Autor: Ing. MSc. Eduardo Gutiérrez Klinsky Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra Santa Cruz Bolivia

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1 DETERMINACION DE LA CAPACIDAD ULTIMA A MOMENTO FLECTOR DE SECCIONES NO RECTANGULARES DE HORMIGÓN MEDIANTE EL ANALISIS DE RELACIONES NO LINEARES DE TENSIÓN DEFORMACION Autor: Ing. MS. Eduardo Gutiérrez Klinsky Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra Santa Cruz Bolivia Resumen: El presente trabajo tiene por objetivo la determinaión de la apaidad última resistente a momento fletor para seiones no retangulares armadas, pretensadas y/o postensadas, onsiderando la ompatibilidad entre tensiones y deformaiones a través de relaiones no lineares, tanto para el aero omo para el hormigón. La determinaión de la resultante a ompresión es realizada mediante el método de integraión numéria de Simpson, siendo el momento fletor resistente, obtenido a través de un proeso iterativo de balaneo de fuerzas de traión y de ompresión. En base a los resultados obtenidos se observó que el método propuesto por el reglamento AASHTO LRFD, para la determinaión de la apaidad nominal a momento fletor, en vigas de seiones no retangulares, presenta algunas defiienias on respeto a la determinaión del eje neutro y del área de hormigón omprimido. Palabras Clave: Hormigón pretensado, vigas de hormigón, puentes, análisis no linear, momento resistente, AASHTO, AASHTO LRFD Abstrat: This work relates to the omputation of Nominal Moment Capaity for Prestressed Conrete Flanged Setions, based on non linear stress-strain relationships, used for both the pretressing steel and onrete. Resultant ompressive fore is determinated trough the Simpson rule for numerial integration, being the moment apaity obtained by an iterative tehnique of tensile and ompressive fores equilibrium. Results showed that both AASHTO and AASHTO LRFD provisions for flexural moment strength ontain some unertainties for determining neutral axis depth and ompressive blok area. Key words: Prestressed Conrete, onrete beams, bridges, non linear analysis, flexural moment strength, AASHTO, AASHTO LRFD

2 1. Introduión Con la implementaión de rutinas de álulo en omputadora, es viable hoy en día en el álulo estrutural, la representaión del omportamiento de los materiales de manera más próxima a la realidad. En este trabajo se presenta un método no linear para la determinaión de la resistenia a momento fletor de vigas de hormigón. 2. Capaidad Nominal a momento fletor A ontinuaión se desribe la ténia presentada por el WSDOT (Washington State Department of Transportation) e implementada en el software PGSplie para la determinaión de la apaidad nominal a momento fletor por medio del método de ompatibilidad. A ausa de las relaiones no lineares de tensión deformaión, se requiere una ténia iterativa, la ual se desribe a ontinuaión: a) Determinaión de las Deformaiones Iniiales Para el pos tesado se adopta la relaión: ε i = f E e p (1) f = Tensión de tesado resultante en los tendones e E = Módulo elástio del aero de tesado p En este trabajo se onsidera que la armadura pretensada es empleada para que las dovelas que omponen la viga resistan los esfuerzos oasionados durante el transporte y ensamblaje, una vez apliado el pos tensado a la viga, este oasiona pérdidas en la armadura de pretensazo por aortamiento elástio. De manera onservadora, se onsiderará en este trabajo que después de apliado el pos tensado, la deformaión en la armadura de tesado será nula, pasando esta a omportarse omo armadura de aero onvenional. b) Determinaión del Eje Neutro La posiión del eje neutro es desonoida, siendo por lo tanto neesario asumir una posiión del mismo y determinar el estado de deformaión, tensión y fuerzas resultantes en el aero y en el hormigón, si las fuerzas resultantes de traión y ompresión son iguales, entones la seión se enuentra en equilibrio. Para la determinaión de las tensiones en el aero, se emplean las siguientes relaiones:

3 d ε ps = 1 + ε i (2) d: Profundidad del eje del tendón hasta la fibra más omprimida : Profundidad del eje neutro desde la fibra más omprimida. ε i Deformaión iniial debido al tesado, determinada mediante la euaión (1). Para la determinaión de la tensión resultante en ada uno de los tendones post tensados se emplea la relaión: fps = ε ps (3) 7.36 ( 1 (112.4 ) ) εps En la expresión arriba se ha introduido el fator para obtener la tensión en MPa. Multipliando esta tensión por el área de armadura se obtiene la fuerza resultante de traión en la misma. ) Determinaión de los parámetros del Hormigón El modelo numério propuesto por la WSDOT para el hormigón, tanto de la losa omo de la viga, se presenta a ontinuaión: f f εf n ε = εf n 1+ ε n k (4) f 145 n = ; 2500 f en MPa (5) f 145 ε f k = ; si: < 1, k = 1. 0 ε 9000 (6) = f E (MPa) (7) f n ε = (8) E n 1

4 f = f εf 2.4 ε εf n 1+ ε n k n, k: parámetros adimensionales E : Módulo elástio del hormigón (MPa) (9) f : Resistenia araterístia del hormigón (MPa) f : Tensión media de ompresión atuante en una faja de espesor finito (MPa) d) Determinaión de la fuerza resultante de Compresión La fuerza resultante de ompresión se determina mediante el proeso de integraión numéria según la regla de Simpson, para esto se divide el área de viga y losa sometidos a ompresión en un número de fajas de igual espesor de manera a que: y = (10) i Donde i es el número de fajas y la profundidad del eje neutro. Determinándose y se tiene para ada faja: f = ( y) ε (11) Con el valor de εf se obtiene la tensión ompresiva atuante en ada faja a través de la expresión (9). El valor de la fuerza ompresiva se obtiene multipliando la tensión atuante en ada faja por el área de la misma. Finalmente la fuerza ompresiva total será la sumatoria de todas las fuerzas de ompresión atuantes en las fajas.

5 Ejemplo Se presenta el proeso de alulo para determinar la apaidad nominal de a momento fletor de una viga tipo W83PTG FIGURA 1 Seión Transversal Compuesta por Viga W83PTG y losa. A = 12 1/ 2" para armadura pos tensada, el área de ada able es de ps1 φ m2. A = 10 1/ 2" para armadura pretensada, el área de ada torón de ½ es de ps2 φ m2. f = 28MPa ( ) Resistenia araterístia del hormigón para la losa. El aero para el pretensado y pos tensado onsiderado es el de baja relajaión on f pu = 1860( MPa). La fuerza de tesado apliada para el able 1 es de kn y de kn para los ables 2 y 3. La tensión media f e en los ables 1,2 y 3 después de aluladas las pérdidas instantáneas y diferidas (se onsidera en este trabajo la resistenia nominal a momento fletor en t = ), es de kn/m2, on este valor se determina la ε deformaión iniial i, tomando E = kn/m2 (AASHTO LRFD ). Con la expresión (1) se obtiene ε = i p

6 Para la determinaión de la deformaión ε p en los ables es neesario asumir una posiión tentativa del eje neutro. Se adoptará para este aso una profundidad de 18 m a partir de la fibra más omprimida. En funión de la posiión de ada able y de la armadura pretensada, son determinadas las tensiones y deformaiones mediante las euaiones (2) y (3). FIGURA 2. Fuerzas desarrolladas por las armaduras de Traión. En la figura 2 se presentan las fuerzas de traión desarrolladas por los ables de pos tensado y la armadura de pretensado, equivalentes a una fuerza de traión de 8496 kn. La resultante de esta fuerza se enuentra a 5.33 m por enima de la fibra más traionada. A ontinuaión se determinará la fuerza de ompresión que el hormigón es apaz de desarrollar en base al modelo onstitutivo propuesto en la euaión (4). Para esto se dividirá el área de hormigón omprimido en 30 fajas de igual espesor, tomando en uenta que la profundidad asumida para el eje neutro es de 18 m, ada faja tendrá un espesor de 0.60 m. El anho de losa olaborante en este trabajo se onsidera omo siendo de 2.2 m. Para ada faja, on y variando de 0.6 a 18 m, se determina mediante las expresiones (4) a (9) el valor de la tensión por faja y la fuerza de ompresión equivalente, en funión al área de ada una de estas. En la figura 3 se presenta el diagrama de tensiones que se desarrolla en el área omprimida, pudiéndose observar que las mayores tensiones de ompresión se desarrollan a profundidades entre 6 y 8 m a partir de la fibra superior. Efetuándose la integraión de las tensiones atuantes en ada faja, mediante la regla de Simpson, se obtiene una fuerza ompresiva de kn. Para efetos de este ejemplo se onsiderará que la seión se enuentra en equilibrio para la profundidad de eje neutro asumida (18 m) ya que la diferenia on relaión a la fuerza de traión es del orden del 2%.

7 La resultante equivalente de esta fuerza de ompresión se enuentra a 7.7 m de la fibra superior de la losa. TENSIONES DE COMPRESION (Mpa) PROFUNDIDAD f(mpa) TENSIONES DE COMPRESION (Mpa) FIGURA 3 Tensiones de Compresión desarrolladas por el área omprimida. La resistenia de la seión a momento fletor se determina mediante el produto entre las fuerzas en equilibrio y la distania que separa las mismas, onforme ilustrado en la figura 4. El momento alulado mediante este método equivale a knm. El momento fletor determinado mediante la formulaión presentada en el apítulo 5 por el reglamento AASHTO LRFD, on base en la distribuión retangular de tensiones, equivale a knm. A través del software PGSplie desarrollado por la WSDOT se obtuvo un equilibrio de fuerzas de traión y ompresión equivalente a kn, y una resistenia a momento fletor de knm. Conforme se puede observar en la figura 4, el eje neutro se enuentra ortando la losa de hormigón.

8 FIGURA 4. Posiión de las fuerzas resultantes de traión y ompresión en la seión. En la figura 5 se presenta la misma seión on 4 ables de 21 φ de ½ ada uno para el pos tensado y 10 φ ½ para el pretensado. Para la seión indiada en la viga, se adoptó onsideró un a resistenia f = 28MPa para la losa y f = 48MPa para la viga. La resistenia nominal a momento fletor de esta seión, fue determinada apliando las expresiones (1)-(11), obteniéndose una profundidad de eje neutro de 58.4 m para la ual las fuerzas de ompresión y traión se enuentran en equilibrio. En este aso el eje neutro orta al nivel del alma de la viga la seión analizada. La fuerza resultante de la integraión de tensiones fue de kn, on las resultantes posiionadas onforme ilustrado en la figura 6. El momento resistente alulado para este seión equivale a knm. El momento resistente determinado a través de la formulaión AASHTO LRFD es de knm. En la Figura 7 se presenta el gráfio de tensiones de ompresión obtenido mediante el modelo onstitutivo del hormigón empleado en este trabajo, la disontinuidad de tensiones observada a la profundidad de 20 m a partir de la superfiie superior de la losa se debe a la diferenia de resistenia a ompresión entre losa y viga.

9 FIGURA 5 Viga W83PTG sometida a la aión de 4 ables de 21φ 1/2. FIGURA 6. Posiionamiento de las fuerzas de Traión y Compresión resultantes.

10 TENSIONES DE COMPRESION (Mpa) PROFUNDIDAD f(mpa) TENSIONES DE COMPRESION (Mpa) FIGURA 7. Tensiones de Compresión en el Hormigón En la figura 8 se presenta una omparaión de los valores de momento resistente a flexión, determinado para una viga W83PTG on diferentes valores de armadura. Se utilizaron para la armadura de pos tensado 4 ables dispuestos de manera idéntia a la indiada en la figura 5, siendo que el número de torones de ada able varió de 12 a 27 φ 1/ 2". La determinaión del momento resistente fue realizada mediante el proeso no linear desrito y el reglamento AASHTO LRFD. De manera general se obtuvieron valores mayores de momento resistente mediante el método no linear. En todos los asos analizados se umplió la relaión de vigas subarmadas d e Según Baran et. Al.(2005) este valor inferior del momento resistente proporionado por el método AASHTO-LRFD se debe a una inompatibilidad en la onsideraión de la reduión del bloque de tensiones de una profundidad a la profundidad a = β 1, on β < 1, onforme indiado en el ítem del reglamento.

11 MOMENTO RESISTENTE VIGA W83PTG /2" 15 1/2" 18 1/2 21 1/2 Mn (knm) 24 1/2 27 1/2 Aps (m2) NO LINEAR AASHTO - LRFD FIGURA 8. Comparaión entre el modelo No Linear y el Método AASHTO LRFD. En la Figura 9 se muestra la inompatibilidad indiada por Baran et al (2005), donde se puede verifiar que al onsiderar el bloque de tensiones on distribuión retangular y profundidad a = β 1, existe una fraión de espesor de losa donde se desonsidera la tensión atuante en esta. FIGURA 9. Bloque de Compresión on distribuión retangular de tensiones. AASHTO LRFD. Baran et al (2005).

12 Esto oasiona que en el álulo de momento resistente, mediante el método AASHTO LRFD, se onsidere una resultante menor de ompresión que la que el hormigón en realidad es apaz de desarrollar. Esta situaión lleva a la determinaión de momento resistente a flexión inferior al momento resistente real. CONCLUSIONES Se presenta un nuevo método para la determinaión del momento resistente en seiones no retangulares de hormigón, ompuesta por la asoiaión de viga y losa de resistenias araterístias diferentes. El método presentado onsiste en la onsideraión de un modelo onstitutivo no linear para el hormigón, onsistiendo la soluión del método en un proeso iterativo para obtener la posiión del eje neutro. Los resultados obtenidos fueron omparados on valores determinados mediante el método AASHTO LRFD, verifiándose que se obtienen valores mayores on el modelo no linear. Según la literatura existente en el tema, esta situaión se debe a que la reduión de la profundidad del bloque de ompresión de a a = β 1 no orresponde a la distribuión real de tensiones. Es neesaria la realizaión de estudios experimentales para poder verifiar la validez de las hipótesis presentadas en este trabajo. BIBLIOGRAFÍA AASTO LRFD (2002) Bridges Design Speifiations. BARAN E., SCHULTS A. E., FRENCH C.E. (2005). Evaluation and modifiations of the AASHTO proedures for Flexural Strength of Prestressed Conrete Flanged Setions. Proeedings of the 2005 Mid ontinent Transportation Researh Symposium. Ames Iowa. Washington State Department of Transportation. WSDOT (2008) Splied Girder Design Evaluation. A ompanion doument to PGSlie.