales. S T R E S S E E E E E E E E E E E E E- 03 Disretizaión del modelo Estado tensional Figura 4.8 Ensayo de traión pura Los valores de energía disipada para ada valor de β se resumen en la siguiente tabla 4.2. β Ψ Cuadro 4.2 Energía disipada para distinto valores de β.

70 62 MODELO COHESIVO DISCRETO β= Fuerza (N) desplazamiento (mm) Figura 4.9 Curva Fuerza vs Desplazamiento β =0 β =1 β =1.2 β =1.5 β =1.7 fuerza (N) desplazamiento (mm) Figura 4.10 Curva fuerza-desplazamiento para distintos valores de β Verifiar que a ompresión el omportamiento es elástio Para mantener el signifiado físio del elemento ohesivo hay que garantizar que en ompresión los elementos de las superfiies adyaentes S + y S no penetren entre si. Esto se onsigue modifiando el omportamiento onstitutivo del material en la direión normal imponiendo una penalizaión a la ompresión mediante un módulo elástio K >> 1. De esta forma la euaión onstitutiva del material, desrita en la euaión (4.23), queda modifiada omo sigue:

71 4.6 Validaión del Modelo 63 Si δ n 0 (aso traión en la direión normal) t = q(α) α [ (λ + 2µ)δn n + µδ s t ] (4.42) Si δ n < 0 (aso ompresión en la direión normal) [ t = Kδ n n + q(α) ] α µδ st, on K >> 1 (4.43) Según las euaiones anteriores, uando se somete a ompresión el elemento ohesivo la evoluión de la urva traión(ompresión)-salto da una reta asi vertial, ya que el penalizador es muy grande, sin embargo el omportamiento del onjunto (elemento ohesivo y elementos estándar en Ω + y Ω ) da omo resultado el omportamiento elástio esperado. A ontinuaión se muestra un ejemplo donde se desribe el omportamiento del elemento ohesivo a ompresión y el omportamiento del onjunto formado por un elemento ohesivo y dos elementos estándar a ambos lados. Para este ejemplo se ha tomado el mismo modelo del apartado anterior (ver Figura 4.8), sólo que en este aso se somete al elemento a esfuerzos de ompresión y traión en el rango elástio. Para el onjunto se ha obtenido la urva tensión-deformaión que se muestra en la Figura4.11, que representa la evoluión del omportamiento del elemento estándar. En la misma se puede observar que el omportamiento en ompresión es elástio on la misma pendiente que en el omportamiento a traión. A su vez, se ha obtenido la urva traión-salto para el elemento ohesivo que se muestra en la Figura En este aso se observa que a ompresión (para δ n < 0) aparee una rama asi vertial, fruto de la apliaión del penalizador. tension (MPa) 5 traión-ompresión deformaión Figura 4.11 Comportamiento elástio a ompresión del onjunto

72 64 MODELO COHESIVO DISCRETO 2 traión (Mpa) λ + 2μ K salto (mm) Figura 4.12 Penalizaión de la ompresión en elemento ohesivo Evoluión del tamaño del dominio elástio Siguiendo on el modelo presentado en la Figura 4.8 a ontinuaión se muestra la evoluión del tamaño del dominio elástio onforme se van produiendo los proesos inelástios. Para ello se han apliado una serie de ilos de arga-desarga en el rango de las traiones. Los resultados se muestran en la Figura4.13 y en ella podemos observar ómo en ada uno de los ilos se va degradando la rigidez del elemento y se va reduiendo el tamaño del dominio elástio en el espaio de las traiones Mostrar que se produe una loalizaión de la deformaión y la ontinuidad de las traiones Para este ejemplo se ha modelado una viga simplemente apoyada, que se disretiza on tres elementos, 2 elementos de 4 nodos de un material elástio (E y ν) y el elemento ohesivo, trabajando a traión bajo la hipótesis de deformaión plana tal omo se muestra en la Figura Las araterístias del material son las que se muestran en el uadro 4.3. En la Figura 4.14 se muestra la disretizaión del modelo y el estado tensional posterior al ensayo. En el mismo se puede ver que hay una ontinuidad en las traiones omo se ve en la Figura 4.15, donde se muestra la urva traión-salto de los tres elementos. Se apreia que los elementos 1 y 3 luego de alanzar la traión última t u entran en desarga elástia, mientras que en el elemento 2 (ohesivo) se produe una loalizaión de las deformaiones y se omporta de forma inelástia presentado un ablandamiento orrespondiente on el modelo implementado.

73 4.7 Apliaiones Estruturales β=1 traión t (Mpa) salto δ (mm) Figura 4.13 Comportamiento en arga-desarga del elemento ohesivo σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m] Cuadro 4.3 Validaión. Propiedades materiales. S T R E S S E E E E E E E E E E E E E- 03 Disretizaión del modelo Estado tensional Figura 4.14 Ensayo de traión, viga de 3 elementos 4.7 Apliaiones Estruturales En esta seión analizaremos el modelo on tres elementos estruturales, para orroborar los resultados obtenidos on datos experimentales y/u obtenidos on otros modelos de diversos autores.

74 66 MODELO COHESIVO DISCRETO traión t (Mpa) elem1 elem2 elem salto δ (mm) traión t (Mpa) elem1 elem2 elem salto (mm) δ (mm) Figura 4.15 Loalizaión de la deformaión Viga a flexión en tres puntos Desripión del ensayo experimental Este ejemplo se ha tomado de una serie de ensayos de una viga a flexión en tres puntos, uyo material es el hormigón simple, representada por Peterson (Petersson 1981). El ensayo onsiste en un test de una viga flexión en tres puntos (three point bending), que el autor realizó a 6 espeímenes, para obtener la energía de fratura G f. Se trata de una viga de 2,0m de largo, 0,2m de alto y un espesor de 0,05m on una entalla en la seión media de 0,1m. Las dimensiones y el esquema de arga y apoyos se pueden ver en la Figura Las propiedades del material han sido tomadas de (Petersson 1981) y se resumen en el uadro 4.4. Figura 4.16 Viga a flexión en tres puntos: Esquema del ensayo σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m] Cuadro 4.4 Viga a flexión en tres puntos: Propiedades materiales. Desripión del ensayo numério El análisis que se realiza es bidimensional y bajo la hipótesis de tensión plana. La Figura 4.17 se muestra la disretizaión del modelo, se han utilizado elementos trian-

75 4.7 Apliaiones Estruturales 67 gulares on un mallado mas fino en la seión entral y uadriláteros para el elemento ohesivo. Las araterístias generales del modelo se desriben en el uadro 4.5. En la simulaión se apliaron inrementos del desplazamiento vertial en la mitad de la luz hasta obtener una deflexión de 2.0 mm. Figura 4.17 Viga a flexión en tres puntos: Disretizaión del modelo. Número de nodos Número de elementos Tipo de elemento Triángulos y uadriláteros Cuadro 4.5 Viga a flexión en tres puntos: Caraterístias del ensayo numério. Desripión de los resultados numérios Conforme avanza el proeso de apliaión de la arga, la loalizaión de deformaiones tiene lugar en la seión entral donde se ha situado la entalla.la Figura 4.18 muestra la estrutura deformada en la zona entral. La respuesta estrutural de la viga se representa mediante la relaión entre la arga externa puntual apliada P y la deflexión en la mitad de la luz δ. La Figura 4.19 india diho resultado en ada uno de los inrementos de δ, donde se observa un omportamiento lineal elástio iniial limitado por una arga máxima, seguido de la reduión progresiva no lineal de la arga on el aumento de la deflexión. La arga máxima alulada por el modelo numério es ligeramente mayor que la obtenida en el ensayo experimental, resultados idéntios fueron obtenidos por: Rubén Graffe et al. (Graffe & Linero n.d.) y P. M. A. Areias et al. (Areias et al. 2004). Durante la apliaión del desplazamiento vertial en la simulaión, la tensión prinipal mayor σ 1 se onentra en el interior de la zona de fratura y en su veindad, más exatamente en la punta de la fisura. La Figura 4.20 presenta la distribuión de σ 1 en una esala de olores fija para el instante en que se alanza la arga máxima, se puede ver viga ompleta y una ampliaión era de la zona de fratura. Finalmente en la Figura 4.21 se puede ver la distribuión de σ 1 en la zona de fratura para diferentes instantes de arga. La Figura 4.21(a) orresponde al omportamiento elástio de la viga on valores bajos de tensión, tomada para un δ = 0,1mm. La Figura 4.21(b) aparee una zona de tensión

76 68 MODELO COHESIVO DISCRETO Figura 4.18 Viga a flexión en tres puntos:: malla entral deformada (ampliada 50 vees) modelo ohesivo disreto urva experimental Peterson (1981) P (N) desplazamiento (mm) Figura 4.19 Ensayo de viga a flexión: Relaión entre la arga apliada y la deflexión en la mitad de la luz. máxima a traión en el extremo de la entalla que se desplaza haia arriba progresivamente hasta llegar al estado de la Figura 4.21() que representa el estado de arga máxima. Diho bulbo de onentraión de tensión es igual a la resistenia a traión del hormigón, e india la posiión de la punta de fisura en ada estado de desplazamiento. En los estados de las Figuras 4.21(d) y 4.21(e), la pendiente de la urva fuerza desplazamiento es negativa, se orresponde on desplazamientos de δ = 0,54mm y δ = 0,78mm respetivamente, mientras que la zona de tensión máxima a traión se aera a la ara superior de la viga. En los estados de las Figuras 4.21(f) y 4.21(g),(δ = 0,9mm y δ = 2mm) la arga resistente es muy baja y deree suavemente, mostrando tensiones de traión en toda la viga exepto en la ara superior, donde se onserva una pequeña zona en ompresión. En los estados finales se onserva una arga resistente aproximadamente onstante debido a que el modelo numério no supone un límite de resistenia a ompresión.

77 4.7 Apliaiones Estruturales 69 Figura 4.20 Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de σ 1 uando se alanza la arga máxima:(a) estrutura ompleta, (b) zona entral Wedge Splitting test Desripión del ensayo experimental Este ejemplo se ha tomado de los ensayos realizados por E. Denarié et al. (Denarie et al. 2001) para determinar la tenaidad de fratura para materiales omo el hormigón, por medio de fibra óptia embebida. Las dimensiones y el esquema de arga y apoyos se pueden ver en la Figura 4.22 (espesor del espéimen es de 97 mm). Las propiedades del material han sido tomadas de (Denarie et al. 2001)(Mariani & Perego 2003) y se resumen en el uadro 4.6. σ u (MPa) E (GPa) ν G f [N/m]* w 1 (mm)** Cuadro 4.6 Wedge splitting test: Propiedades materiales. (*(Mariani & Perego 2003), ** modelo numério de (Denarie et al. 2001)) Desripión del ensayo numério El análisis que se realiza es bidimensional y bajo la hipótesis de tensión plana. La Figura 4.23 muestra la disretizaión del modelo, se han utilizado uadriláteros on un mallado mas fino en la seión entral. Las araterístias generales del modelo se desriben en el uadro 4.7. Número de nodos Número de elementos Tipo de elemento Cuadriláteros Cuadro 4.7 Wedge splitting test: Caraterístias del ensayo numério.

78 70 MODELO COHESIVO DISCRETO (a) (b) () (d) (e) (f) S T R E S S E E E E E E E E E E E E E+02 Figura 4.21 Viga a flexión en tres puntos: Distribuión de tensiones σ 1 : (a) δ = 0,1mm, (b) δ = 0,22mm, () δ = 0,38mm, (d) δ = 0,54mm, (e) δ = 0,78mm, (f) δ = 0,9mm, (g) δ = 2mm. (g) Desripión de los resultados numérios Conforme avanza el proeso de apliaión de la arga, la loalizaión de deformaiones tiene lugar en la seión entral donde se ha situado la entalla.la Figura 4.24 muestra la estrutura deformada. Los análisis se han llevado a abo ontrolando el CMOD (rak mouth opening dis-

79 4.7 Apliaiones Estruturales 71 Figura 4.22 Wedge splitting test: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm). Figura 4.23 Wedge splitting test: disretizaión del modelo. plaement). De auerdo on los resultados experimentales de (Denarie et al. 2001) el CMOD se entiende omo la variaión en longitud del segmento B (ver Figura 4.22) originalmente de 160 mm. La Figura 4.25 muestra la relaión entre la arga externa puntual apliada P y el CMOD obtenida en el análisis numério y también los resultados experimentales tomados de (Denarie et al. 2001). En la Figura se puede ver dos urvas, una para un valor de β = 1,0 y otra para un valor de β = 1,24 alulado on el w 1 = 0,023mm del análisis numério de (Denarie et al. 2001) y empleando la expresión (3.35). Las dos urvas obtenidas del análisis numério se asemejan muy bien a los resultados experimentales, espeialmente la obtenida para β = 1,24, aunque esta presenta un valor de arga omprendida entre las 2 urvas experimentales.

80 72 MODELO COHESIVO DISCRETO Figura 4.24 Wedge splitting test: deformada (ampliada 50 vees) β=1.0 β=1.24 experimental P (N) CMOD (mm) Figura 4.25 Wedge splitting test: P vs CMOD Panel en forma de L Desripión del ensayo experimental Este ejemplo numério onierne a un panel en forma de L, de hormigón que fue investigado experimentalmente por Winkler (J 2001) Los experimentos se han llevado a abo on tres pruebas ontroladas por desplazamiento. Las geometría, el esquema de arga y las ondiiones de borde se pueden ver en la Figura Las propiedades del material han sido tomadas de (J 2001)(mit netzfreien Verfahren n.d.) y se resumen en el uadro 4.8.

81 4.7 Apliaiones Estruturales 73 Figura 4.26 Panel en forma de L: Geometría y ondiiones de arga (dimensiones en mm). σ u (MPa) E (GPa)* ν G f [N/m]* Cuadro 4.8 Panel en forma de L: Propiedades materiales. (*parámetros estimados en (mit netzfreien Verfahren n.d.)) Desripión del ensayo numério El análisis que se realiza es bidimensional y bajo la hipótesis de tensión plana. La Figura 4.27 muestra la disretizaión del modelo así omo la trayetoria de la grieta, se han utilizado elementos triangulares. Las araterístias generales del modelo se desriben en el uadro 4.9. Número de nodos Número de elementos Tipo de elemento Triángulos y uadriláteros Cuadro 4.9 Panel en forma de L: Caraterístias del ensayo numério. Desripión de los resultados numérios La Figura 4.28 muestra la estrutura deformada. Los análisis se han llevado a abo ontrolando el desplazamiento vertial en el punto de apliaión de la arga (ver Figura 4.26). La Figura 4.29 muestra las urvas arga-desplazamiento experimental y numéria obtenida, la simulaión numéria ondue a un buen resultado hasta alanzar la arga máxima, poo después de la arga máxima se obtiene una urvatura aguda y la misma